(完整word版)初一数学七上一元一次方程所有知识点总结和常考题型练习题

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(完整word版)初一数学一元一次方程应用题各类型经典题

初一数学一元一次方程应用题各类型经典题一、行程问题：包括相遇、追击、环形跑道和飞行、航行的速度问题其基本关系是:路程=时间×速度（一)相遇问题的等量关系：甲行距离+乙行距离=总路程(二）追击问题的等量关系：（1）同时不同地：慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离（2）同地不同时：甲行距离=乙行距离或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间（三）环形跑道常用等量关系：（1）同时同向出发:快的走的路程－环行跑道周长=慢的走的路程（第一次相遇）(2)同时反向出发：甲走的路程+乙走的路程=环行周长（第一次相遇）（四)航行问题常用的等量关系:（1）顺水速度=静水速度+水流速度(2)逆水速度=静水速度-水流速度（3）顺速–逆速= 2水速;顺速+ 逆速= 2船速（4）顺水的路程= 逆水的路程例题1、甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每小时走48公里，一列快车从乙站开出，每小时走60公里试问：1)两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？2)两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？3）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间两车才能相遇?4)若两车相向而行，快车先开25分钟,快车开了几小时与慢车相遇？5)两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车可以追上慢车？6)两车同时同向而行（慢车在后面）,几小时后两车相距200公里?例题2、某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是6千米/小时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队,小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶连队，问是否能在规定时间内完成任务？练习：1、小明每天早上要在7:20之前赶到距家1000米的学校上学，一天,小明以80米/分的速度出发，5分后,小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。

问：（1）爸爸追上小明用了多长时间？(2）追上小明时,距离学校还有多远?2、一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟,逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里，求两城之间的距离和无风时飞机的速度?3、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步，如果两人从同一地点背道而行，那么过2分钟他们两人就要相遇。

(完整word版)初中数学知识点全总结(完美打印版)

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

一元一次方程(知识点完整版)

第三章：一元一次方程本章板块⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧程实际问题与一元一次方方程的解解方程等式的基本性质定义一元一次方程.5.4.3.2.1 知识梳理【知识点一：方程的定义】方程：含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数。

题型:判断给出的代数式、等式是否为方程方法：定义法例1、判定下列式子中，哪些是方程？（1）4=+y x (2）2>x （3)642=+（4)92=x (5）211=x【知识点二:一元一次方程的定义】一元一次方程：①只含有一个未知数（元)；②并且未知数的次数都是1（次)； ③这样的整式方程叫做一元一次方程。

题型一：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程方法：定义法例2、判定下列哪些是一元一次方程？0)(22=+-x x x ，712=+x π，0=x ，1=+y x ，31=+xx ，x x 3+,3=a题型二：形如一元一次方程,求参数的值方法：2x 的系数为0；x 的次数等于1；x 的系数不能为0. 例3、如果()051=+-mx m 是关于x 的一元一次方程，求m 的值例4、若方程()05122=+--ax x a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值【知识点三：等式的基本性质】等式的性质1：等式两边都加上（或减去)同个数（或式子)，结果仍相等.即：若a=b ，则a ±c=b ±c等式的性质2:等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即：若b a =，则bc ac =；若b a =，0≠c 且cb c a = 例5、运用等式性质进行的变形,不正确的是（ )A 、如果a=b,那么a —c=b-cB 、如果a=b,那么a+c=b+cC 、如果a=b ，那么cbc a = D 、如果a=b,那么ac=bc 【知识点四：解方程】方程的一般式是：()00≠=+a b ax 题型一：不含参数，求一元一次方程的解例7、解方程284=-练习1、()()()35123452+--=-+-x x x x练习2、14.01.05.06.01.02.0=+--x x 练习3、x =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+221413223题型二：解方程的题中，有相同的含x 的代数式方法:利用整体思想解方程,将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，并求值。

七年级上一元一次方程题型及知识点总结

七年级上一元一次方程题型及知识点总结一元一次方程题型及知识点总结一、知识点1.等式：用“=”号连接而成的式子叫等式。

2.等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。

3.方程：含未知数的等式，叫方程。

4.方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5.移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项。

移项的依据是等式性质1.6.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b 是已知数，且a≠0）。

8.一元一次方程解法的一般步骤：化简方程——分数基本性质去分母——同乘（不漏乘）最简公分母去括号——注意符号变化移项——变号合并同类项——合并后注意符号系数化为1——未知数细数是几就除以几二、典型例题：例1：解下列方程：1) 2x+1=10x+13y-15y+17y+12) x-1=4/-4/1.55x-0.813) (x-3)/(4+11)=2/(3-x)4) 0.5x^2+0.2x-41=2.3x5) 233.0-26.3x=1+(6)-x课堂练1】解方程：1) 3x-2=5x+32) 2x-3/4=1/2-3x/8巩固练：一、选择题1、下列方程中是一元一次方程的是（）A、x-y=2005.B、3x-2004.C、x^2+x=1.D、2=32、方程1-(2x-4)/(x-2)=-7/36去分母得（）A．1-2(2x-4)=-(x-7)B．6-2(2x-4)=-x-7C．6-2(2x-4)=-(x-7)D．以上答案均不对3、代数式x-(x-1)/3的值等于1时，x的值是（）.A）3（B）1（C）-3（D）-14、方程2-(3x-7)/(x^2+17)=4/45去分母得(。

(完整)七年级上册数学《一元一次方程》-知识点整理,推荐文档

一元一次方程知识要点解析一、一元一次方程构成要素：1、是等式；2、含有未知数，且只能是一个；3、未知数的次数有且为“1”(一次整式)，且次数不为“0”；二、一元一次方程的基本形式： ax = b三、一元方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值四、解方程的理论依据：等式的基本性质：性质（1）：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等．用式子形式表示为：如果a＝b，那么a±c=b±c；性质（2）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．用式子形式表示为：如果a=b那么a×c＝b×c，a÷c＝b÷c（c≠0）；五、解一元一次方程的基本步骤：注意：我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤) 地解方程，又要善于认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，随机应变(灵活打乱步骤)解方程，能达到事半功倍的效果。

对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。

解一元一次方程常用的技巧有：1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行 2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母 3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数 4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形六、实际问题与一元一次方程1、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （审题，寻找等量关系） 2）根据数量关系与解题需要设出未知数，建立方程； 3）解方程；4) 检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．并作答2、用一元一次方程解决实际问题的典型类型1）数字问题：①：数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c 则这个三位数表示为：abc ， 10010abc a b c =++（其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9，0≤b ≤9，0≤c ≤9）②：用一个字母表示连续的自然数、奇数、偶数等规律数2）和、差、倍、分问题：关键词是“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率，哪个量比哪个量……”3）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间，注意产品配套问题； 4）行程问题：路程＝速度×时间5）利润问题：商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价商品售价=商品成本价×（1+利润率）6）利息问题：①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的单位时间数叫做期数，利息与本金的比叫做利率．利息的20%付利息税．②利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息，利息税＝利息×税率（20%）．7）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式，注意等积变形； 8）优化方案问题9）浓度问题：溶液×浓度=溶质 10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量 11）年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的12）增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量七、、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）1）建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立方程的思想2）方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.3）化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想.4）数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.5）分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.一元一次方程一、本节学习指导本节我们要掌握一元一次方程的解法，需要多做一些练习题，本节有配套学习视频。

【一元一次方程核心题型50题(完善版)

4、方程的解 4. 【中】（人大附中 2012-2013 学年度第一学期期中初一年级数学练习）若关于 x 的方程 3x 2 k 与方程 2 x k 1 的解相同，则 k ________．【中】（广东模拟）若 x A．0 三、一元一次方程的定义 1、判断方程是否为一元一次方程 6.
25. 【易】（2009 年西安高新一中初一分班数学真卷）小明以 8 折优惠买了一双鞋，省了 20 元，那么他买鞋实际付了________元．
26. 【易】（山东淄博市）家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格 13%的补贴资金．今年 5 月 1 日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机 20 部．已知从甲商场售出的这 20 部手机，国家共发放了 2340 元的补贴，若设该手机的销售价格为 x 元，以下方程正确的是 A． 20x 13% 2340 B． 20x 2340 13% C． 20 x(1 13%) 2340 D． 13% x 2340
23. 【易】（河南郑州市初一上期末）商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折．小明妈妈持贵宾卡买了标价为 10000 元的商品，共节省 2800 元，则她用贵宾卡在八折基础上继续享受________优惠．
24. 【易】（太原市七年级第二次测评）元旦时，某服装店将一件衣服按成本价提高 40% 后标价，又打 8 折卖出，结果这件衣服获利 24 元，这件衣服的成本价是________元
1 x ；④ t 2 3t 2 0 ；⑤ 3x y 3x 5 ； x ⑥ 2 4 6 ；⑦ x 1 2 中，方程有________个，一元一次方程有________（填序号）． 1 是方程 mx 3m 2 0 的根，则 x m 的值为（ m B．1 C． 1 D．2

