圆锥曲线的内切圆专题
圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）
圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）专题六圆锥曲线与圆有关的专题【知识回顾】一. 园的性质圆的性质在平面解析几何中有广泛而灵活的应用，运用好圆的性质，不仅能免去解几中冗长的运算，还能充分地感受到平面几何的魅力。
1、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理； 2、垂径分弦定理、射影定理； 3、三角形内切圆和外接圆的性质； 4、圆的内接四边形的性质；5、圆幂定理（相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理）.6、圆的切线性质. 二、常见题型1、利用圆的性质求解（或证明）角的大小、弦长、最值等。
2、判定或证明四点共圆：方法1：用定义；方法2：若四边形的对角互补，则四边形的四顶点共圆；方法3：若四边形的外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆. 方法4：证明四点的坐标都满足同一个圆的方程。
【例题】一、关于四点共圆说明理由。
四点在同一个圆上？并，使得的）试判断是否存在这样（的方程；的取值范围，并求直线）确定（两点。
交于的垂直平分线与椭圆相的中点，线段是线段上的两点，点是椭圆、设例D ,C ,B ,A 2AB 1D ,C AB AB )3,1(N y 3x B ,A 122λλλ=+.03.A ACD ,,,A 2D 12,2CD 2321,22324CD AB 12.)12(2AB ,)3(2CD ),23,21(,044402y -x :CD ,CD ,AB CD ),,M(x CD 1)2(.04y x AB .120,1k ,3)1x (k y AB 122222200200=?=>∴=-=?=+==∴=-+=<>-=-=-=-++=+=-+>>?-=+-=AD AC DN CN AN D C B C B A AB d MB MA y x d AB M M x x y ：利用解法为直角为直角三角形，共圆：解法四点共圆。
、、、时，当）（的距离为到点。
时，因为当同理得求得与椭圆方程联立得由圆直径为所以若四点共圆，则此的垂直平分因为的中点为：（用定义）设解法方程为直线得由程，由中点公式得代入椭圆方程得二次方方程为）设解：（λλλλλλλ.D ,C ,B ,A 12,t t t t ,ND NC NB NA D ,C ,B ,A ,ND t ,NC t ,NB t ,NA t tsin453y tcos451x CD ,tsin1353y tcos1351x AB 443214321四点共圆时易证此式成立，即即四点共圆，则若组根，分别与椭圆联立得到两方程为方程为设圆幂定理则非常简单。
圆锥曲线内切圆专题
.圆锥曲线切圆专题1、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方，（1）求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； （2）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方（1）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； （2）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称．（1）求△ABC切圆的半径；（2）过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，求证：AD+AE是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+tytx，圆C：222)2(ttyx=-+（t＞0），过椭圆右焦点F2作圆C切线，切点为A，B（1）当t=1时，求切线方程（2）无论t怎样变化，求证切点A，B分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．..7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QR AF P 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C . ①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G 的离心率为e =A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的接ABC ∆的切圆.(Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.o '.1、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方，（1）求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； （2）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方（1）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； （2）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 和点B 关于y 轴对称． （1）求△ABC 切圆的半径；（2）过O 、A 两点作⊙M ，分别交直线AB 、AC 于点D 、E ，求证：AD+AE 是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+ty t x ，圆C ：222)2(t t y x =-+（t ＞0），过椭圆右焦点F2作圆C 切线，切点为A ，B （1）当t=1时，求切线方程（2）无论t 怎样变化，求证切点A ，B 分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1，2，，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；..(2)过点Q 作直线1QR AF P 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C . ①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上； ②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF P ,得(4,0)R t - ---8分 则线段1F R 的中垂线方程为2tx =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QR AF P ,得(4,0)R t - 设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D t E t F t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 ②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=第20题P AR OF 1Qx y F 2.该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=,则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)1313(Ⅱ)设B02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HBAD AH '=06y r =+,即 0y =而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-（舍去）(2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -=(3)则23=即2323650k k ++= (4) 解得12991616k k --== 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161kx k =-+----------------------13分设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112211231164EF k x k x k k k x x k k -+===--于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161kk y x k k +-=+++ 即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离23d ==故结论成立..。
(完整版)解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
圆锥曲线内切圆专题
