哈工大智能控制神经网络课件第五课径向基函数网络(RBFN)

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径向基神经网络RBF介绍

径向基神经网络RBF介绍RBF网络原理RBF网络，即径向基神经网络，也是前馈型网络的一种。

它的设计思想和BP网络完全不一样。

Cover定理：将复杂的模式分类问题非线性的投射到高维空间将比投射到低维空间更可能是线性可分的。

也就是说这个问题在低维空间不一定是线性可分的，但如果把它映射到高纬度的空间去，在那里就可能是线性可分的。

这就是RBF网络的原理。

RBF将问题转换为线性可分之后便没有了BP网络的局部极小值问题。

但是RBF需要比BP网络更多的隐含层神经元。

RBF网络是一个三层的网络，出了输入输出层之外仅有一个隐层。

隐层中的转换函数是局部响应的高斯函数，而其他前向型网络，转换函数一般都是全局响应函数。

由于这样的不同，要实现同样的功能，RBF需要更多的神经元，这就是rbf网络不能取代标准前向型网络的原因。

但是RBF的训练时间更短。

它对函数的逼近是最优的，可以以任意精度逼近任意连续函数。

隐层中的神经元越多，逼近越精确RBF网络学习过程在RBF网络之前训练，需要给出输入向量X和目标向量T，训练的目的是要求得第一层和第二层之间的权值W1、阀值B1，和第二层与第三层之间的权值W2、阀值B2。

整个网络的训练分为两步，第一部是无监督的学习，求W1、B1。

第二步是有监督的学习求W2、B2。

隐藏层神经元个数网络会从0个神经元开始训练，通过检查输出误差使网络自动增加神经元。

每次循环使用，重复过程直到误差达到要求。

因此RBF网络具有结构自适应确定，输出与初始权值无关的特征。

（BP网络就不这样）广义回归神经网络GRNN径向基神经元和线性神经元可以建立广义回归神经网络，它是径RBF网络的一种变化形式，经常用于函数逼近。

在某些方面比RBF网络更具优势。

概率神经网络PNN径向基神经元和竞争神经元还可以组成概率神经网络。

PNN也是RBF的一种变化形式，结构简单训练快捷，特别适合于模式分类问题的解决。

扩展速度spread的确定RBF网络有个参数叫扩展速度spread，在MATLAB中创建RBF网络时是要事先设定好的，其默认值为1。

人工神经网络第5章RBF

radbas (n) e
n2
3.设计径向基网络newrb( ) net=newrb(X,T,goal,spread)
式中，X为输入向量；T 为目标向量；goal为目标
均方差，默认为0；spread为径向基函数的分布系
数（宽度），默认为1；net为生成的网络。利用函数 newrb( ) 建立的径向基网络，能够
f ( x) x
工具箱函数purelin（）
RBF网络的结构
隐层神经元（也称RBF节点）
乘积距离
径向基传输函数
偏置值
隐层神经元（也称RBF节点）矢量间的距离 dist(w,p)
w p
(w p )
i i
2
w 为 RBF 神经元的权值向量，也称为 RBF 神经元的中心向量，其维数与输入向量维数相同； p 为输入向量。
RBF传输函数的净输入
net w p b
权值向量W与输入向量p之间的向量距离乘以偏值b。
隐层神经元（也称RBF节点）径向基传输函数
传输函数采用高斯函数，或者其它象高斯核函数那样的辐射状作用函数。
f ( x) e
Matlab函数

x2 2 2
radbas (neti ) e
RBF网络与BP网络
采用径向基函数网络来完成函数逼近任务，将结果同 BP 网络以及改进 BP 算法的前向网络的训练结果做比较后，发现径向基函数网络所用的时间最短。
但并不等于径向基网络就可以取代其它前馈网络。这是因为径向基网络很可能需要比BP网络多得多的隐含层神经网络元来完成工作。 BP 网络使用 sigmoid( )函数，这样的神经元有很大的输入可见区域。而径向基网络使用的径向基函数，输入空间区域很小。这就导致了在实际需要的输入空间较大时，需要很多的径向基神经元。

