教师三项基本功

（2）“概念变式”与 “非概念变 式”：
“非概念变式”大致地就相当于 “反例”，这也就是指，除去“正 例”以外，我们在教学中还应给出 若干“反例”，这样通过对照就可 帮助学生更好掌握概念的本质。
[例] “认识分数”
▪ 引入：“分蛋糕”。教师并通过简 短讨论引出了这样一个结论：“将 一个蛋糕平均分成两份，每份是它 的1/2。”
▪ 教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一开 始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少？ …
相关的分析
▪ 这些实物和动作对于学生来说都是十分熟 悉的。
▪ 好的“认知基础”并应具有这样的性质： 它能“自动地”指明相关概念的基本性质 或相关的运算法则。这就是指，借助于这 一实例学生可以顺利地作出相应的发现。 如学生在此显然就可借助所说的实例顺利 地实行 4 - 10、5 – 8等运算，而无须依赖 于对相应法则的机械记忆。
数学教师的“三项基本功”
郑毓信
（2012，4）
简介
▪ 1965年毕业于江苏师范学院（现苏州大学） 数学系；曾在中学长期任教；现为南京大 学哲学系教授、博士生导师。1992年起享 受政府特殊津贴。
▪ 主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数 学教育与科学教育。
▪ 已出版著作28部，发表论文300多篇。
背景
▪ 问题：如何以“变式理论”（概念 变式）为指导设计教学从而帮助学 生较好掌握分数的本质？
（1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕， 也可以是纸片或别的什么东西；对于分割 对象的外形我们也不应作任何限制：它们 既可以是圆形，也可是方形或任何其它形 状。
（2）对分割方法也可作出一定变化。如就长 方形纸片的分割而言，可以横着折，也可 以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个 “正例”以外，我们也应引入一定的“反 例”，如按照中位线分割的梯形等
▪ 课改十年的总结与反思：“立足专 业成长，关注基本问题。” （2010）
▪ 进一步的思考：一线教师如何实现 自己的专业成长？
一个相关的问题
▪ 数学教师是否应当具有自己特殊的 基本功？
▪ 数学教师的三项基本功： （1）善于举例； （2）善于提问； （3）善于比较与优化。
这方面的具体工作
▪ 郑毓信，“数学教师的三项基本 功”，《人民教育》，2008年第18、 19、20期连载，并已被收入“《人 民教育》创刊60周年系列丛书”。
新的重要发展：由“变式理论”到 “多元表征理论”
▪ 传统的研究：主要集中于如何能够 通过适当的举例帮助学生较好掌握 概念的本质（单一表征）。
（2）如何帮助学生由实例抽象出相应 的数学概念？
▪ 关键之一：去情境；
▪ 一个辩证的关பைடு நூலகம்：范例的作用与必 要的抽象；
▪ 相关理论：“变式理论”（“概念 变式”）。
▪ 核心思想：如何通过适当的变化帮 助学生掌握相关概念的本质。
“概念变式”的主要内容：
（1）“标准变式”与“非标准变 式”： 教学中不应局限于平时经常用到的 一些实例，而应有意识地引入一些 “非标准变式”，从而就可防止学 生将相关实例的一些非本质特性误 认为概念的本质特性。
（3）作为进一步的抽象，我们又应由 1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3， 3/4，……。从而，如果仍然集中于 “将一个蛋糕平均分成两份，每份是 它的1/2”这一论述，我们就可以说， 除去分割的对象与方法以外，我们也 应对“平均分成两份”中的“两份” 以及所说的“每份”作出适当变化。
（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的 一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、 3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——容 易看出，这一变化事实上也就意味着我们 已经将分析的着眼点由“（平均）分配” 这一实际活动转移到了部分与整体之间的 关系，后者并就意味着对于分数本质更为 深入的认识。
▪ 郑毓信，《数学教师的三项基本 功》，江苏教育出版社，2011
必要的提醒
面对任一新的主张或时髦潮流，我们 都应冷静地思考： ▪ 什么是这一主张或口号的主要内涵？ ▪ 这一主张或口号能为我们提供什么新 的启示和教益，特别是，具有怎样的 现实意义？ ▪ 什么是其固有的局限性或可能的消极 后果？
基本认识
一件易事。
[例1] “范例教学法”（R. Davis)
▪ 为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的 运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆 子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。
▪ 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记 下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵 豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样一个 算式。
抽象出相应的数学概念？
学习心理学研究的相关结论
▪ “概念定义”与“概念意象”的必 要区分。
▪ 概念意象的多元性：它“由所有的 相关实例、反例、事实和关系组 成。”（维纳与赫什科威兹，1980）
（1）什么是“适当的例子”？
▪ 标准之一：相对于学生的可接受性； ▪ 标准之二：典型性，即是能为相应
的数学抽象提供必要的基础。 ▪ 这方面的一个基本事实：举例并非
▪ “三项基本功”集中反映了数学与数学 教学（教育）的特殊性。
▪ “三项基本功”不应被理解成单纯的 技能；恰恰相反，只有联系深层次的 教学思想和教育思想我们才能真正理 解它们的内涵和意义。
▪ 我们并应联系自己的个性特征创造性 地对此加以应用。
一、“善于举例”与数学教学
▪ 从“什么是数学”谈起？ ▪ 一个基本论点：“数学：模式的科
学”（mathematics：the science of patterns） ▪ 数学所反映的不是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或 现象在量的方面的共同性质。
进一步的分析
▪ 数学基本特性：抽象性。 ▪ “善于举例”的两个具体涵义： （1）如何能为抽象的数学概念举出
适当的实例？ （2）如何能够帮助学生由具体实例
[例2] “植树问题”的教学
▪ 我们应当如何看待“植树问题”的教 学：这一问题所发挥的究竟是案例的 作用、还是应当集中于“三种情况” 的区分以及相关规律的发现与应用？
▪ “模式的建构”比“三种情况”的区 分”更加重要，这也就是指，我们在 教学中应当更加关注如何能以“植树 问题”为背景抽象出普遍的数学模式： “分隔问题”。