. z.1，2，，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .. z.(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？假设过，求出该点的坐标；假设不过，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在*轴上的椭圆G 的离心率为154e =，左顶点A 〔-4,0〕，圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的接ABC ∆的切圆. (Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；〔Ⅲ〕过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.1、椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 〔23，2〕在直线l 的上方，〔1〕求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； 〔2〕证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 〔23，2〕在直线l 的上方〔1〕证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； 〔2〕假设∠APB=60°，求△PAB 的面积． 3、椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕的离心率36=e ，过点A 〔0，-b 〕和B 〔a ，0〕的直线与原点的距离为23 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、圆C 过点P 〔1，1〕且与圆M ：222)2()2(r y x =+++〔r ＞0〕关于直线*+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P 〔1，1〕第7题P AR OF 1Q *y F 2 xy ABCMEF. z.在直线l 的左上方． 〔1〕求圆C 的方程．〔2〕证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线*=1上． 〔3〕假设∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=*+1与y 轴交于点A ，与*轴交于点B ，点C 和点B 关于y 轴对称． 〔1〕求△ABC 切圆的半径；〔2〕过O 、A 两点作⊙M ，分别交直线AB 、AC 于点D 、E ，求证：AD+AE 是定值，并求其值．6、椭圆122222=+t yt x ，圆C ：222)2(t t y x =-+〔t ＞0〕，过椭圆右焦点F2作圆C 切线，切点为A ，B 〔1〕当t=1时，求切线方程〔2〕无论t 怎样变化，求证切点A ，B 分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；(2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上； ②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？假设过，求出该点的坐标；假设不过，请说明理由． 解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t ----8分则线段1F R 的中垂线方程为2tx =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,第20题PAR OF 1Q *y F 2. z.由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经历证,该圆心在定直线7480x y ++=上解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QR AF ,得(4,0)R t -设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D tE tF t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩ 所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经历证,该圆心在定直线7480x y ++=上②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=, 则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)13138.解： (Ⅰ) c e a ==，4a =得1c b ==，椭圆G 方程为22116x y +=(Ⅱ)设B 02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HBAD AH '=06y r =+,即0y = (1) 而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-〔舍去〕 (2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -= (3)则23=即2323650k k ++= (4). z.解得12991616k k -+--== 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161kx k =-+----------------------13分 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===--于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE的距离23d ==故结论成立.。
专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
【答案】1 【详解】 抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录 专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距 离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，
专题50 圆锥曲线(多选题部分)(解析版)
专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。
素养视域下圆锥曲线的内切圆问题探究与反思——以2021年全国甲卷理科第20题圆锥曲线问题为例
素养视域下圆锥曲线的内切圆问题探究与反思——以2021年全国甲卷理科第20题圆锥曲线问题为例引言圆锥曲线作为高中数学中的重要内容，是培养学生数学素养和解决实际问题的重要手段之一。
2021年全国甲卷理科第20题是一道关于圆锥曲线的问题，要求研究曲线y=2x^2-16lnx与直线y=kx+k+4之间的内切圆。
本文通过对这道题目的分析与研究，旨在探究素养视域下圆锥曲线的内切圆问题，并对问题的解决方法与数学思维进行反思。
一、题目分析题目给定的曲线为y=2x^2-16lnx，直线为y=kx+k+4，要求求出曲线和直线之间的内切圆。
首先，我们需要明确内切圆的定义：内切圆是指一个圆与某个几何体的内表面，且该圆与几何体的内表面只有一个公共点。
在这道题目中，内切圆应该与曲线和直线的交点只有一个。
二、求解过程1. 求曲线和直线的交点首先，我们需要求出曲线y=2x^2-16lnx与直线y=kx+k+4的交点。
设交点坐标为(x0, y0)，代入曲线和直线的方程，得到方程组：2x0^2-16ln(x0)=kx0+k+4联立以上方程并化简，可得：2x0^2-(k+16)ln(x0)-kx0-(k+4)=0这是一个二元一次方程，我们可以通过求解此方程找到交点坐标(x0, y0)。
2. 求内切圆的半径和圆心求得交点坐标之后，我们可以将其代入曲线的方程，得到曲线在交点处的切线方程。
由于切线与曲线相切，所以切线也是直线y=kx+k+4。
因此，在交点处，曲线和切线的斜率应该相等。
根据导数的定义，我们可以求出曲线在交点处的斜率为2x0-16/x0。
联立切线的斜率等于曲线的斜率，即：2x0-16/x0=k解上述方程，即可求解出交点坐标的x0值。
将x0代入曲线的方程，就可以求出y0的值。
此时，交点坐标为(x0, y0)。
因为内切圆与直线相切，所以内切圆的圆心坐标应该是(x0, y0)。
又因为内切圆与曲线相切，所以内切圆的半径r可以通过计算两者斜率的差值倒数得到，即：r=1/|2x0-16/x0|三、数学思维的反思通过对上述题目的解析和求解过程的分析，我们可以看到解决这道问题需要运用到数学的多个知识点，并且需要进行数学思维的灵活运用。
利用圆锥曲线的定义解几类动圆圆心的轨迹问题
利用圆锥曲线的定义解几类动圆圆心的轨迹问题圆锥曲线是一种由圆半径和圆心构成的曲线，具有某种几何形态和特殊几何表示。
圆锥曲线可以被用来解决各种动圆圆心轨迹问题。
这里将介绍几类动圆圆心的轨迹问题，并使用圆锥曲线来解决它们。
首先是直线动圆法。
这是一种典型的动圆问题，要求圆心运动在一条水平线。
可以使用两个数值来确定运动轨迹：圆心的x轴坐标和圆心的起始位置。
为实现这一动圆问题，可以使用参数方程的表示形式：X=X0+At，其中A是一个常数，X0是起始位置，而t则表示时间。
该参数方程表示圆心的x轴坐标随时间的增大而恒定增加的过程。
当x距离初始位置X0的距离超过圆的半径时，其轨迹会呈现侧锥曲线，这正是圆锥曲线的表示形式。
其次是圆周动圆法。
在这种情形下，圆心沿着圆圆心运动，要求圆心坐标随时间恒定变换。
由于圆是零自由度的共振系统，所以，可以使用三个参数表示这一动圆问题的运动轨迹，即X=X0+rCos（ωt+φ），其中X0是起始位置，r表示圆的半径，ω表示圆心的角速度，而φ表示起始角度。
由此可见，当x距离初始位置X0的距离超过圆的半径时，其轨迹也会呈现侧锥曲线，即圆锥曲线。
最后是旋转动圆法。
在这种情形下，圆心沿着圆圆心运动，要求圆心坐标随时间恒定旋转变换。
