数控机床进给滚珠丝杠的选择与计算

1 滚珠丝杠副的载荷计算
(1) 工作载荷F
工作载荷F是指数控机床工作时，实际作用在滚珠丝杠上的轴向作用力，其数值可用下列进给
作用力的实验公式计算：
对于燕尾形导轨机床
F=kFx+f'(Fz+2Fy+W)(1)
对于矩形导轨机床
F=kFx+f'(Fz+Fy+W)(2)
对于三角形或组合导轨机床
F=kFx+f'(Fz+W)(3)
对于钻镗主轴圆导轨机床
对于滚动导轨机床
F=Fx+f'(Fz+W)+Fr(5)
式(1)～(5)中：Fx、Fy、Fz—x、y、z方向上的切削分力，N；
Fr—密封阻力，N；W—移动部件的重量，N；M—主轴上的扭矩，N·m；dz—主轴直径，mm；
表 1
f′—导轨摩擦系数；f—轴套和轴架以及主轴的键的摩擦系数；k—考虑颠覆力矩影响的实验系数。

正常情况下，k、f'与f可取表1数值。

(2) 最小载荷Fmin
最小载荷F?min为数控机床空载时作用于滚珠丝杠的轴向载荷。

此时，Fx=Fy=Fz=0。

(3) 最大工作载荷F?max
最大载荷F?max为机床承受最大切削力时作用于滚珠丝杠的轴向载荷。

(4) 平均工作载荷Fm与平均转速nm
当机床工作载荷随时间变化且此间转速不同时，
式中：t1,t2,…，tn分别为滚珠丝杠在转速n1,n2,…，nn下，所受轴向载荷分别是F1,F2,…，Fn时的工作时间(min)
当工作载荷与转速接近正比变化且各种转速使用机会均等时，可用下式求得Fm和nm。

Fm=(2Fmax+Fmin)／3(8)nm=(nmax+nmin)／2(9)
2 滚珠丝杠副主要技术参数的确定
(1) 导程Ph
根据机床传动要求，负载大小和传动效率等因素综合考虑确定。

一般选择时，先按机床传动要求确定，其公式为：Ph≥vmax/nmax(10)
式中：vmax—机床工作台最快进给速度，mm/min；nmax—驱动电机最高转速，r/min。

在满足控制系统分辨率要求的前提下，Ph应取较大的数值。

(2) 螺母选择
由于数控机床对滚珠丝杠副的刚度有较高要求，故选择螺母时要注重其刚度的保证。

推荐按高刚度要求选择预载的螺母型式。

其中插管式外循环的端法兰双螺母应用最为广泛。

它适用重载荷传动、高速驱动及精密定位系统。

并在大导程、小导程和多头螺纹中具有独特优点，且较为经济。

①滚珠的工作圈数i和列数j。

根据所要求性能、工作寿命，推荐按表2选取。

表2
②法兰形状。

按安装空间由标准形状选择，亦可根据需要制成特殊法兰形状。

(3) 导程精度选择
根据机床定位精度，确定滚珠丝杠副导程的精度等级。

一般情况下，推荐按下式估算：
式中：E——累计代表导程偏差，μm;
TD——机床有效行程的定位精度，μm。

典型机床进给滚珠丝杠的精度等级选择见表3。

表3
(4) 累积基准导程目标值T
为补偿由于温度升高或在外部载荷下滚珠丝杠延伸，需规定累积导程的目标值T。

以避免温度上升对导程精度的影响。

T=-αθL(12)
式中：α—热膨胀系数(α=12×10-6／℃)；
θ—丝杠温升，℃(一般取θ=2～3℃)；L—丝杠长度，mm；典型数控机床累积导程的目标值为：X轴：Tx=(-0.02～-0.05)mm／m;
Z轴：Tz＝(-0.02～-0.03)mm／m;加工中心：Tx＝Ty＝(-0.02～-0.04)mm／m。

(5) 丝杠螺纹长度l
按下式计算：l＝lu＋l1＋2le(13)
表4
(6) 滚珠丝杠名义直径Do
确定直径Do有两种方法，即计算图法和计算法。

①计算图法。

按计算图法选择滚珠丝杠直径的步骤为：首先按最大轴向压缩载荷Fmax、丝杠支承方式和安装间距(选择前均已确定)，由图1确定丝杠直径Do1，再由容许轴向拉压载荷(＝Fmax)，选择丝杠直径Do2，取Do１与Do2中较大的直径作为滚珠丝杠的初选直径，然后再按图2校核临界转速和Dn值，最后按图3寿命曲线进行确认。