径向基神经网络RBF介绍

径向基神经网络RBF介绍径向基神经网络（Radial Basis Function Neural Network，以下简称RBF神经网络）是一种人工神经网络模型。

它以径向基函数为激活函数，具有快速学习速度和较高的逼近能力，被广泛应用于函数逼近、模式识别、时间序列预测等领域。

下面将详细介绍RBF神经网络的基本原理、结构和学习算法。

1.基本原理：RBF神经网络由输入层、隐藏层和输出层组成。

输入层接收外部输入数据，隐藏层由一组径向基函数组成，输出层计算输出值。

其基本原理是通过适当的权值与径向基函数的线性组合，将输入空间映射到高维特征空间，并在该空间中进行线性回归或分类。

RBF神经网络的关键在于选择合适的径向基函数和隐藏层节点的中心点。

2.网络结构：隐藏层是RBF神经网络的核心，它由一组径向基函数组成。

每个径向基函数具有一个中心点和一个半径。

典型的径向基函数有高斯函数和多项式函数。

高斯函数的形式为：φ(x) = exp(-β*，x-c，^2)其中，β为控制函数衰减速度的参数，c为径向基函数的中心点，x为输入向量。

隐藏层的输出由输入向量与每个径向基函数的权值进行加权求和后经过激活函数得到。

输出层通常采用线性激活函数，用于输出预测值。

3.学习算法：RBF神经网络的学习算法包括两个步骤：网络初始化和权值训练。

网络初始化时需要确定隐藏层节点的中心点和半径。

常用的方法有K-means 聚类和最大极大算法。

权值训练阶段的目标是通过输入样本和对应的目标值来调整权值，使得网络的输出尽可能接近目标值。

常用的方法有最小均方误差算法（Least Mean Square，LMS）和最小二乘法。

最小均方误差算法通过梯度下降法修改权值，使网络输出的均方误差最小化。

最小二乘法则通过求解线性方程组得到最优权值。

在训练过程中，需要进行误差反向传播，根据输出误差调整权值。

4.特点与应用：RBF神经网络具有以下特点：-输入输出非线性映射能力强，可以逼近复杂的非线性函数关系；-学习速度较快，只需通过非线性映射学习输出函数，避免了反向传播算法的迭代计算；-具有较好的泛化能力，对噪声和异常数据有一定的鲁棒性。

径向基函数(rbf)

径向基函数(rbf)
径向基函数（radial basis function，简称RBF）是一类基于距
离的函数，在机器学习和统计模型中被广泛使用。

它们的主要方法是
将观测数据空间映射到一个高维特征空间，然后在特征空间中选择一
个合适的核函数，以此来建立模型。

RBF函数主要有三种类型：高斯函数、多次项函数和反函数。

其中高斯函数是RBF中最常见的一种，它可以有效地表示各种距离之间的
相似度，具有很好的非线性特性。

RBF在机器学习领域中的应用非常广泛，尤其是在监督学习算法中。

其中最经典的应用是径向基函数神经网络（radial basis function neural network，简称RBFNN），它是一种三层前向式神经网络，由输入层、隐含层和输出层组成。

RBFNN的隐含层是一组集中的RBF节点，用于对输入数据进行特征提取和非线性映射，而输出层则是一个线性
模型。

RBFS的主要优点是可以处理非线性问题，能够在高维特征空间中
实现有效的决策边界，具有很好的鲁棒性和泛化能力。

此外，RBF也可
以作为一种优秀的插值和拟合方法，用于函数逼近、信号处理和图像处理等领域。

然而，在实际应用中，RBF也存在一些问题。

首先，RBF无法处理参数多样性的问题，需要通过选择合适的核函数和调整参数来解决。

其次，RBF的计算复杂度较高，需要对大量数据进行处理，会导致处理速度慢。

此外，RBF也容易陷入局部极小值和过拟合等问题，需要通过一系列的优化方法来解决。

在未来的研究中，RBF可以通过结合其他机器学习算法和深度学习技术来进一步优化和完善，以实现更高效和准确的模型训练和预测。

径向基函数（RBF）神经网络

径向基函数（RBF）神经⽹络RBF⽹络能够逼近任意的⾮线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能⼒，并有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。

