高考理科数学模拟试题

2018年6月1日15:00绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）理科数学（全国III 卷）考试时间：120分钟，满分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x ∈R |x 2−2x ≥0}，B ={−12，1}，则(C R A )∩B =（ ） A. ∅ B. {−12} C. {1} D. {−12，1}2．设复数z =11+i，则z ⋅z =（ ）A. 12 B. √22 C. 12i D. √22i3已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，764a =，15320a a a +=，则5S =（）A. 31B. 63C. 16D. 1274．设,x y 满足约束条件202020x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22y x ++的最大值为（ ）A. 1B.45 C. 12 D. 235．函数f(x)=sin(ωx +φ)+1（ω>0，|φ|<π2）的最小正周期是π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为偶函数，则函数f(x)的图象（ ）A.关于点(−π12 ，1)对称 B.关于直线x =π12对称 C.关于点(−π6 ， 0)对称 D.关于直线x =π3对称 6. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为12,A A ，…14,A ,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是A. 7B. 8C. 9D. 107. 已知A(−3 , 0)，B(0 , 4)，点C 在圆(x −m)2+y 2=1上运动， 若△ABC 的面积的最小值为52，则实数m 的值为A. 12或112 B. −112或−12 C. −12或112 D. −112或128．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 20+2√3B. 20+√3C. 18+√3D. 18+2√3 9. 已知ΔOAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足 OP⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−t )OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R )，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为（ ） A. √3 B. 1 C. √32 D. √3410. 若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被抛物线24y x=所截得的弦长为32，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．311.为迎接中国共产党97岁生日，某校举办了“共产党好！”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C.810 D ．696 12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 在等差数列{}n a 中，若43574,15a a a a =++=，则前12项和12S = __________． 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ．15《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为8π、高为ℎ的圆柱，上面是一个底面积为8π、高为ℎ的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为16. 1．已知函数()()()32,f x x ax bx c g x f x =+++=,曲线():C y g x =关于直线1x =对称,现给出如结论：其中正确结论有①2a =-； ②若1c <-，则不等式()()g 1x g x +>的解集为12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，；③若10c -<<，且y kx =是曲线():(0)C y g x x =< 的一条切线,则k 的取值范围是27,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭.④若0c >,则存在00x <，使0()0f x =；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC △内，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos cos cos b A c B c a B -=-．（1）求角B 的值；（2）若ABC △的面积为33，13b =，求a c +的值．18．如图，在正四棱锥S ABCD -中，底边2AB =，侧棱3SA =， P 为侧棱SD 上的点.（1）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的余弦值的大小；（2）若2SP PD =，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ，若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由.19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量y （单位： kg ）和与它“相近”葡萄的株数x 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,5,6,7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：（1）求该葡萄每株收获量y 关于它“相近”葡萄的株数x 的线性回归方程及y 的方差2s ；（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/ kg 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为21m ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）附：参考公式：x b y a x x y yx x b ni ini ii^^121^,)())((-=---=∑∑==.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=的公共弦长为4103.（1）求椭圆C 的方程.（2）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形.若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()()ln 0af x x a x =+>.（Ⅰ）若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明:当2a e ≥，1>b 时, ()1ln >f b b.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），曲线2C 的参数方程为x 1 2 3 5 6 7y 15 13 12 10 9 7⎩⎨⎧+==ββsin 1cos y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）已知射线αθ=:1l （26παπ<<），将射线1l 顺时针方向旋转6π得到2l ：6παθ-=，且射线1l 与曲线1C 交于O,P 两点，射线2l 与曲线2C 交于Q O ,两点，求||||OQ OP ⋅的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数()|21||1|f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）理科数学答案1．【解析】因为A ={x ∈R|x 2−2x ≥0}={x| x ≥2或x ≤0}，所以(∁R A )={x|0<x <2}， 又因为B ={1,−12}，则(C R A )∩B = {1}，故选C.2．【解析】∵z=11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−i 2，∴z ⋅z =|z|2=(12)2+(−12)2=12．故选：A ． 3.【解析】设公比为q(q ＞0)，因为15320a a a +=，所以233200,a a +-=即()()433337731540,0,4,64,642 1.a a a a a a a q q a +-=>∴==∴==∴==，，所以551-2==31.1-2S 故选A. 4. 【解析】画出可行域如图所示：联立20{20x y x y -=+-=，解得4323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22y x ++表示可行域内点(),x y 与()2,2--连线的斜率，从图像可以看出，经过点42,33B ⎛⎫⎪⎝⎭时，22y x ++有最大值45故选B. 5．由于函数最小正周期为π,所以ω=2,即f (x )=sin (2x +φ).向左平移π3得到sin (2x +2π3+φ)为偶函数,故2+==-()sin(2)1,()sin 12326632f x x f ππππππϕϕ∴=-+=+=，，故x =π3为函数的对称轴,选D. 6.由流程图知输出结果是考试成绩大于90的次数，由茎叶图知大于90的次数有10次，故选D.7.【解析】直线AB ：x−3+y4=1，即4x −3y +12=0，若△ABC 的面积最小，则点C 到直线AB 的距离d 最短， d min =|4m+12|5−1，又△ABC 的面积的最小值为52，∴12×5×(|4m+12|5−1)=52即|4m +12|=10∴m =−112或−12，故选：B8．【解析】由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥， 作出几何体的直观图如图所示：故该几何体的表面积为： 3×22+3×（12×22）+√34⋅(22+22)=18+2√3，故选：D ．9. 【解析】以O 为原点，以OB 为x 轴，建立坐标系，∵ΔOAB 为边长为1的正三角形，∴A (12,√32),B (1,0)， OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−t )OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1+12t,√3−√32t)， AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OP ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12t +12,√32−√32t)，|AP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(12t +12)2+(√32−√32t)2=√t 2−t +1=√(t −12)2+34≤√32，故选C.10. 【解析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程不妨设为：0bx ay +=，与抛物线方程联立，24bx ay y x+=⎧⎨=⎩，消去y ，得240ax bx +=，所以121240b x x a x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，所以所截得的弦长为222231162b b a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得2342bc a =，223bc a =，()222412c a c a -=，42120e e --=，得24e =或3-（舍），所以双曲线C 的离心率2e =．故选：B11.【解析】分类：（1）甲乙丙都参加时先4选1，再将丙与另1人先排列，最后甲乙插空排列：12242348C A A ••=（2）选甲乙丙中选1人，其余选3人后全排列：314434288C C A ••=（3）选甲乙同时参加，其余选2人后全排列，先选排好另外2人，然后甲乙插空排列：22242372C A A ••=。