图1中的斜线表示丝杠压曲时的极限载荷；折线中与横坐标垂直的直线为相应丝杠直径的容许拉压载荷；与横坐标平行的粗实线，表示对应丝杠直径可制造加工的极限长度。

图2中的斜线表示相应直径丝杠的临界速度时的极限转速；与横坐标垂直的直线，表示由Dn 值限制的转速，按要求Dn≤70000，D为丝杠滚珠中心圆的直径(mm)，n为丝杠转速(r／min)；与横坐标平行的粗实线，表示丝杠相应直径可制造生产的极限长度。

图3中的斜线表示由导程Ph、直径Do与螺母型式和滚珠的工作圈数和列数所确定的滚珠丝杠副的相应载荷比在对应转速时的寿命时间(h)。

fw为载荷系数，按表5选取。

图1 轴向载荷F(N)
表 5
②计算法
a.确定预期额定动载荷Cam.按预期寿命时间计算
式中：Fm—滚珠丝杠副平均工作载荷，N；nm—平均转速，r／min；tt—寿命时间，对数控机床，其目标值为20000h；fw—载荷系数，按表5选取。

.按最大轴向载荷F?max计算当滚珠丝杠副有预加载荷时Cam＝feFmax(15)式中，fe为预加载荷系数，其值按表6选取。

表 6
取上述两种计算结果中较大值为滚珠丝杠副的预期额定动载荷Cam。

b.公称直径Do
根据预期额定动载荷Cam和所确定的螺母型式从产品样本中选择Do，并满足下式：
Ca≥Cam(16)
并使其Do与螺纹长度符合生产厂规定要求。

一般情况下，国产滚珠丝杠副螺纹部分长径比小
于或等于30；国外滚珠丝杠副长径比≤70。

图2 转速n(r/min)
(7) 校核计算
①稳定性验算
丝杠压曲时的临界载荷P按欧拉公式计算：
P=0.5×(bπ2EI)/(L2a)=a(d4r)/(L2a)×104(17)
式中：E—弹性模量，E=2.1×105，N／mm2；I—丝杠断面最小惯性矩I=πd4r/64,mm4;dr—丝杠谷径,mm;La—螺母至固定端处最大距离(如表7中简图所示)，mm；a、b—与丝杠安装方式相关
的系数，其值按表7选取。

并满足Fmax≤P。

表7
②极限转速nc校核
为防止丝杠转速接近其固定振动频率时发生共振，需对丝杠极限转速nc和Dn值进行校核计算。

a.极限转速按下式计算
式中：E—弹性模量E=2.1×105，N／mm2；Lb—安装距离(见表7，简图为Lb的最大值)，mm；β、λ—丝杠安装方法有关的系数，其值按表7选取；γ—比重，γ＝7.85×10-5 N／mm3；I—丝杠断面最小惯性矩I=πd4r/64，mm4；dr—丝杠谷径，mm；A—丝杠断面积，A=πd2r/4，mm。

nc应满足：
n?max＜nc。

b.Dn值Dn≤70000
③容许拉伸(压缩)载荷校核
丝杠拉伸(压缩)容许载荷P1按表8选取：Fmax≤P1
表8
④螺母静额定载荷Coa校核
KjF?max≤Coa(19)
式中：Coa—基本静额定载荷，N；
Kj—静态安全系数，其值按表9选取。

图3
表9
3
综合上述所选主要技术参数，根据滚珠丝杠产品样本，即可确定所选滚珠丝杠副型号规格。

4 验算
(1) 刚度验算
滚珠丝杠副在工作载荷F?max和扭矩M1共同作用下，所引起的螺纹每米导程变形总误差Δ按下式计算：
式中：A—丝杠截面积，A＝πd2r，mm2；G—丝杠材料剪切弹性模量，对钢G≈82400N／mm2K—安装方式系数(固定—自由：K=1；固定—固定：K=0.25)验算不等式为：Δ≤V300(300mm单一导程变动量)。

(21)
(2) 效率验算
式中：γ—丝杠螺纹螺旋升角；φ=arctgμ为摩擦角如上述验算不满足要求，需另选其它型号，重复以上步骤，直至满足要求为止。

5 结论
本文就数控机床进给用精密滚珠丝杠副的选择与计算进行了讨论，该方法也可作为其它机械用滚珠丝杠副选用和计算的参考。

1 滚珠丝杠公称直径与公称导程组合、制造范围
3 滚珠丝杠副的结构类型、编号方法
5 滚珠丝杠副的精度
5.1 精密等级
根据使用范围及要求将滚珠丝杠副分为定位滚珠丝杠幅(P)传动滚珠丝杠副(T)，精度分为七个等级，即1、2、3、4、5、6、7、10级，1级精度最高，依次降低。

