高一数学必修四第二章平面向量测试题(卷)与答案解析
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．32．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17113．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4B ．37+C ．25D ．54．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B ．6C ．5D ．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．927．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18-B ．116-C ．316-D ．08．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0 B ．4，42C ．16，0D ．4，010．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-11．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值为___________.14．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．15．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.19．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→=-，且,3a b π→→<>=，则,a c →→〈〉=________．20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标 24．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．25．（1）已知向量()1,3a =，(),2b m =，()3,4c =，且()3a b c -⊥，求实数m 的值；（2）已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b λ+与a b λ+平行，求实数λ的值 26．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252ab a ba b a b a b++-++-≤=+=，当且仅当a b a b+=-，即a b⊥时取等号，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.4．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OPE PF=⋅-，求得OP的最大值，由此可求得PE PF⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O，()()()()2221 PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P为ABCD的顶点时，2OP取得最大值2，所以PE PF⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C【分析】以,AD AB为一组基底，表示向量,AE BF，然后利用12AE BF⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，判断出G 是三角形CFH 的重心，得出,CG CO 的比例，由此得出λ的值.【详解】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重心，结合23CH CF BH DF ==可知24.5CG CO =，由于O 是AC 中点，故224.529CG AC ==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.7．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，3t ≤，则 22333()16⋅=-=--AP CP t t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，3(0,)2C ，设()0,P t ，其中32t ≤1(,)2AP t =-，3(0,)2CP t ==，22333()2416⋅=-=--AP CP t t t ，当34t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-．故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.8．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.11．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.12．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为：【分析】将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.【详解】因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭22111263AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即||3AB AC =， 所以=3ABAC. 故答案为：314．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B解析：1 【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案. 【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -， 如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤， 设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈，则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-，因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，整理可得113cos sin 22131sin cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以131113322(sin cos )cos sin sin()222226πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈， 当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12，所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1 【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.15．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--，因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题 解析：25-【分析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =，∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.18．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC 相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果. 【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．19．【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解【详解】因为又所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义运算法则性质向量的夹角公式属于中档题解析：6π【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.【详解】因为22cos(cos,2|||||2)2|aa c aa caba bcπ→→→→→→→→→→→→→→-⋅〈〉==--===⋅，又,0a cπ→→〈≤〉≤，所以,6a cπ→→〈〉=，故答案为：6π【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题. 20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【分析】由向量的坐标运算求出2a b-，并求出它的模，用2a b-除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论．【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b-=--=-，∴22(3)5a b-=-=，又234,552a ba b-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，∴c=34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a平行的单位向量有两个，它们是相反向量：a a±．只写出一个向量a a是错误的．三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算； （Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=；21(2b =+=．（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．23．（1）()4,1=-AB,17;=AB （2）25,55⎛=⎝⎭e ，或25.55⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭e【详解】试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ； （II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题（I ）()()AB 13,214,1=---=-,(AB =-=(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即221x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB , 所以20x y -+=即2x y =由2221x y x y =⎧⎨+=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以25,⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=-⎝⎭e 24．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=，所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝1432⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 25．（1）1m =-；（2）1λ=±. 【分析】（1）先求()313,3a b m -=--，再根据向量垂直的坐标运算即可求得1m =-； （2）先计算()32,21a b λλλ+=+-，()23,2a b λλλ+=+-+，再根据向量共线的坐标运算求解即可得1λ=±. 【详解】解：（1）根据题意有：()()()31,33,213,3a b m m -=-=--，∵ ()3a b c -⊥，∴ ()()3313120a b c m -⋅=⨯--=，解得1m =-，所以实数m 的值为：1m =-.（2）根据题意：()()()3,22,132,21a b λλλλλ+=+-=+-，()()()3,22,23,2a b λλλλλ+=+-=+-+，∵ a b λ+与a b λ+平行，∴ ()()()()32223210λλλλ+-+-+-=，解得：1λ=±.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直与平行的坐标表示，考查运算能力，是基础题.26．（1）0；（2） 【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ==== 222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BDAC BD θ⋅=== 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16 2．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ）A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2) 3．已知ABC 是顶角A 为120°腰长为2的等腰三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．12-B ．32-C ．14-D ．-14．