该动圆问题也可以使用参数方程的表示形式： X=X0+rCos（αt+β），其中X0是起始位置，r表示圆的半径，α表示圆心的角加速度，而β表示起始角度；当x距离初始位置X0的距离超过圆的半径时，其轨迹也会呈现侧锥曲线，即圆锥曲线。
以上就是几类动圆圆心轨迹问题的解决方案，也是通过圆锥曲线实现这一解决方案的过程。
圆锥曲线是一种具有某种几何形态和特殊几何表示的曲线，它可以被用来解决各种动圆圆心轨迹问题，比如直线动圆法、圆周动圆法和旋转动圆法，这是通过使用坐标变换方法和参数方程进行解答的。
因此，圆锥曲线是一种非常有效的解决动圆问题的方法，能够较好的描述和表示不同形态的动圆问题。
高中数学第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线用内切球探索圆锥曲线的性质课件新人教B版
(2)圆柱面的内切球： 在圆柱面的轴上任取一点 C，过 C 作垂直于轴的平面 δ，则平面 δ 在圆柱面上的截线⊙(C，r)称为切点圆 ，以 C 为圆心，r 为半径作球，该球叫做圆柱面的内切球 ． (3)圆柱面的平面截线： ①如果平面 δ 与圆柱面的轴线垂直，则平面 δ 截圆柱 所得的截线是一个 圆 ，此时 δ 平面为圆柱面的 直 截面；
＝60°是平面 α 与圆柱母线(也是与轴线)所成的
角．设圆柱面半径为 r，则 a＝sinr60°＝2
3r 3.
椭圆的短轴长 2b＝2r，即 b＝r，由已知焦距 2c＝2 3，∴c
＝ 3.
又在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴2 3 3r2＝r2＋( 3)2. 解得 r＝3，即圆柱面的半径为 3.
圆锥面的平面截线
性质 2：如果一个平面垂直于圆锥面的轴线，则其截圆锥面 所得的截线是 圆 ．
(2)圆锥面的内切球及其性质： 圆锥面与内切球的交线是一个 圆 ，并且该圆所在平面 垂直 于该圆锥面的轴线． (3)圆锥面的平面截线： 定理：在空间给定一个圆锥面 S，轴线与母线的夹角为 α， 任取一个不通过 S 的顶点的平面 δ，设其与轴线的夹角为 β(δ 与 面的截线．解答本题需
要根据题目条件确定椭圆的长轴和短轴． [精解详析] 过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3，∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. 在 Rt△G1G2H 中， G1G2＝sin∠GG1H1G2H＝2 33＝4. 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
2.2
用 内 切 球 第探 二索 章圆 锥 曲 线 的 性 质
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
第12讲 破解离心率问题之内切圆问题(原卷版)-突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练
第12讲破解离心率问题之内切圆问题一．选择题（共20小题）1．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，△12PF F 的内切圆的圆心为C ，且128OC F F ⋅= ，则双曲线的离心率为()A ．52B ．152+C ．2D ．222．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，12||4F F =，P 是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，直线2F P 与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是()A 2B 3C ．2D ．23．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上，△12PF F 的重心为G ．若△12PF F 的内切圆H 的直径等于121||2F F ，且12//GH F F ，则椭圆E 的离心率为()A 63B ．23C ．22D ．124．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 是双曲线右支上两点，且223BF F A = ，设△1AF B 的内切圆圆心为1I ，△12AF F 的内切圆圆心为2I ，直线12I I 与线段12F F 交于点P ，且123F P PF = ，则双曲线C 的离心率为()A ．52B ．102C 5D 105．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且122F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为()A ．45B ．34C ．23D ．126．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为()A ．23B ．22C ．32D ．337．已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点(A 在第一象限），若△12AF F 与△12BF F 内切圆半径之比为3:2，则双曲线离心率的取值范围为()A ．(1,5)B ．(1,2)C ．D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b ，则双曲线的离心率为()A B ．2C D ．39．已知双曲线2222:1(0)4x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =则C 的离心率为()A ．3B ．3C D ．310．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为()A ．45B ．23C ．12D ．1511．过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P ，Q 两点，且90OPQ ∠=︒，O 为坐标原点，若OPQ ∆内切圆的半径为3a ，则该双曲线的离心率为()A BC D 12．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，△12PF F 的内切圆的圆心为C ，12OC F F ⋅= ()AB C D 13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅ ，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠ ，则椭圆的离心率为()A ．47B ．23C ．13D ．3714．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0)16x y C a a a -=>-的左、右焦点，点M 是C 右支上的一点．直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =，则C 的离心率为()A B ．3C D 15．已知点1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且2PI IQ = ，则该椭圆的离心率为()A ．12B ．13C ．14D ．2316．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为()A ．(0，2]B ．[2，)+∞C ．(1，2]D ．)+∞17．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -=恒成立，则双曲线的离心率为()A B C ．2D ．318．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bω-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线ω上的一点，若12120F PF ∠=︒，且△12F PF 外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为()AB C D ．219．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ∠=︒，且△12F PF 内切圆的半径大于312a ，则C 的离心率的取值范围是()A ．3(0,]2B ．11(0,)12C ．311[)212D ．11(,1)1220．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上一点，12120F PF ∠=︒，△12F PF 的内切圆与外接圆的半径分别为1r ，2r ，若216r r =，则C 的离心率为()A ．2B ．4C ．1920D ．910二．多选题（共2小题）21．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂A 足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点(B A ，B 在y 轴同侧）．设O 为坐标原点，则下列结论正确的有()A ．||OA a=B ．若双曲线C 的一条渐近线的斜率为12，则双曲线C 的离心率等于2C ．若||2||FB FA =，则双曲线CD ．若OAB ∆，则双曲线C 22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若1ABF ∆为等边三角形，则下列结论一定正确的是()A ．双曲线CB ．△12AF F 的面积为2C ．△12AF F 内切圆半径为1)a-D ．△12BF F 的内心在直线x a =±上三．填空题（共16小题）23．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，若1243||3y y -=，且2ABF ∆内切圆的面积为π，则椭圆E 的离心率为．