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第五章 静电场 §5.3 电场强度一．选择题和填空题１、Ｃ ２、Ｂ ３、0 ４、－3 / (20) － / (2) 3 / (2)５、()30220824R qdd R R qd εεπ≈-ππ 从O 点指向缺口中心点．二．计算题１、解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为=q / L ，在x 处取一电荷元d q = d x = q d x / L ，它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L xq -+π=ε 2分总场强为 ⎰+π=Lx d L xL q E 020)(d 4－ε()d L d q +π=04ε 3分 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．２、解：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正．在x 处取一电荷元 d q = d x = Q d x /(3R )它在环心处的场强为 ()20144d d x R qE -π=ε ()20412d x R R xQ -π=ε 2分 整个细绳上的电荷在环心处的场强()203020116412R Qx R dx R Q E R εεπ=-π=⎰ 2分圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强E 2=0 2分由此，合场强 i R Qi E E20116επ== 2分方向竖直向下． 三．理论推导与证明题E 1x R3R x xOＰLdd q x (L+d －x )d ExO证：选环心作原点，x 轴沿圆环轴线方向，y 、z 轴如图所示．在环上任取一电荷元d q =(Q d ) / (2)，设P 点位于x 处，从电荷元d q 到P 点的矢径为r，它在P 点产生的场强为r r Q r r q E ˆ8d ˆ4d d 20220εθεπ=π=rˆ为矢径r方向上的单位矢量．d E 沿x 轴的分量为 d E x =d E cos 为矢径r与x 轴正向夹角)由对称性容易证明 E y =0 E z =0 因而有 E =E x 20202024cos d 8cos r Q r Q εφθεθππ=π=⎰()2/32204x R Qx+π=ε当x >>R 时，可得 E ≈Q / (40x 2)这相当于一个位于原点O 的带电量为Q 的点电荷在P 点产生的场强．§5.4 电场强度通量 高斯定理一、选择题和填空题1-4、D D C B 5、q / (60) 6、0 rr R302εσ 7、204r q επ 0 二. 计算题1、解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为r r Ar V q d 4d d 2π⋅==ρ在半径为r 的球面内包含的总电荷为403d 4Ar r Ar dV q rVπ=π==⎰⎰ρ (r ≤R)以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π⋅得到()0214/εAr E =， (r ≤R )方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有0422/4εAR r E π=π⋅ 得到 ()20424/r AR E ε=， (r >R )方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里． 2、解：球形电容器的电容 a b abC -π=ε4 当内外导体间电势差为U 时，电容器内外球壳上带电荷ab abUCU q -π==ε4电容器内球表面处场强大小为 ()a b a bU a q E -=π==24εεσ Px φ R z d q θ d θ y r E d欲求内球表面的最小场强，令d E /d a =0，则()()011d d 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a b a a b a bU a E 得到 2ba = 并有0d d 2/22>=b a a E3解：挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场1E，而另在挖去处放上电荷体密度为－的同样大小的球体，求出电场2E，并令任意点的场强为此二者的叠加，即可得 210E E E+= 2分在图(a)中，以O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面S ，则可求出O 与P 处场强的大小.ρε302113414d d d E S E S π⋅=π⋅=⋅⎰ 有 E 1O’＝E 1P =d E 013ερ= 方向分别如图所示. 3分在图(b)中，以O 点为小球体的球心，可知在O 点E 2=0. 又以O 为心，2d 为半径作球面为高斯面S 可求得P 点场强E 2P()032223/)(4)(24d ερ-π=π⋅='⋅⎰'r d E S E S203212dr E Pερ-= 3分 (1) 求O 点的场强'O E . 由图(a)、(b)可得E O ’ = E 1O’ =3ερd， 方向如图(c)所示. 2分 (2)求P 点的场强P E.由图(a)、(b)可得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=2302143d r d E E E P P P ερ 方向如(d)图所示.E 1Pρ PE 2PE P 图(d)O O ' P E 1O’ ρ图(a)O ρ O 'dE O’=E 1 O’图(c)O P E 2P -ρ O 'r2O’=0图(b)E 1P§5.6 静电场的环路定理 电势能一. 填空题1、0d =⋅⎰Ll E单位正电荷在静电场中沿任意闭合路径绕行一周，电场力作功等于零有势（或保守力）2、功的值与路径的起点和终点的位置有关，与电荷移动的路径无关 保守§5.7 电势一.选择题和填空题1-5、ＣＤＢＣＣ ６、0/ (20) ７、q / (60R ) ８、⎪⎭⎫⎝⎛π∆-π20414R S R Q ε二.