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．35．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为36．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ）A ．199B ．4122-C ．111-D ．17117．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32 B ．1 C ．1或12 D ．328．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．09．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ） A ．13 B ．263- C ．63 D ．2310．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4- 11．在ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 边上靠近点A 的三等分点，且BE CD ⊥，则cos2A 的最小值为（ ）A ．26B ．27-C ．17-D ．149- 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.14．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．15．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 16．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 20．在AOB 中，已知1OA =，3OB =，2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值. 22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程． （2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA⋅的取值范围． 23．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值；（2）求PA PB ⋅的最小值.24．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=.（1）求a 与b 的夹角为θ；（2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．25．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 26．已知向量(1,2)a =-，||25b =.（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．C解析：C【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C -，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C -, 设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--， 当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值.3．A解析：A【分析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量PA ，PB ，PC ，得到2()22(1)PA PB PC x y y ⋅+=--，进而可求出结果.【详解】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，(3,0)B ，(3,0)C ，设(,)P x y ，所以(,1)PA x y =--，(3,)PB x y =--，(3,)PC x y =-，所以(2,2)PB PC x y +=--，2()22(1)PA PB PC x y y ⋅+=--2211122()222x y =+--≥- 当1(0,)2P 时，所求的最小值为12-. 故选：A【点睛】方法点睛：向量求最值的方法有以下： 1.利用三角函数求最值；2.利用基本不等式求最值；3.建立坐标系求最值；本题的关键在于建立坐标系，列出相应的式子求解4．A 解析：A【解析】因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 5．D解析：D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．6．D解析：D【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-， 即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-，同理122nOE AE AO AC mAB-=-=-，因为212·||?02mOD AB AB nAB AC-=-=，所以124502mn-⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC-=-=，所以129502nm-⨯-=，联立方程组124502129502mnnm-⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．A解析：A【解析】Rt AOB中，0OA OB⋅=，∴2AOBπ∠=，∵5OA=，25OB=|，∴225AB OA OB=+=，∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B，、设(),D m n，则OAD BAO ∽，∴OA AD AB OA =， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(15m n =，求得5m =，∴55D ⎛ ⎝⎭；则,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=，∴234⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))411ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当34λ=时，15102ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35102ED ⎛== ⎝⎭．即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 8．B解析：B【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解．【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．9．C【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b⋅=，进而可得()ba a+⋅、a b+，代入投影表达式即可得解.【详解】因为a，b为单位向量，所以1==a b，又2a b a b+=-，所以()()222a b a b+=-所以22222242a ab b a a b b+⋅+=-⋅+，即121242a b a b+⋅+=-⋅+，所以13a b⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a ab a a b⋅+=+⋅=，所以a在a b+上的投影为()46326a a ba b⋅+==+.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.10．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF∴==21124AE AF∴⋅=⨯+⨯=故选：C本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.11．D解析：D 【分析】作出图形，用AB 、AC 表示向量BE 、CD ，由BE CD ⋅可得出2232cos 7c b A bc+=，利用基本不等式求得cos A 的最小值，结合二倍角的余弦公式可求得cos2A 的最小值. 【详解】 如下图所示：13BE AE AB AC AB =-=-，12CD AD AC AB AC =-=-， BE CD ⊥，则2211711032623BE CD AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22711cos 0623cb A c b --=，可得22322626cos 7c b bc A bc +=≥= 当且仅当6b =时，等号成立， 所以，22261cos 22cos 12149A A =-≥⨯-=-⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查二倍角余弦值最值的求解，考查平面向量垂直的数量积的应用，同时也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λbc ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，2AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为3AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.14．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为 解析：[]4,10【分析】结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点.依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====， 由于45a b ⋅=所以45OA OB ⋅=，即()()()()222224544OA OB OA OB OD BA +---==222441644OD BAOD --==，解得7OD =.所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上， 所以()()minmax11OA OC OA -≤≤+，所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.15．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以 解析：3 【详解】 两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以3k =.16．【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切 解析：2-【分析】延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可. 【详解】 如图，延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小； 设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形； 设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，， 所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析：48322-【详解】如图建立平面直角坐标系，()()()()P 2cos θ2sin θA 22B22M 02----，，，，，，，∴()()()()42cos θ22sin θ22cos θ22sin θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=++⋅-++⎣⎦，，()()22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-，故选48322-．18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而min7MN==故答案为 【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题【分析】根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案. 【详解】111cos1202a b ⋅=⨯⨯︒=-22222||()2||2||111a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++=【点睛】本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.20．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量 解析：1564【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】 ∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+ ∵1OA =，OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅=∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564．【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.三、解答题21．