24．双曲线22221x y a b-=，点1F ，2F 是该双曲线的两焦点，P 在双曲线上，且1PF x ⊥轴，则△12PF F 的内切圆和外接圆半径之比r R =．25．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切圆的半径为12a -，则双曲线C 的离心率为．26．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为．27．已知点1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且PI mIQ = ，35m <<，则该椭圆的离心率取值范围为．28．已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q ．若△1PF Q 的内切圆与线段1PF 在其中点M 处相切，与PQ 切于2F ，则椭圆的离心率为．29．如图，焦点在x 轴上的椭圆2221(0)2x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为．30．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2.F 与x 轴垂直的直线l 经过2F ，交C 于A 、B 两点．记12||2F F c =．若1ABF ∆内切圆的半径为2c ，则C 的离心率为．31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F 与y 轴交于点M ，与双曲线C 的右支交于点P ，2PMF ∆的内切圆与边2MF 切于点N ，若12|||F F MN =，则双曲线C 的离心率为．32．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为5b ，则该椭圆的离心率为．33．已知点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，A 为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点O 作OA 的垂线交FA 于点B ，若B 恰为线段AF 的中点，且ABO ∆的内切圆半径为()4b a b a ->，则该双曲线的离心率为．34．已知抛物线28y x =-的准线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点．若AOB ∆的内切圆的周长为π，则内切圆的圆心坐标为，双曲线C 的离心率为．35．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅ ，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠ ，则椭圆的离心率为．36．如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点．若120OAB ∠=︒，OAB ∆内切圆的半径5b r -=，则双曲线的离心率为．37．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，S ，若1212S S S -恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是．38．如图，BCE ∆中，BC BE =，A 为BE 上一点，且60CAE ∠=︒，ABC ∆的内切圆与边AC 相切于D ，且:1:6AD AC =．设以C ，E 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为1e ，以C ，E 为焦点且过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e +的值为．。
圆锥曲线(选填题)压轴题系列专题(一)：圆锥曲线与“四心”问题(第4讲)(解析版)
专题一：圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心）从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．专题目录：第1讲、圆锥曲线与内心问题第2讲、圆锥曲线与重心问题第3讲、圆锥曲线与垂心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题：三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点 知识储备：(1)、O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或222OC OB OA ==)；(2)、若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅=0.(3)、若O 是ABC ∆的外心，则sin 2sin 2B sin 02A OA OB C OC ⋅+⋅+⋅=; (4)、多心组合：ABC ∆的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH 经典例题例1．（2019年成都七中半期16题）1F ,2F 分别为双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为12，则该双曲线的离心率为_______ .1 【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，122PF PF a -=，则()()2222212121224PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，()()2222121212484PFPF PFPF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =，=，整理得24c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1e =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.例2．（2018全国高中数学联赛（湖北预赛））已知点P 的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，12F F 、为双曲线的两个焦点，且210PF PF ⋅=，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为____.1- 【解析】由120PF PF ⋅=，知1290PPF ∠=︒.设12,PF m PF n ==， 又122F F c =，则可得()1,22R c r m n c ==+-， 2224m n c +=， ① 2m n a -=. ②设rk R=，则()122r kR kc m n c ===+-，即有()22m n k c +=+. ③由①②③可得()22222248k c a c ++=，所以()22222213122c a k c e -+==-=，解得1k =-.故12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R1- 例3.（2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，则2ABGF 的值为 .【答案】4【解析】由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212221213434m AB y m m +=-=-++. 因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++，所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题.例4.（2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由题,因为()0OD OI λλ=≠,所以O 、D 、I 三点共线,因为点D 为线段FP 的中点,∆POF 的外心为I ,所以DI PF ⊥,即OD PF ⊥, 设双曲线的左焦点为(),0F c '-,则点O 为线段F F '的中点,则在PFF '中,//PF OD ',即PF PF '⊥,所以PFF '是直角三角形,所以222F F F P PF ''=+,因为PF b =,由双曲线定义可得2PF PF a '-=,所以2PF a b '=+, 则()()22222c a b b =++,因为222c a b =+,整理可得2b a =,所以c =,则ce a==,故选:D 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.例5.（2019年衡水中学联考12题）已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5【答案】C【解析】不妨设点M 在第二象限，设(,)M m n ，2(,0)F c ，由D 为2MF 的中点，O 、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分2MF ，则:1OD y x a=，故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =， 将212,a a M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241aca a c c--=，化简可得225c a =，即e =当点M 在第三象限时，同理可得e =故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题.