最新1992年全国统一高考数学试卷(理科)
1992高考数学全国卷及答案理
1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题)．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔或圆珠笔直线答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后的括号内(1)3log 9log 28的值是 ( )(A)32 (B) 1 (C)23 (D) 2(2)如果函数y =sin(ωx )cos(ωx )的最小正周期是4π，那么常数ω为 ( )(A) 4(B) 2(C)21 (D)41 (3)极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 ( )(A) 2(B)2(C) 1(D)22 (4)方程sin4x cos5x =－cos4x sin5x 的一个解是 ( )(A) 10°(B) 20°(C) 50°(D) 70°(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )(A) 6：5(B) 5：4(C) 4：3(D) 3：2(6)图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像．已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为 ( )(A) －2，－21，21，2 (B) 2，21，－21，－2 (C) －21，－2，2，21(D) 2，21，－2，－21(7)若log a 2<log b 2<0，则 ( )(A) 0<a <b <1(B) 0<b <a <1(C) a >b >1(D) b >a >1(8)直线 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+⋅=20cos 320sin t y t x (t 为参数)的倾斜角是( )(A) 20° (B) )70° (C) 110°(D) 160°(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A) x 2+y 2－x －2y －41=0 (B) x 2+y 2+x －2y +1=0 (C) x 2+y 2－x －2y +1=0(D) x 2+y 2－x －2y +41=0 (11)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为 ( )(A) 160(B) 240(C) 360(D) 800(12)若0<a <1，在[0，2π]上满足sin x ≥a 的x 的范围是 ( )(A) [0，arcsin a ] (B) [arcsin a ，π－arcsin a ] (C) [π－arcsin a ，π](D) [arcsin a ，2π+arcsin a ] (13)已知直线l 1和l 2夹角的平分线为y =x ，如果l 1的方程是ax +by +c =0(ab >0)，那么l 2的方程是( )(A) bx +ay +c =0 (B) ax －by +c =0 (C) bx +ay －c =0(D) bx －ay +c =0(14)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 ( )(A)23(B)1010(C) 53(D)52(15)已知复数z 的模为2，则|z －i |的最大值为 ( ) (A) 1(B) 2(C)5(D) 3(16)函数y =2xx e e -的反函数( )(A) 是奇函数，它在(0，+∞)上是减函数 (B) 是偶函数，它在(0，+∞)上是减函数(C) 是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数 (D) 是偶函数，它在(0，+∞)上是增函数(17)如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意实数t 都有f (2+t )=f (2－t )，那么 ( )(A) f (2)<f (1)<f (4) (B) f (1)<f (2)<f (4) (C) f (2)<f (4)<f (1)(D) f (4)<f (2)<f (1)(18)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )(A) 32 (B)14(C) 5 (D) 6二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(19)方程33131=++-xx的解是_________________ (20)sin15°sin75°的值是(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为___________________ (22)焦点为F 1(－2，0)和F 2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是__________(23)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是____________________三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤．(24)已知z ∈C ，解方程z z －3i z =1+3i ． (25)已知432παβπ<<<，cos(α－β)=1312，sin(α+β)=53-．求sin 2α的值． (26)已知：两条异面直线a 、b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA 1的长度为d ．在直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A 1E =m ，AF =n ．求证：EF =θcos 2222mn n m d ±++．(27)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 3=12，S 12>0，S 13<0． (Ⅰ)求公差d 的取值范围．(Ⅱ)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．(28)已知椭圆12222=+b y a x (a >b >0)，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)．证明ab a x a b a 22022-<<--．1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．(1)A (2)D (3)D (4)B (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10)D (11)B (12)B (13)A (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．(19)x =－1 (20)41 (21) 12815 (22)()1124222=--y x (23) 1613三、解答题(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识． 解：设z =x +yi (x ，y ∈R )． 将z =x +yi 代入原方程，得 (x +yi )(x －yi )－3i (x －yi )=1+3i ，整理得x 2+y 2－3y －3xi =1+3i ． 根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧=-+=-.13,3322y y x x由①得 x =－1．将x =－1代入②式解得y =0，y =3． ∴z 1=－1，z 2=－1+3i ．(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力． 解：由题设知α—β为第一象限的角，∴ sin(α—β)=()βα--2cos 1135131212=⎪⎭⎫⎝⎛-=由题设知α+β为第三象限的角， ∴ cos(α+β)=()βα+--2sin 1545312-=⎪⎭⎫⎝⎛---=∴ sin2α=sin[(α－β)+(α+β)]=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) =655653131254135-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． (26)本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．解法一：设经过b 与a 平行的平面为α，经过a 和AA 1的平面为β，α∩β=c ，则 c ∥a ．因而b ，c 所成的角等于θ，且AA 1⊥c ．∵ AA 1⊥b ， ∴AA 1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG ⊥c ，垂足为G ，则EG =AA 1．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG ⊥α．连结FG ，则EG ⊥FG ．在Rt △EFG 中，EF 2=EG 2+FG 2．∵ AG =m ， ∴ 在△AFG 中， FG 2=m 2+n 2－2mn cos θ．∵ EG 2=d 2，∴ EF 2=d 2+m 2+n 2－2mn c o s θ． 如果点F (或E )在点A (或A 1)的另一侧，则EF 2=d 2+m 2+n 2+2mn cos θ．因此，EF =θcos 2222mn n m d ±++解法二：经过点A 作直线c ∥a ，则c 、b 所成的角等于θ，且AA 1⊥c ． 根据直线和平面垂直的判定定理，AA 1垂直于b 、c 所确定的平面a ．在两平行直线a 、c 所确定的平面内，作EG ⊥c ，垂足为G ，则EG 平行且等于AA 1， 从而EG ⊥α．连结FG ，则根据直线和平面垂直的定义，EG ⊥FG ． 在Rt △EFG 中，EF 2=EG 2+FG 2． (以下同解法一)(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力． (Ⅰ)解：依题意，有 ()021121212112>⋅-⨯+=d a S()021131313113<⋅-⨯+=d a S即⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a由a 3=12，得 a 1=12－2d ． ③将③式分别代①、②式，得⎩⎨⎧<+>+030724d d ∴ 724-<d <－3 (Ⅱ)解法一：由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n+1<0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值． 由于 S 12=6(a 6+a 7)>0， S 13=13a 7<0， 即 a 6+a 7>0，a 7<0． 由此得a 6>－a 7>0． 因为a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． (Ⅱ)解法二：()d n n na S n 211-+= ()()d n n d n 121212-+-=＝22245212245212⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d d d n d ．∵ d <0，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，S n 最大．当 724-<d <－3时 5.6245216<⎪⎭⎫ ⎝⎛-<d ，∵ 正整数n =6时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴ S 6最大． (Ⅲ)解法三：由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒076a a故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．注：如果只答出S 6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给2分． (28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．证法一：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 不平行于y 轴，即x 1≠x 2．又交点为P (x 0，0)，故|P A |=|PB |，即(x 1－x 0)2+21y =(x 2－x 0)2+22y ①∵ A 、B 在椭圆上，∴ 2122221x ab b y -=，2222222x ab b y -=．将上式代入①，得2(x 2－x 1) x 0=()2222122ab a x x -- ② ∵ x 1≠x 2，可得.2222210a b a x x x -⋅+= ③∵ －a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，且x 1≠x 2， ∴ －2a <x 1+x 2<2a ，∴ .22022ab a x a b a -<<--证法二：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．因P (x 0，0)在AB 的垂直平分线上，以点P 为圆心，|P A |=r 为半径的圆P 过A 、B 两点，圆P 的方程为(x －x 0)2+y 2=r 2，与椭圆方程联立，消去y 得(x －x 0)222ab -x 2=r 2－b 2， ∴02222002222=+-+--b r x x x x ab a ① 因A 、B 是椭圆与圆P 的交点，故x 1，x 2为方程①的两个根．由韦达定理得x 1+x 2=2222b a a -x 0．因－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，且x 1≠x 2，故－2a <x 1+x 2=2222b a a -x 0<2a ， ∴ .22022ab a x a b a -<<--。
1992年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
1992年普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分120分.考试时间120分钟一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分.在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内.一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
（1）3log 9log 28的值是 （ ） （A ）32 （B ）1 （C ）23 （D ）2 （2）如果函数)cos()sin(x x y ωω=的最小正周期是π4，那么常数ω为 （ ）（A ）4 （B ）2 （C ）21 （D ）41 （3）极坐标方程是θ=ρθ=ρsin cos 和的两个圆的圆心距是 （ ）（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）22 （4）方程x x x x 5sin 4cos 5cos 4sin -=的一个解是 （ ）（A ）100 （B ）200 （C ）500 （D ）700（5）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 （ ）（A ）6:5 （B ）5:4 （C ）4:3 （D ）3:2（6）图中曲线是幂函数n x y =在第一象限的图象。