（12 【分析】 （1）由于()12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可；（2）由于3144BM AB AC =-+，()12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=，故57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:（1）由已知，236cos 93AB AC π⋅=⨯=-， 又()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=， 所以33AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+， 所以()293117199361681616BM=⨯-⨯-+⨯=，从而319BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，所以27cos8BM AD BM ADθ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，则()0,0A ，()3,0B ，(C -，因为D 为边BC 的中点，所以0,2D ⎛ ⎝⎭，0,2AD ⎛= ⎝⎭，所以332AD =.（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以94BM ==，278BM AD ⋅=，所以27cos819BM AD BM AD θ⋅===. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算. 22．（1）22143x y +=；（2）[0,12]. 【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==，∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-， ∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-， 当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.23．（1）2-；（2）2-.【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒，在POB 中，由余弦定理，得 222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-， ∴84362PB =-=-， 又222PA OA =⋅=，∴()1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭ （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB αααα⋅=--⋅--2222cos 4cos 4sin αααα=--+-+2cos 24sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．24．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果； （2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果.【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361a a b b -⋅-=. 又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=，所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a b a bθ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=；（3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝1432⨯⨯= 【点睛】 该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目.25．（1）2）证明见解析.【分析】 （1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值；（2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论.【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=，即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.∴AB OB OA b =-=， 2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ，故A ，B ，C 三点共线．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．26．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
故所求的向量或。
2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23B ．72C ．103D ．4332．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4B ．25C ．325+D ．63．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为34．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．6．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．327．ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+，则实数t 的值为（ ） A ．67B ．47C ．27D ．598．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=9．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:110．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 12．在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC 所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．12-C ．－1D ．-2二、填空题13．已知向量(12,2)a t =-+，(2,44)b t =-+，(1,)c λ=（其中t ，)R λ∈．若(2)c a b ⊥+，则λ=__．14．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．15．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________16．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→是共面向量，则x =__________．17．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.18．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.19．在梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM ⋅的最小值为______________.20．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.22．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．（1）求BC 和BE ；（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．23．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，若()//(2)a kc b a +-，求实数k .24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 25．已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=， （1）求a 与b 的夹角θ； （2）求2a b +；（3）若2AB a b =+，BC b =，求ABC 的面积．26．已知a =（1，2）b =（-3，2），当k 为何值时． （1）ka b +与3a b -垂直； （2）ka b +与3a b -平行．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=2．B解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，所以2b t =， 则()23232a b a b -=-229124a a b t b =-+2229241698t t t =-+=-， ()2222a b a ba ab t b +=+=++22214418t t t =++=+，所以22981382a b a b t t -+-+=++，利用基本不等式知：()2222222a b a b a b a b ++≤⇒+≤+，则()222298182981825t t t t -++≤-++=，当且仅当229818t t -=+时取等号， 此时22t =±. 则32a b a b -++的最大值为25. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到22981382a b a b t t -+-+=++，最后利用基本不等式即可解决.3．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．4．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=，联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.故选：D. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选6．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,55EA λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525355554λλ⎫⎛⎫⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 7．C解析：C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可． 【详解】 如图，因为AD DC =，所以12AD AC = 则12AM AD DM AC DM =+=+， 因为M 在BD 上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=-， 则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+， 因为37AM AB t AC =+， 所以37{1(1)2k k t =-=，解得27t =，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C9．B解析：B 【分析】根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12033OA OB OC ++=，设12,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AODAOEDOES SS==，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===求解. 【详解】由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，12033OA OB OC ∴++=，设12,33OB OD OC OE ==，则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，AODAOEDOESSSS ∴===，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===， 93::3::2:3:122AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-，所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.11．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++.又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.12．C解析：C【分析】以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值．【详解】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ， (,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--， ∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y ⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--， ∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-． 