5.2行程偏差和行程变动量
根据滚珠丝杠副类型按下表检验
5.2.1 有效行程内的行程偏差ep与行程变动量VUP:
有效行程是有精度要求的行程长度LU
Lu=Lx+2La+LnLa安全行程La=(1-2)ph Lx机械最大行程 Ln螺母的长度ph公称导程
E1-E2按国家标准GB/T17857.3-1998，“滚珠丝杠副的验收条件和验收检验”。

见附表1。

5.2.2 300mm行程内与2π弧度行程内行程变动量V300P与V2 π p
E3-E4按国家标准GB/T17857.3-1998，“滚珠丝杠副的验收条件和验收检验”。

见附表1续。

5.2.3 余程Le
余程是没有精度要求的行程长度。

余程表6
6 行程补偿值C
6.1 滚珠丝杠的热变形将导致长度、定位精度变化，热变形可由下式给出：
δt=α*△t*Lu (公式1)
α-热膨胀系数(12.0*10-6)
△t -温升(一般取2-4℃)
Lu-有效行程(Lu=Lx+2La+Ln)或 Lu=L1-2Le
L1-螺纹全长 Le-余程 Le见表6
6.2 目标行程Phs
为了补偿由于热膨胀或弹性变形引起的丝杠长度变化，将滚珠丝杠的导程制造得稍大于或小于公称导程，着根据实际需要提出得含有方向目标要求的导程叫目标导程。

目标导程乘以丝杠上的有效圈数叫目标行程。

6.3 目标偏差 C
目标行程和公称行程之差叫行程偏差C，为了补偿热变形的影响，行程偏差C=δt(δt见公式1)并为负值。

6.4 丝杠的预拉伸力
规定了行程偏差C的滚珠丝杠副，在采用固定-固定安装方式时，还可以采用丝杠预拉伸的方法来进一步补偿热变形，预拉伸力Ft:
Ft=δt*A*E/ Lu=α*△t*E*(πd22/4)(公式2)
E-弹性模量2.1×105Mpa(即2.1×105N/mm2)
d2-丝杠底径(mm)
△t-温升(一般取2-4℃)
7 基本额定载荷及寿命
7.1 轴向基本额定静载荷Coa 滚珠丝杠副在承受最大接触应力处产生不大于0.0001倍的钢球直径的永久变形时，所能承受的最大轴向载荷。

7.2 轴向基本额定载荷Ca：一组(相当数量)相同参数的滚珠丝杠副，在相同的条件下，运转106
转时，90%的滚珠丝杠副的螺纹滚道的表面或钢球的表面不发生疲劳点蚀所能承受的最大轴向载荷。

Coa和Ca在样本中已经给出，可以查找选用
7.3 预期寿命
Lh –用预期运行时间表示(h)
Ls –用预期运行距离表示(km)
直径偏大，而不经济。

故通常推荐Lh按表7选择。

7.4 滚珠丝杠副的当量载荷Fm及当量转速nm：
滚珠丝杠副在转速n1 n2......ni条件下，工作时间分别是t1t2......ti所受载荷分别是F1 F2 (i)
7.5 额定动载荷下限值的Cam计算：
滚珠丝杠副在当量载荷Fm及当量转速nm条件下运转，达到预期寿命Lh或Ls时所能承受的最大轴向载荷Cam，设计时选用滚珠丝杠副的Ca≥Cam
7.5.1 按滚珠丝杠副的预期工作时间Lh计算：
(N)(公式5)
7.5.1或按滚珠丝杠副的预期运行距离Ls计算：
(N)(公式6)
fa 为精度系数，根据预定的精度按表8选取：
fw 为载荷系数，按表9选取：
7.6 额定静载荷下限值Coam计算：
Coa≥Coam=fsFmax(公式7)
Fs 安全系数。

一般为1.2-2，有冲击、震动的运动1.5-3
Fmax是外加在滚珠丝杠副上的最大轴向载荷
8 滚珠丝杠副安装部位的形位公差
图2
E5-E11见国家标准GB/T17857.3-1998，“滚珠丝杠副的验收条件和验收检验”。