已知n 取21,2±±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 值依次为 （ ） （A ）2,21,21,2-- （B ）2,21,21,2-- （C ）21,2,2,21-- （D ）21,2,21,2-- (7) 若02log 2log <<b a ，则 （ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b（C ）1>>b a （D ）1>>a b（8）直线⎩⎨⎧︒-=+︒=.20cos ,320sin t y t x （t 为参数）的倾斜角是 （ ）（A ）200 （B ）700 （C ）1100 （D ）1600（9）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 （ ）（A ）4个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）1个（10）圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）（A ）041222=---+y x y x （B ）01222=+-++y x y x （C ）01222=+--+y x y x （D ）041222=+--+y x y x （11）在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为 （ ）（A ）160 （B ）240 （C ）360 （D ）800（12）若a x a ≥π<<sin ]2,0[,10上满足在的x 的范围是 （ ）（A ）]arcsin ,0[a （B ）]arcsin ,[arcsin a a -π（C ）],arcsin [π-πa （D ）]arcsin 2,[arcsin a a +π （13）已知直线21l l 和夹角的平分线为y=x ，如果1l 的方程是)0(0>=++ab c by ax ，那么2l 的方程是 （ ）（A ）0=++c ay bx （B ）0=+-c by ax（C ）0=-+c ay bx （D ）0=+-c ay bx（14）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）（A ）23 （B ）1010 （C ）53 （D ）52 （15）已知复数z 的模为2，则|z - i|的最大值为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）3（16）函数2xx e e y -=的反函数 （ ） （A ）是奇函数，它在),0(+∞上是减函数（B ）是偶函数，它在),0(+∞上是减函数（C ）是奇函数，它在),0(+∞上是增函数（D ）是偶函数，它在),0(+∞上是增函数（17）如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么 （ ）（A ）)4()1()2(f f f << （B ）)4()2()1(f f f <<（C ）)1()4()2(f f f << （D ）)1()2()4(f f f <<（18）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）（A ）32 （B ）14 （C ）5 （D ）6二．填空题：本大题共5小题;每小题3分，共15分。
1992年全国统一高考数学试卷(理科)
1992年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 22．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ）A ． 10°B ． 20°C ． 50°D ． 70°5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2，，﹣2，﹣7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞18．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）A ． 20°B ． 70°C ． 45°D ． 135°9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0D ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ）A ． 160B ． 240C ． 360D ． 80012．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ）A ． [0，arcsina ]B ． [arcsina ，π﹣arcsina ]C ． [π﹣arcsina ，π]D ． [arcsina ，+arcsina ]13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ）A ．b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=014．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 316．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）B ． f （1）＜f （2）C ． f （2）＜f （4）D ． f （4）＜f （2）＜f（4）＜f（4）＜f（1）＜f（1）18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是_________．20．（3分）sin15°sin75°的值是_________．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为_________．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是_________．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是_________．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．1992年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ．B ． 1C ．D ． 2考点：对数的运算性质． 分析：根据，从而得到答案．解答： 解：． 故选A ． 点评：本题考查对数的运算性质． 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．考点：二倍角的正弦． 分析：逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin （ωx+φ）+b 的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值 解答： 解：∵y=sin （ωx ）cos （ωx ）=sin （2ωx ），∴T=2π÷2ω=4π∴ω=，故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加绝对值．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题： 计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（）A．10°B．20°C．50°D．70°考点：两角和与差的正弦函数．分析：把原式移项整理，逆用两角和的正弦公式，解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解，写出所有的解，选择一个合适的，因为是选择题，也可以代入选项验证．解答：解：∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x，∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0，∴sin（4x+5x）=0，∴sin9x=0，∴9x=kπ，k∈Z，∴x=20°故选B．点评：抓住公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点，对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积，是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣考点：幂函数的图像． 专题：阅读型． 分析：由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．解答： 解：根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，n 越大，递增速度越快，故曲线c 1的n=﹣2，曲线c 2的n=，c 3的n=，曲线c 4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A ． 点评： 幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞ 1考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 计算题．分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log a 2＜log b 2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可． 解答： 解：∵log a 2＜log b 2＜0，由对数换底公式得：∴∴0＞log 2a ＞log 2b ∴根据对数的性质得： ∴0＜b ＜a ＜1． 故选B ． 点评： 本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．8．（3分）直线（t为参数）的倾斜角是（）A．20°B．70°C．45°D．135°考点：直线的参数方程．专题：计算题．分析：已知直线（t为参数）再将直线先化为一般方程坐标，然后再计算直线l的倾斜角．解答：解：∵直线（t为参数）∴x﹣3=tsin20°，y=﹣tsin20°，∴x+y﹣3=0，∴直线倾斜角是135°，故选D．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y 2﹣x﹣2y ﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．解答：解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．11．（3分）在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．800考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成．解答：解：（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2∴展开式中x的系数为C51•3•24=240故选项为B点评：本题考查二项式定理的推导依据：分步乘法计数原理，也是求展开式有关问题的方法．12．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（）A．[0，arcsina]B．[arcsina，π﹣arcsina]D．[arcsina，+arcsina]C．[π﹣arcsina，π]考点：正弦函数的图象；反三角函数的运用．分析：在同一坐标系中画出y=sinx、y=a，根据sinx≥a即可得到答案．解答：解：由题可知，如图示，当sinx≥a时，arcsina≤x≤π﹣arcsina故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象问题．三角函数的图象和性质是高考热点问题，要给予重视．13．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0，那么直线l2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程．解答：解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l1和l2关于直线y=x对称，故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x 和y交换位置，即得另一条直线的方程．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为2，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．解答：解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．点评：本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数考点： 反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；综合题．分析： 先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后判定反函数的奇偶性，单调性，即可得到选项．解答： 解：设e x =t （t ＞0），则 2y=t ﹣，t 2﹣2yt ﹣1=0，解方程得 t=y+负跟已舍去， e x =y+，对换 X ，Y 同取对数得函数y=的反函数： g （x ）=由于g （﹣x ）===﹣g （x ），所以它是奇函数，并且它在（0，+∞）上是增函数． 故选C ． 点评：本题考查反函数的求法，函数的奇偶性，单调性的判定，是基础题． 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．专题： 压轴题；数形结合．分析： 先从条件“对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答： 解：∵对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）∴f （x ）的对称轴为x=2，而f （x ）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f （2）＜f （1）＜f （4），故选A ．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x，令t=3x，然后移项、合并同类项，从而解出x．解答：解：∵，∴1+3﹣x=3（1+3x），令t=3x，则1+=3+3t，解得t=，∴x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简，利用换元法求解方程的根，是一道不错的题．20．（3分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义，求集合的子集及其个数，子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024，又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120．∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2，∴2c=6﹣（﹣2）=8，c=4，，b2=16﹣4=12，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要注意函数的平移变换，合理地选取公式．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程，利用复数相等，求出复数z即可．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R）．将z=x+yi代入原方程，得（x+yi）（x﹣yi）﹣3i（x﹣yi）=1+3i，整理得x2+y2﹣3y﹣3xi=1+3i．根据复数相等的定义，得由①得x=﹣1．将x=﹣1代入②式解得y=0，y=3．∴z1=﹣1，z2=﹣1+3i．点评：本小题考查复数相等的条件及解方程的知识，考查计算能力，是基础题．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．解答：解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：由题意作辅助面，作出两条异面直线a、b所成的角，再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角三角形中求解．解答：解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连接FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．∵AG=m，∴在△AFG中，FG2=m2+n2﹣2mncosθ．∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2﹣2mncosθ．如果点F（或E）在点A（或A1）的另一侧，则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此，EF=．点评：本题利用条件作出辅助面和辅助线，结合线面、面面垂直的定理，在直角三角形中求公垂线的长；考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有，即由a3=12，得a1=12﹣2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜﹣3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n＞0，a n+1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．⇒，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．考点：椭圆的简单性质．专题：证明题；压轴题．分析：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB 不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．解答：证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22①∵A、B在椭圆上，∴，．将上式代入①，得2（x2﹣x1）x0=②∵x1≠x2，可得．③∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2，∴﹣2a＜x1+x2＜2a，∴．点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试92