故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示．二、填空题13．-1【分析】根据条件求出然后由得到再求出的值【详解】解：且故答案为：【点睛】本题考查向量坐标的加法数乘和数量积的运算向量垂直的充要条件考查计算能力属于基础题解析：-1【分析】根据条件求出2(4,4)a b t t +=，然后由(2)c a b ⊥+，得到·(2)0c a b +=，再求出λ的值．【详解】解：2(4,4)a b t t +=，(1,)c λ=，且(2)c a b ⊥+，∴·(2)440c a b t t λ+=+=，1λ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查计算能力，属于基础题．14．【解析】分析：先通过已知条件求出的值再求在方向上的投影详解：因为所以所以在方向上的投影为故答案为1点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积考查向量的投影意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运 解析：【解析】分析：先通过已知条件求出cos α的值，再求a 在b 方向上的投影.详解：因为()()312a b a b +⋅-=， 所以2213212,124222cos 12,cos 2a b a b αα-+⋅=∴-+⨯⨯⨯=∴=. 所以a 在b 方向上的投影为1cos 2()12a α=⨯=，故答案为1.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积，考查向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) cos a θ叫做向量a 在b 上的“投影”， 向量a 在向量b 上的投影cos a θ，它表示向量a 在向量b 上的投影对应的有向线段的数量．它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．15．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所 解析：1314【分析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到3AD CB =， 再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求解.【详解】如图所示：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=， 因为3AB AC AB AC +=-， 所以3AD CB =，设3CB =3AD =，因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形，所以CB AD ⊥，所以223333,223AB AC EF ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以223321263AE AF ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2222121113993cos 21421212AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅⋅. 故答案为：1314【点睛】 本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得 解析：-2【详解】由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.17．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想 解析：53 【分析】 将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-,化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++， 所以113519k k λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=. 故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．【分析】根据向量的数量积的坐标运算求得结合向量的投影的概念即可求解【详解】由向量可得所以向量在方向上的投影数列为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算以及向量的投影的概念其中解答中熟【分析】 根据向量的数量积的坐标运算，求得13,13a b a ⋅==，结合向量的投影的概念，即可求解.【详解】由向量(2,3),(4,7)a b ==-，可得222(4)3713,23a b a ⋅=⨯-+⨯==+=，所以向量b 在a 方向上的投影数列为cos ,13a b b a b a ⋅===【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 19．【分析】根据建立平面直角坐标系设得到再求得的坐标利用数量积的坐标运算求解【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为所以设所以所以所以所以当时的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算 解析：920-【分析】根据AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，建立平面直角坐标系，设,01λλ=≤≤BM BD ，得到()22,λλ-M ，再求得,AM CM 的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，所以()2,0B ，()0,1D ，()1,1C ，设,01BM BD λλ=≤≤，所以()()2,2,1λ-=-x y所以()22,λλ-M ，所以()()22,,12,1λλλλ---==AM CM ，所以()()22,12,1λλλλ⋅=-⋅--AM CM ，227957251020λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当710λ=时，AM CM ⋅的最小值为920-. 故答案为：920-【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解 解析：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，再求取值范围.【详解】 如图，建立平面直角坐标系，(3A ，(3D ，(),0M x ，()1,0N x +， (2,3DM x =--，(1,3DN x =--，[]0,5x ∈，()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+231124x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32x =时，取得最小值114，当5x =时，取得最大值15， 所以DM DN ⋅的取值范围为11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】 关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.三、解答题21．（1）332；（2）5719. 【分析】（1）由于()12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可； （2）由于3144BM AB AC =-+，()12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=，故57cos 19BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:（1）由已知，236cos93AB AC π⋅=⨯=-， 又()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=， 所以33AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+，所以()293117199361681616BM =⨯-⨯-+⨯=，从而3194BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，所以27cos8BM ADBM AD θ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，则()0,0A ，()3,0B ，(C -，因为D 为边BC 的中点，所以D ⎛ ⎝⎭，AD ⎛= ⎝⎭，所以332AD =.（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以9164BM ==，278BM AD ⋅=，所以27cos819BM AD BM AD θ⋅===. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算.22．（1）3BC =；7BE =2）是定值，78. 【分析】 （1）由()22BC AC AB =-，()2212BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，结合数量积公式得出BC 和BE ；（2）取BE 的中点N ，连接MN ，由ME MB =，得出MN BE ⊥，由BM BN NM =+，结合数量积公式计算BE BM ⋅，即可得出定值.【详解】（1）∵BC AC AB =-∴222211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒= ∴3BC = 又()12BE BO BC =+ ∴()22211372132134424BE BO BC BO BC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴7BE = （2）取BE 的中点N ，连接MN∵ME MB =，∴MN BE ⊥，且BM BN NM =+∴()BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅211177022248BE BE BE =⋅+==⨯= ∴78BE BM ⋅=（为定值）【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长，涉及了向量加减法的应用，属于中档题. 23．1613k =-【分析】 根据向量平行的坐标公式求解即可.【详解】(3,2)(4,)(34,2)a kc k k k k +=+=++，2(2,4)(3,2)(5,2)b a -=--=-()//(2)a kc b a +-(34)2(2)(5)k k ∴+⨯=+⨯- 解得1613k =-【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于中档题.24．（1）3-2）6π 【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果.【详解】（1）由//m n 3sin tan 3=-⇒=-x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】 本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.25．（1）2π3；（2）3） 【分析】（1）将等式展开得到6a b ⋅=-，再利用向量夹角公式得到答案.（2）计算22a b +，展开得到答案.（3）计算12BA BC ⋅=-得到cosB =，故sin B =案.【详解】 （1）∵()()23261a b a b -⋅+=，∴2244361a a b b -⋅-=．又4a =，3b =，∴6442761a b -⋅-=，∴6a b ⋅=-．∴61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯，又0πθ≤≤，∴2π3θ=．（2）()22222244a b a b a a b b +=+=+⋅+()224464328=+⨯-+⨯=， ∴227a b +=. （3）BA 与BC 的夹角B ，则()22261812BA BC a b b a b b ⋅=-+⋅=-⋅-=-=-，故cos2BA BC BA BC B ⋅⋅===∴sin B =27AB =，3BC =，∴11sin 322ABC S AB BC B ==⨯=△ 【点睛】 本题考查了向量的夹角，向量的模，三角形的面积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 26．（1）19； （2）13-.【分析】（1）由题意，求得(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，根据因为ka b +与3a b -垂直，列出方程，即可求解；（2）根据ka b +与3a b -平行，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量(1,2),(3,2)a b ==-，则(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，因为ka b +与3a b -垂直，所以()(3)10(3)4(22)0ka b a b k k +⋅-=--+=，即2380k -=，解得19k =.（2）若ka b +与3a b -平行，则满足4(3)10(22)0k k ---+=，即2480k -+=，解得13k =-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算公式，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。