期末复习重要考点03 《一元一次方程》十大考点题型(热点题型+限时测评)(解析版)-七年级数学上册

（人教版）七年级上册数学期末复习重要考点03《一元一次方程》十大重要考点题型【题型1方程的有关概念】1．（2022秋•新城区校级期末）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④1+2=0；⑤3x﹣2；⑥x﹣y＝0；是方程的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案．【解答】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②2x＞3是不等式，⑤3x﹣2，不是等式，不是方程，故方程有4个，故选：B．【点评】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解此题的关键．2．（2023秋•贵州期末）下列各式中是一元一次方程的是（）A．x+y＝6B．x2+2x＝5C．+1=0D．2+3=0【分析】由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．【解答】解：A．x+y＝6，含有两个未知数，不是一元一次方，不符合题意；B．x2+2x＝5，未知数的次数为2，不是一元一次方，不符合题意；C．+1=0，分母含有未知数，是分式方程，不是一元一次方，不符合题意；D．2+3=0，含有一个未知数，且未知数的次数为1，为整式方程，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．3．（2022秋•古冶区期末）方程：①2x﹣1＝x﹣7，②12=13−1，③2（x+5）＝x﹣4，④23=+2，其中解为x＝﹣6的方程的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别计算各一元一次方程的解，然后判断作答即可．【解答】解：①2x﹣1＝x﹣7，移项合并得，x＝﹣6，符合要求；②12=13−1，去分母得，3x＝2x﹣6，移项合并得，x＝﹣6，符合要求；③2（x+5）＝x﹣4，去括号得，2x+10＝x﹣4，移项合并得，x＝﹣14，不符合要求；④23=+2，去分母得，2x＝3x+6，移项合并得，﹣x＝6，系数化为1得，x＝﹣6，符合要求；综上分析可知，解为x＝﹣6的方程有3个，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于正确的解方程．4．（2022秋•琼海期末）已知方程（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．2B．3C．±3D．﹣3【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，∴m＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．5．（2022秋•花山区期末）当m＝时，方程（m﹣3）x|m﹣2|+m﹣3＝0是一元一次方程．【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此可得结论．【解答】解：∵方程（m﹣3）x|m﹣2|+m﹣3＝0是一元一次方程，∴|m﹣2|＝1，且m﹣3≠0，解得m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．6．（2023秋•曾都区期中）若方程（m2﹣1）x2﹣（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m ﹣1|的值为．【分析】利用一元一次方程的定义，可列出关于m的一元二次方程及一元一次不等式，解之可得出m的值，再将其代入|m﹣1|中，即可求出结论．【解答】解：∵方程（m2﹣1）x2﹣（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，∴2−1=0−(−1)≠0，解得：m＝﹣1，∴|m﹣1|＝|﹣1﹣1|＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．7．（2023春•黄浦区期中）已知：（a +2b ）y 2−13K 13=3是关于y 的一元一次方程．（1）求a 、b 的值；（2）若x ＝a 是方程r26−K12+3＝x −K 3的解，求|a ﹣b ﹣2|﹣|b ﹣m |的值．【分析】（1）先根据一元一次方程的定义列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值即可；（2）把x ＝a 代入方程求出m 的值，再代入代数式求解即可．【解答】解：（1）∵（a +2b ）y 2−13K 13=3是关于y 的一元一次方程，2=0−13=1，解得=4=−2；（2）∵a ＝4，x ＝a 是方程r26−K12+3＝x −K 3的解，∴1−32+3＝4−4−3，解得m =−12，∴|a ﹣b ﹣2|﹣|b ﹣m |＝|4+2﹣2|﹣|﹣2+12|=52．【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．【题型2等式的基本性质】1．（2023秋•洮北区期末）将等式m ＝n 变形错误的是（）A ．m +5＝n +5B ．−7=−7C ．m −12=n −12D ．﹣2m ＝2n【分析】根据等式的性质可得答案．【解答】解：A 、若m ＝n ，则m +5＝n +5，原变形正确，故此选项不符合题意；B 、若m ＝n ，则−7=−7，原变形正确，故此选项不符合题意；C 、若m ＝n ，则m −12=n −12，原变形正确，故此选项不符合题意；D 、若m ＝n ，则﹣2m ＝﹣2n ，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果不变．2．（2022秋•琼海期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A．若x＝y，则x+5＝y+5B．若a＝b，则ac＝bcC．若x＝y，则=D．若=（c≠0），则a＝b【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，此选项正确；B、若a＝b，则ac＝bc，此选项正确；C、若x＝y，当a≠0时=，此选项错误；D、若=（c≠0），则a＝b，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．3．（2023秋•新民市校级月考）下列等式变形不正确的是（）A．由x＝y，得到x+3＝y+3B．由3a＝b，得到2a＝b﹣aC．由m＝n，得到4m＝4n D．由bm＝bn，得到m＝n【分析】根据等式的性质进行判断即可．【解答】解：A．将等式x＝y的两边都加上3得到的仍是等式，即x+3＝y+3，因此选项A不符合题意；B．将3a＝b的两边都减去a得到的仍是等式，即3a﹣a＝b﹣a，也就是2a＝b﹣a，因此选项B不符合题意；C．将m＝n的两边都乘以4仍是等式，即4m＝4n，因此选项C不符合题意；D．将bm＝bn的两边都除以b，当b＝0时就不能得到m＝n，因此选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查等式的性质，理解等式的基本性质是正确判断的关键．4．（2022秋•五华县期末）下列等式变形中，结果正确的是（）A．如果a＝b，那么a﹣m＝b+mB．由﹣3x＝2得x=−32D．如果=，那么a＝b【分析】根据等式性质1对A选项进行判断；根据等式性质2对B、D选项进行判断；根据绝对值的意义对C选项进行判断．【解答】解：A．如果a＝b，那么a﹣m＝b﹣m，所以A选项不符合题意；B．由﹣3x＝2，则x=−23，所以B选项不符合题意；C．如果|a|＝|b|，那么a＝b或a＝﹣b，所以C选项不符合题意；D．如果=，则a＝b，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．也考查了绝对值．5．（2022秋•保亭县期末）下列式子变形中，正确的是（）A．由6+x＝10得x＝10+6B．由3x+5＝4x得3x﹣4x＝﹣5C．由5x＝5得x＝5D．由2（x﹣1）＝3得2x﹣1＝3【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．【解答】解：A．由6+x＝10得x＝10﹣6，故该选项不正确，不符合题意；B．由3x+5＝4x得3x﹣4x＝﹣5，故该选项正确，符合题意；C．由5x＝5得x＝1，故该选项不正确，不符合题意；D．由2（x﹣1）＝3得−1=32，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．6．（2022秋•广平县期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（）B．如果a＝b，那么=（c≠0）C．如果a＝b，那么a+c＝b+cD．如果a＝b，那么a2＝b2【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．故选：C．【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质：等式性质：1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．7．（2022秋•颍州区期末）若a＝b，则下列等式：①﹣a＝﹣b；②2﹣a＝2﹣b；③=；④a2＝b2；⑤=1．其中正确的有．（填序号）【分析】根据等式的基本性质，解答即可．【解答】解：若a＝b，则下列等式：①﹣a＝﹣b；②2﹣a＝2﹣b；③=，当m＝0时，分式不成立；④a2＝b2；⑤=1，当b＝0时，分式不成立其中正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键，【题型3一元一次方程的解法】1．（2023春•蒸湘区校级期末）解方程3=1−K15时，去分母正确的是（）A．5x＝1﹣3（x﹣1）B．x＝1﹣（3x﹣1）C．5x＝15﹣3（x﹣1）D．5x＝3﹣3（x﹣1）【分析】按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．【解答】解：3=1−K15，去分母，方程两边同乘15得：5x＝15﹣3（x﹣1），故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．2．（2022秋•唐县期末）下列解方程的步骤中正确的是（）A．由x﹣5＝7，可得x＝7﹣5B．由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝xC．由16x＝﹣1，可得x=−16D．由K12=4−3，可得2（x﹣1）＝x﹣3【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、由x﹣5＝7，可得x＝7+5，不符合题意；B、由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝x，符合题意；C、由16x＝﹣1，可得x＝﹣6，不符合题意；D、由K12=4−3，可得2（x﹣1）＝x﹣12，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2022秋•广州期末）将方程0.3=1+1.2−0.30.2中分母化为整数，正确的是（）A．103=10+12−32B．3=10+1.2−0.30.2C．103=1+12−32D．3=1+1.2−0.32【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：103=1+12−32．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．4．（2022秋•丹阳市期末）关于x的一元一次方程2021−2022=2023的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程K20212021+2023(2021−p=2022的解为．【分析】将关于y的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到y﹣2021＝2，进而可得y 的值．【解答】解：将关于y的一元一次方程K20212021+2023(2021−p=2022变形为K20212021−2022=2023(−2021)，∵关于x的一元一次方程2021−2022=2023的解为x＝2，∴y﹣2021＝2，∴y＝2023，故答案为：2023．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．5．（2022秋•张湾区期末）解方程：（1）1−2K16=2r13；（2）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x﹣1）．【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；（2）方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去分母得：6﹣（2x﹣1）＝2（2x+1），去括号得：6﹣2x+1＝4x+2，移项合并得：﹣6x＝﹣5，解得：=56；（2）去括号得：3x﹣7x+7＝3﹣2x+2，移项合并得：﹣2x＝﹣2，解得：x＝1．【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．6．（2023秋•鼓楼区校级月考）解方程：（1）4x+1＝﹣5x+10；（2）K12=r76+1．【分析】（1）直接移项、合并同类项，进而解方程得出答案；（2）直接去分母，再移项、合并同类项，进而解方程得出答案．【解答】解：（1）4x+1＝﹣5x+104x+5x＝10﹣1，合并同类项得：9x＝9，解得：x＝1；（2）K12=r76+1去分母得：6（x﹣1）＝2（x+7）+12，去括号得：6x﹣6＝2x+14+12，移项、合并同类项得：4x＝32，解得：x＝8．【点评】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．7．（2023秋•姑苏区校级月考）解方程：（1）2（x+3）＝5x；（2）K30.5−r40.2=1.6．【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．【解答】解：（1）2（x+3）＝5x，去括号得：2x+6＝5x，移项合并同类项得：﹣3x＝﹣6，系数化为1得：x＝2；（2）K30.5−r40.2=1.6，化简得：10K305−10r402=1.6，2x﹣6﹣5x﹣20＝1.6，移项合并同类项得：﹣3x＝27.6，系数化为1得：x＝﹣9.2．【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．8．（2022秋•中宁县期末）解方程：2K15−r12=1解：去分母，得2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10……①去括号，得4x﹣2﹣5x+5＝10……②移项，合并同类项，得﹣x＝13……③系数化为1，得x＝﹣13……④（1）步骤①去分母的依据是；（2）上面计算步骤出错的是第步，错误的原因是；（3）请你写出这个方程正确的解法．【分析】（1）利用等式的基本性质判断即可；（2）找出出错的步骤，分析其原因即可；（3）写出正确的解答过程即可．【解答】解：（1）步骤①去分母的依据是等式的基本性质；故答案为：等式的基本性质；（2）上面计算步骤出错的是第二步，错误的原因是去第二个括号时，括号中第二项没有变号；故答案为：二，去第二个括号时，括号中第二项没有变号；（3）去分母得：2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10，去括号得：4x﹣2﹣5x﹣5＝10，移项得：4x﹣5x＝10+2+5，合并同类项得：﹣x＝17，解得：x＝﹣17．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．【题型4方程解中的遮挡问题】1．有一方程＝﹣1，其中一个数字被污渍盖住了．已知该方程的解为x＝﹣1，那么处的数字应是（）A．5B．﹣5C．12D．−12【分析】根据方程的解的定义（使得方程成立的未知数的值）解决此题．【解答】解：设处的数字是a．∴2−3=−1．∴a＝5．故选：A．【点评】本题主要考查方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解决本题的关键．2．（2023秋•洮北区期末）方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（）A．1B．2C．3D．4【分析】把x＝5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字．【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，解得：★＝1，即★处的数字是1，故选：A．【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．3．（2022秋•太原期末）方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是．【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．【解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，解得▲＝2．故答案为：2．【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2022秋•馆陶县期末）方程5y﹣7＝2y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣1．