高考数学普通高等学校招生全国统一测试92理科数学本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至2页.第二卷3至4页.全卷总分值150分,测试时间120分钟.考生考前须知：1.做题前,务必在试题卷、做题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对做题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类〞与本人座位号、姓名、科类是否一致.2．答第一卷时,每题选出答案后,用2B 铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．答第二卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在做题卡上书写.在试题卷上作答无效. 4．测试结束,监考人员将试题卷和做题卡一并收回. 参考公式：如果时间A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kkkn n P k C P P -=-球的外表积公式24S R π=,其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1等于A ．iB ．i -C iD i〔2〕、设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2,12B y x x ==--≤≤,那么()R C AB 等于A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅〔3〕、假设抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,那么p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4〔4〕、设,a R ∈b ,命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭,那么p 是q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2,x 0x ≥〔5〕、函数y = 的反函数是 2x -, 0x <2x, 0x ≥ 2,x 0x ≥ A ．y = B ．y =x -, 0x < x -, 0x <2x, 0x ≥ 2,x 0x ≥ C ．y = D ．y =x --, 0x < x --, 0x < 〔6〕、将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象如下图,那么平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-〔7〕、假设曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,那么l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=〔8〕、设0a >,对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<,以下结论正确的选项是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值〔9〕、外表积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,那么此球的体积为A ．3 B ．13π C ．23π D ．3 10x y -+≥,〔10〕、如果实数x y 、满足条件 10y +≥, 那么2x y -的最大值为 10x y ++≤,A ．2B ．1C ．2-D ．3-〔11〕、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值,那么 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形,222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形,222A B C ∆是钝角三角形〔12〕、在正方体上任选3个顶点连成三角形,那么所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．17 B ．27 C ．37 D ．47高等学校招生全国统一测试理科数学第二卷〔非选择题 共90分〕考前须知：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在做题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分,把答案填写在做题卡的相应位置.〔13〕、设常数0a >,42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32,那么2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=__________.〔14〕、在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,那么MN =_______.〔用a b 、表示〕〔15〕、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,假设()15,f =-那么()()5ff =_______________.〔16〕、多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,那么P 到平面α的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为________________________.〔写出所有正确结论的编号〕三、解做题：本大题共6小题,共74分,解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤 〔17〕、〔本大题总分值12分〕310,tan cot 43παπαα<<+=- 〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.〔18〕、〔本大题总分值12分〕在添加剂的搭配使用中,为了找到最正确的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比拟.在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭ABC DA 1B 1C 1D 1第16题图 α配试验.用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.〔Ⅰ〕写出ξ的分布列；〔以列表的形式给出结论,不必写计算过程〕 〔Ⅱ〕求ξ的数学期望E ξ.〔要求写出计算过程或说明道理〕〔19〕、〔本大题总分值12分〕如图,P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点,1PA =,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O.〔Ⅰ〕证实PA ⊥BF ；〔Ⅱ〕求面APB 与面DPB 所成二面角的大小.〔20〕、〔本大题总分值12分〕函数()f x 在R 上有定义,对任何实数0a >和任何实数x ,都有()()f ax af x =〔Ⅰ〕证实()00f =；,kx 0x ≥,〔Ⅱ〕证实()f x = 其中k 和h 均为常数； ,hx 0x <, 〔Ⅲ〕当〔Ⅱ〕中的0k >时,设()()()1(0)g x f x x f x =+>,讨论()g x 在()0,+∞内的单调性并求极值.〔21〕、〔本大题总分值12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ,()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅ 〔Ⅰ〕写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥,并求n S 关于n 的表达式； 〔Ⅱ〕设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n+==∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .ABCD EFO P第19题图H〔22〕、〔本大题总分值14分〕如图,F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点.P 为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方,M为左准线上一点,O 为坐标原点.四边形OFPM 为平行四边形,PF OF λ=.〔Ⅰ〕写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式； 〔Ⅱ〕当1λ=时,经过焦点F 且品行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点,假设12AB =,求此时的双曲线方程.普通高等学校招生全国统一测试理科数学本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至2页.第二卷3至4页.全卷总分值150分,测试时间120分钟.考生考前须知：1.做题前,务必在试题卷、做题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对做题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类〞与本人座位号、姓名、科类是否一致.2．答第一卷时,每题选出答案后,用2B 铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．答第二卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在做题卡上书写.在试题卷上作答无效. 4．测试结束,监考人员将试题卷和做题卡一并收回. 参考公式：如果时间A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+如果时间A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kkkn n P k C P P -=-球的外表积公式24S R π=,其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕A ．iB ．i -C iD i1i i===-应选A 〔2〕设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2|,12B y y x x ==--≤≤,那么()R C A B 等于〔 〕A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,2]A =,[4,0]B =-,所以(){0}R R C AB C =,应选B.〔3〕假设抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,那么p 的值为〔 〕A ．2-B ．2C ．4-D ．4解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),那么4p =,应选D.〔4〕设,a R ∈b ,命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭,那么p 是q 成立的〔 〕 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：命题:p a b =是命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件,应选B. 〔5〕函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是〔 〕A ．,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩B ．2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ C ．,02,0xx y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩D ．2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩ 解：有关分段函数的反函数的求法,选C.〔6〕将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移,平移后的图象如下图,那么平移后的图象所对应函数的解析式是〔 〕A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+,由图象知,73()1262πππω+=,所以2ω=,因此选C. 〔7〕假设曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,那么l 的方程为〔 〕 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=,应选A〔8〕设0a >,对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<,以下结论正确的选项是〔 〕A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解：令sin ,(0,1]t x t =∈,那么函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<的值域为函数1,(0,1]a y t t =+∈的值域,又0a >,所以1,(0,1]ay t t=+∈是一个减函减,应选B.〔9〕外表积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,那么此球的体积为A ．23π B ．13π C ．23π D ．223π 解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形,所以由238234a ⨯=知,1a =,那么此球的直径为2,应选A.〔10〕如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩,那么2x y -的最大值为〔 〕A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0,-1)时,t 最大,应选B.