例6.（2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线24y x =交于,A B 两点，若OAB ∆的外心为(M O 为坐标原点）,则当AB MO最大时，AB =____.【答案】.【解析】由题意知,MO 为OAB 外接圆的半径，在OAB 中,由正弦定理可知,2sin AB R AOB=∠(R 为OAB 外接圆的半径),当sin 1AOB ∠=,即90AOB ∠=︒时,AB MO取得最大值2.设()11,A x y ,()22,B x y ,易知10y ≠,20y ≠,则12120x x y y +=,得221212016y y y y ⋅+=,即12160y y +=.设直线AB 的方程为y x t =+,即x y t =-,代入24y x =得,2440y y t -+=,则124y y +=,124y y t =,所以4160t +=,解得4t =-.故12AB y y =-==.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.课后训练：变式1．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，12,F F 分别为C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为（ ） AB ．2CD ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 为右支上的点，则122PF PF a -=，设双曲线的半焦距为c ，则22b PF a=，212b PF a a =+，又12Rt PF F 外接圆半径为21122b PF a a=+. 12Rt PF F 内切圆的半径为222222-22b bc ac a a a r c a+---===， 因为12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，故252=2b aac a +-， 故22560c ac a -+=，所以2c a =或3c a =，即2e =或3e =.故选：D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．变式2．（2018上海市高三模拟）已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，其中012m ＜＜，若两者图像在第二象限的交点为A ，椭圆的左右焦点分别为B 、C ，T 为△ABC 的外心，则•AT BC 的值为_____. 【答案】16.【解析】已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，焦距相等所以焦点相同，设(,0),(,0),B c C c c -=A 为两曲线在第二象限的交点，||||AB AC <，84AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，||2AB =， 设000(,),42A x y x -<<-，220016m y m x =-，||AB ==0424c x ===+=，08x c ∴=-，因为O 为BC 中点，△ABC 的外心T 在y 轴上，0OT BC ⋅=，08()(,)(2,0•)16AT B OT OA BC OA BC y c cC =-⋅=-⋅=--⋅=【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.变式3. P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上的一点，12,F F 分别为左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A．3 B．4 C．3或3 D．4或4-【答案】C【解析】212PF F F ⊥，∴点P 的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22b PF a =,则212b PF a a =+12PF F ∆的外接圆半径21122PF b r a a==+ 其内切圆半径222222b bc a a a r c a +--==- 12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，123r r ∴=,即()232b a c a a+=-化简可得22670c ac a --=即2670e e --=解得3e =±C【点睛】本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量关系求出结果，属于中档题.变式4．（2018年四川省棠湖中学三诊16题）已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，a 的最小值为__________． 【答案】4【解析】由G 是△PF 1F 2的外心，则G 在y 轴的正半轴上，120GF GF GP λ++=， 则1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，则P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点，则△PF 1F 2的面积S=12×b×2c=bc=8，由a 2=b 2+c 2≥2bc=16，则a ≥4，当且仅当时取等号， ∴a 的最小值为4，故答案为4．【点睛】(1)本题主要考查平面向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，得到P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点.变式5．F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=（a ，b >0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足12PF PF ⋅=0，若△PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为13，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】120PF PF =，12PF PF ∴⊥．∴12PF F ∆的外接圆半径为1212F F c =，∴12PF F ∆的内切圆的半径为3c．设12PF F ∆的内切圆的圆心为M ，过M 作x 轴的垂线MN ，连接1MF ，2MF ，则3cMN =，设1NF m =，2NF n =，则2m n c +=，①不妨设P 在第一象限，由双曲线的定义可知122PF PF m na -=-=，② 由①②可得m a c =+，n c a =-，12PF PF ⊥，且1MF ，2MF 分别是12PF F ∠，21PF F ∠的角平分线，12214MF F MF F π∴∠+∠=，又121tan 33()MN c c MF F NF m a c ∠===+，2123()MN cMF F NF c a ∠==-， ∴2223()3()119()c c c a c a c c a ++-=--，化简可得2292a c =，故292e =，32e ∴=．故答案为：322．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题变式6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点)4,0(),0,2(B A ，若其欧拉线方程为02=+-y x ，则顶点C 的坐标是 ．【答案】()4,0-【解析】设(),C m n ，由重心坐标公式得，ABC ∆的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭, 代入欧拉线方程得：242033m n++-+=,整理得：40m n -+= ① AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，AB 的中垂线方程为()1212y x -=-，即230x y -+=． 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩.．ABC ∴∆的外心为()1,1-．则()()22221131m n ∴++-=+，整理得：22228m n m n ++-= ②联立①②得：4,0m n =-=或0,4m n ==．当0,4m n ==时,B C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是()4,0-． 考点：1新概念问题;2三角形的外心,重心,垂心.。
3-圆锥曲线 专题复习1
专题复习 圆锥曲线（一）【题模一】 圆锥曲线定义的应用：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 当2a =21F F 时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <21F F 时，无轨迹；双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数a 2（21212F F a PF PF <=-），的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