这个常数应是（）A．10B．4C．﹣4D．﹣10【分析】将y＝﹣1代入方程计算可求解这个常数．【解答】解：将y＝﹣1代入方程5y﹣7＝2y﹣中，5×（﹣1）﹣7＝2×（﹣1）﹣，解得＝10，故选：A．【点评】本题主要考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是解题的关键．5．（2022秋•隆化县期末）小马虎在做作业，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是x＝9．请问这个被污染的常数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】设被污染的数字为y，将x＝9代入，得到关于y的方程，从而可求得y的值．【解答】解：设被污染的数字为y．将x＝9代入得：2×6﹣y＝10．解得：y＝2．故选：B．【点评】本题主要考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法，掌握方程的解得定义是解题的关键．6．（2022秋•临猗县期末）小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y−12=12y﹣■，怎么办呢？小明想了一想，便翻了书后的答案，此方程的解为y＝3，他很快便补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（）A．﹣2B．3C．﹣4D．5【分析】设这个常数为x，已知此方程的解是y＝3，将之代入二元一次方程2y−12=12y﹣x，即可得这个常数的值．【解答】解：能，设被污染的常数为a，则2y−12=12y﹣a，∵此方程的解是y＝3，∴将此解代入方程，方程成立，∴2×3−12=12×3﹣a，解得a＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及它的解的意义．知道一元一次方程的解，求方程中的常数项，可把方程的解代入方程求得常数项的值．（把■作为一个未知数来看即可）．7．（2022秋•威县期末）嘉淇在解关于x的一元二次方程2K13+■=r34时，发现常数■被污染了；（1）嘉淇猜■是﹣1，请解一元一次方程2K13−1=r34．（2）老师告诉嘉淇这个方程的解为x＝﹣7，求被污染的常数．【分析】（1）利用去分母，移项，合并同类项，系数化1，可得答案；（2）设被污染的正整数为m，则有2×(−7)−13+=−7+34，求解可得答案．【解答】解：（1）2K13−1=r34，去分母得：4（2x﹣1）﹣12＝3（x+3），去括号得：8x﹣4﹣12＝3x+9，移项合并得：5x＝25，系数化为1得：x＝5；（2）设“■”的常数为m，由于x＝﹣7是方程的解，则2×(−7)−13+=−7+34，解之得，m＝4，所以被污染的常数是4．【点评】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．8．（2022春•西峡县期中）同学们在做解方程的练习时，卷子上有一个方程“2x−12=18x+□”中“□”没印清晰，小梅问老师，老师只说：“□是一个常数；该方程的解与当y＝3时代数式5（y﹣1）﹣2（y﹣2）﹣4的值相同”．聪明的小梅很快补上了这个常数．求小梅补上的这个常数是多少？【分析】把y＝3代入代数式5（y﹣1）﹣2（y﹣2）﹣4中进行计算，然后设小梅补上的这个常数是a，再把x＝4代入2x−12=18x+a中得：2×4−12=18×4+a，最后进行计算即可解答．【解答】解：当y＝3时，5（y﹣1）﹣2（y﹣2）﹣4＝5×（3﹣1）﹣2×（3﹣2）﹣4＝5×2﹣2×1﹣4＝10﹣2﹣4＝4，设小梅补上的这个常数是a，由题意得：把x＝4代入2x−12=18x+a中得：2×4−12=18×4+a，8−12=12+a，a＝8−12−12=7，∴小梅补上的这个常数是7．【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的意义是解题的关键．【题型5求一元一次方程含参问题】1．（2022秋•洪山区校级期末）已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝2，则a的值为（）A．a＝3B．a＝1C．a＝2D．a＝﹣1【分析】将x＝2代入原方程即可求出答案．【解答】解：将x＝2代入2x+a﹣5＝0，∴2×2+a﹣5＝0，∴a＝1，故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是将x＝2代入原方程，本题属于基础题型．2．（2022秋•庆阳期末）小磊在解关于x的方程r43−r4=2时，求得的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．5【分析】把x＝﹣1代入方程r43−r4=2，解关于k的方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程r43−r4=2得，−1+43−−1+4=2，方程两边都乘以12得，4（﹣1+4）﹣3（﹣1+k）＝24，解得：k＝﹣3，故选：B．【点评】此题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．（2022春•镇平县期中）若关于x的方程3（x+4）＝2a+5的解大于关于x的方程(4r1)4=o3K4)3的解，试确定a的取值范围．【分析】先求出两个方程的解，即可得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵3（x+4）＝2a+5，∴x=2K73，∵(4r1)4=o3K4)3，∴x=−163a，∴2K73＞−163a，解得a＞718．【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键．4．（2023秋•椒江区校级期中）若不论k取什么实数，关于x的方程2B+3=2+KB6（m，n是常数）的解总是x＝1，求m+n的值．【分析】把x＝1代入方程计算，求出m与n的值，即可求出m+n的值．【解答】解：把x＝1代入方程得：2r3=2+1−B6，去分母得：2（2k+m）＝12+1﹣nk，整理得：（4+n）k＝13﹣2m，∵不论k取什么实数，关于x的方程2B+3=2+KB6（m，n是常数）的解总是x＝1，∴4+n＝0，13﹣2m＝0，解得：n＝﹣4，m＝6.5，则m+n＝2.5．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．（2022秋•秦都区校级期末）若方程2（3x+1）＝1+2x的解与关于x的方程6−23=2（x+3）的解互为倒数，求k的值．【分析】解方程2（3x+1）＝1+2x得出x的值，根据方程的解互为倒数知另一方程的解，代入可得关于k的方程，解之可得．【解答】解：2（3x+1）＝1+2x，去括号，得6x+2＝1+2x，移项、合并同类项，得4x＝﹣1，化系数为1，得=−14．∵−14的倒数是﹣4，∴将x＝﹣4代入方程6−23=2(+3)，则6−23=−2，∴6﹣2k＝﹣6．解得k＝6．【点评】本题考查了方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．解题的关键是正确解一元一次方程．6．（2022秋•游仙区校级月考）如果关于x的方程2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解互为相反数，求2a2﹣a的值．【分析】求出第一个方程的解，根据两方程解互为相反数得出关于a的一元一次方程，求出a的值，然后代入2a2﹣a计算即可．【解答】解：解方程2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2），得x＝10，∵关于x的方程2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解互为相反数，∴方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝﹣10，把x＝﹣10代入得，﹣40﹣（3a+1）＝﹣60+2a﹣1，解得，a＝4，∴2a2﹣a＝2×42﹣4＝2×16﹣4＝32﹣4＝28．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．7．（2022秋•如东县期中）已知关于x的方程12（1﹣x）＝1﹣k的解与3r4−5K18=1的解相同，求k的值．【分析】根据同解方程的定义可得出关于x与k的方程组，再求解即可．【解答】解：∵关于x的方程12（1﹣x）＝1﹣k的解与3r4−5K18=1的解相同，∴x＝2k﹣1，把x＝2k﹣1代入3r4−5K18=1，得2k﹣1+2k＝7，解得k＝2，∴k的值为2．【点评】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出k的值是解题的关键．8．（2022秋•石景山区校级期末）已知关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，求a的值．【分析】分别解出关于x的方程12x﹣a＝0的解和方程a+8x＝2+4x的解，然后根据已知条件“关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由方程12x﹣a＝0，得x=12，由方程a+8x＝2+4x，得x=2−4，又∵关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，∴12−2−4=1，去分母，得a﹣3（2﹣a）＝12，去括号，得a﹣6+3a＝12，移项，得a+3a＝6+12，合并同类项，得4a＝18，化系数为1，得a＝4.5．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【题型6利用一元一次方程解决错解问题】1．（2023春•叙州区期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为．【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．2．（2022秋•献县期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为．【分析】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程的解即可．【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x ＝3，∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，解得：a＝3，即原方程为6﹣5x＝21，解得x＝﹣3．故答案为：x＝﹣3．【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．（2022秋•陇县期末）小明在解方程2K13=r3−1去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程的解为（）A．x＝0B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x﹣1＝x+a ﹣1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方程即可求得方程的解．【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，解得：a＝2，代入原方程，得：2K13=r23−1，去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，移项、合并同类项，得：x＝0，故选：A．【点评】此题考查了一元一次方程的解法以及方程的解的定义．熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键．4．（2023秋•道里区校级期中）某同学在解方程2K13=r2−1去分母时，方程右边的﹣1没有乘以6，因而求得方程的解为x＝2，求a的值和方程正确的解．【分析】把x＝2代入看错的方程求出a的值，确定出所求方程，求出解即可．【解答】解：把x＝2代入4x﹣2＝3x+3a﹣1得：a=13，∴原方程为2K13=r132−1，去分母得2（2x﹣1）＝3（x+13）﹣6，去括号得4x﹣2＝3x+1﹣6，移项得4x﹣3x＝1+2﹣6，合并同类项得x＝﹣3．【点评】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2022秋•丰顺县校级月考）（1）已知关于x的方程2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解与方程2x+3＝﹣1的解互为倒数，求a2020的值．（2）小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣21时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣3，求a的值和原方程的解．【分析】（1）根据方程的解互为倒数，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据乘方的性质，可得答案；（2）根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵2x+3＝﹣1，∴x＝﹣2，∵方程2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解与方程2x+3＝﹣1的解互为倒数，∴2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解为−12，∴2(−12−1)=−3−6，解得，a＝﹣1，∴a2020＝（﹣1）2020＝1．（2）由题意得2x+ax＝﹣21，x＝﹣3为此方程的解，∴﹣6﹣3a＝﹣21，∴a＝5，∴原方程为2x＝5x﹣21，∴x＝7，原方程的解是7．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．6．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值；（2）把a的值代入方程，然后解方程求解；（3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解．【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15，解得：a＝3；（2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15，解得：x＝﹣3；（3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5，则27m+3n＝4，当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键．【题型7一元一次方程的整数解问题】1．（2023秋•西城区校级期中）若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（）A．2B．4C．0或2D．2或4【分析】先求出方程的解，再根据关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数和k为整数得出k﹣1＝1或k﹣1＝3，再求出k即可．【解答】解：解方程kx＝x+3得：x=3K1，∵关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，k为整数，∴k﹣1＝1或k﹣1＝3，∴k＝2或4．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出关于k的方程是解此题的关键．2．（2022秋•南充期末）已知a为自然数，关于x的一元一次方程6x＝ax+6的解也是自然数，则满足条件的自然数a共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】解此题可先将一元一次方程进行移项、合并同类项等转换，得出x的解，再根据题意判断a的值．【解答】解：6x＝ax+6，6x﹣ax＝6，（6﹣a）x＝6，x=66−，因为x和a均为自然数，所以6﹣a可以被6整除，且6﹣a不等于0，分解质因数得6＝1×2×3，所以6﹣a只可能等于1、2、3、6，即a可能等于5、4、3、0，故只有选项B符合题意，故选：B．【点评】此题考查了自然数的定义，以及一元一次方程的解法，熟练掌握即可解答．3．（2022秋•九龙坡区校级期末）若关于x的方程−2−B6=r13的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为（）A．﹣5B．﹣16C．﹣24D．18【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可．【解答】解：解方程−2−B6=r13，得：=44+，根据题意可知=44+为整数，m是整数，当m的值为0，﹣2，﹣3，﹣5，﹣6，﹣8时，44+为整数，∴0+（﹣2）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣6）+（﹣8）＝﹣24，故选：C．【点评】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键．4．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知关于x的方程a（x+1）＝a﹣2（x﹣2）的解都是正整数，则整数a 的所有可能的取值的积为（）A．﹣12B．1C．8D．0【分析】根据一元一次方程的解法求出x的表达式，然后根据题该方程的解都是正整数即可求出a的值．【解答】解：a（x+1）＝a﹣2（x﹣2），ax+a＝a﹣2x+4，ax＝﹣2x+4，（a+2）x＝4，由于x是正整数，故a+2＝1或2或4，。