见附表2。

9 滚珠丝杠副的预紧与轴向接触刚性
9.1 预紧的目的
预紧就是在滚珠丝杠副内，预先施加轴向载荷Fp。

图3是外加轴向载荷Fa和滚珠之间轴向弹性变形δ的关系曲线，曲线1为无预紧状态，曲线2为有预紧状态，Fp是相当于预紧力大小的外加轴向载荷。

表10是有或无预紧的情况下，滚珠丝杠副在承受不同的外加轴向载荷Fa时，滚道与滚珠之间轴向弹性变形δ。

由表10可见预紧的目的时，消除滚珠丝杠副的轴向间隙，提高滚珠丝杠副的轴向接触刚性K，并且在外加轴向载荷小于3倍预紧力的情况下，轴向刚性K是常数(但Fa>3Fp后，予压消失)
图3
9.2预紧的方式
9.3 滚珠丝杠副的轴向接触刚性K
样本上给出的刚度值仅考虑滚道与滚珠之间的轴向变形，不考虑螺母本身及丝杠本身的变形。

9.3.1 不预紧的滚珠丝杠副的轴向接触刚性Ka
由于其轴向刚性是随外加轴向载荷Fa增大而增大的，所以样本中规定不预紧的滚珠丝杠副轴向接触刚性，是外加轴向载荷等于0.3Ca时的轴向接触刚性值，当实际施加的外加载荷Fa不等于0.3Ca 时，对应的轴向接触刚度Ka按下式计算：
Ka=K[Fa/0.3Ca]1/3 (N/μm) (公式8)
K-样本上的刚度值(N/μm)
Ca-样本上的额定载荷(N)
Fa-实际工作施加的动载荷(N)
9.3.2 预紧滚珠丝杠副的轴向接触刚性Ka
Ka随着预紧力Fp的增大而增大，在滚珠丝杠副承受最大轴向载荷Fma x≤3Fp 范围内Ka是一个常数，但预紧力Fp太大，会导致发热量增加，寿命减少。

所以预紧力Fp按Fp=Fmax/3选取，并大致符合表12要求，当Fmax不知道时，推荐按表12选用。

样本中预紧滚珠丝杠副的轴向接触刚度K按预紧力Fp=0.1Ca给出(增大滚珠直径预紧按Fp=0.05Ca 给出)，当预紧力Fp不是样本上的数值时，Ka也与样本上的数值不同。

此时Ka可按下式计算
Ka=K[Fp/εCa]1/3 (公式9)
ε=0.1(增大滚珠直径预紧时ε=0.05)
Fp-滚珠丝杠副的预紧力(N)
Ca-样本上的额定动载荷(N)
10 滚珠丝杠副的转矩
10.1 理论动态预紧转矩Tpo:有预加载荷的滚珠丝杠副，在没有外加载荷的情况下，丝杠与螺母相对连续转动所需力矩(不包含螺母两端密封件的摩擦力矩)
Tpo=10-3*(Fp*Ph/2π)*[(1-η2)/η] (N*m) (公式10)
Fp-轴向预加载荷(N)
Ph-导程(mm)
η-传动效率
精度：1.2级取η=0.95，3.4级取η=0.9，5.7.10级取η=0.85
10.2 最大动态预紧转矩Tpmax:丝杠与螺母相对连续转动时，实际动态预紧矩以理论动态预紧转矩为中心上下波动，允许的波动范围ΔTp称动态预紧转矩公差，ΔTp见国家标准GB/T17857.3-1998，“滚珠丝杠副的验收条件和验收检验”。

见附表2续E12。

Tpmax=Tpo×(1+ΔTp)(N*m)(公式11)
10.3 正传动转矩
将回转运动转变为直线运动称正传动。

Ta=10-3* FaPh/2πη1(N*m)(公式12)
Ta-加在滚珠丝杠副上的驱动力矩
η1-正传动效率
Fa-滚珠丝杠副承受的轴向载荷(N)
10.4 逆传动转矩
将直线运动转化为回转运动称为逆传动。

Tb=10-3* FaPh*η2/2π(N*m)(公式13)
Tb-加在滚珠丝杠副上防逆转动的力矩
η2-逆传动的效率(0.90-0.85)
滚珠丝杠副的安装方式
安装方式对滚珠丝杠副承载能力，刚性及最高转速有很大影响。

常见安装方式有以下四种情况(见图4)
(1)固定-自由；
(2)支承-游动
(3)固定-固定
图中以左端轴承作轴向定位，各符号的意义见表13
(2)支承——游动
(3)固定——游动
(4)固定——固定(图中设b1≥b2)。