历年高考数学真题(全国卷整理版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．(2013大纲全国，理

2)3

＝( )．

A ．－8

B ．8

C ．－8i

D ．8i

3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1

4．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．

A ．(－1,1)

B ．11,2⎛⎫-- ⎪

⎝

⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛

⎫+

⎪⎝⎭

(x ＞0)的反函数f －1

(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x -(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)

6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝4

3

-，则{a n }的前10项和等于( )．

A ．－6(1－3－10)

B ．1

9(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)

7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8

(1＋y )4

的展开式中x 2y 2

的系数是( )．

A ．56

B ．84

C ．112

D ．168

8．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：2

2=143

x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．

A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣

⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2

＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

是增函数，则a 的取值范围是( )．

A ．[－1,0]

B ．[－1，＋∞)

C ．[0,3]

D ．[3，＋∞)

10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1

所成角的正弦值等于( )．

A ．23 B

．3 C

．3 D ．1

3

11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2

＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．

A ．1

2 B

． C

D ．2

12．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．

A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称

B ．y ＝f(x)的图像关于直线

π

=

2x 对称

C ．f(x)

的最大值为2 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝1

3

-

，则cot α＝__________. 14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)

15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

所表示的平面区域为D .若直线y

＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．

16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O

的半径，OK ＝

3

2

，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝2

2a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．

18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ；

(2)若sin A sin C ，求C 19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形．

(1)证明：PB ⊥CD ；

(2)求二面角A －PD －C 的大小．

20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1

2

，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．

21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C ：22

22=1x y a b

-(a ＞0，b ＞0)

的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C . (1)求a ，b ；

(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，

|AB |，|BF 2|成等比数列．