简单说明⼀下为什么RBF⽹络学习收敛得⽐较快。

当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。

由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢。

BP⽹络就是⼀个典型的例⼦。

如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络。

常见的局部逼近⽹络有RBF⽹络、⼩脑模型（CMAC）⽹络、B样条⽹络等。

径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。

样本点总共有P个。

RBF的⽅法是要选择P个基函数，每个基函数对应⼀个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。

||X-X p||表⽰差向量的模，或者叫2范数。

基于为径向基函数的插值函数为：输⼊X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。

可以看到输⼊数据点X p是径向基函数φp的中⼼。

隐藏层的作⽤是把向量从低维m映射到⾼维P，低维线性不可分的情况到⾼维就线性可分了。

将插值条件代⼊：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度⽆关，当Φ可逆时，有。

对于⼀⼤类函数，当输⼊的X各不相同时，Φ就是可逆的。

下⾯的⼏个函数就属于这“⼀⼤类”函数：1）Gauss（⾼斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多⼆次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越⼩，宽度越窄，函数越具有选择性。

完全内插存在⼀些问题：1）插值曲⾯必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经⽹络将拟合出⼀个错误的曲⾯，从⽽使泛化能⼒下降。

径向基函数网络

21
按照RBF神经网络的编程步骤可得到： x=-4:0.08:4; t=1.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2)+0.1*rand(1,101); p_test1=4:0.08:4.32; net=newrb(x,t,0.8,0.7,100); Y=sim(net,p_test1); x1=-4:0.08:4.32; x2=4:0.08:4.32; t1=1.1*(1-x1+2*x1.^2).*exp(-x1.^2/2); t2=1.1*(1-x2+2*x2.^2).*exp(-x2.^2/2); e=Y-t2
• 学习算法需要求解的参数： ➢ 径向基函数的中心 ➢ 方差 ➢ 隐含层到输出层的权值
• 当采用正归化RBF网络结构时，隐节点数即样本数，基函数的数据中心即为样本本身，参数设计只需考虑扩展常数和输出节点的权值。
• 当采用广义RBF网络结构时，RBF网络的学习算法应该解决的问题包括：如何确定网络隐节点数，如何确定各径向基函数的数据中心及扩展常数，以及如何修正输出权值。
•RBF网络是一种单隐层的三层前向网络 • RBF神经网络有两种模型：正规化网络和广义网络 • RBF网络的基本思想
➢ 用RBF作为隐单元的“基”构成隐函数空间，将输入矢量直接映射到隐空间（不需要通过权连接）
➢ 当RBF的中心确定后，映射关系也就确定 ➢ 隐含层空间到输出空间的映射是线性的
RBF网络的工作原理
格式：net=newrb(P,T,g,s) Newrb()可自动增加RBF网络的隐层神经
19
元，直到均方差满足为止。其中P,T,g,s 分别是输入向量，输出向量（目标值）均方差精度和径向基层的散布常数。g和 s的取值直接影响到网络的拟合和泛化能力。用sim函数进行仿真。格式：y=sim(net,P)