抛物线：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹.【讲透例题】1．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段2、设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于 A ．3B ．210C ．45D ．3153. 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4、 已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．2 B ．22C ．3 D ．35． 已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．86． 若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．12B ．2C ．1D ．27． 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68． 已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为（ ） A ．12B ．8C ．6D ．49． 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为（ ）A ．25B ．252C ．509D ．100910、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线24y x =交于点A ，点B 是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点F 为双曲线的一个焦点，且ABF 为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．2277134x y -=B ．2277143x y -=C ．2234177x y -=D ．227711216x y -=12、已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．23y x =±D ．32y x =±【相似题练习】1．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、 已知A(-, 0)，B 是圆F:(x -)2+y 2=4(F 为圆心)上的一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是_______________.3． 已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．53D ．634、已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若,则|QF|= .5．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)6． 已知椭圆22:14x C y +=的焦点是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12PF F △的内切圆半径r 为（ ） A 3B ．23C ．23+D ．26、已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．42B ．13C ．313 D ．467、（多选）已知ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()5,0,5,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠且斜率之差等于n ，则正确的是（ ）A ．当0m >时，点C 的轨迹是双曲线.B ．当1m =-时，点C 在圆2225x y +=上运动. C ．当1m <-时，点C 所在的椭圆的离心率随着m 的增大而增大.D ．无论n 如何变化，点C 的运动轨迹是轴对称图形.8、（多选）已知焦点在x 轴上的椭圆过点()3,06，则（ ） A ．椭圆的标准方程为22193x y +=B ．椭圆经过点(0,23C ．椭圆与双曲线223x y -=的焦点相同D ．直线()11y k x -=-与椭圆恒有交点9、已知1F ，2F 是双曲线C ：2213x y -=的两个焦点，点M 在直线30x y -+=上，则12MF MF +的最小值为（ ） A ．213B ．6C ．26D ．510、已知()15,0F -，()25,0F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过1F 的直线l 与圆222:O x y a +=切于点T ，且与双曲线右支交于点P ，M 是线段1PF 的中点，若1OM TM -=，则双曲线的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．2211213x y -=D ．2211312x y -=11、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过2F 的直线l 与C 的左､右支分别相交于M ､N 两点，若11MF NF =，2MN b =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．5C ．2D ．62【题模2】 圆锥曲线的标准方程1、椭圆：（1）焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>），（参数方程，其中为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
圆锥曲线专题——内切圆问题解析版
圆锥曲线专题—内切圆问题解析版1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．2.已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋322b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，△a 2＝4，b 2＝3，△椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2，S △PF 1Q ＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2. S △PF 1Q ＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 43＋4k 22，令t ＝3＋4k 2，△t >3，k 2＝t －34， △S △PF 1Q ＝3－31t ＋132＋43，△0<1t <13，△S △PF 1Q △(0,3)，△当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S △PF 1Q ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大， △PF 2→＝F 2Q →，△λ＝1.。
圆锥曲线内切圆专题知识讲解
圆锥曲线内切圆专题1、已知椭圆c：143622=+yx，斜率为31的直线l交椭圆C于A，B两点，且点P（23，2）在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标0x的取值范围；（2）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条直线上．2、已知椭圆c：143622=+yx，斜率为31的直线l交椭圆C于A，B两点，且点P（23，2）在直线l的上方（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．各种学习资料，仅供学习与交流各种学习资料，仅供学习与交流3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的内切圆半径r 的最大值4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的内切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称．（1）求△ABC内切圆的半径；（2）过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，求证：AD+AE是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+tytx，圆C：222)2(ttyx=-+（t＞0），过椭圆右焦点F2作圆C切线，切点为A，B（1）当t=1时，求切线方程（2）无论t怎样变化，求证切点A，B分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．各种学习资料，仅供学习与交流各种学习资料，仅供学习与交流7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G 的离心率为e =A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的内接ABC ∆的内切圆.(Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.第7题o '各种学习资料，仅供学习与交流1、已知椭圆c：143622=+yx，斜率为31的直线l交椭圆C于A，B两点，且点P（23，2）在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标0x的取值范围；（2）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条直线上．