〔11〕如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值,那么〔 〕A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形,222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形,222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0,那么111A B C ∆是锐角三角形,假设222A B C ∆是锐角三角形,由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩,得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩,那么,2222A B C π++=,所以222A B C ∆是钝角三角形.应选D.〔12〕在正方体上任选3个顶点连成三角形,那么所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为〔 〕A ．17 B ．27 C ．37 D ．47解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C 个三角形,要得直角非等腰．．三角形,那么每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有24个,得3824C ,所以选C.2022年普通高等学校招生全国统一测试〔安徽卷〕理科数学第二卷〔非选择题 共90分〕考前须知：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在做题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分,把答案填写在做题卡的相应位置.〔13〕设常数0a >,42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32,那么2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.解：1482214r r rrr T C axx---+=,由18232,2,r rxxx r --==得4431=22r rC a -由知a=,所以212lim()1112n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-,所以为1. 〔14〕在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,那么MN =_______.〔用a b 、表示〕 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得,12AM a b =+,所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.〔15〕函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,假设()15,f =-那么()()5f f =__________.解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,那么()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.〔16〕多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,那么P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________.〔写出所有正确结论的编号．．〕 解：如图,B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4,那么D 、A 1的中点到平面α的距离为3,所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为52,所以B 1到平面α的距离为5；那么D 、B 的中点到平面α的距离为32,所以C 到平面α的距离为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为72,所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点,所以选①③④⑤.三、解做题：本大题共6小题,共74分,解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤〔17〕〔本大题总分值12分〕310,tan cot 43παπαα<<+=- 〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=,即1tan 3tan 3αα=-=-或,又34παπ<<,所以1tan 3α=-为所求.ABCDA 1B 1C 1D 1 第16题图α〔Ⅱ〕225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==.〔18〕〔本大题总分值12分〕在添加剂的搭配使用中,为了找到最正确的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比拟.在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.〔Ⅰ〕写出ξ的分布列；〔以列表的形式给出结论,不必写计算过程〕 〔Ⅱ〕求ξ的数学期望E ξ.〔要求写出计算过程或说明道理〕1122322211234567895151515151515151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔19〕〔本大题总分值12分〕如图,P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点,1PA =,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O.〔Ⅰ〕证实PA ⊥BF ；〔Ⅱ〕求面APB 与面DPB 所成二面角的大小.解：〔Ⅰ〕在正六边形ABCDEF 中,ABF 为等腰三角形, ∵P 在平面ABC 内的射影为O,∴PO ⊥平面ABF,∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点,∴AO ⊥BF,∴PA ⊥BF.〔Ⅱ〕∵PO ⊥平面ABF,∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点,ABCDEF 是正六边形 ,∴A 、O 、D 共线,且直线AD ⊥BF,那么AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1,∴12AO =,32DO =,2BO =.过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H,连AH 、DH,那么AH ⊥PB,DH ⊥PB,所以AHD ∠为所求二面角平面角.在AHO 中,OH=7,1tan 7AO AHO OH ∠==.在DHO 中,3tan 2DO DHO OH ∠===； ABCD EFO P 第19题图H而tan tan()AHD AHO DHO ∠=∠+∠==〔Ⅱ〕以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0,12-∴1(0,,1)2PA =--,3(1)2PB =-,(0,2,1)PD =-设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =,那么1n PA ⊥,1n PB⊥,得11110210y x ⎧--=⎪⎪-=,123(2,1)3n =-； 设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =,那么2n PD ⊥,2n PB ⊥,得22210102y x -=⎧-=⎩,2231(,1)32n =； 121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅〔20〕〔本大题总分值12分〕函数()f x 在R 上有定义,对任何实数0a >和任何实数x ,都有()()f ax af x =〔Ⅰ〕证实()00f =；〔Ⅱ〕证实(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩ 其中k 和h 均为常数；〔Ⅲ〕当〔Ⅱ〕中的0k >时,设()()()1(0)g x f x x f x =+>,讨论()g x 在()0,+∞内的单调性并求极值.证实〔Ⅰ〕令0x =,那么()()00f af =,∵0a >,∴()00f =.〔Ⅱ〕①令x a =,∵0a >,∴0x >,那么()()2f x xf x =.假设0x ≥时,()f x kx =()k R ∈,那么()22f x kx =,而()2xf x x kx kx =⋅=,∴()()2f x xf x =,即()f x kx =成立.②令x a =-,∵0a >,∴0x <,()()2f x xf x -=-假设0x <时,()f x hx =()h R ∈,那么()22f x hx -=-,而()2xf x x hx hx-=-⋅=-,∴()()2f xxf x -=-,即()f x hx =成立.∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立. 〔Ⅲ〕当0x >时,()()()11g x f x kx f x kx =+=+,22211()x g x k kx kx-'=-+= 令()0g x '=,得11x x ==-或；当(0,1)x ∈时,()<0g x ',∴()g x 是单调递减函数； 当[1,)x ∈+∞时,()>0g x ',∴()g x 是单调递增函数；所以当1x =时,函数()g x 在()0,+∞内取得极小值,极小值为1(1)g k k=+ 〔21〕〔本大题总分值12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ,()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅〔Ⅰ〕写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥,并求n S 关于n 的表达式；〔Ⅱ〕设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n+==∈,求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---,即()221(1)1n n n S n S n n ---=-,所以1111n n n nS S n n -+-=-,对2n ≥成立. 由1111n n n n S S n n -+-=-,121112n n n n S S n n ----=--,…,2132121S S -=相加得：1121n n S S n n +-=-,又1112S a ==,所以21n n S n =+,当1n =时,也成立. 〔Ⅱ〕由()111n n n n S n f x x x n n ++==+,得()/n n n b f p np ==.而23123(1)n nn T p p p n p np -=++++-+,234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+,23111(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p pp npnp p-++--=+++++-=--〔22〕〔本大题总分值14分〕如图,F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点.P为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方,M 为左准线上一点,O 为坐标原点.四边形OFPM 为平行四边形,PF OF λ=.〔Ⅰ〕写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式；〔Ⅱ〕当1λ=时,经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点,假设12AB =,求此时的双曲线方程.解：∵四边形OFPM 是,∴||||OF PM c ==,作双曲线的右准线交PM 于H,那么2||||2a PM PH c=+,又2222222||||||2222PF OF c c e e a a PH c a e c c c cλλλλ=====----,220e e λ--=.〔Ⅱ〕当1λ=时,2e =,2c a =,223b a =,双曲线为2222143x y a a-=四边形OFPM 是菱形,所以直线OP,那么直线AB的方程为2)y x a =-,代入到双曲线方程得：22948600x ax a -+=,又12AB =,由AB =12=,解得294a =,那么2274b =,所以2212794x y -=为所求.。
1992年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南)
1992年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分） 设函数z=i 2+，那么argz 是（ ） A ． B ． C ． D ． ﹣2．（3分）如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是16πcm 3，那么它的底面半径等于（ ） A ． 4cm B ． 4cm C ． 2cm D ． 2cm3．（3分）的值等于（ ） A ． 1 B ． 0C ． ﹣D ． ﹣4．（3分） 函数y=log的反函数是（ ）A ． y =1+2﹣x （x ∈R ）B ． y =1﹣2﹣x （x ∈R ）C ． y =1+2x （x ∈R ）D ． y =1﹣2x （x ∈R ） 5．（3分） 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，如果AB=BC=a ，AA 1=2a ，那么点A 到直线A 1C 的距离等于（ ） A ． B ． a C ． a D ．a6．（3分） 函数y=sinxcosx+的最小正周期等于（ ）A ．π B ． 2πC ．D ．7．（3分） 有一个椭圆，它的极坐标方程是（ ） A ． B ． ρ=C ． ρ=D ． ρ=8．（3分） 不等式的解集是（ ）A ． {x|5＜x ＜16}B ． {x|6＜x ＜18}C ． {x|7＜x ＜20}D ． {x|8＜x ＜22} 9．（3分） 设等差数列{a n }的公差是d ，如果它的前n 项和S n =﹣n 2，那么（ ） A ． a n =2n ﹣1，d=﹣2 B ． a n =2n ﹣1，d=2 C ． a n =﹣2n+1，d=﹣2 D ． a n =﹣2n+1，d=2 10．（3分） 方程cos2x=3cosx+1的解集是（ ）A ． {x|x=2k }B ．C ． {x|x=k }D ． {x|x=2kx}11．（3分） 有一条半径是2的弧，其度数是60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（ ） A ． 4（2﹣）π B ． 2（2﹣） C ． 4 D ． 2 12．（3分） 某小组共有10名学生，其中女生3名．现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同的选法共有（ ） A ． 27种 B ． 48种 C ． 21种 D ． 24种13．（3分） 设全集I=R ，集合M={x|＞2}，N={x|log x 7＞log 37}那么M∩∁U N=（ ）A ．{x|x ＜﹣2} B ． {x|x ＜﹣2，或x≥3}C ．{x|x≥3} D ． {x|﹣2≤x ＜3}14．（3分） 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1•a 2•a 3•…•a 30=230，那么a 3•a 6•a 9•…•a 30等于（ ） A ． 210 B ． 220 C ． 216 D ． 215 15．（3分） 设△ABC 不是直角三角形，A 和B 是它的两个内角，那么（ ） A ． “A ＜B“是“tanA ＜tanB“的充分条件，但不是必要条件． B ． “A ＜B“是“tanA ＜tanB“的必要条件，但不是充分条件． C ． “A ＜B“是“tanA ＜tanB“的充分必要条件． D ． “A ＜B“不是“tanA ＜tanB“的充分条件，也不是必要条件． 16．（3分） 对于定义域是R 的任何奇函数f （x ），都有（ ） A ． f （x ）﹣f （﹣x ）＞0 （x ∈R ） B ． f （x ）﹣f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）C ． f （x ）f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）D ． f （x ）f （﹣x ）＞0 （x ∈R ）17．