计算题１、解：设坐标原点位于杆中心O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度＝q / (2l )，在x 处取电荷元d q = d x ＝q d x / (2l )，它在P 点产生的电势为()()x a l l xq x a l q U P -+π=-+π=008d 4d d εε整个杆上电荷在P 点产生的电势()⎰--+π=ll P x a l x lqU d 80ε()l lx a l l q --+π-=ln 80ε⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=a l l q 21ln 80ε ２、解：设内筒所带电荷线密度为，则两筒间的场强分布为202rrE ελπ= 两筒间的电势差为U 1－U 2＝U 0＝⎰⋅21d R R r E 1200ln 22d 21R R r r R Rελελπ=π=⎰ 由此得()1200/ln 2R R U =πελ设两筒间任一点(距轴线距离为r )的电势为U ，则有 ⎰⎰π=⋅=-r R rR r r r E U U 11012d d ελ 10ln 2R rελπ=101ln 2R rU U ελπ-=()11200ln /2R r R R U U ln -= (1)或 ⎰⎰π=⋅=-2222d d R r R r r r r E U U ελr R 20ln 2ελπ= rλR 1R 2U 1U 2r E220ln 2U r R U +π=ελ()rR R R U U 21200ln /ln += (2) 可以证明，(1)、(2) 两式是相等的 ()11200ln /ln 2R rR R U U -()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12100/ln /ln 1R R R r U U ()()()1211200/ln /ln /ln R R R r R R U U -+=()rRR R U U 21200ln /ln +=所以两金属圆筒间的电势分布可以用(1)、(2)式表示都可，只要答一个.３、解：设x 轴沿细线方向，原点在球心处，在x 处取线元d x ，其上电荷为x q d d λ='，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：d F = q d x / (40 x 2)整个细线所受电场力为：()l r r l q x x q F l r r +π=π=⎰+000204d 400ελελ 方向沿x 正方向．电荷元在球面电荷电场中具有电势能： d W = (q d x ) / (40 x )整个线电荷在电场中具有电势能： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π=π=⎰+0000ln 4d 400r l r q x x q W l r r ελελ§5.8 电场强度与电势梯度一.选择题和填空题１、Ｄ ２、k bz j y i x a E2)(2-+-=§5.9 静电场中的电偶极子一.选择题和填空题１、Ｂ ２、()()a 0212/ελλπ ３、0 pE sin二.计算题解：选杆的左端为坐标原点，x 轴沿杆的方向 ．在x 处取一电荷元d x ，它在点电荷所在处产生场强为：()204d d x d xE +π=ελ整个杆上电荷在该点的场强为：()()l d d lx d x E l +π=+π=⎰00204d 4ελελ点电荷q 0所受的电场力为：O R x r 0 r 0+l d x xqOx λd xd+ xl dx()l d d lq F +π=004ελ＝0.90 N 沿x 轴负向第六章 静电场中的导体与电介质§6.1 静电场中的导体一.选择题和填空题１－３ CDA ４—６CDD 7、)2/(0S Qd ε )/(0S Qd ε 8、不变 减小 二.计算题1解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ．(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 adqU q 04επ=⎰-aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点 产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= r q 04επ=a q 04επ-b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εbQ04επ+2、 解0=+=+感E E E q o00q 4E E r dqπε-=-=+感 0r为水平向右的单位矢量。

点的电势为零，则由于导体球接地，圆心O 0=+=+感U U U q Od qU 04πε-=感0=+=+感E E E q O§6.2 静电场中的电介质一.选择题和填空题q E E +-=∴感2004d r q πε -=1—2 、B A 3、无极分子 电偶极子 4、r 1r§6.3 电位移 有电介质时的高斯定理一.选择题和填空题1—2、D A 3、 /(2r )/(20rr ) 4、r )5、 )4/(0R q r εεπ q / (4R )二.计算题解：在圆柱导体内、外分别作半径为r 、长为L 的同轴圆柱形高斯面，并应用 D的高斯定理． 圆柱内： 2rLD ＝0 得 D = 0 ()a r <E = 0 ()a r >圆柱外： 2rLD = L得()[]0π2/r r D λ= ， (r ＞a ) 0r为径向单位矢量()r D E εε01/ =()[]002/r r r εελπ= (a ＜r ＜b )()[]0002 2//r r D Eελεπ== (r ＞b ) 6.4 电容 电容器一.选择题和填空题1—3、ＢＣＣ ４、增大 增大二.计算题解：以左边的导线轴线上一点作原点，x 轴通过两导线并垂直于导线．两导线间x 处的场强为 x E 02ελπ=)(20x d -π+ελ两导线间的电势差为 ⎰--+π=Rd R x x d x U d )11(20ελ )ln (ln 20R d R R R d ---π=ελRRd -π=ln 0ελ 设导线长为L 的一段上所带电量为Q ，则有L Q /=λ，故单位长度的电容U LU Q C /)/(λ==RR d -π=lnε§6.5 静电场的能量 能量密度一.选择题和填空题１－２ D A 3、 减小 减小 二.计算题解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量D保持不变，xd xR d -R+λO-λ又 rr r w D D DE w εεεεε0200202112121==== 因为介质均匀，∴电场总能量 r W W ε/0=三. 判断改错题答： (1) 正确． (2) 介质内场强与原来一样． (3) 电场能量增大为原来的r 倍．。