径向基函数神经网络课件

小批量梯度下降算法
01
总结词
小批量梯度下降算法是一种折中的方法，每次使用一小批样本来更新模型参数，既保持了计算量小的优点，又提高了模型的稳定性。
02 03
详细描述
小批量梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选择一小批样本来计算损失函数，并使用梯度下降法或其他优化方法来更新模型参数。这种方法可以平衡计算量和训练时间的关系，同时提高模型的稳定性。
径向基函数神经网络课件
目录
• 径向基函数神经网络概述 • 径向基函数神经网络的基本结构 • 径向基函数神经网络的学习算法 • 径向基函数神经网络的优化策略 • 径向基函数神经网络的实现细节 • 径向基函数神经网络的实例展示 • 总结与展望
01
径向基函数神经网络概述
神经网络简介
神经网络的定义
神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型，通过学习样本数据来自动提取特征和规律，并完成分类、回归等任务。
02 03
详细描述
随机梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选择一个样本来计算损失函数，并使用梯度下降法或其他优化方法来更新模型参数。这种方法可以大大减少计算量和训练时间。
优缺点
随机梯度下降算法的优点是计算量小，训练时间短，适用于大规模数据集。但是，由于只使用一个样本进行更新，可能会造成模型训练的不稳定，有时会出现训练效果不佳的情况。
2
输出层的节点数通常与输出数据的维度相等。
3
输出层的激活函数通常采用线性函数或softmax 函数。
训练过程
01
神经网络的训练过程是通过反向传播算法实现的。
02
通过计算损失函数对网络权重的梯度，更新权重以减小损失函数

径向基(RBF)神经网络的介绍及其案例实现

人脸识别

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Contents
1 2
什么是神经网络径向基（RBF）神经网络
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Matlab案例实现

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RBF 神经网络
几种常见的神经网络

Matlab案例实现
%% 清空环境变量 clc clear % 产生训练样本(训练输入，训练输出) % ld为样本例数 ld=100; % 产生2*ld的矩阵 x=rand(2,ld); % 将x转换到[-1.5 1.5]之间 x=(x-0.5)*1.5*2; %% 建立RBF神经网络 % 采用approximate RBF神经网络。spread 为默认值 net=newrb(x,F); % 计算网络输出F值 F=20+x1.^2-10*cos(2*pi*x1)+x2.^210*cos(2*pi*x2); % x的第一列为x1，第二列为x2. x1=x(1,:); x2=x(2,:);
y w1* x1 w2 * x2 w3 * x3 w4 * x4 wi * xi
i 1
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n
RBF 神经网络
RBF神经网络概况：
神经网络基础知识

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RBF 神经网络
60 50 40 30 20 10 0 2 2 0 0 -2 -2

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1000
60 50 40 30 20 10 0 2 2 0 0 -2 -2
60 50 40 30 20 10 0 2 2 0 0 -2 -2
60 50 40 30 20 10 0 2 2 0 0 -2 -2

RBF（径向基）神经网络

RBF（径向基）神经⽹络只要模型是⼀层⼀层的，并使⽤AD/BP算法，就能称作 BP神经⽹络。

RBF 神经⽹络是其中⼀个特例。

本⽂主要包括以下内容：什么是径向基函数RBF神经⽹络RBF神经⽹络的学习问题RBF神经⽹络与BP神经⽹络的区别RBF神经⽹络与SVM的区别为什么⾼斯核函数就是映射到⾼维区间前馈⽹络、递归⽹络和反馈⽹络完全内插法⼀、什么是径向基函数 1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数（RBF）⽅法。

径向基函数是⼀个取值仅仅依赖于离原点距离的实值函数，也就是Φ（x）=Φ(‖x‖),或者还可以是到任意⼀点c的距离，c点称为中⼼点，也就是Φ（x，c）=Φ(‖x-c‖)。

任意⼀个满⾜Φ（x）=Φ(‖x‖)特性的函数Φ都叫做径向基函数，标准的⼀般使⽤欧⽒距离（也叫做欧式径向基函数），尽管其他距离函数也是可以的。

最常⽤的径向基函数是⾼斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中x_c为核函数中⼼,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作⽤范围。

⼆、RBF神经⽹络 RBF神将⽹络是⼀种三层神经⽹络，其包括输⼊层、隐层、输出层。

从输⼊空间到隐层空间的变换是⾮线性的，⽽从隐层空间到输出层空间变换是线性的。

流图如下： RBF⽹络的基本思想是：⽤RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，这样就可以将输⼊⽮量直接映射到隐空间，⽽不需要通过权连接。