各种学习资料，仅供学习与交流各种学习资料，仅供学习与交流2、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的内切圆半径r 的最大值各种学习资料，仅供学习与交流4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的内切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 和点B 关于y 轴对称． （1）求△ABC 内切圆的半径；（2）过O 、A 两点作⊙M ，分别交直线AB 、AC 于点D 、E ，求证：AD+AE 是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+ty t x ，圆C ：222)2(t t y x =-+（t ＞0），过椭圆右焦点F2作圆C 切线，切点为A ，B （1）当t=1时，求切线方程（2）无论t 怎样变化，求证切点A ，B 分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．各种学习资料，仅供学习与交流7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q . (1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上； ②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t - ---8分第20题PAR OF 1Q xy F 2各种学习资料，仅供学习与交流则线段1F R 的中垂线方程为2tx =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t t P t Q t --, 再由1QRAF ,得(4,0)R t -设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D t E t F t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 ②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=, 则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)1313(Ⅱ)设B02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HBAD AH '=06y r =+,即 0y = (1) 而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)-学习资料各种学习资料，仅供学习与交流 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-（舍去） (2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -= (3)则23=即2323650k k ++= (4)解得12k k == 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161k x k =-+----------------------13分 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===-- 于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++ 即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE的距离23d ==故结论成立.。
高中数学第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线2.2.3圆锥面及其内切球课件新人教B版选修4_1
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1.圆锥面 (1)如图,取直线l为轴,直线l'与l相交于点O,其夹角为 θ(0°<θ<90°),l'绕l旋转一周得到一个以O为顶点,l'为母线的圆锥面.
(2)圆锥面有以下的一些基本性质: 性质1:圆锥面的轴线和每一母线的夹角相等. 性质2:如果一平面垂直于圆锥面的轴线,则其截圆锥面所得的截 线是圆.
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所以动点P的轨迹是抛物线. 答案:B
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4.如图,过抛物线的焦点F作准线l的垂线,垂足为K,
交抛物线于点O,M是抛物线上一点,且MA⊥l于点A,
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反思双曲线的定义是解决双曲线问题的核心,当已知条件中出现 焦半径(圆锥曲线上的点与焦点的连线)时,常常利用双曲线的定义 来解决问题.
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圆锥曲线难题集锦(共75题)
圆锥曲线难题集锦1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为63.点P 是椭圆上的一动点，且P 在第一象限.记12PF F △的面积为S ，当212PF F F ⊥时，263S =.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图，1PF ，2PF 的延长线分别交椭圆于点M ，N ，记12MF F △和12NF F △的面积分别为1S 和2S .求21S S -的最大值.}2. 已知椭圆 ： 的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆 的方程；（2）若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点作 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程．3. 已知椭圆的离心率为，点在 上．（1）求 的方程；（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，，线段的中点为 ．证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值．；4. 已知C 为圆22(1)12x y ++=的圆心，P 是圆C 上的动点，点(1,0)M ，若线段MP 的中垂线与CP 相交于Q 点.（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程；（2）过点(1,0)的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于,A B 两点，且与圆O ：222x y +=相交于,E F 两点，求2||||AB EF ⋅的取值范围．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．:14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆 有且仅有一个交点．（1）求椭圆 的方程； （2）设直线与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ． （1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方 程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"x36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且(32,2)P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E . ①证明：MD ME ⊥； ￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.AxyOPB38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上； （2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O为中心，F 为右焦点的双曲线C的离心率e =（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．(43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆6其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加 上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， ；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
2019圆锥曲线内切圆专题