（3分） 如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点坐标是（﹣，0）和（，0），那么它的两条准线之间的距离是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：把答案填在题中的横线上. 18．（3分） = _________ ．19．（3分）设直线的参数方程是，那么它的斜截式方程是_________．20．（3分）如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（﹣8，0），那么它的内切圆方程是_________．21．（3分）=_________．22．（3分）9192除以100的余数是_________．23．（3分）已知三棱锥A﹣BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=_________．三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.24．已知关于x的方程2a2x﹣2﹣7a x﹣1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．25．已知：平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β．求证：a∥α．26．证明不等式（n∈N*）27．设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程．28．求同时满足下列两个条件的所有复数z：①z+是实数，且1＜z+≤6；②z的实部和虚部都是整数．1992年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设函数z=i2+，那么argz是（）A．B．C．D．﹣考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出．解答：解：z=﹣1+i═2=2，∴．故选C．点评：熟练掌握特殊角的三角函数值和辐角主值的意义是解题的关键．2．（3分）如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是16πcm3，那么它的底面半径等于（）A．4cm B．4cm C．2cm D．2cm考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：先要根据题意设出底面半径，根据圆柱体的体积公式列出方程即可求解．解答：解：设等边圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，由题意得πr2•2r=16π，r=2．故选D．点评：此题主要考查了实数的运算，解答此类题目的关键是熟知圆柱的体积公式即可．3．（3分）的值等于（）A．1B．0C．﹣D．﹣考点：反三角函数的运用．专题：三角函数的求值．分析：根据反三角函数的定义可得arcsin=，arccos（﹣）=，arctan（﹣）=﹣，代入要求的式子化简可得结果．解答：解：==1，故选A．点评：本题主要考查反三角函数的定义，属于中档题．4．（3分）函数y=log的反函数是（）A．y=1+2﹣x（x∈R）B．y=1﹣2﹣x（x∈R）C．y=1+2x（x∈R）D．y=1﹣2x（x∈R）考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：把y看作常数，求出x：x=﹣2﹣y+1，x，y互换，得到y=log的反函数．解答：解：把y看作常数，求出x：x﹣1=﹣2﹣y，x=﹣2﹣y+1，x，y互换，得到y=log的反函数：y=﹣2﹣x+1，x∈R，故选B．点评：本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．5．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果AB=BC=a，AA1=2a，那么点A到直线A1C的距离等于（）A．B． a C． a D． a考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD，即可得到AC=，A1C=，再根据等面积可得答案．解答：解：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，如图所示：根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD．因为AB=BC=a，AA1=2a，所以AC=，A1C=，根据等面积可得：AE==．故选C．点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．6．（3分）函数y=sinxcosx+的最小正周期等于（）A．πB．2πC．D．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：将y=sinxcosx+cos2x﹣转化为y=sin（2x+），即可求得其最小正周期．解答：解：∵y=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴其最小正周期T==π．故选A．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．7．（3分）有一个椭圆，它的极坐标方程是（）A．B．ρ=C．ρ=D．ρ=考点：简单曲线的极坐标方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知中圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，我们可以判断出曲线的离心率，进而判断出的极坐标方程．解答：解：∵圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=，则该曲线表示离心率为e，对照选项，排除C．A中：，e=＞1，表示双曲线，故错；B中：ρ=，e=1，表示抛物线，故错；D中：，e=＜1，表示椭圆，故正确；故选D．点评：本题的知识点是简单曲线的极坐标方程，其中圆锥曲线的极坐标方程统一为ρ=，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离，就是解答本题的关键．8．（3分）不等式的解集是（）A．{x|5＜x＜16} B．{x|6＜x＜18} C．{x|7＜x＜20} D．{x|8＜x＜22}考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式可得﹣1＜﹣3＜1，即2＜＜4，化为4＜x﹣2＜16，由此求得不等式的解集．解答：解：由不等式，可得﹣1＜﹣3＜1，故有2＜＜4，∴4＜x﹣2＜16，解得6＜x＜18，故选B．点评：本题主要考查绝对值不等式、根式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．9．（3分）设等差数列{a n}的公差是d，如果它的前n项和S n=﹣n2，那么（）A．a n=2n﹣1，d=﹣2 B．a n=2n﹣1，d=2 C．a n=﹣2n+1，d=﹣2D．a n=﹣2n+1，d=2考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用即可得出．解答：解：当n=1时，a1=S1=﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣n2﹣[﹣（n﹣1）2]=1﹣2n，当n=1时也成立．∴d=﹣2．故选C．点评：熟练掌握是解题的关键．10．（3分）方程cos2x=3cosx+1的解集是（）A．{x|x=2k} B．C．{x|x=k}D．{x|x=2kx}考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用二倍角的余弦cos2x=2cos2x﹣1，将其代入已知关系式，解方程即可．解答：解：∵cos2x=2cos2x﹣1，∴2cos2x﹣1=3cosx+1，∴（cosx﹣2）（2cosx+1）=0，∴cosx=﹣或cosx=2（舍去）．∴x=2kπ±，k∈Z．∴方程cos2x=3cosx+1的解集是{x|x=2kπ±，k∈Z}．故选A．点评：本题考查二倍角的余弦，考查方程思想与余弦函数的性质，属于中档题．11．（3分）有一条半径是2的弧，其度数是60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（）A．4（2﹣）π B．2（2﹣）C．4D．2考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用度数是60°求出球冠的高，再利用球冠的面积公式求出球冠的面积即可．解答：解：球的半径为：r=OA=OB=2，有一条半径是2的弧，度数是60°，如图．在直角三角形BOD中，∠BOD=30°，OB=2，∴OD=，∴球冠的高H=CD=OC﹣OD=2﹣，∴球冠的面积为：2πr•H=2π×2×（2﹣）=4（2﹣）π，故选A点评：本题是基础题，考查球冠的面积，考查计算能力，牢记基本公式是解题的关键．球冠面积求法公式中学不学习推导方法，记住就可以12．（3分）某小组共有10名学生，其中女生3名．现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同的选法共有（）A．27种B．48种C．21种D．24种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括二种情况，一是有一女一男，二是有两女，分别用组合数表示出二种情况的结果数，根据分类计数原理“至少有1名女生当选”包含的基本事件数．解答：解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括二种情况，一是有一女一男，二是有两女，当有一女一男时共有C31•C71=21当有两女时共有C32=3事件“至少有1名女生当选”所包含的基本事件数21+3=24（种）故选D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（3分）设全集I=R，集合M={x|＞2}，N={x|log x7＞log37}那么M∩∁U N=（）A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2，或C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3}x≥3}考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：解根式不等式或对数不等式，求出M，N，依据补集定义求出∁U N，再根据交集的定义求出M∩（∁U N）．解答：解：由＞2，得x＜﹣2或x＞2，∴M={x|x＜﹣2或x＞2}．∵N=x|log x7＞log37}={x|1＜x＜3}，∴∁U N={x|x≤1或x≥3}．∴M∩（∁U N）={x|x＜﹣2，或x≥3}．故选B．点评：本题考查两个集合的交集、补集的定义和运算，对数函数的单调性和特殊点．14．（3分）设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1•a2•a3•…•a30=230，那么a3•a6•a9•…•a30等于（）A．210B．220C．216D．215考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由等比数列的通项公式，可得a1•a2•a3=（）3，同理a4•a5•a6=（）3，…，a28•a29•a30=（）3，故原式a•a2•a3•…•a30=（）3=230，将q=2代入，即可求出a3•a6•a9•…•a30的值．1解答：解：∵a1•a2•a3=••a3=（）3，a4•a5•a6=••a6=（）3，…，a28•a29•a30=（）3，∴a1•a2•a3…a30=（）3•（）3…（）3=（）3=230，又∵q=2，∴a3•a6•a9••a30=220．故选B．点评：本题考查了等比数列的通项公式，找出已知a1•a2•a3•…•a30和未知a3•a6•a9•…•a30的关系是解题的关键．15．（3分）设△ABC不是直角三角形，A和B是它的两个内角，那么（）A．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分条件，但不是必要条件．B．“A＜B“是“tanA＜tanB“的必要条件，但不是充分条件．C．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分必要条件．D．“A＜B“不是“tanA＜tanB“的充分条件，也不是必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：利用充分条件和必要条件的定义分别判断．解答：解：因为△ABC不是直角三角形，A和B是它的两个内角，所以A≠90°，B≠90°．若A=30°，B=45°，满足A＜B，则tan30°＜tan45°，若A=30°，B=135°，满足A ＜B ，则tan30°＞tan45°，所以A ，B 的大小与tanA ，tanB 的大小没有关系．所以“A ＜B“不是“tgA ＜tgB“的充分条件，也不是必要条件． 故选D ．点评： 本题主要考查正切函数的图象和性质以及充分条件和必要条件的应用．16．（3分） 对于定义域是R 的任何奇函数f （x ），都有（ ） A ． f （x ）﹣f （﹣x ）＞0 （x ∈R ） B ． f （x ）﹣f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）C ． f （x ）f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）D ． f （x ）f （﹣x ）＞0 （x ∈R ）考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 探究型． 分析： 利用奇函数的性质分别进行判断． 解答： 解：因为f （x ）是奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ）．则A ．f （x ）﹣f （﹣x ）=2f （x ），不一定大于0，所以A 错误． B ．f （x ）﹣f （﹣x ）=2f （x ）不一定小于等于0，所以B 错误． C ．f （x ）f （﹣x ）=﹣f 2（x ）≤0，所以C 正确． D ．f （x ）f （﹣x ）=﹣f 2（x ）≤0，所以D 不正确． 故选C ．点评： 本题主要考查奇函数的应用，要求熟练掌握奇函数的性质．17．（3分） 如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点坐标是（﹣，0）和（，0），那么它的两条准线之间的距离是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析：根据题意，设双曲线方程为﹣=1，可得关于a 、b 的方程组：=且a 2+b 2=26，联解可得a=2，b=3，由此求出双曲线的两条准线，即可得到两条准线之间的距离． 解答：解：∵双曲线的焦点坐标是（﹣，0）和（，0）， ∴设双曲线方程为﹣=1（a ＞0，b ＞0） 由渐近线的方程是，得=…① 又有a 2+b 2=26…② 将①②联解，得a=2，b=3，因此，双曲线的准线方程为x=，即x=可得两条准线之间的距离是故选：A点评：本题给出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，求它的两条准线间的距离，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．二、填空题：把答案填在题中的横线上.18．（3分）=﹣1．考点：二倍角的正切．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由于=×，利用公式tan=即可求得答案．解答：解：∵tan====﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查二倍角的正切，考查观察与运用公式的能力，属于中档题．19．（3分）设直线的参数方程是，那么它的斜截式方程是．考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得y﹣3=（x﹣2），从而得到直线的普通方程，最后再化成斜截式方程即可．解答：解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得y﹣3=（x﹣2），那么它的斜截式方程是．