高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量基础练习1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．（B ．（C ．；－＋D ．；3．已知a =（3，4），b =（5，12），则a 与b 夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数6．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形7．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±8、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）A. 2-或0；B.C. 2或D. 2或10.9．若),4,3(=Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．10．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．11、ΔABC 中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C 点坐标为________________。
12、设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋AC 的模； （2）试求向量与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．13．如图，=(6,1), ，且。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角2．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．30,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C ．33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦6．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==7．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ） A ．8B ．4C ．6D ．39．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．210．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B C ．2D ．211．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知单位向量,a b 满足1a b +=，则|a b -=___________. 14．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________． 15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 16．已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =，则向量BC =______.17．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，P ，Q分别为线段BC 和CD 上的动点，且BP BC λ=，16DQ DC λ=，则AP BQ 的最大值为_____________.18．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.19．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.20．已知(2,1)a =，(3,4)b =，则a 在b 的方向上的投影为________．三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +. 23．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 24．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 25．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ．3．B解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811 mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN的中点Q的轨迹方程为2234x y+=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ+=，求得PQ的取值范围，进而可求得PM PN+的取值范围.【详解】由1MN =，可知OMN为等边三角形，设Q为MN 的中点，且3sin602OQ OM==Q的轨迹为圆2234x y+=，又()3,4P，所以，33PO PQ PO-≤≤+，即3355PQ≤≤+.由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ+=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6． B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.7．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C8．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF . 【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．9．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．10．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以2101,12AB CE CG CG===∴== 本题选择B 选项.11．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λbc ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据条件两边平方进行数量积运算可求得然后根据即可求得答案【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题解题思路如下：（1）首先根据题中条件结合向量模的平【分析】根据条件1a b +=两边平方，进行数量积运算可求得21a b ⋅=-，然后根据2()a b a b -=-即可求得答案.【详解】因为1a b ==，1a b +=，所以2222()2221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=，所以21a b ⋅=-， 所以22()223a b a b a b a b -=-=-=-⋅=，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，解题思路如下：（1）首先根据题中条件，结合向量模的平方等于向量的平方，求得21a b ⋅=-； （2）之后再应用向量的模的平方等于向量的平方来求解.14．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的【分析】根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解. 【详解】由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos11()322e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-，222222111111()(2)22122a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=，22221112221(2)4444()172e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，所以a 在b 方向上的投影为1727a b b⋅==.故答案为：714. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos 2OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， ,设()1cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭， 又()(()1,0OC mOA nOB m n m =+=+=，得()1,=22m λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即=212m λλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.16．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目【分析】根据向量的坐标运算即可求出． 【详解】 因为()0,1A ，()3,2B，所以()3,1AB =，()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，21BC ==【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.17．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算求的解析式根据题意求出的取值范围再根据对勾函数的性质求最大值【详解】解：梯形中则解得；设则在上单调递增；时取得最大值故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量解析：76【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，求AP BQ 的解析式，根据题意求出λ的取值范围，再根据对勾函数的性质求最大值． 【详解】解：梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，BP BCλ=，16DQ DCλ=，则61()()()()6AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CDλλλ-=++=++2611666AB BC AB CD BC CB CDλλλλ--=+++26116122cos12021221()662λλλλ--=⨯⨯︒-⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-125536λλ=+-，011016λλ⎧⎪⎨⎪⎩，解得116λ；设125()536fλλλ=+-，则()fλ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；1λ∴=时()fλ取得最大值76，故答案为：76．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得AP BQ的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.18．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解．【详解】非零向量m→，n→满足4m→=3n→，cos m→〈，13n→〉=,n→⊥t m n→→⎛⎫+⎪⎝⎭,n→∴⋅22+||||cos,||t m n t m n n t m n m n n→→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.19．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果.【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==，2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．20．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应解析：2 【分析】根据向量a 在b 的方向上的投影为a b b⋅，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,4)b =，可得231410a b ⋅=⨯+⨯=，2345b =+=，则a 在b 的方向上的投影为1025a b b⋅==. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．（12 【分析】 （1）由于()12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可； （2）由于3144BM AB AC =-+，()12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=，故57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:（1）由已知，236cos 93AB AC π⋅=⨯=-， 又()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=， 所以33AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+，所以()293117199361681616BM=⨯-⨯-+⨯=，从而3194BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，所以27cos8BM AD BM ADθ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，则()0,0A ，()3,0B ，(C -，因为D 为边BC 的中点，所以D ⎛ ⎝⎭，AD ⎛= ⎝⎭，所以332AD =.