2021-2022学年初一数学：一元一次方程知识点总结+典型例题

初一数学：一元一次方程知识点总结+典型例题+真题演练一、等式和方程的概念1．等式：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．【例】1+2=3，x +1=5，a b c mxy n ++=+，s ab =都是等式．2．等式的分类：（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式；（2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式；（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式．【例】①x x x 2=3+，3=3都是恒等式；②x +5=6是条件等式；③3=2，1+2=5，x x +1=-1都是矛盾等式． 3．等式的性质：（1）若a b =，则a c b c ±=±．等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式．（2）若a b =，则ac bc =；若a b =且0c ≠，则a bc c=．等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式．（3）对称性：若a b =，则b a =．（4）传递性：若a b =，b c =，则a c =． 4．方程：含有未知数的等式，叫做方程．注意：①方程中必须含有未知数；②方程是等式，但等式不一定是方程，例如1+2=3是等式而不是方程．【例】①x 2+1=3、x 2=9、x1=6都是方程；②x +1>2、1+2=3、y ≠6不是方程． 5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．【例】x =4是x +1=5的解． 6．解方程：求方程的解的过程．【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．二、一元一次方程的概念和解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．2．一元一次方程的判断：Step1：不化简，看是否是整式方程；Step2：化简，看是否满足()ax b a +=0≠0．【例】x 2+3=5，x =3，x x 3+2=5-1，x x x 22+2+1=-6都是一元一次方程；x +1>2、x 2+1=9、x x1+=1、x x 2+1=2+2都不是一元一次方程．3．一元一次方程的两种形式：最简形式：方程()ax b a =≠0的形式叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程()ax b a +=0≠0的形式叫一元一次方程的标准形式．【例】x 3=5，x 2=7是一元一次方程的最简形式；x 2+1=0，x -4=0是一元一次方程的标准形式．4．解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.【例】解方程()xx +1-=22解：去分母，得：()x x +21-=4去括号，得：x x +2-2=4 移项，得：x x -2=4-2 合并同类项，得：x -=2 系数化为1，得：x =-2．下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．①x 4-3； ②1+5+7=13； ③y 1-7=22； ④x x 2=3+1； ⑤.≈314π；⑥x y +=5； ⑦a b 2+>0； ⑧x x 7+1=7-1； ⑨y 6-4； ⑩x x 22=．（1）若ma mb =，那么下列等式不一定成立的是（）.A ．ma mb -6=-6B ．a b =C ．ma mb 11-=-22D ．ma mb +8=+8（2）下列判断错误的是（）A ．若a b =，则ac bc -3=-3B ．若a b =，则a bc c 22=+1+1C ．若x =2，则x x 2=2D ．若x x 2=2，则x =2（3）给出下列等式：①若a b =，则ac bc =；②若ac bc =，则a b =；③若a b =，则a b x x 22=+1+1，④如果a b 3=2+5，那么a b 25=+33．其中正确的有________．下列式子：①x x 3+2=5-1；②213⎛⎫-+=1 ⎪24⎝⎭；③x 2+35≤；④y y 2-1=2；⑤x y 2+7=365，其中是方程的是___________．（填序号）（1）下列等式：①x x +4=4+；②x1=2；③x x -4=4-；④()x x x x 2+=+2+3；⑤||x 2=3．其中是一元一次方程的有________．例题1例题2例题3例题4（2）若k kx k 3-2+2=3是关于x 的一元一次方程，则k =_______．（3）若方程||()a a x -1-2+3=0是关于x 的一元一次方程，则a =__________．（4）若方程()m x mx x 22-1-+8=是关于x 的一元一次方程，则代数式||m m 2006--1的值为（）A ．1或-1B ．1C ．-1D ．2（1）若x =2是方程x x a 3-4=-2的解，则a a201120111+的值是_________．（2）如果关于x 的一元一次方程()||m x m +2-4+8=0的解是x =0，则m 的值______．（3）如果方程||()m m x m n -1=+2是关于x 的一元一次方程，且x n =是它的解，则n m -=______．解方程：（1）()()x x x 3-2+1=-2-1（2）()()x x x 3-7-1=3-2+3（3）x x 2+15-1-=136（4）x x 1-4-1=-123（5）225353x x x ---=-（6）()()x x x 112⎡⎤+1-=+1⎢⎥233⎣⎦例题5例题6解方程：（1）..x x 4-15-2=305（2）......x x x 04+09003+002-5-=050032（3）....x x 2-03+04-=10503y ⎧⎫11⎡11⎤⎛⎫-3-3-3=1⎨⎬ ⎪⎢⎥2222⎝⎭⎣⎦⎩⎭例题7 例题8真题演练一．选择题（共16小题）1．（2021•株洲）方程﹣1＝2的解是（）A．x＝2B．x＝3C．x＝5D．x＝6 2．（2019•南充）关于x的一元一次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（）A．9B．8C．5D．4 3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 4．（2020秋•海淀区校级期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（）A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2B．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5C．若3a＝2b，则D．若3a＝2b，则9a＝4b5．（2021春•射洪市期末）下列等式变形正确的是（）A．由a＝b，得4+a＝4﹣b B．如果2x＝3y，那么C．由mx＝my，得x＝y D．如果3a＝6b﹣1，那么a＝2b﹣16．（2021春•卧龙区期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2，则方程正确的解是（）A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．D．7．（2020秋•海淀区校级期末）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1D．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝38．（2021•杭州）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（）A．60.5（1﹣x）＝25B．25（1﹣x）＝60.5C．60.5（1+x）＝25D．25（1+x）＝60.59．（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝7210．（2021•武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（）A．8（x﹣3）＝7（x+4）B．8x+3＝7x﹣4C．＝D．＝11．（2021•南充）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）A．10x+5（x﹣1）＝70B．10x+5（x+1）＝70C．10（x﹣1）+5x＝70D．10（x+1）+5x＝7012．（2021•绵阳）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（）A．60件B．66件C．68件D．72件13．（2021•吉林）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．若设这个数是x，则所列方程为（）A．x+x+x＝33B．x+x+x＝33C．x+x+x+x＝33D．x+x+x﹣x＝33 14．（2021•牡丹江）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（）A．不盈不亏B．盈利20元C．盈利10元D．亏损20元15．（2021春•新蔡县期末）已知k为整数，关于x的方程（k+2）x＝3有正整数解，则满足条件的k的值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数多个16．（2021春•灌云县期末）如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为（）A．63B．72C．99D．110二．填空题（共10小题）17．（2021•重庆）若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为．18．（2019•济南）代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝．19．（2019•呼和浩特）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为．20．（2021春•兴隆县期末）鸡和兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，则鸡有．21．（2021•大连）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为．22．（2021•扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马天追上慢马．23．（2021•烟台）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为．24．（2021•陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为．25．（2021春•盐池县期末）定义一种新的运算：a☆b＝2a﹣b，例如：3☆（﹣1）＝2×3﹣（﹣1）＝7，那么若（﹣2）☆b＝﹣16，那么b＝．26．（2021春•宛城区期末）“从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需4小时即可到达．”三位同学根据题意，分别获得如下数量关系：①设汽车原来的速度为x千米/小时，则7x﹣30＝4（x+30）；②设甲、乙两地之间的高速公路的路程为y千米，则﹣30＝；③设甲、乙两地之间的普通公路的路程为s千米，则＝﹣30．你认为其中正确的数量关系序号为．三．解答题（共14小题）27．（2021•广元）解方程：+＝4．28．（2020•凉山州）解方程：x﹣＝1+．29．（2021春•沐川县期末）解方程：．30．（2021春•淮阳区校级期末）解方程：﹣1＝．31．（2020•杭州）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．32．（2021春•曹县期末）某天，信美超市用360元钱按批发价从水果批发市场购买了苹果和香蕉共200kg，然后按零售价出售，苹果和香蕉当天的批发价和零售价如下表所示：品名苹果香蕉批发价（单位：元/kg） 2.0 1.5零售价（单位：元/kg） 2.4 1.8（1）这一天该超市购买苹果和香蕉各多少kg？（2）如果苹果和香蕉全部以零售价售出，该超市当天卖这些苹果和香蕉共赚了多少钱？33．（2021•台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．34．（2021•陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．35．（2021春•闵行区期末）甲、乙两人从相距42千米的两地同时相向出发，3小时30分钟后相遇．如果乙先出发6小时，那么在甲出发1小时后与乙相遇，求甲、乙两人的速度．36．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？37．（2021•桂林）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？38．（2021春•玉屏县期末）某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元，问：（1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？39．（2019•黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？40．（2021春•香坊区校级期末）如图，在数轴上有A、B两点，点C是线段AB的中点，AB ＝12，OA＝8．（1）求点C所表示的数；（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，沿着数轴的正方向运动，点P、Q的运动速度分别是每秒3个单位和每秒2个单位（当P与Q相遇，运动停止），点M是线段PQ的中点，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示CM的长；（3）在（2）的条件下，试问t为何值时，CM＝PC．。