故答案为：．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线斜截式方程，属于基础题．20．（3分）如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（﹣8，0），那么它的内切圆方程是（x+3）2+（y﹣3）2=9．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：利用截距式求得AB的方程为15x﹣8y﹣120=0．设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|=，求得a的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程．解答：解：利用截距式求得AB的方程为，即15x﹣8y﹣120=0．设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|==，解得a=﹣3，故圆心为（﹣3，3），半径为3，故它的内切圆方程是（x+3）2+（y﹣3）2=9，故答案为（x+3）2+（y﹣3）2=9．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于中档题．21．（3分）=．考点：极限及其运算；数列的求和．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：首先利用列项相消法求出数列的和，然后取极限即可得到答案．解答：解：====．故答案为．点评：本题考查了列项相消法求数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是基础的运算题．22．（3分）9192除以100的余数是81．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项式定理展开9192，可得展开式中，除了最后一项992外，其余的项都能被100整除，故9192除以10的余数是992．再用二项式定理展开992=（10﹣1）92，可得992=﹣919=﹣10×100+81，从而得到答案．解答：解：由于9192=（100﹣9）92=+++…++，在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于=992除以100的余数，而992=（10﹣1）92=+++…+++，故992除以100的余数等价于+除以100的余数，而+=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余数是81，故答案为81．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．23．（3分）已知三棱锥A﹣BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；作图题．分析：作出三棱锥A﹣BCD，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，从而得到二面角A﹣BC﹣D的平面角，把三棱锥的高AH用体积和底面积表示，把斜高用△ABC的面积和边BC的长度表示，在直角三角形AHE中可求角α的正弦值．解答：解：如图，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，根据三垂线定理可知，HE⊥BC，所以∠AEH是二面角A﹣BC﹣D的平面角，则∠AEH=α，由已知S△BCD=S2，三棱锥A﹣BCD的体积为V=，AH=，，AE=2，sinα===．所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为．故答案为．点评：本题考查了二面角的平面角的求法，考查了锥体的体积公式，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.24．已知关于x的方程2a2x﹣2﹣7a x﹣1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：先用待定系数法解出a的值再解指数方程即可求其余根．解答：解：由已知2a4﹣2﹣7a2﹣1+3=0 2a2﹣7a1+3=0⇒a=或a=3当a=时，原方程就是解得或故有x=2 或x=1+log1/23当a=3时，原方程就是2•32x﹣2﹣7•3x﹣1+3=0解得或3x﹣1=3故有x=1﹣log32 或x=2综上所述，当a=时，方程的另一个根是1+log1/23；当a=3时，方程的另一个根是1﹣log32点评：本题主要考查了指数方程的解法，做题过程中注意指数运算律的应用．25．已知：平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β．求证：a∥α．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β．再由直线a⊥平面β，可得a∥c，根据直线和平面平行的判定定理，可得a∥平面α．解答：证明：∵平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β．∵直线a⊥平面β，∴a∥c．而c⊂α，a⊄α，∴根据直线和平面平行的判定定理，可得a∥平面α．点评：本小题考查直线与平面、平面与平面的位置关系以及逻辑推理和空间想象能力，属于中档题．26．证明不等式（n∈N*）考点：用数学归纳法证明不等式．专题：证明题；转化思想．分析：证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可．证法二：构造函数f（n）=，通过函数单调性定义证明f（k+1）＞f（k）然后推出结论．解答：证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+＜2，则∴当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+＜2．证法二：设f（n）=，那么对任意k∈*都有：∴f（k+1）＞f（k）因此，对任意n∈N*都有f（n）＞f（n﹣1）＞…＞f（1）=1＞0，∴．点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．27．设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）．由于点（﹣1，6）在抛物线上，代入可得2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．因此．设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1），利用根与系数的关系、弦长公式即可得到a，p．解答：解：∵两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y ﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）．∵点（﹣1，6）在抛物线上，∴2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．∴．设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1）∴x1+x2=，x1x2=．∵|AB|==，∴=16×10，化为2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=．∵a＞0，∴a=．∴=16．∴抛物线的方程为．点评：熟练掌握抛物线的对称性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．28．求同时满足下列两个条件的所有复数z：①z+是实数，且1＜z+≤6；②z的实部和虚部都是整数．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+为一个整体t，进行整体换元，得到z2﹣tz+10=0，对于②利用求根公式解出z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．解答：解：设z+=t，则z2﹣tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2﹣40＜0，解方程得z=±i．又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或z=3±i．点评：本题考查一元二次方程在判别式小于0时的解法，体现了换元的思想．。
1992高考数学全国卷及答案文
1992年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题).满分120分.考试时间120分钟.用钢笔直接答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚.一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分.在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内.(1)3log 9log 28的值是 ( )(A)32 (B) 1 (C)23 (D) 2(2)已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是( )(A) 2(B) 3(C) 5(D) 7(3)如果函数y =sin(ωx )cos(ωx )的最小正周期是4π,那么常数ω为( )(A) 4(B) 2(C)21 (D)41 (4)在(312xx -)8的展开式中常数项是 ( )(A) －28(B) －7(C) 7(D) 28(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )(A) 6∶5(B) 5∶4(C) 4∶3(D) 3∶2(6)图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像.已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为 ( )(A) －2，，21-21，2 (B) 2，21，，21-－2(C) ，21-－2，2，21(D) 2，，21－2，－21 (7)若log a 2< log b 2<0，则( )(A) 0<a <b <1(B) 0<b <a <1(C) a >b >1(D) b >a >1(8)原点关于直线8x ＋6y =25的对称点坐标为( )(A) (23,2) (B) (625,825) (C) (3，4) (D) (4，3)(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A) x 2＋y 2－x －2y －41=0 (B) x 2＋y 2＋x －2y ＋1=0 (C) x 2＋y 2－x －2y ＋1=0 (D) x 2＋y 2－x －2y ＋41=0 (11)在[0，2π]上满足sin x ≥21的x 的取值范围是 ( )(A) ]60[π，(B) ]656[ππ， (C) ]326[ππ，(D) ]65[ππ， (12)已知直线l 1和l 2夹角的平分线为y =x ，如果l 1的方程是ax ＋by ＋c =0(ab >0)，那么l 2的方程是( )(A) bx ＋ay ＋c =0 (B) ax －by ＋c =0 (C) bx ＋ay －c =0 (D) bx －ay ＋c =0(13)如果α，β∈(2π，π)且tg α<ctg β,那么必有 ( ) (A) α<β (B)β<α(C) α＋β<π23 (D) α＋β>π23(14)在棱长为1的正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 和N 分别 为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )(A)23 (B)1010 (C)53 (D)52 (15)已知复数z 的模为2，则|z －i |的最大值为( )(A) 1 (B) 2(C)5(D) 3(16)函数y =2xx e e --的反函数( )(A) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数(B) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数(C) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数(D) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数(17)如果函数f (x )=x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )=f (2－t )，那么( )(A) f (2)<f (1)<f (4) (B) f (1)<f (2)<f (4) (C) f (2)<f (4)<f (1)(D) f (4)<f (2)<f (1)(18)已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )(A) 32(B)14(C) 5 (D) 6二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.(19)]31)1(2719131[lim 1n n n -∞→-+++-的值为_______ (20)已知α在第三象限且tg α=2，则cos α的值是_________(21)方程xx3131++-=3的解是________(22) 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为_______(23)焦点为F 1(－2，0)和F 2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是___________三．解答题：本大题共5小题；共51分.解答应写出文字说明、演算步骤(24)(本小题满分9分)求sin 220º+ cos 280º＋3sin20ºcos80º的值. (25)(本小题满分10分) 设z ∈C ，解方程z －2|z |=－7+4i.(26)(本小题满分10分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1－EBFD1的体积.(27)(本小题满分10分)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标.(28)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a3=12，S12>0，S13<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1，S2，…S12中哪一个值最大，并说明理由.1992年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案及评分标准说明：一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分.三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.五．只给整数分数.一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分54分.(1)A (2)D (3)D (4)C (5)D (6)B (7)B (8)D (9)D(10)D (11)B (12)A (13)C (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.(19)41 (20)55- (21)x =－1 (22)12815 (23)1124)2(22=--y x三、解答题(24)本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力.满分9分. 解 sin 220º+cos 280º＋3sin 220ºcos80º=232160cos 1240cos 1+++- (sin100º－sin60º) ——3分 =1＋21(cos160º－cos40º)+23sin100º－43 ——5分 =41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º ——7分 =41－23sin100º＋23sin100º =41. ——9分 (25)本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识.