当RBF的中⼼点确定以后，这种映射关系也就确定了。

⽽隐含层空间到输出空间的映射是线性的，即⽹络的输出是隐单元输出的线性加权和，此处的权即为⽹络可调参数。

其中，隐含层的作⽤是把向量从低维度的p映射到⾼维度的h，这样低维度线性不可分的情况到⾼维度就可以变得线性可分了，主要就是核函数的思想。

这样，⽹络由输⼊到输出的映射是⾮线性的，⽽⽹络输出对可调参数⽽⾔却⼜是线性的。

⽹络的权就可由线性⽅程组直接解出，从⽽⼤⼤加快学习速度并避免局部极⼩问题。

径向基神经网络学习算法(RBF)

径向基神经网络及其算法
Mezer chen 2018.5.9
RBF简介
1989年，Moody和Darken提出了一种由两个阶段组成的混合学习过程的思路。
①无监督的自组织学习阶段 ②有监督学习阶段
其任务是用自组织聚类方法为隐层节点的径向基函数确定合适的数据中心，并根据各中心之间的距离确定隐节点的扩展常数。一般采用Duda和Hart1973年提出的k-means聚类算法。
其任务是用有监督学习算法训练输出层权值，一般采用梯度法进行训练。
RBF网络的工作原理
RBF网络特点
只有一个隐含层，且隐层神经元与输出层神经元的模型不同。隐层节点激活函数为径向基函数，输出层节点激活函数为线性函数。隐层节点激活函数的净输入是输入向量与节点中心的距离（范数）而非向量内积，且节点中心不可调。隐层节点参数确定后，输出权值可通过解线性方程组得到。隐层节点的非线性变换把线性不可分问题转化为线性可分问题。局部逼近网络（MLP是全局逼近网络)，这意味着逼近一个输入输出映射时，在相同逼近精度要求下，RBF所需的时间要比MLP少。具有唯一最佳逼近的特性，无局部极小。合适的隐层节点数、节点中心和宽度不易确定。
RBF神经网络中心选取
① 从样本输入中选取中心
一般来说，样本密集的地方中心点可以适当多些，样本稀疏的地方中心点可以少些；若数据本身是均匀分布的，
中心点也可以均匀分布。总之，选出的数据中心应具有代
表性。径向基函数的扩展常数是根据数据中心的散布而确定的，为了避免每个径向基函数太尖或太平，一种选择方法是将所有径向基函数的扩展常数设为
d max 2I
② 自组织选取中心法
常采用各种动态聚类算法对数据中心进行自组织选择，在

神经网络设计课件_Ch12_径向基函数(RBF)网络

7
12+
RBF网络实现内插问题
• 内插问题（数值逼近）
– 给定样本数据：{p1, t1} {p2, t 2} {pQ, tQ } – 寻找函数，使之满足：ti F ( Pi ) ，1 i Q
• RBF网络解决内插问题
– – – – 网络隐层使用Ｑ个隐节点把所有Ｑ个样本输入分别作为Ｑ个隐节点的中心各基函数取相同的扩展常数确定权值可解线性方程组：
radbas (t )
radbas (t )
2
1
t2
1 e
2
3. 逆多二次函数：
1 (t 2 2 )
( 0)
δ 称为基函数的扩展常数或宽度，δ 越小，径向基函数的宽度越小，基函数就越有选择性。
3
12+
RBF网络结构（续）
• 网络结构
RBF网络是个三层结构（Ｒ-S1-S2）的前馈网，其中，Ｒ代表输入层并指出输入维数； S1代表由径向基神经元构成的隐层并指出神经元数目； S2是线性输出层。
8
12+
RBF网络实现内插问题（续）
F ( pi ) w j ( pi c j )
j 1 Q
– RBF网络的输出为：
C j Pj 是其中 ()为隐节点的激活函数（ RBF函数）；第 j个隐节点的RBF函数的数据中心。 – RBF网络的结构为：
9
12+
RBF网络实现内插问题（续）
• 交替梯度方法
– 为提高网络的训练效率，将梯度方法分为两阶段，这两个阶段交替进行训练，直到达到要求的精度为止
• 输入层－隐层阶段：固定网络的权值，训练网络的中心和扩展宽度 • 隐层－输出层阶段：固定网络的中心和扩展宽度，训练网络的权值