七年级上期末复习《第三章一元一次方程》知识点+易错题(含答案)

2019年七年级数学上册期末复习一元一次方程知识点+易错题一元一次方程知识点总结一、等式与方程1．等式：（1）定义：含有等号的式子叫做等式．（2）性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变．若a b=那么a c b c+=+②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．若a b=那么有ac bc=或a c b c÷=÷（0c≠）③对称性：若a b=，则b a=．④传递性：若a b=，b c=则a c=．（3）拓展：①等式两边取相反数，结果仍相等．如果a b=，那么a b-=-②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．如果0a b=≠，那么11 a b =③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．2．方程：（1）定义：含有未知数的等式叫做方程．（2）说明：①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可．②未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以．未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程．一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似．指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数．未知数次数最高是几就叫几次方程．④方程有整式方程和分式方程．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．二、一元一次方程1．一元一次方程的概念：（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．（2）一般形式：0ax b+=（a，b为常数，x为未知数，且0a≠）．（3）注意：①该方程为整式方程．②该方程有且只含有一个未知数．③该方程中未知数的最高次数是1．④化简后未知数的系数不为0．如：212x x-=，它不是一元一次方程．⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如13xx+=，它不是一元一次方程．2．一元一次方程的解法：（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“?x=”的形式．（2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程．（3）移项：①定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项．②说明：Ⅰ移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变．Ⅱ移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①．Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：①去分母——等式的性质②②去括号——分配律③移项——等式的性质①④合并——合并同类项法则⑤系数化为1——等式的性质②⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）（5）一般方法：①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数．②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律．③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号．（一般都是把未知数移到一起）④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为ax b=（0a≠）的形式．⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数．⑥检验，用代入法，在草稿纸上算．（6）注意：（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算．（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同．分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变．3．一元一次方程的应用：（1）解决实际应用题的策略：①审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量．③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．（2）分析问题方法：①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系（3）设未知量方法：一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程．①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量．（4）找等量关系的方法：“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系．①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系．②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等．这些常见的基本数量关系，就是等量关系）③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系．④借助线段图确定等量关系。

人教版七年级数学上册第五章一元一次方程知识归纳与题型突破(单元复习 8类题型清单)

1第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④3120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①12x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x--+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．巩固训练1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =巩固训练1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c +=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a bc c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b =B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=题型六解一元一次方程巩固训练题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+题型八用一元一次方程解决实际问题例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同．(1)求具体应先安排多少人工作？(2)在增加5人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？(3)若该车间有10台A型和11台B型机器可以生产这种产品，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，且每箱装的产品数相同．某天有6台A型机器和m台B型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满29箱．若能，请计算出m的值；若不能，请说明理由．巩固训练1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？(2)小亮家—年缴纳水费1180元，则小亮家这一年用水多少立方米？(3)小红家去年和今年共用水520立方米，共缴纳水费2950元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小红家今年和去年各用水多少立方米？第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定．【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意；②是一元二次方程，不符合题意；③是一元一次方程，符合题意；④是分式方程，不符合题意；⑤是代数式，不是方程，不符合题意．故选：A ．巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①2x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．【答案】2【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到11m -=，求出m 即可．【详解】解：根据题意得：11m -=，解得：2m =，故答案为：2．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x --+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．故答案为：13．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．【答案】1或0【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有3种情况，分别讨论①当0m ≠且10m -≠时，②当0m =且10m -≠时，③当10m -=时是否满足该方程为一元一次方程即可．【详解】解：关于x 的方程()21120m mxm x -+--=是一元一次方程，可考虑三种情况，①当0m ≠且10m -≠时，即0m ≠且1m ≠，则211m -=，解得：1m =，此时1m ≠，故排除；②当0m =且10m -≠时，即0m =且1m ≠，∴0m =，符合条件；③当10m -=即1m =时，211m -=，符合条件；综上：m 的值为1或0，故答案为：1或0．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．【答案】2【知识点】方程的解【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．将3x =代入原方程，可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值．【详解】解：将3x =代入原方程得326a a -=-+，解得：2a =，∴a 的值为2．故答案为：2．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．【答案】3x =【知识点】方程的解【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可．【详解】根据题意可得，当3x =时，8ax b +=∴关于x 的方程8ax b +=的解是3x =．故答案为：3x =．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．【答案】21x x =-+【知识点】列方程【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x 的2倍为2x ，相反数为x -，据此根据题意列出方程即可．【详解】解：由题意得，21x x =-+，故答案为：21x x =-+．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．【答案】()3229x x -=+【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得：()3229x x -=+．故答案为：()3229x x -=+．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．【答案】()7791x x +=-【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．【详解】解：每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，∴客人可表示为()77x +个，也可表示为()91x -个，()7791x x ∴+=-，故答案为：()7791x x +=-．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =【答案】B1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c+=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a b c c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b=B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=【答案】A【知识点】等式的性质【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．【详解】解：由图形可得如果a c b c +=+，那么a b =，故选：A ．题型六解一元一次方程例题1：解方程：(1)25433x x -=-；(2)576132x x -=-+.【答案】(1)35x =(2)415x =【分析】()1方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解；()2方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解．【详解】（1）移项，得24353x x -+=-，合并同类项，得1023x -=-，系数化为1，得35x =．（2）移项，得756123x x -+=-，合并同类项，得5223x -=-，系数化为1，得415x =．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：解方程：(1)5(1)2(31)41---=-x x x ；(2)23(1)12(10.5)-+=-+x x ．题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+【答案】(1)③④①②(2)3x=-题型八用一元一次方程解决实际问题1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．答：小红家去年和今年用水分别为245立方米、275立方米．。

七年级数学上册一元一次方程知识点及经典例题

一元一次方程知识点与经典题型一、知识网络二、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。

【精选】人教版七年级上册数学第三章《一元一次方程》知识点+典型例题

【精选】人教版七年级上册数学第三章《一元一次方程》知识点+典型例题知识点、概念总结1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。

3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件：(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数最高次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.4.等式的性质：等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。

等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。

5.合并同类项(1)依据：乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项(3)合并时次数不变，只是系数相加减。

6.移项(1)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。

(2)依据：等式的性质(3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。

7.一元一次方程解法的一般步骤：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一般解法：(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号(4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.8.同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

9.方程的同解原理：(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

七年级一元一次方程知识点

七年级一元一次方程知识点一、目录1、从问题到方程2、一元一次方程的解法3、用一元一次方程解决实际问题教学目标：（a ）了解一元一次方程的定义（b ）运用一元一次方程的解法（c ）掌握用一元一次方程解决实际问题二、知识点结构梳理及例题一元一次方程1.方程：含有未知数的等式叫做方程。

2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。

3.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程可以化为ax+b=0（a ≠0）的形式,分母中不能含有未知数。