满分10分. 解 设 z =x ＋yi (x ，y ∈R ). 依题意有x ＋yi －222y x +=－7+4i ——2分由复数相等的定义，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.47222y y x x ——5分 将②代入①式，得 x －2162+x =－7. 解此方程并经检验得①②x 1=3， x 2=35. ——8分 ∴ z 1 =3＋4i ， z 2=35＋4i . ——10分(26)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一 ∵ EB =BF =FD 1=D 1E =22)2(a a +=25a ， ∴ 四棱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形. ——2分 连结A 1C 1、EF 、BD 1，则A 1C 1∥EF .根据直线和平面平行的判定定理，A 1C 1平行于A 1－EBFD 1的底面，从而A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是A 1－EBFD 1的高 ——4分设G 、H 分别是A 1C 1、EF 的中点，连结D 1G 、GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1根据直线和平面垂直的判定定理，有 FH ⊥平面HGD 1，又，四棱锥A 1－EBFD 1的底面过FH ，根据两平面垂直的判定定理，有A 1－EBFD 1的底面⊥平面HGD 1.作GK ⊥HD 1于K ，根据两平面垂直的性质定理，有GK 垂直于A 1－EBFD 1的底面. ——6分 ∵ 正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴ ∠HGD 1=90º. 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a .∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a . ——8分∴ 11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK =31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a =61a 3 ——10分解法二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1E =22)2(a a +=25a ， ∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形. ——2分 连结EF ，则△EFB ≌△EFD 1.∵ 三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高， ∴ 111EFD A EFB A V V --=.∴ EFB A EBFD A V V --=1112. ——4分 又 11EBA F EFB A V V --=，∴ 1112EBA F EBFD A V V --=， ——6分 ∵ CC 1∥平面ABB 1A 1，∴ 三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a . ——8分 又 △EBA 1边EA 1上的高为a .∴ 11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3. ——10分 (27)本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力.满分10分.解 由 ⎩⎨⎧==+-.0,012y y x得 顶点A (－1，0). ——2分 又，AB 的斜率 k AB =)1(102---=1.∵ x 轴是∠A 的平分线，故AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y =－(x ＋1) ① ——5分 已知BC 上的高所在直线的方程为x －2y ＋1=0，故BC 的斜率为－2，BC 所在的直线方程为y －2=－2(x －1) ② ——8分 解①，②得顶点C 的坐标为(5，－6). ——10分 (28)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.满分12分.解(Ⅰ)依题意，有2)112(1212112-⨯+=a S ·d >0，2)113(1313113-⨯+=a S ·d <0.即⎩⎨⎧<+>+.06,011211d a d a ——4分 由a 3=12，得a 1＋2d =12. ③ 将③式分别代入①、②式，得⎩⎨⎧<+>+.03,0724d d 解此不等式组得 －.3724-<<d ——6分 (Ⅱ)解法一 由d <0可知 a 1> a 2> a 3>…> a 12> a 13.因此，若1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. ——9分 由于 S 12=6(a 6+a 7)>0， S 13=13a 7<0， 即 a 6+a 7>0， a 7<0，由此得 a 6>－a 7>0. 因 a 6>0，a 7<0.故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大.(Ⅱ)解法二 S n =na 1＋d n n 2)1(- =n (12－2d )＋21n (n －1)d=2d [n －21(5－d 24)]2－2)]245(21[2d d -, ∵ d <0，①②∴ [n －21(5－d 24)]2最小时，S n 最大. ——9分 当 －3724-<<d 时 6<21(5－d24)<6.5， ∴ 正整数n =6时[n －21(5－d24)]2最小，∴ S 6最大. ——12分 (Ⅱ)解法三 由d <0可知a 1> a 2> a 3>…> a 12> a 13.因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. ——9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒.0076a a 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大. ——12分 注：如果只答出S 6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给3分.。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试92
高考数学普通高等学校招生全国统一考试92理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分：考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前：务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名：并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时：每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动：用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时：必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4．考试结束：监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果时间A 、B 互斥：那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立：那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ：那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kkkn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=：其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=：其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分：在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。
（1等于A ．iB ．i -C iD i（2）、设集合{}22,A x x x R =-≤∈：{}2,12B y x x ==--≤≤：则()R C AB 等于A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅（3）、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合：则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4（4）、设,a R ∈b ：已知命题:p a b =：命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭：则p 是q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2,x 0x ≥（5）、函数y = 的反函数是 2x -, 0x <2x： 0x ≥ 2,x 0x ≥ A ．y = B ．y =x -： 0x < x -： 0x <2x： 0x ≥ 2,x 0x ≥ C ．y = D ．y =x --： 0x < x --： 0x < （6）、将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移：平移后的图象如图所示：则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-（7）、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直：则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=（8）、设0a >：对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<：下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值（9）、表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上：则此球的体积为A ．3 B ．13π C ．23π D ．3 10x y -+≥：（10）、如果实数x y 、满足条件 10y +≥： 那么2x y -的最大值为 10x y ++≤：A ．2B ．1C ．2-D ．3-（11）、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值：则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形：222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形：222A B C ∆是钝角三角形（12）、在正方体上任选3个顶点连成三角形：则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．17 B ．27 C ．37 D ．47高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上书写作答无效。
1992年普通高等学校招生考试(三南卷)数学
1992年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷1. 设函数z=ⅈ2+√3ⅈ, 那么arg z是(A)56π(B)π3(C)23π(D)−43π2. 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱) 的体积是16πcm3, 那么它的底面半径等于(A)4√23cm(B)4cm(C)2√23cm(D)2cmarc sin√32−arc cos(−12)arctan(−√3)的值等于(A)1(B)0(C)−25(D)−654. 函数y=log12(1−x)(x<1)的反函数是(A)y=1+2−x(x∈R)(B)y=1−2−x(x∈R)(C)y=1+2x(x∈R)(D)y=1−2x(x∈R)5. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中, 如果AB=BC=a,AA1=2a, 那么点A到直线A1C的距离等于(A)2√63a(B)3√62a(C)2√33a(D)√63a6. 函数y=sⅈn x cos x+√3cos2x−√32的最小正周期等于(A)π(B)2π(C)π4(D)π27. 有一个椭圆, 它的极坐标方程是(A)ρ=√3−2cosθ(B)ρ=√3−√3cosθ(C)ρ=2−√3cosθ5(D)ρ=2−√3cosθ8.不等式|√x−2−3|<1的解集是(A){x|5<x<16}(B){x|6<x<18}(C){x|7<x<20}(D){x|8<x<22}9.设等差数列{a n}的公差是d, 如果它的前n项和S n=−n2, 那么(A)a n=2n−1,d=−2(B)a n=2n−1,d=2(C)a n=−2n+1,d=−2(D)a n=−2n+1,d=210.方程cos2x=3cos x+1的解集是π,k∈Z}(A){x|x=2kπ±23π,k∈Z}(B){x|x=kπ±13π,k∈Z}(C){x|x=kπ±23π,k∈Z}(D){x|x=2kπ±1311. 有一条半径是 2 的弧, 其度数是600, 它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠, 那么这个球冠的面积是(A)4(2−√3)π(B)2(2−√3π)(C)4√3π(D)2√3π12. 某小组共有10 名学生, 其中女生 3 名. 现选举 2 名代表, 至少有 1 名女生当选的不同的选法共有(A) 27 种(B) 48 种(C) 21 种(D) 24 种13. 设全集U=R, 集合M={x|√x2>2},N={x|log x7>log37}, 那么M∩N̅=’(A){x|x<−2}(B){x|x<−2或x≥3}(C){x|x≥3}(D) {x|−2≤x<3}14. 设{a n}是由正数组成的等比数列, 公比q=2, 且a1a2a3⋯a30=230, 那么a3a6a9⋯a30等于(A)210(B)220(C)216(D)21515. 设ΔABC不是直角三角形,A和B是它的两个内角, 那么( )(A)A<B是tan A<tan B的充分条件, 但不是必要条件(B)A<B是tan A<tan B是的必要条件, 但不是充分条件(C)A<B是tan A<tan B是的充分必要条件(D)A<B是tan A<tan B是的充分条件, 也不是必要条件16. 对于定义域是R的任何奇函数f(x), 都有(A)f(x)−f(−x)>0(x∈R)(B)f(x)−f(−x)≤0(x∈R)(C)f(x)f(−x)≤0(x∈R)(D)f(x)f(−x)>0(x∈R)17. 如果双曲线的两条渐近线的方程是y=±32x, 焦点坐标是(−√26,0)和(√26,0), 那么它的两条准线之间的距离是(A)813√26(B)413√26(C)1813√26(D)913√2618.tanπ8=19. 设直线的参数方程是{x=2+12ty=3+√32t, 那么它的斜截式方程是 .20. 如果三角形的顶点分别是O(0,0),A(0,15)B(−8,0), 那么它的内切圆方程是21. lⅈmn→∞[11×4+14×7+17×10+⋯+1(3n−2)(3n+1)]=22. 9192除以100 的余数是 .23. 已知三棱锥A −BCD 的体积是V , 棱BC 的长是a , 面ABC 和面DBC 的面积分别是S 1,S 2,设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α,那么sⅈn α=.24. 已知关于x 的方程2a 2x−2−7a x−1+3=0有一个根是 2, 求a 的值和方程其余的根25. 已知平面α和不在这个平面内的直线a 都垂直于平面β. 求证:a‖α26. 证明不等式: 1√2√3⋯+√n <2√n (n ∈N ∗)27. 设抛物线经过两点(−1,6)和(−1,−2)对称轴与x 轴平行, 开口向右, 直线y =2x +7被抛物线截得的线段的长是,4√10 求抛物线的方程28. 求同时满足下列两个条件的所有复数z : ①z +10z 是实数, 且1<z +10z ≤6②z 的实部和虚部都是整数。
