离散数学 杨圣洪等著 第二章习题一解答

第二章习题一
1、指出下列公式∀x∃y(F(x,y)∧G(y,z)) ∨∃xH(x,y,z)中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现。

解：全称量词的指导变元为x，第一个存在量词的指导变元为y，第2个存在量词的指导变元为x。

在∀x∃y(F(x,y) ∧G(y,z))中约束变元为x与y，自由变元为z。

在∃xH(x,y,z)中的约束变元为x，自由变元为y,z。

2、给定解释I如下：
(a)个体域为实数集R；
(b)特定元素a=0；
(c)函数f(x,y)=x-y，x与y为实数。

(d)谓词F(x,y)为x=y，G(x,y)为x<y，x与y为实数。

给出下列公式在解释I下的真值。

(1) ∀x ∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))
(2) ∀x ∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))
(1) ∀x ∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))
解：原式=∀x ∀y(F(x-y,0) → G(x,y))
=∀x∀y(x-y=0 → x<y)
当x-y=0为1时，x<y为0，
故此式的值为0。

(1) ∀x ∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))
=∀x ∀y(G(x-y,0) →F(x,y))
=∀x ∀y((x-y<0) →x=y)
当x-y<0即x<y时即前件成立时，后件x=y不可能成立即为0，
故此式的值为0。

3、给定解释I如下：
(a)个体域D=自然数N；
(b)特定元素a=2；
(c)函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=x*y；
(d)谓词F(x,y)为x=y；
给出下列各式在I下的解释，并讨论它们的真值：
(1) ∀x∀y(F(f(x,a),y) →F(f(y,a),x))
(2) ∃x(F(f(x,x),g(x,x)))
(1) ∀x∀y(F(f(x,a),y) →F(f(y,a),x))
=∀x∀y(F(f(x,2),y) →F(f(y,2),x))
=∀x∀y(F(x+2,y) →F(y+2,x))
=∀x∀y((x+2=y) →(y+2=x))
当x+2=y时即x-y=-2即前件为1时，后件y+2=x即x-y=2是不可能的，也即后件为0，故此式的值为0。

(2) ∃x(F(f(x,x),g(x,x)))
= ∃x(F(x+x,x*x)
= ∃x(x+x=x*x)
= ∃x(2x=x*x)
= ∃x(2=x)
当x为任意值，x=2时上式为真。

故原式为真。

4、设个体域D={a,b,c}，在D上展开下列公式中的量词。

(1) ∀x∀y(F(x) ∨G(y))
(2) ∀x(F(x,y) →∃yG(y))
(1) ∀x∀y(F(x) ∨G(y))
=∀x((F(x)∨G(a))∧(F(x)∨G(b))∧(F(x)∨G(c)))
=∀x(F(x)∨(G(a) ∧G(b) ∧G(c)))
=∀x(F(x))∨(G(a) ∧G(b) ∧G(c)))
=(F(a) ∧F(b) ∧F(c))∨(G(a) ∧G(b) ∧G(c)))
(2) ∀x(F(x,y) →∃yG(y))
= ∀x(F(x,y)→(G(a)∨G(b)∨G(c)))
=(F(a,y)→(G(a)∨G(b)∨G(c))) ∧(F(b,y)→(G(a)∨G(b)∨G(c))) ∧(F(c,y)→(G(a)∨G(b)∨G(c)))
5、在给定解释I如下：
(a)个体域D={3,4}
(b)f(3)=4,f(4)=3
(c)F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1
试求下列公式在I下的真值：
(1) ∀x∃yF(x,y)
(2) ∃x∀yF(x,y)
(1) ∀x∃yF(x,y)
=∀x(F(x,3)∨F(x,4))
=(F(3,3)∨F(3,4)) ∧ (F(4,3)∨F(4,4))
=(0∨1) ∧ (1∨0)=1
(2) ∃x∀yF(x,y)
=∃x(F(x,3) ∧F(x,4))
=(F(3,3) ∧F(3,4)) ∨ (F(4,3) ∧F(4,4))
=(0 ∧1) ∨ (1 ∧0)=0
6、利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(¬∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ¬(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
解：
(1)
∀xA(x)→∀xA(x)可看成p→p的代换实例，而p→p⇔¬p∨p⇔1，所以∀xA(x)→∀xA(x) ⇔1 (¬∃yB(y)∨∃yB(y))可看成¬p∨p的代换实例，而¬p∨p⇔1，故(¬∃yB(y)∨∃yB(y)) ⇔1 故(1) ⇔1→1⇔1，故(1)为永真式
(2)
¬(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
⇔¬(¬∀xF(x) ∨∃xB(x))∧∃xB(x) 是p→q⇔¬p∨q的代换实例
⇔ (¬¬∀xF(x) ∧¬∃xB(x))∧∃xB(x) 是德摩律的代换实例
⇔ (∀xF(x) ∧¬∃xB(x))∧∃xB(x) 是否定之否定的代换实例
⇔∀xF(x) ∧(¬∃xB(x)∧∃xB(x)) 是结合律的代换实例
⇔∀xF(x) ∧0 是¬p∧p⇔0的代换实例
⇔0 是p∧0⇔0的代换实例
故为永假式
以后在所有的证明中，可将“代换实例”这几个省略不写，如直接写德摩律，条件式的等值式，就像在命题逻辑进行等值演算一样。