4.求方程的解叫做解方程定义类：1、如果 x 3n-2-6=0是一元一次方程,则n=_____________.2、下面的等式中,是一元一次方程的为（）A ．3x ＋2y ＝0B ．3＋m ＝10C ．2＋x1＝x D ．a 2＝16 3、如果（n-3）x n -2+5=0是关于x 的一元一次方程,求n 的值.4、如果关于x 的方程（2m+5）x-3=2x,当a 满足什么条件时,该方程是一元一次方程？5、若2x-17的绝对值与18-3x 的绝对值相等,则得到关于x 的方程为6、一个两位数,两个数位上的数字之和是7,把两个数位上的数字对调后得到新的两位数,比原来的两位数大25,求原来的两位数。

（设出未知数,列出方程）练习：等式的性质（解方程的依据）1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式）,所得结果仍是等式。

如果a=b,那么a ±c=b ±c 。

2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式）,所得结果仍是等式。

如果a=b,那么ac=bc,c a =c b （c ≠0）拓展：①对称性：如果a=b,那么b=a,即等式的左右互换位置,所得的结果仍是等式；②传递性：如果a=b,b=c,那么a=c （等量代换）练习：1．等式的两边都加上（或减去）或 ,结果仍相等．2．等式的两边都乘以 ,或除以的数,结果仍相等．3．下列说法错误的是（）A ．若则B ．若,则C ．若则D ．若则4.下列等式变形错误的是( )A.由a=b 得a+5=b+5;B.由a=b 得99a b =--; C.由x+2=y+2得x=y; D.由-3x=-3y 得x=-y5.运用等式性质进行的变形,正确的是( )A.如果a=b,那么a+c=b-c;B.如果a b c c =,那么a=b;C.如果a=b,那么a b c c =;D.如果a 2=3a,那么a=3 6.如果方程2x+a=x-1的解是x=-4,求3a-2的值是________.7．已知2x=3y （x ≠0）,则下列比例式成立的是（）A B C D4．在下列式子中变形正确的是（）A ．如果a=b,那么a+c=b ﹣cB ．如果a=b,那么C ．如果,那么a=2D ．如果a ﹣b+c=0,那么a=b+c8．下列说法正确的是（） A ．如果ab=ac,那么b=c B ．如果2x=2a ﹣b,那么x=a ﹣b C ．如果a=b,那么 D ．等式两边同时除以a,可得b=c 9．下列叙述错误的是（）A ．等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等B ．等式两边乘以（或除以）同一个数（或式子）,结果仍相等C ．锐角的补角一定是钝角D ．如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等10．下列各式中,变形正确的是（）A ．若a=b,则a ﹣c=b ﹣cB ．若2x=a,则x=a ﹣2C ．若6a=2b,则a=3bD ．若a=b+2,则3a=3b+29．如果a=b,则下列等式不一定成立的是（）A a ﹣c=b ﹣cB a+c=b+cC cb c a D ac=bc11．下列等式变形错误的是（）A ．若a+3=b ﹣1,则a+9=3b ﹣3B ．若2x ﹣6=4y ﹣2,则x ﹣3=2y ﹣1C ．若x 2﹣5=y 2+1,则x 2﹣y 2=6D ．若,则2x=3y12．下列方程变形正确的是（）A ．由方程,得3x ﹣2x ﹣2=6 B ．由方程,得3（x ﹣1）+2x=1 C ．由方程,得2x ﹣1=3﹣6x+3 D ．由方程,得4x ﹣x+1=4 A a+m=b+m B ﹣a=﹣b C ﹣a+1=b ﹣1 D14．下列说法正确的是（）A在等式ax=bx两边都除以x,可得a=bB在等式两边都乘以x,可得a=bC在等式3a=9b两边都除以3,可得a=3D在等式两边都乘以2,可得x=y﹣115．（2013•东阳市模拟）如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a,b,c三种物体的质量判断正确的是（）A a＜c＜bB a＜b＜cC c＜b＜aD b＜a＜c16．已知mx=my,下列结论错误的是（）A． x=y B． a+mx=a+my C． mx﹣y=my﹣y D． amx=amy17．下列变形正确的是（）A．若x2=y2,则x=y B．若axy=a,则xy=1C．若﹣x=8,则x=﹣12 D．若=,则x=y18．如果,那么= _________ ．19．已知2y=5x,则x：y= _________ ．20．已知3a=2b（b≠0）,那么= _________ ．三、解答题：21.利用等式的性质解下列方程并检验:(1)x+3=2 (2)-12x-2=3 (3)9x=8x-6(4)8y=4y+1 (5)7x-6=-5x (6)-35x-1=4;一元一次方程的解法1.移项：把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。

七年级上一元一次方程题型及知识点总结

一元一次方程题型及知识点总结一、知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.3．方程：含未知数的等式，叫方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a≠0）.8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程----------分数基本性质去分母----------同乘（不漏乘）最简公分母去括号----------注意符号变化移项----------变号合并同类项--------合并后注意符号系数化为1---------未知数细数是几就除以几二、典型例题：例1：解下列方程：（1）211011412x x x ++-=- （2）6171315213+-=+--y y y（3）4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x ----= (4) 21(x 一3)＝2一21(x 一3)(5)2x －6115+x =l+342-x (6) 3.05.01x -－32x=02.03.0x +l【课堂练习1】解方程：（1）；（2）。

巩固练习：一、选择题 1、下列方程中是一元一次方程的是（）A 、x-y=2005B 、3x-2004C 、x 2+x=1D 、21-x =32-x2、方程1-67342--=-x x 去分母得（） A ．1-2(2x-4)=-(x-7) B ．6-2(2x-4)=-x-7C ．6-2(2x-4)=-(x-7)D ．以上答案均不对3、代数式13x x --的值等于1时，x 的值是（）. （A ）3 （B ）1 （C ）－3 （D ）－14、方程5174732+-=--x x 去分母得( )。

完整word版北师版七年级上数学第五章一元一次方程知识点及练习题

认识一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果还是等式。

（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为 0 的数），所得结果还是等式。

4、一元一次方程只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。

※课时达标1. 以下方程中，是一元一次方程的是（） .A. x 24x 32. 若 2x 3m 3 4mA.4 , 83 33. 已知 a 1 x aB.x 0C.x 2y 1D.1x 1.x）.0 是对于 x 一元一次方程，则 m 的值和方程的解为（B.1,0C.4 , 8 D.-1,03 34 0是对于 x 的一元一次方程，求 a 的值 .4. 某市在端午节准备举行划龙舟比赛，估计 15 个队共 330 人参加 . 已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有 1 人敲鼓， 1 人掌舵，其他的人同时划桨 . 设每条船上划桨的有 x 人，可列出一元一次方程为 ___________________.5. 以下说法错误的选项是（）. A. 若xy，则 x yB.若 x 2y 2 ，则4x 24 y 2abC. 若 1x6 ，则 x3 D.若 6x ，则 x6426. 利用等式性质解方程：（1） 2x 1 7（2） 6 x 2x 203※课后作业★基础稳固1. 方程 x 2 4x 的解是（） .A. x 4B. x 2C. x 4或 x 0D. x 22. 在 2x 2 y ， x 4 4 y ， 7 3x 7 3y ， 4x 1 2 y 2 中，依据等式性质变形能获得 xy 的个数为（） .3. 若方程 2a 1 x 2 bx c 0 是对于 x 的一元一次方程，则字母系数a,b, c 的值知足 ( ).A. a1 , b 0, c 为随意数B.a 1,b 0,c 022C. a1, b 0, c 0D.a1,b0,c 为随意数224. 以下说法正确的选项是（）. A. 若 acbc, 则 a bB. 若 ab,则 abc 1 cC. 若 a 2b 2 ,则 a bD.若6,则 x325. 若 2x a 3 ，则 2x 3 _______, 这是依据等式的基天性质，在等式两边同时______.6. 某数的 3 倍比它的一半大 2，若设某数为 y ，则列方程为 __________ .7. 假如代数式 8x9 与 6 2x 的值互为相反数，则 x 的值为 ________.8.若 m 2 x |m| 15 是一元一次方程，则 m=_________. 9. 利用等式性质解方程：（ 1） 8x40 ；（2） 3x 76；（ 3）a 3 5210. 依据题意，列出方程：（1）小明买了 6 千克香蕉和 3 千克的苹果共花了 18 元，若苹果每千克 2 元，则香蕉每千克多少元？（2）小王两年前存一笔钱，年利率为 3％，今年到期后共支取本息和 4192 元（扣除 20％的利息税后），求两年前小王存了多少钱？11. 在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出 5 名学生构成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识比赛 . 比赛规则是：每队都分别给出 50 道题，答对一题得 3 分，不答或答错一题倒扣 1 分.⑴假如㈡班代表队最后得分 142 分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为 145 分吗？请简要说明原因☆能力提升12.某“希望学校”修筑了一栋 4 层的教课大楼，每层楼有 6 间教室，出入这栋大楼共有 3 道门（两道大小相同的正门和一道侧门） . 安全检查中，对这 3 道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时， 2 分钟内能够经过 400 名学生，若一道正门均匀每分钟比一道侧门可多经过 40 名学生 .（1）求均匀每分钟一道正门和一道侧门各能够经过多少名学生？（2）检查中发现，紧迫状况时因学生拥堵，出门的效率降低20%. 安全检查规定：在紧迫状况下全大楼的学生应在5 分钟内经过这3 道门安全撤退 . 假定这栋教课大楼每间教室最多有 45 名学生，问：建筑的这 3 道门能否切合安全规定？为何？●中考在线13.正在修筑的西塔高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队独自达成，甲工程队比乙工程队少用 10 天；若甲、乙两队合作， 12 天能够达成 . 若设甲独自达成这项工程需要 x 天，则依据题意，可列出方程为_________________.14. 已知 3 是对于x的方程 2x a 1的解，则a的值是（）.求解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤：（ 1）去分母（ 2）去括号（ 3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫移项。

初一一元一次方程所有知识点总结和常考题(含答案解析)

