类比的方法解题

如何用类比的方法解题一、类比意义与含义演绎推理——一般到特殊推理 归纳推理——特殊到一般推理 类比推理——特殊到特殊推理所谓类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。

类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：类比是一种数学思想方法，将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。

数学家乔治·皮利亚相关名言： ——“类比是一个伟大的引路人”.—— “在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现立体几何与平面几何的类比—— “对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。

——“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。

但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢。

”名人名言（Kepler ）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 。

” 二、平面几何与立体几何类比 1、如何进行类比为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：（但要注意的是这些类比关系又不是唯一的）2、类比构造命题（1）平面上定理——直线平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行。

在空间中成立。

（2）平面上定理——等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。

在空间中成立。

（3）平面图形的研究需要建立平面直角坐标系；立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。

（4）平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角；空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。

而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。

（5）平面上定理——平面中，不在同一条直线上的三点可确定一个圆，这是圆的确定性定理；在空间中，不在同一个平面上的四点可确定一个球，这是球的确定性定理。

（6）平面上定理——平面中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

3、类比拓展结论（1）平面中，周长相等的正三角形、正方形、圆，则有S三角形< S正方体< S圆空间中，表面积相等的正四面体、正方体、球，则有V正四面体< V正方体< V球（2）平面中，面积相等的正三角形、正方形、圆，则C三角形> C正方体>C圆空间中，体积相等的正四面体、正方体、球，则S正四面体> S正方体> S球。

（3）平面中的勾股定理也可推广到空间：（4）平面中，等边ΔABC 内任一点到各边的距离之和为定值（等边ΔABC 的高）；等腰ΔABC 底边上任一点到两腰的距离之和为定值（一腰上的高）。

空间中，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值（正四面体的高）；正三棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值（一侧面上的高）。

（5）圆的周长公式：C=2πr ；球的表面积公式：S=4πr 2；圆的面积公式：S=πr 2 ；球的体积公式：334r V π= （6）平面中：三角形的三内角平分线交于一点，且该点为内切圆的圆心。

空间中：四面体的六个二面角平分面交于一点，且该点为内切球的球心。

4、类比推理论证例1求证：正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值。

平面问题：求证：正三角形内任一点到三边距离之和为定值。

证明方法：面积分割。

类比猜想，所给立体几何问题是否也可以通过分割方法，利用体积的关系来证明 例2．如图1，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形△OM 1N 1与△OM 2N 2的面积之比2211N M N OM S S ∆∆=2121ON ON OM OM ⋅。

如图2，若从点O 所作的不在同一平面上的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为 。

解析:本题是平面几何与立体几何的类比，两三棱锥O －P 1Q 1R 1与O －P 2P 2R 2的体积之比212121222111OR OR OQ OQ OP OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅=-- 证明思路也可以类比而来。

如右图所示，连结P 1Q 1，Q 1R 1，R 1P 1，P 2Q 2，Q 2R 2， R 2P 2，过R 1，R 2分别作平面OQP 的垂线，垂足为H 1，H 2，由O 、R 1、R 2三点共线知，O 、H 1、H 2三点也共线，又∵R 1H 1⊥面OPQ ，R 2H 2⊥面OPQ ， ∴R 1H 1∥R 2H 2，∴△OR 1H 1∽△OR 2H 2，∴212211OR OR H R H R = 212121221122221111sin 21sin 21313122221111222111OR OR OQ OQ OP OP H R H R OQ P OQ OP OQ P OQ OP S S V V H R Q OP H R Q OP R Q P O R Q P O ⋅⋅=⋅∠⋅⋅∠⋅⋅==⋅∆⋅∆--, 故类比正确.例4 在四面体ABCD 内部有一点O，使得直线AO 、BO 、CO 、DO 与四面体的面BCD 、CDA 、DAB 、ABC 分别交于A 1、B 1、C 1、D 1四点，且满足，求k 的所有可能的值.分析 类比平面几何中的三角形，于是命题可以从“△ABC 内部有一点O ，使得直线AO 、BO 、CO 与三角形三边BC 、CA 、AB 分别交于A 1、B 1、C 1三点，且满足，求k 的所有可能的值”的推理过程。

