[西安电子科大通信原理讲义]07通信原理第七讲(可编辑)

《通信原理》第七讲
§2．4 随机过程通过线性系统
通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会
遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？
v t 等于输入信号v t 与系统的单位冲击响应h t 的卷
线性系统的响应 0 i 积，即
∞
v t v t ?h t v τ h t ?τ dτ（2.4-1 ）
0 i ∫?∞ i
若h t ?H ω
v t ?V ω，v t ?V ω，，则有
0 0 i i
V ωH ωV ω（2.4-2 ）
0 i
若线性系统是物理可实现的，则
t
v t v τh t ?τdτ
（2.4-3 ）
0 ∫?∞ i
或
∞
v t h τv t ?τdτ
（2.4-4 ）
0 ∫0 i
如果把v t 看作是输入随机过程的一个样本，则v t 可看作
是输出随机过
i
程的一个样本。

显然，输入过程ξ t 的每个样本与输出过程ξ t 的
相应样本之
i
间都满足式（2.4-4 ）的关系。

这样，就整个过程而言，便有
∞
ξt h τξt ?τdτ
（2.4-5）
0 ∫0 i
假定输入ξ t 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程ξ
t 的统计特
i
性。

ξ t
一、输出过程 0 的数学期望
∞∞
∞
E [ξ t ] E [ h τ ξ t ?τ dτ ] h τ E [ξ
t ?τ ]dτ a ? h τ dτ
0 ∫0 i ∫0 i ∫0
因为
∞
H ω∫0 h t ej ωt dt
求得
∞
H 0 ∫0 h t dt
所以
E [ξ t ] a ?H 0 （2.4-6）
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数
H 0
的乘积，且E[ξ t ]与t无关。

ξ t
二、输出过程 0 的自相关函数
R t ,t E [ t t ]
+τ ξ ξ +τ
0 1 1 0 1 0 1
[ ∞
∞ ]
E h α ξ t ?α dα h β ξ t
+τ?β dβ
∫ i 1 ∫ i
1
0 0
∞∞
h α h β E [ξ t ?α ξ t
+τ?β ]dαdβ
∫∫ i 1 i 1
0 0
根据平稳性
E [ξ t ?α ξ t +τ?β ] R τ+α?β
i 1 i 1 i
于是
∞∞
R t ,t +τ h α h β R τ+α?β dαdβ
R τ（2.4-7）
0 1 1 ∫∫i 0
0 0
可见, ξ t 的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t 无关。

由以上（1）
1
及（2）证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳。

ξ t
三、输出过程 0 的功率谱密度
∞
P ω R τ e?j ωτdτ
0 ∫?∞ 0
∞∞∞
[ h α h β R τ+α?β dαdβ]e?j ωτdτ
∫∫∫ i ?∞ 0 0
'
令ττ+α?β，。