初一一元一次方程所有知识点总结和常考题【知识点归纳】一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)的方程叫做一元一次方程.3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a c =b c三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．四、去括号法则〔依据分配律：a （b+c ）=ab+ac 〕1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．五、解方程的一般步骤1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2.去括号(按去括号法则和分配律)3.移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4.合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a （或乘未知数的倒数），得到方程的解x=b a). 六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，找:明确各数量之间的关系；2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法), 表示出有关的含字母的式子；3. 列：根据题意列方程；4. 解：解出所列方程, 求出未知数的值；5. 检：检验所求的解是否是方程的解，是否符合题意；6. 答：写出答案(有单位要注明答案).七、有关常用应用题类型及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题（增长率问题）：增长量＝原有量³增长率现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余……”来体现.审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别.2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在.常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积³高＝S ²h ＝πr 2h3. 劳力调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变4. 数字问题：要正确区分“数”与“数字”两个概念,同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和.（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，十位数可表示为10b+a ，百位数可表示为100c+10b+a （其中a 、b 、c 均为整数，且0≤a ≤9， 0≤b ≤9，1≤c ≤9）.（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n 表示，连续的偶数用2n+2或2n —2表示；奇数用2n+1或2n —1表示.5. 工程问题（生产、做工等类问题）：工作量＝工作效率³工作时间工作时间工作量工作效率=工作效率工作量工作时间= 合做的效率＝各单独做的效率的和.一般情况下把总工作量设为1，完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

初一数学一元一次方程知识点总结与例题练习

第一讲: 一元一次方程一、牢记概念1. 方程的概念: 方程是指含有未知数的等式。

2. 方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值, 叫做方程的解。

反过来, 已知方程的解, 则代入后, 方程左右两边的值相等（可以用于验算）3. 一元一次方程当一个方程中值含有一个未知数（元）, 并且未知数的次数都是1, 这样的方程叫做一元一次方程。

4.等式的性质：（1）等式两边加（或减）同一个数字（或式子）, 结果仍相等。

（2）等式两边乘同一个数, 或除以同一个不为0的数, 结果仍相等。

5. 解一元一次方程的一般步骤（1）去分母: 方程两边同时乘以各项分母的最小公倍数；（2）去括号: 可先去小括号, 再去中括号, 最后去大括号（也可以按照自己擅长的方式去括号）；（3）移项: 把含有未知数的项都移到等号的一边（通常是左边）, 其他的常数项移到右边；移项的时候, 把某一项移动到等号的另外一边, 需要将该项原先的符号改变, 即“+”变为“-”, “-”变为“+”；（4）合并同类项: 将含未知数的项和常数项都合并起来, 使得方程化成一般式的形式:（5）系数化为1: 方程两边都除以未知数的系数a, 得到方程的解二、例题分析例1判断下列哪些是一元一次方程？（1）3+1=4 （2）2+5>3（3）5-3（4）3X+1=4（5）2X+5>3（6）5X-3（7）4X+2Y=6（8）72x +6=13（9）x 35-3=2（10）78-23=21X-3X （11）2x -3X=7（12）xy+3y=8例2解下列一元一次方程（1）3（x-2）=2-5(x-2) (2) 2x －13 =x+22+1(3) 143321=---m m (4)52221+-=--y y y三、练习(1) 3(1)2(2)23x x x +-+=+ (2) 3(2)1(21)x x x -+=--(3) 2x －13 =x+22 +1 (4) 12131=--x(5) x x -=+38 (6) 12542.13-=-x x(7) 310.40.342x x -=+ (8) 3142125x x -+=-(9) 31257243y y +-=- (10) 576132x x -=-+四、作业一. 填空题1．下列方程中, 解为-2的方程是（）A.3x-2=2xB.4x-1=2x+3C.3x+1=2x-1D.2x-3=3x+22. 下列变形式中的移项正确的是（）A.从5+x=12得x=12+5 B 、从5x+8=4x 得5x —4x=8C.从10x—2=4—2x得10x+2x=4+2D.从2x=3x—5得2x=3x—5=3x—2x=5 3．如果x=0是关于x的方程3x—2m=4的根, 则m的值是（）A.2B.—2C.1D.—1二. 填空题1. 已知方程3x2n+3+5=0是一元一次方程, 则n=__________2. 若, 则x+y=___________3、设k为整数, 方程kx=4-x的解x为自然数, 则k=__________三、解下列方程（21）124362x x x-+--=(22)xx23231423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-(23) 112[(1)](1)223x x x--=-（24）27(3y+7)=2 -32y。

七年级数学上册一元一次方程知识点归纳复习

七年级数学上册一元一次方程知识点归纳复习知识点一方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是 1 ，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解． 4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程．知识点二等式的性质 1. 等式的性质 1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± c ＝ b±c. 2. 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac＝bc；如果 a = b (c≠0)，如果 a = b (c≠0)，那么 a b cc知识点三一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘． (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的形式． (5) 系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式知识点四实际问题与一元一次方程 1. 列方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为 x. 列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案 (包括单位)． 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系：路程＝速度×时间． ① 相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． (2) 工程问题中基本量之间的关系：① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做 1. (3) 销售问题中基本量之间的关系： ① 商品利润 = 商品售价－商品进价；②利润率商品利润商品进价1000 0③商品售价标价折扣数 10④ 商品售价 = 商品进价+商品利润 = 商品进价+商品进价×利润率 = 商品进价×(1+利润率).【典例精析】1 x a 1【例 1】如果 x = 2 是方程 2的解，那么 a 的值是 ()A. 0B. 2C. －2D. －6解析：将 x＝2 代入方程得 1＋a＝－1，解得 a＝－2.【点睛】已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值.【例 2】下列说法正确的是 ()A. x +1 = 2+2x 变形得到 1= xB. 2x = 3x 变形得到 2 = 3C. 将方程2x 3 2x 4 系数化为 1，得 3D. 将方程 3x = 4x－4 变形得到 x = 4【点睛】已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质 2 变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为 0.【例 3】解下列方程：(1)2x 1 1 x 10x 1412（2）3 44 3 1 2x1 4 83x 2；解：去分母，得1 x 1 6 3 x.解：去括号，得 2 423(2x+1)－12 = 12x－(10x+1).1 x 3 x 1 6. 移项，得 2 2 4去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1.x 6 1.合并同类项，得4移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12.x 6 1 .系数化为 1，得4合并同类项，得 4x = 8.系数化为 1，得 x = 2.【例 4】一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为 7 km/h，水流速度为 2 km/h，往返一次共用 28 h，求甲、乙两码头之间的距离．解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km.由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共用时间，得x x 28. 72 72解得x = 90.答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km【例 5】抗洪救灾小组在甲地有 28 人，乙地有 15 人，现在又调来 17 人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人数与乙地人数之比为 3:2，求应调至甲地和乙地各多少人？解：设应调至甲地 x 人，则调至乙地的人数为 (17－x) 人，根据调配后甲乙两地人数的数量关系得28 x 2 15 (17 x).3解得 x = 8. 则 17-x=9.答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人.【例 6】一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙合作 3 天的工作量+乙、丙合作的工作量=1，得 1 81 12 3 1 121 24 x1.解得x = 3.答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作【例 7】某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作为标价. 如果商家要想保住 12% 的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折?解：设最多可以打 x 折，根据题意得5001 40％ x 500112％.10解得 x = 8. 答：广告上可写出最多打 8 折.【当堂小测】1. 若 (m＋3) x| m|－2＋2＝1 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值为___． 2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 ( )A. 若 x = y，则 x－5 = y+5 B. 若 a = b，则 ac = bcab C. 若 c c ，则 2a = 3bx y D. 若 x = y，则 a ax2 2 x3.3. 解方程： 524. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑 15 千米，可早到 10 分钟；每小时骑 12 千米，就会迟到 5 分钟，则他家到学校的路程是多少千米？5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共 450 件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装 50 件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的 2 倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量．216. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 3 ，第二天耕了剩余部分的 3 ，还剩下 42 公顷，则这片地共有公顷.【课后作业】一、选择题 1.下列方程中，是一元一次方程的是（）A. x2 4x 3B. x 0C. x 2 y 3D. x 1 1 x2.若方程 2x kx 1 5x 2的解为 1，则的值为( )A. 10B. 4C. 6D. 83.一个两位数的个位数字与十位数字都是，如果将个位数字与十位数字分别加 2 和 1，所得新数比原数大12，则可列的方程是（）A. 2x 3 12 B. 10x x 3 10C. 10x x 10x 1 x 2 10D. 10 x 1 x 2 10x x 124.若关于 x 的方程 mxm2 m 3 0 是一元一次方程，则这个方程的解是（）A. x 0B. x 3C. x 3D. x 25.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑 7m，乙每秒跑 6.5m，甲让乙先跑 5m，设 xs 后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（）A. 7x 6.5x 5B. 7x 5 6.5xC. 7 6.5 x 5D. 6.5x 7x 56. 数学竞赛共有 10 道题，每答对一道题得 5 分，不答或答错一道题倒扣 3 分，要得到 34 分，必须答对的题数是（）A.6B.7C.9D.87. 已知：1 3m 52 有最大值，则方程 5m 4 3x 2 的解是 x ( )7 A.9 B.C. 7D. 997978.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：2 y 1 1 y 22，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是 y 5 ，于是很快就补好了这个常数， 3你能补出这个常数吗？它应是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题9.若 5x 2 与 2x 9 互为相反数，则 x 2 的值为 _________.10.已知方程 x 2 2 x 3 的解也是方程 3x 2 b 的解，则 b =_________.5211. 商品按进价增加 20%出售，因积压需降价处理，如果仍想获得 8%的利润，则出售价需打_________折.三、解答题12. 解下列方程：（1） 2( y 2) 3(4y 1) 9(1 y) ；（2） 7x 1 5x 1 2 3x 232413. 将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独做需要 6 h，乙单独做需要 4 h，甲先做 30 min，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需要多长时间才能完成工作？14. 有一火车要以每分钟 600 米的速度过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多 5 秒时间，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的 2 倍短 50 米，试求两座铁桥的长分别为多少．15. 某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个．在这 16 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元．若此车间一共获利 1 440 元，求这一天有几名工人加工甲种零件．。