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1992年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 22．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ）A ． 10°B ． 20°C ． 50°D ． 70°5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2，，﹣2，﹣7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞18．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）A ． 20°B ． 70°C ． 45°D ． 135°9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0D ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ）A ． 160B ． 240C ． 360D ． 80012．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ）A ． [0，arcsina ]B ． [arcsina ，π﹣arcsina ]C ． [π﹣arcsina ，π]D ． [arcsina ，+arcsina ]13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ）A ．b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=014．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 316．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）A ．B ．C ． 5D ． 6二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是 _________ ．20．（3分）sin15°sin75°的值是 _________ ．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则的值为 _________ ．22．（3分）焦点为F 1（﹣2，0）和F 2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是_________ ．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n }的公差d≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则的值是_________ ．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z ∈C ，解方程z ﹣3i =1+3i ．25．（10分）已知，cos （α﹣β）=，sin （α+β）=．求sin2α的值．26．（10分）已知：两条异面直线a 、b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA 1的长度为d ．在直线a 、b上分别取点E 、F ，设A 1E=m ，AF=n ．求证：EF=．27．（10分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 3=12，S 12＞0，S 13＜0．（1）求公差d 的取值范围．（2）指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．28．（11分）已知椭圆（a ＞b ＞0），A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P （x 0，0）．证明．1992年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（）A．B．1C．D．2考点：对数的运算性质．分析：根据，从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π，那么常数ω为（）A．4B．2C．D．考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值解答：解：∵y=sin（ωx）cos（ωx）=sin（2ωx），∴T=2π÷2ω=4π∴ω=，故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加绝对值．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）C．1D．A．2 B．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（）A．10°B．20°C．50°D．70°考点：两角和与差的正弦函数．分析：把原式移项整理，逆用两角和的正弦公式，解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解，写出所有的解，选择一个合适的，因为是选择题，也可以代入选项验证．解答：解：∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x，∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0，∴sin（4x+5x）=0，∴sin9x=0，∴9x=kπ，k∈Z，∴x=20°故选B．点评：抓住公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点，对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积，是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣考点：幂函数的图像． 专题：阅读型． 分析：由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．解答： 解：根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，n 越大，递增速度越快，故曲线c 1的n=﹣2，曲线c 2的n=，c 3的n=，曲线c 4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A ． 点评： 幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞ 1考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 计算题．分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log a 2＜log b 2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可． 解答： 解：∵log a 2＜log b 2＜0，由对数换底公式得：∴∴0＞log 2a ＞log 2b ∴根据对数的性质得： ∴0＜b ＜a ＜1． 故选B ． 点评：本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．8．（3分）直线（t为参数）的倾斜角是（）A．20°B．70°C．45°D．135°考点：直线的参数方程．专题：计算题．分析：已知直线（t为参数）再将直线先化为一般方程坐标，然后再计算直线l的倾斜角．解答：解：∵直线（t为参数）∴x﹣3=tsin20°，y=﹣tsin20°，∴x+y﹣3=0，∴直线倾斜角是135°，故选D．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y ﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．解答：解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．11．（3分）在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．800考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成．解答：解：（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2∴展开式中x的系数为C51•3•24=240故选项为B点评：本题考查二项式定理的推导依据：分步乘法计数原理，也是求展开式有关问题的方法．12．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（）A．[0，arcsina]B．[arcsina，π﹣arcsina]D．[arcsina，+arcsina]C．[π﹣arcsina，π]考点：正弦函数的图象；反三角函数的运用．分析：在同一坐标系中画出y=sinx、y=a，根据sinx≥a即可得到答案．解答：解：由题可知，如图示，当sinx≥a时，arcsina≤x≤π﹣arcsina故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象问题．三角函数的图象和性质是高考热点问题，要给予重视．13．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0，那么直线l2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程．解答：解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l1和l2关于直线y=x对称，故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x 和y交换位置，即得另一条直线的方程．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为2，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．解答：解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．点评：本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数考点： 反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；综合题．分析： 先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后判定反函数的奇偶性，单调性，即可得到选项．解答： 解：设e x =t （t ＞0），则 2y=t ﹣，t 2﹣2yt ﹣1=0，解方程得 t=y+负跟已舍去， e x =y+，对换 X ，Y 同取对数得函数y=的反函数： g （x ）=由于g （﹣x ）===﹣g （x ），所以它是奇函数，并且它在（0，+∞）上是增函数． 故选C ． 点评：本题考查反函数的求法，函数的奇偶性，单调性的判定，是基础题．17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．专题： 压轴题；数形结合．分析： 先从条件“对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答： 解：∵对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）∴f （x ）的对称轴为x=2，而f （x ）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f （2）＜f （1）＜f （4），故选A ．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x，令t=3x，然后移项、合并同类项，从而解出x．解答：解：∵，∴1+3﹣x=3（1+3x），令t=3x，则1+=3+3t，解得t=，∴x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简，利用换元法求解方程的根，是一道不错的题．20．（3分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义，求集合的子集及其个数，子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024，又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120．∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2，∴2c=6﹣（﹣2）=8，c=4，，b2=16﹣4=12，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要注意函数的平移变换，合理地选取公式．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程，利用复数相等，求出复数z即可．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R）．将z=x+yi代入原方程，得（x+yi）（x﹣yi）﹣3i（x﹣yi）=1+3i，整理得x2+y2﹣3y﹣3xi=1+3i．根据复数相等的定义，得由①得x=﹣1．将x=﹣1代入②式解得y=0，y=3．∴z1=﹣1，z2=﹣1+3i．点评：本小题考查复数相等的条件及解方程的知识，考查计算能力，是基础题．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．解答：解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：由题意作辅助面，作出两条异面直线a、b所成的角，再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角三角形中求解．解答：解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连接FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．∵AG=m，∴在△AFG中，FG2=m2+n2﹣2mncosθ．∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2﹣2mncosθ．如果点F（或E）在点A（或A1）的另一侧，则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此，EF=．点评：本题利用条件作出辅助面和辅助线，结合线面、面面垂直的定理，在直角三角形中求公垂线的长；考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有，即由a3=12，得a1=12﹣2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜﹣3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n＞0，a n+1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．⇒，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．考点：椭圆的简单性质．专题：证明题；压轴题．分析：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB 不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．解答：证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22①∵A、B在椭圆上，∴，．将上式代入①，得2（x2﹣x1）x0=②∵x1≠x2，可得．③∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2，∴﹣2a＜x1+x2＜2a，∴．点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．。