（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以9164BM ==，278BM AD ⋅=，所以27cos819BM AD BM ADθ⋅===. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算.22．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t = 【分析】（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．【详解】（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||2AB ==（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()tOC OB AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．23．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝14322⨯⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 24．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解. 【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m bm bπ→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 25．（1）2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值；（2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=， 即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+. ∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ， 故A ，B ，C 三点共线． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦. 【详解】 （1）313cos32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a ab a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．122．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．34D ．324．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒5．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．727．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(21⎤⎦B ．(21⎤⎦ C ．221⎡⎤⎣⎦D ．)21,⎡+∞⎣8．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．49．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．210．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B C ．2D 11．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2312．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．14．已知ABC ，AB AC ⊥，2AB =，12AC =，如果P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，那么PB PC ⋅的值等于________.15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 16．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________.17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.19．下面六个句子中，错误的题号是________. ①周期函数必有最小正周期； ②若0a b ⋅=则a ，b 至少有一个为0； ③α为第三象限角，则()cos sin 0a <； ④若向量a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>；⑤存在α，R β∈，使()sin sin sin a a ββ+=+成立；⑥在ABC 中，O 为ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，则O 为ABC 的重心. 20．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)A --，()2,3B ，(2,1)C --． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在y 轴上一点P 满足BC AP ⊥，求BPC ∠．22．在OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知:1:2OP PA =，:3:2OQ QB =，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA a =，OB b =.（1）用a 与b 表示OR ；（2）过R 作RH AB ⊥，垂足为H ，若1a =，2b =，a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BHBA的范围.23．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .26．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ．【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．2．A解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．A解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OAC AEC S S =△△，即可得解.【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线， 所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.4．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=.5．C解析：C 【详解】由题意可得2(2)b =-=所以cos ,252a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.6．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题9．A解析：A【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．10．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以22101,112, 5.2AB CE CG CG==+=∴== 本题选择B 选项.11．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B 解析：1【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -，如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤，设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈， 则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-， 因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 整理可得113cos 226131cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以131113322(cos )cos sin()26222626πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈，当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．13【分析】由条件可得可得由可得出答案【详解】又故答案为：13【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题 解析：13【分析】由条件可得0AB AC ⋅=，182AP AB AC =+，可得217AP =，由()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+，可得出答案.【详解】 AB AC ⊥，2AB =，12AC =，4AB AC AP AB AC =+， 0AB AC ∴⋅=，182AP AB AC =+， 2222118641724AP AB AC AB AC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， PB PA AB =+，PC PA AC =+，()()2PB PC PA AB PA AC PA PA AC PA AB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅ 又42PA AC AC ⋅=-=-，2PA AB AB ⋅=-=- 172213PB PC ∴⋅=--=.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3 解析：【详解】方法一：3cos 2OA OC AOC OAOC ⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ② 22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n =+，所以229m n =， 点C 在AOB ∠内， 所以3m n=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭， 又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=， 得()31,=32m n λ⎫⎪⎪⎝⎭，即 3=132m n λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3m n=. 故答案为：3.16．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π. 【详解】 解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b ==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>， ∵ ()()2318a b a b +⋅-=-， ∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=- 整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】 本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.17．【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得的值利用平面向量数量积的定义可求得与的夹角的余弦值由此可求得与的夹角【详解】设与的夹角为则所以故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量 解析：3π【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得a b ⋅的值，利用平面向量数量积的定义可求得a 与b 的夹角的余弦值，由此可求得a 与b 的夹角.【详解】 3a =，2b =，()()2223618a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=-，2222618362183a b a b ∴⋅=-+=-⨯+=，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅，0θπ≤≤，所以，3πθ=. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ， 所以()()22++=-a b c d ， 所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．