解：面积证法，即，，.∴，于是得k的可能取值为2.在空间四面体中，可转化为体积关系来推理.在四面体ABCD中，有，，，，则体积关系有，于是得k的可能取值为3.点评运用类比进行思维时，首先要注意针对两类可作比较的研究对象；其次是两类研究对象附属的性质大体要有可比性.在此基础上可由其中一类研究对象的性质进行推测.2.解析几何中的类比题 一． 圆锥曲线的统一性椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线，这是因为它们有着统一性的定义： 平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹，当01e 时，它表示椭圆； 当 1e 时，它表示双曲线； 当 1e = 时，它表示抛物线。

由于它们有着共同的统一性定义，因此它们的性质有着许多类似之处，在研究有关的问题时，我们可以通过类比的方法，解决诸多问题。

（1）椭圆与双曲线类比 例1 ：（上海春招题）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值；试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明.分析： 类似的性质为：若M 、N 是双曲线12222=-by a x 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值。

证明：设点M 、P 的坐标为（n m ,）、（y x ,），则N （n m --,）。

因为点M （n m ,）在已知双曲线上，所以22222b m ab n -=，同理22222b x ab y -=，则222222222222a b m x m x a b m x n y m x n y m x n y k k PNPM =--⋅=--=++⋅--=⋅（定值）。

评注：本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力及类比推理的能力。

（2）椭圆与抛物线类比例2：在椭圆22221x y a b+=中，F 是左焦点，l 是左准线，A 是右顶点，过F 任作直线与椭圆交与B 、C 两点，连接AB 、AC 与左准线l 分别交与P 、Q 两点，设两点的纵坐标分别为1,2y y ，求证：12y y ⋅为定值。

类比上述结论，在抛物线中，你能得到什么结论，并给予证明。

分析：如图所示，以椭圆左焦点为极点，x 轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标方程为：2cos b a c ρθ=-⋅,设1(,)C ρθ，2(,)D ρπθ+，过C 作CD x ⊥轴，设准线与 x 轴交与E 点，则ACD ∆与APE ∆相似，所以PE AECD AD=, 即：2111sin cos a a y c a c ρθρθ+=+-，所以2111sin ()cos a a c y a c ρθρθ+=+-=222()sin cos cos cos a b a c a c b a c a c θθθθ+-⋅+--⋅=2sin cos b c c θθ-⋅。

同理可得222sin()sin cos()cos b b y c c c c πθθπθθ+==--⋅++⋅，所以224122sin sin cos cos b b b y y c c c c cθθθθ⋅=-⋅=--⋅+⋅。

类比椭圆与抛物线，我们可以发现抛物线只有一个顶点，另外一个顶点即在无穷远处，等同于椭圆的右顶点A ，因此我们有以下结论：在抛物线22(0)y px p=中，F 为其焦点，l 为其准线，过F 作直线与抛物线交与A 、B 两点，分别过A 、B 向准线l 作垂线，垂足分别为C 、D ，设两点的纵坐标分别为1,2y y ，则12y y ⋅为定值，定值为2p -，证明从略。

评注：本题中的类比是一个难点，只有牢牢把握住三类曲线的相似之处，才能解决此类问题，课本选修2-1（苏教版）第23页给出了三类曲线的形成模型，回归教材，深入的研究三类曲线的产生过程，是解决问题的关键。

（3）同类曲线自身的类比例3： 在平面直角坐标系中，不难得到“对于双曲线xy=k,k>0,上任意一点P ，若点P 在x 轴和y 轴上的射影分别为A 、B ，则PA PB ⋅必为定值 K ”；类比于此，对于双曲线22221x y ab-=上任意一点P ，类似的命题是什么？并证明你的结论。

分析：鉴于x,y 轴是双曲线xy=k,k>0的两条渐近线，因此我们可以得到下面的结论：对于双曲线22221x y a b-=上任意一点P ，若在两条渐近线b y x a =±上的射影分别是A 、B ，则有PA PB ⋅必为定值。

这个定值是多少呢？我们不妨先取P 为顶点时，可以得到定值为2222a b a b +，证明从略。

评注：本题的类比关键在于抓住两坐标轴对于双曲线xy=k,k>0而言实质上是其 渐近线。