求素数列表和判断素数的算法
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求素数列表和判断素数的算法
有兴趣阅读本文的读者，应该对素数概念是十分熟悉的了。用计算机程序实现素数计算，集中在2个主要问题上：
∙判断一个正整数是否是素数-（算法A）
∙求一定范围内的素数列表- （算法B）
关于素数的算法，根据素数的数学性质，大家都会想到如下几个方面：
∙用遍历求模的方式判断素数
∙素数都是奇数，可以在奇数数列中寻找素数
∙利用开方来缩小搜索的范围
然后，求素数的计算是复杂的，如果算法写得不好，则耗时较高。在百度百科“素数”条目中的算法程序，是值得商榷的。很多方法是O(N2)的算法。
为此，在本文中探讨了求素数列表和判断素数这两个算法，力图使算法可以达到O
（N Log(N)）优化级别。在本文中，算法语言选用C#。
1,判断素数的简单实现（算法A-1）
///
///算法A-1，判断素数
///
///待测正整数
///
public static bool IsPrime(int number)
{
// 为了简化，1以下的整数皆为素数
if(number <= 2)
{
return true;
}
// 奇偶性
if (number % 2 == 0)
{
return false;
}
// 利用开方缩小范围，优化效果十分明显
int range = (int)Math.Sqrt(number) + 1;
// 从3开始的奇数列
for (int current = 3; current <= range; current += 2)
{
// 判断是否为素数
if (number % current == 0)
{
// 合数
return false;
}
}
return true;
}
A-1算法中，首先判断奇偶性，再判断从3开始判断待查数（number）是否是合数，若到Math.Sqrt(number)还没有查到是合数，即为素数。
这个方法是O(N1/2)级别的算法，所以很快，即使是最悲观的int.MaxValue，在本人的本机计算也可达到125ms的运行时间。
2，判断素数的优化算法（A-2）
虽然这种算法速度比较快，但如果频繁使用A-1算法，累计起来开销就比较大了，假设有N次访问的话，算法级别就到了O(N3/2)。
因此，本人的解决方案是先计算出一定范围内的素数列表存放在哈希表中，多次调用就可以忽略查询时间了。
///
///素数的Hash表
///
private static HashSet
///
///算法A-2，判断素数
///
///待测正整数
///
public static bool IsPrime2(int number)
{
// 为了简化，1以下的整数皆为素数
if (number <= 2)
{
return true;
}
return Primes.Contains(number);
}
这种算法的前提是要求一个素数表，这就是算法B要研究的问题了。
3 求素数列表的简单算法（B-1）
///
///求素数列表的简单算法(算法B-1)
///
///
///
public static int[] GetPrimes(int range)
{
List
// 从3开始的奇数列
for(int current = 3; current <= range; current += 2)
{
// 判断是否为素数
bool isPrime = true;
foreach (int prime in primeList)
{
if (current % prime == 0)
{
// 若为合数，进入下一数的判断
isPrime = false;
break;
}
}
if (isPrime)
{
// 加入素数列表
primeList.Add(current);
}
}
// 把2补入
primeList.Insert(0, 2);
return primeList.ToArray();
}
上述算法，是对小于N的数，遍历素数表，判断是否为合数，全不成立的即为素数，并加入素数表。
这个算法的一个特点是只对奇数数列进行遍历，从而使遍历次数减少了一半。
4，步长优化的算法（算法B-2）
有读者会想到阴阳素数数列的问题，也就是除了2,3以外，素数要么在（6N-1）数列，要么在（6N+1）数列，这样，是不是就可以通过改变步长方式就可以提高速度？是的，本人也做过这样的实验，代码如下：
///
///求素数列表的简单算法(算法B-2)
///
///
///
public static int[] GetPrimes2(int range)
{
List
int index = 1; // 步长下标
int[] loops = new int[] { 2, 4 };//步长