①②③【分析】①常函数没有最小正周期；②是非零向量时代表的是两向量垂直；③可采用赋值法令判断正误；④由数量积公式即可判断；⑤令即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】①常函数没有解析：①②③【分析】①常函数没有最小正周期；②,a b 是非零向量时，0a b ⋅=代表的是两向量垂直；③可采用赋值法，令76πα=判断正误； ④由数量积公式即可判断；⑤令0αβ==即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】①常函数没有最小正周期，故判断错误；②,a b 是非零向量时，0a b a b ⋅=⇔⊥，判断错误；③令76πα=，则()1cos sin 0cos 02a ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即1cos 02<，显然错误； ④若向量a 与b 的夹角为锐角，则cos 0a b a b θ⋅=⋅>，判断正确；⑤当0αβ==，()sin sin sin a a ββ+=+，判断正确；⑥若OA OB OC O ++=，如图：设D 为AC 中点，则2OA OC OD OE +==，则20OD OB +=，所以,,D O B 三点共线，且2OD OD =，故O 为ABC 的重心，判断正确；故答案为：①②③【点睛】本题主要考查平面向量和三角函数的基础知识，属于基础题20．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin 22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值.【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=， 所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=， 所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cossin 22θθ+， 故答案为：cossin 22θθ+. 【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题. 三、解答题21．（1）；（2）arccos5． 【分析】（1）计算AB AC +和AB AC -可得；（2）先求出P 点坐标，再求PB 和PC 的夹角即得．【详解】（1）由题意(3,5)AB =，(1,1)AC =-，(2,6)AB AC +===(4,4)AB AC -==所以所求对角线长为 （2）设(0,)P y ，则由BC AP ⊥得3(1)(2)12(2)0(1)y ----⨯=-----，3y =-，即(0,3)P -，(2,6)PB =，(2,2)PC =-，cos 52PB PCBPC PB PC ⋅∠===所以BPC ∠= 【点睛】 关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线长就是,AB AC 和与差的模．而求BPC ∠，可以算作是,PB PC 的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解．22．（1）1162OR a b =+；（2）171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用,,A R Q 三点共线和,,B R P 三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设BH t BA =，利用0BH AB ⋅=，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b 表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到t 关于cos θ的函数形式，利用cos θ的范围即可求得结果. 【详解】（1）设OR OA OQ λμ=+，,,A R Q 三点共线，1λμ∴+=， 又:3:2OQ QB =，35OQ OB ∴=，35OR OA OB μλ∴=+； 设OR mOP nOB =+，同理可得：1m n +=，3m OR OA nOB =+， ,OA OB 不共线，335m n λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，51331m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1162OR OA OB ∴=+， 即1162OR a b =+. （2）设BHt BA =，则BH tBA =，()()1162RH BH BR tBA OR OB t OA OB OA OB ⎛⎫=-=--=--- ⎪⎝⎭ 11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又AB OB OA b a =-=-，BH AB ⊥，0BH AB ∴⋅=，()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭， 整理可得：134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 即BHBA 的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用,a b 表示出,BH AB ，再结合数量积的运算律来进行求解. 23．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan 3x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s co x x x == 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f xa xb x =⋅=⋅- cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.24．（1）22143x y +=；（2）[0,12]. 【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==， ∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-， ∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-，当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案.【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-； （2）由已知得122111cos 32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=， 所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =． 【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题. 26．（1）35y x =-；（2）55 AD =【分析】 （1）求出线段BC 中点D 的坐标，利用斜率公式求得直线AD 的斜率，然后利用点斜式可得出直线AD 所在直线的方程； （2）由2ABD ACD S S =可得2BD DC =，可得23AD AB BC =+，可计算出平面向量AD 的坐标，进而可求得AD 的值.【详解】（1）D 为BC 中点，()3,4D ∴，直线AD 的斜率14323k -==-， 所以直线AD 所在的直线方程为：()433y x -=-，即AD 直线方程为35y x =-； （2）因为2ABD ACD S S =，所以2BD DC =，则23BD BC =， 又由()()225101,24,2,3333A B D D A AB B B C =+⎪⎛⎫==-+=+ ⎝⎭，所以5 3AD ⎛== . 【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积的倍数关系求向量的模，考查计算能力，属于中等题.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）A ．3 B ．2 C ．12D ．232．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－13．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．30,(1,)⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞4．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,222]B ．[0,2]C ．[222,222]-+D ．[222,2]-8．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A B ．2-C ．D 9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，010．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=-，则BD 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．2⎣C ．⎤⎦D ．[]0,312．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.14．已知向量(12,2)a t =-+，(2,44)b t =-+，(1,)c λ=（其中t ，)R λ∈．若(2)c a b ⊥+，则λ=__．15．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．16．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 17．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．18．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值. 22．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？ 23．已知123PP P 三个顶点的坐标分别为123(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )P P P ααββγγ，且1230OP OP OP ++=（O 为坐标原点）．（1）求12POP ∠的大小； （2）试判断123PP P 的形状．24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值．（2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3π． （Ⅰ）求AD ；（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值． 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果.【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B ACy A =+-≥-=+=，即23AG ≥， 当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.2．A解析：A【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩ 可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
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一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。
A、-9
B、-6
C、9
D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。
A、B、C、D、
3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得
向量为（）。
A、（2，3）
B、（1，2）
C、（3，4）
D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。
A、直角三角形
B、等边三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。
A、B、C、D、
6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。
A、B、
C、D、
7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。
A、重心
B、垂心
C、内心
D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2
(4)(b) -(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是（）。
A、1
B、2
C、3
D、4
9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则
等于（ ）。
A 、
B 、
C 、
D 、
10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。
A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.