哈工大智能控制神经网络神经网络系统辨识PPT教案

线性系统差分方程模型（是是1描描）述述差离离分散散方系系程统统的的时时域域模模型型。。
uu((kk)),,yy((kk))是是SSIISSOO 系系统统能能观观测测到到的的确确定定性性输输入入输输出出，，则则确确定定性性系系统统差差分分方方程程：：
yy((kk))++aa11yy((kk 11)) ++ aa22yy((kk 22))++++aannyy((kknn)) bb00uu((kkdd) + b1u(k d 1) + bb22uu((kkdd22))++++bbmmuu(k(kddmm) )
m
n
y(k) biu(k d i) ai y(k i)
i0
i1
或
y(k) qd B(q1) u(k) B(q1) u(k d)
A(q 1 )
A(q 1 )
第一式为 ARMA 模型：
右边第 2 项为输出 y(k)的过去值组合称自回归部分；第 1 项为输入 u(k)的过去值组合称滑动平均部分。
主要内容
系统辨识理论基础神经网络系统辨识原理 NN线性模型辨识 NN非线性模型辨识 NN逆模型辨识
第2页/共70页
系统辨识理论基础
定义：在输入/输出数据基础上，从一组给定模型类中确定一个所测系统等价的模型。辨识三要素：输入/输出数据模型类(系统J 结e 构) 等价准则 e.g.
充分激励原理：输入信号必须激励系统的所有动态；
激励时间充分长；输入信号形式：
白噪声序列(均匀分布，正态分布)；二进制伪随机码(M序列和逆M序列)；
第9页/共70页
系统模型及逆模型辨识

哈工大智能控制神经网络课件第五课径向基函数网络(RBFN)

RBFN——迭代步骤III
第 i 步。确定 qi (1)令 k=1, 候选向量 v k p k r jk q j ，其中 r jk
j 1 i 1
pk , q j q j,q j
，
ˆ (2)计算 g i
vk t vk vk
T
T
，k
ˆ2 T gi vk vk t t
T
；
(3)返回(1), 直至 P 的所有 s 个分量计算结束。 (1)取对应 k 最大的索引，令其为 k * 。最终选取 q i = v k * 。
(4) 重复上述步骤
MATLAB RBFN: RBFN设计函数
RBFN设计和训练合一 net = newrbe(P,T,SPREAD)
对每一个输入样本对应一个RBF神经元； Spread控制RBF形状，^光滑当出现Rank deficient时，应减小spread重新设计
MATLAB RBFN: RBFN设计函数(2)
RBFN——计算方法
P 为方阵且非奇异时有解： w P 1 t
ˆ P 为长方阵(数据远多于未知数个数)，有 w P t 。
根据矩阵的 QR 分解，代入前式，有
t Q R w Q g ，g=Rw
s
或记为 t
q g ，即 t 在一组基 qi 上的分解。
i i i 1
ˆ 同样根据最小二乘法有： g Q Q Q T t 1Q T t 。
[net,tr] = newrb(P,T,GOAL,SPREAD,MN,DF)
自动计算RBF神经元个数； GOAL为最小误差； MN：最大神经元数目；DF：每次递增数
newrb创建过程
以所有样本输入网络，找到误差最大样本；增加一个(或多个)隐含层神经元，中心值c 与该样本向量相同；重新调整w,使误差最小；如果误差满足要求或神经元数量足够多，退出，否则继续上述过程；

径向基(RBF)神经网络的介绍及其案例实现PPT文档共33页

径向基(RBF)神经网络的介绍及其案例实现
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴理荒秽，带月荷锄归。道狭草木长，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿无违。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲Leabharlann ，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
33