函数的连续性ppt 下载

1 x0
解: lim f (x) lim x2 0 , f (0) 1
x0
x0
lim f (x) f (0)
x0
x 0为函数的可去间断点.
注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义, 则可使其变为连续点.
2.跳跃间断点
如果f在 x点0 存在左、右极限，但
lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
则称 x为0 函数 的f 跳跃间断点
例4：讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
y
y f (x)
y
y
y f (x)
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
函数 f (x) 在点 x0连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0) y
lim y 0 即: lim
x0
x0
f (x0 x)
f (x0 )
0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
右连续
左连续
例2. 证明函数
在 点连续 .
同理可证：函数
在 点连续 .
3. 区间上的连续函数 .
定义1：若 在某区间上每一点都连续 ,则称它在 该区间上连续或, 称它为该区间上的连续函数.
定义2：如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称函数 f (x) 在闭区间 [a, b]上连续.
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
四、连续函数的性质与运算性
性质1:（局部有界性）若函数 y f在(x)点连x0续
则存在 x的0 一个邻域 U (x及0,定) 值 ，当M x U (x0 , )
时，有 f (x) 。 M
性质2:（局部保号性）若函数 y f在(x)点连x0续
f (x0 ) 0(或f (x0 ) 0)，则存在 x的0 一个邻域 U (x，0, )
f (lim x x0
x)
(2)函数 f (x)在 x0 连续.
lim f (x)存在
xx0
2.函数 f (x在) 点x0连续的等价定义
定义：设函数 f (x)自变量由 x0变到 x ,则x x x0
叫做自变量的增量；相应的函数值由 f (x0) 变到f (x) ,
则 y f (x) f (x0 )叫做函数值 y 的增量（改变量）
特点：函数在点x0处的左、右极限都存在. 3.第二类间断点
函数 f在 x点0 的左、右极限至少有一个不存在，
则称 x为0 的f 第二类间断点 y
y tan x
例5：讨论函数 f (x) tgx在 x 处的连续性
2
o
x
2
例6 讨论函数
f
(x)
1 , x
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点 间断点 第一类间断点 跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
(见下图)
左右极限都存在 左右极限至少有 一个不存在
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
则称函数
f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
例1:讨论函数
在点 处的连续性
注意: (1)若 f (x) 在 x0 点连续, 则极限运算和函数运
算 f 可以交换顺序。即：
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
f [(x)]
f (u0 )
f [ lim (x)].） x x0
例2：讨论函数 y co的s x1连2 续性。
当 x U (x时0,，) 有 f (x) 0(或f (x) 0)
性质3：（连续函数的四则运算法则）
若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,则 f (x) g(x), f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)在点 x0处也连续.
例如：sin x,cos x在(,)内连续,
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
y x 1
y x21y21111
x
1
1
x
y x2 1 x 1
1
2
1
1
1
x 1，x 1
y
x， x 1
y
2
1
x
1
1
x
一、 函数在一点的连续性
1.定义: 设函数 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f (x0 ),
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
例1：证明函数 y 在xn (内,是连) 续的。
性质4：（复合函数的连续性）
设函数u
(
x)在x0点连续，(即
lim
x x0
(
x)
（x0）
u0
),
函数
y f (u)在点u0连续, 则复合函数y f ((x))在点x0连续。
（即 lim x x0
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
y
x 1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间 断点.
o
x
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
由例2知函数
及
内是连续的
在其定义域区间
二、 函数的间断点
若函数f (x)在 x0点不连续，则称 f (x)在点 x0间断，x0
称为间断点 . 则下列情形之一函数 在点 不连续 :
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数 在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
存在 , 但
1.可去间断点
如果 lim f (x，) 而A 在 xx0
点f 无x定0 义，或者有定义
但 f (x0) A ，则称 x为0 的f 可去间断点
例2：设f (x) x2 1 ,讨论在x=1的连续性
x 1
1
2
1
1
1
x
例3：设
f
(x)
x2
x 0 ,讨论在x=0处的连续性