11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________
12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______.
13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为
的小船要从河的一边驶向
对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。
三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量
=
, 求向量b ，使|b |=2|
|，并且
与b 的夹角为。
（10分）
16、已知平面上3个向量、b、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。
(1) 求证：( -b)⊥;
(2)若|k +b+ |>1 (k∈R), 求k的取值X围。
（12分）
17．（本小题满分12分)
已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-λe1-8e2,=3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，某数λ的值.
18．某人在静水中游泳，速度为43公里/小时，他在水流速度为4公里/
小时的河中游泳.
(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
平面向量测试题
参考答案
一、选择题：
1. D. 设R(x, -9), 则由得(x+5)(-8)=-11×8, x=6.
2. C. ∵|b| , ∴| | = .
3. A. 平移后所得向量与原向量相等。
4．A．由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60°.
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ∴ΔABC是直角三角形。
5．D．.
6. B
7. B. 由，得OB⊥CA，同理OA ⊥BC，∴O是ΔABC的垂心。
8．A．(1)(2)(4)均错。
9．B．由，得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13,
∴.
10．B．- =x2+x b，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数λ和μ，使- =λ+μb。
故λ=x2, 且μ=x,
∴λ=μ2，故原方程至多有一个实数解。
二、填空题
11. 4
12..13. 与水流方向成135°角。
14．。
·b=| ||b|cosθ,
∴,| ×b|=| ||b|sin
三、解答题
15．由题设, 设b=
, 则由,得
.∴,
解得sinα=1或。
当sinα=1时，cosα=0；当时，。
故所求的向量或。
16．(1) ∵向量、b、的模均为1，且它们之间的夹角均为120°。
∴,∴( -b)⊥.
(2) ∵|k +b+ |>1,∴|k +b+ |2>1,
∴k22+b2+ 2+2k ·b+2k ·+2b·>1,
∵,
∴k 2-2k>0,∴k<0或k>2。
17．解法一：∵A 、B 、D 三点共线 xkb1. ∴AB 与AD 共线，∴存在实数k ,使AB =k ·AD 又∵CD CB AB CD BC AB AD +-=++= =(λ+4)e 1+6e 2.
∴有e 1+e 2=k (λ+4)e 1+6k e 2
∴有⎩⎨⎧==+161)4(k k λ∴⎪⎩⎪⎨⎧
==261λk
解法二：∵A 、B 、D 三点共线 ∴AB 与BD 共线， ∴存在实数m ,使BD m AB = 又∵CB CD BD -==(3+λ)e 1+5e 2 ∴(3+λ)m e 1+5m e 2=e 1+e 2
∴有⎩⎨⎧==+151)3(m m λ∴⎪⎩⎪⎨⎧==2
51λm
18、解：(1)如图①，设人游泳的速度为OB ，水流的速度为OA ，以OA 、OB 为邻边作
OACB ，则此人的实际速度为
OC OB OA =+新课标第一网
图① 图②
由勾股定理知|OC |=8
且在Rt △ACO 中，∠COA =60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时.
(2)如图②,设此人的实际速度为，水流速度为，则游速
为
-=，在Rt △AOD 中，
3
3
cos ,24||,4||,34||=
===DAO . ∴∠DAO =arccos
3
3
. 故此人沿与河岸成arccos
3
3
的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为42公里/小时.
新课标第一网xkb1.。