七年级数学上册第三单元《一元一次方程》-解答题专项知识点总结(答案解析)(1)

一、解答题1．已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程3332my m x--=的解．解析：214y=-．【分析】根据方程可直接求出x的值，代入另一个方程可求出m，把所求m和x代入方程3，可得到关于y的一元一次方程，解答即可．【详解】解：解方程2（x﹣1）+1＝x得：x＝1将x＝1代入3（x+m）＝m﹣1得：3（1+m）＝m﹣1解得：m＝﹣2将x＝1，m＝﹣2代入33 32my m x --=得：3(2)2332y----=，解得：214y=-．【点睛】本题考查了含分母的一次方程,属于简单题,正确求解方程是解题关键.2．解方程：2x13+=x24+-1．解析：x=-2．【分析】按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可.【详解】去分母得：4(2x+1)=3(x+2)-12，去括号得：8x+4=3x+6-12，移项得：8x-3x=6-12-4，合并同类项得：5x=-10，系数化为1得：x=-2．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.3．某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款．某校计划添置100张课桌和x把椅子．（1）若x=100，请计算哪种方案划算；（2）若x＞100，请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来；（3）若x=300，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案．解析：（1）方案一省钱；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）分别按两种方案结合已知数据计算、比较即可得到结论；（2）分别根据两种方案列出对应的表达式并化简即可；（3）按以下三种方式分别计算出各自所需费用并进行比较即可：①全按方案一购买；②全按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子.【详解】（1）当x=100时，按方案一购买所需费用为：100×200=20000（元）；按方案二购买所需费用为：100×（200+80）×80%=22400（元），∵20000＜22400，∴方案一省钱；（2）当x＞100时，按方案一购买所需费用为：100×200+80（x﹣100）=80x+12000（元）；按方案二购买所需费用为：（100×200+80x）×80%=64x+16000（元），答：方案一、方案二的费用为：（80x+12000）元、（64x+16000）元；（3）当x=300时，①全按方案一购买：100×200+80×200=36000（元）；②全按方案二购买：（100×200+80×300）×80%=35200（元）；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子，100×200+80×200×80%=32800（元），∵36000＞35200＞32800，∴先按方案一购买100张桌子，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子最省．【点睛】（1）读题题意，弄清各数据间的关系是解答第1、2小题的关键；（2）解第3小题时，需分以下三种情况分别计算所需费用：①全按方案一购买；②全按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子；解题时不要忽略了其中任何一种.4．解下列方程：(1)517 84a-=；(2)22146y y +--＝1； (3)2131683x x x -+-= －1 解析：（1）3a =；（2）4y =-；（3）179x =．【分析】（1）先方程两边同乘以8去分母，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；（2）先方程两边同乘以12去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；（3）先方程两边同乘以24去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】（1）方程两边同乘以8去分母，得5114a -=，移项，得5141a =+，合并同类项，得515a =，系数化为1，得3a =；（2）方程两边同乘以12去分母，得3(2)2(21)12y y +--=，去括号，得364212y y +-+=，移项，得341262y y -=--，合并同类项，得4y -=，系数化为1，得4y =-；（3）方程两边同乘以24去分母，得4(21)3(31)824x x x --+=-，去括号，得8493824x x x ---=-，移项，得8982443x x x --=-++，合并同类项，得917x -=-，系数化为1，得179x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．5．利用等式的性质解下列方程：（1）x －2＝5；（2）－23x ＝6；（3）3x ＝x ＋6．解析：（1）x ＝7；（2）x ＝－9；（3）x ＝3【分析】（1）两边同时加上2即可求解；（2）两边同时乘－32即可求解；（3）两边同时减x，然后同时除以2即可求解．【详解】解：（1）等式两边加2，得x－2＋2＝5＋2，即x＝7．（2）等式两边乘－32，得x＝6×（－32），即x＝－9．（3）等式两边减x，得2x＝6．两边除以2，得x＝3．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．6．运用等式的性质解下列方程：(1)3x＝2x－6；(2)2＋x＝2x＋1；(3)35x－8＝－25x＋1．解析：（1）x＝－6；（2）x＝1；（3）x＝9【分析】（1）根据等式的性质：方程两边都减2x，可得答案；（2）根据等式的性质：方程两边都减x，化简后方程的两边都减1，可得答案．（3）根据等式的性质：方程两边都加25x，化简后方程的两边都加8，可得答案．【详解】(1)两边减2x，得3x－2x＝2x－6－2x．所以x＝－6．(2)两边减x，得2＋x－x＝2x＋1－x．化简，得2＝x＋1．两边减1，得2－1＝x＋1－1所以x＝1．(3)两边加25 x，得35x－8＋25x＝－25x＋1＋25x．化简，得x－8＝1．两边加8，得x－8＋8＝1＋8．所以x ＝9．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 7．解下列方程（1）5m-8m-m=3-11；（2）3x+3=2x+7解析：（1）m=2；（2）x=4【分析】（1）先合并同类项，再化系数为1解一元一次方程即可；（2）先移项，再合并同类项解一元一次方程即可．【详解】（1）合并同类项，得：﹣4m=﹣8，系数化为1，得： m=2，（2）移项，得：3x ﹣2x=7﹣3，合并同类项，得： x=4．【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法及步骤是解答的关键． 8．已知16y x =-，227y x =+，解析下列问题：（1）当122y y =时，求x 的值；（2）当x 取何值时，1y 比2y 小3-．解析：（1）215x =；（2）18x 【分析】（1）根据题意列出等式，然后解一元一次方程即可；（2）根据题意得到213y y -=-，然后代入x ，解一元一次方程即可求解．【详解】（1）由题意得：62(27)x x -=+解得215x = 215x ∴=．（2）由题意得：27(6)3x x +--=-解得18x 18x ∴=．【点睛】本题考查了解一元一次方程，重点是熟练掌握移项、合并同类项、去括号、去分母的法则，细心求解即可．9．设a ，b ，c ，d 为有理数，现规定一种新的运算：a b ad bc c d =-，那么当35727x-=时，x 的值是多少？解析：x =-2【分析】根据新定义的运算得到关于x 的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：由题意得：21 - 2（5 - x ）=7即21-10+2x =7x =-2．【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，根据新定义的运算列出方程是解题关键． 10．已知数轴上的A 、B 两点分别对应数字a 、b ，且a 、b 满足|4a-b|+（a-4）2=0（1）a= ，b= ，并在数轴上面出A 、B 两点；（2）若点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度向x 轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的2倍；（3）数轴上还有一点C 的坐标为30，若点P 和点Q 同时从点A 和点B 出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C 点运动，P 点到达C 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A ．求点P 和点Q 运动多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为4，并求此时点Q 对应的数．解析：（1）4，16．画图见解析；（2）83或8秒；（3）点P 和点Q 运动4或8或9或11秒时，P ，Q 两点之间的距离为4．此时点Q 表示的数为20，24，25，27．【分析】（1）根据非负数的性质求出a 、b 的值即可解决问题；（2）构建方程即可解决问题；（3）分四种情形构建方程即可解决问题.【详解】（1）∵a ，b 满足|4a-b|+（a-4）2≤0，∴a=4，b=16，故答案为4，16．点A 、B 的位置如图所示．（2）设运动时间为ts．由题意：3t=2（16-4-3t）或3t=2（4+3t-16），解得t=83或8，∴运动时间为83或8秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；（3）设运动时间为ts．由题意：12+t-3t=4或3t-（12+t）=4或12+t+4+3t=52或12+t+3t-4=52，解得t=4或8或9或11，∴点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．【点睛】本题考查多项式、数轴、行程问题的应用等知识，具体的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．11．a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，例如3※（-2）=32+2×3×（-2）=-3（1）试求（-2）※3的值（2）若1※x=3，求x的值（3）若（-2）※x=-2+x，求x的值．解析：（1）-8；（2）1；（3）65．【分析】（1）根据规定的运算法则求解即可．（2）（3）将规定的运算法则代入，然后对等式进行整理从而求得未知数的值即可．【详解】（1）（-2）※3=（-2）2+2×（-2）×3=4-12=-8；（2）∵1※x=3，∴12+2x=3，∴2x=3-1，∴x=1；（3）-2※x=-2+x，（-2）2+2×（-2）x=-2+x，4-4x=-2+x，-4x-x=-2-4，-5x=-6，x=65．【点睛】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则.12．学校要购入两种记录本，预计花费460元，其中A种记录本每本3元，B种记录本每本2元，且购买A种记录本的数量比B种记录本的2倍还多20本．（1）求购买A和B两种记录本的数量；（2）某商店搞促销活动，A种记录本按8折销售，B种记录本按9折销售，则学校此次可以节省多少钱？解析：（1）购买A种记录本120本，B种记录本50本；（2）学校此次可以节省82元钱．【分析】根据两种记录本一共花费460元即可列出方程【详解】（1）设购买B种记录本x本，则购买A种记录表（2x+20）本，依题意，得：3（2x+20）+2x＝460，解得：x＝50，∴2x+20＝120．答：购买A种记录本120本，B种记录本50本．（2）460﹣3×120×0.8﹣2×50×0.9＝82（元）．答：学校此次可以节省82元钱．【点睛】根据题意中的等量关系列出方程是解决问题的关键13．小丽用的练习本可以从甲乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本 2 元，甲商店的优惠条件是：购买十本以上，从第 11 本开始按标价的 70％出售；乙商店的优惠条件是：从第一本起按标价的80％出售。

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