5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 和点B 关于y 轴对称． （1）求△ABC 内切圆的半径；（2）过O 、A 两点作⊙M ，分别交直线AB 、AC 于点D 、E ，求证：AD+AE 是定值，并求其值．6．已知椭圆)0.(:2222>>+b a by a x C 直线6+=x y 与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴为半径的圆相切，21,F F 为其左右焦点，P 为椭圆C 上的任意一点，∆21PF F 的重心为G ，内心为I ，且IG 21//F F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆C 上的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于N M ,两点，若AN AM ,的斜率21,k k 满足2121-=+k k ，求直线MN 的方程．7、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G的离心率为e =，左顶点A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的内接ABC ∆的内切圆. (Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的内切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称．（1）求△ABC内切圆的半径；并求其值．解:(1)直线AB的解解析式为:,,,点C和点B关于y轴对称.点,,为,,,,即内切圆的半径为.(2)连接OD,OE,DE.AE,,为直径..又,.又,且..故..6．已知椭圆)0.(:2222>>+b a by a x C 直线6+=x y 与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴为半径的圆相切，21,F F 为其左右焦点，P 为椭圆C 上的任意一点，∆21PF F 的重心为G ，内心为I ，且IG 21//F F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆C 上的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于N M ,两点，若AN AM ,的斜率21,k k 满足2121-=+k k ，求直线MN 的方程． 6．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，(,)I I I x y ，则00(,)33x yG . ………………2分又IG 21//F F ，03I yy =，12||2F F c =，1201201212||11||||(||||||)223F PF y S F F y F F PF PF ∆∴==++.………………4分2223a cc +∴=，故2a c =．又直线6+=x y 与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴为半径的圆相切，b ==……6分， 2a ∴=，1c =．22143x y ∴+=．………………7分（Ⅱ）若直线l 斜率不存在，显然120k k +=不合题意；……………8分 则直线l 的斜率存在．设直线l 为)1(-=x k y ，直线l 和椭圆交于11(,)M x y ，22(,)N x y ． 将22(1)3412y k x x y =-+=代入中得到：01248)43(2222=-+-+k x k x k依题意：110992-<>>-=∆k k k 或得 ………………10分由韦达定理可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2211222143124438k k x x k k x x又)2121(2222112211+-++-=+++=+x x x x k x y x y k k AN AM 1211[23()]22k x x =-+++ 而4)(24212121212121+++++=+++x x x x x x x x 2222222312)43(416124)43(48kk k k k k k +=+++-++= 从而211)31232(22-=-=+⋅-=+k kk k k k ANAM ………………14分 求得2k =符合1k >．故所求直线MN 的方程为：2(1)y x =-．………………15分7、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G的离心率为e =，左顶点A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的内接ABC ∆的内切圆. (Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.圆锥曲线内切圆专题-11 7.解： (Ⅰ) 4c e a ==，4a =得1c b ==，椭圆G 方程为22116x y += (Ⅱ)设B 02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HB AD AH '=06y r =+,即 0y = (1) 而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-（舍去） (2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -= (3)则23=即2323650k k ++= (4) 解得12k k == 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161k x k =-+----------------------13分 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===-- 于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++ 即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离23d ==故结论成立.。
圆锥曲线40题
yAPFO Q x圆锥曲线1.设椭的一个顶点与抛物线的焦点重合， 分别是椭圆的左、右焦点，且离心 且过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 C 交 于两点.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)是否存在直 ，使.若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.(Ⅲ)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦， AB ，求证：为定值．2.如图所示，已知圆定点 A （1，0），M 为圆上一动点，点 P 在 A M上，点 N 在 CM 上，且满，点 N 的轨迹为曲线 E 。
（1）求曲线 E 的方程；（2）若过定点 F （0，2）的直线交曲线 E 于不同的两点 G 、H （点 G 在点 F 、H 之间），且 满的取值范围。
3.设椭圆的左焦点为 F ，上顶点为 A ，过点 A 作垂直于 AF 的 直线交椭圆 C 于另外一点 P ，交 x 轴正半轴于点 Q ， 且⑴求椭圆 C 的离心率；⑵若过 A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线 l ：相切，求椭圆 C 的方程.4.设椭 的离心率为 e=（1）椭圆的左、右焦点分别为 F 1、F 2、A 是椭圆上的一点，且点 A 到此两焦点的距离之和为 4,求椭圆的方程.（2）求 b 为何值时，过圆 x 2+y 2=t 2 上一点 M （2，）处的切线交椭圆于 Q 1、Q 2 两点， 而且 O Q 1⊥O Q 2．5.已知曲线 上任意一点 P 到两个定点 ，0)和，0)的距离之和为 4．（1）求曲线 的方程；（2）设过(0，-2)的直线 与曲线 交于 C 、D 两点，且为坐标原点），求直线 的方程． 6.已知椭圆的左焦点为 F ，左、右顶点分别为 A 、C ，上顶点为 B ．过 F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心 P 的坐标为（m ，n ）．（Ⅰ）当 m ＋n >0 时，求椭圆离心率的范围；（Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．7.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为A、B.（1）求证：直线A B恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△A B M的面积8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线P F1与圆C 相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，的取值范围．9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点，右焦点与的距离为。
圆锥曲线专题——内切圆问题解析版
圆锥曲线专题—内切圆问题解析版1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．2.已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋322b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，△a 2＝4，b 2＝3，△椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2，S △PF 1Q ＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2. S △PF 1Q ＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 43＋4k 22，令t ＝3＋4k 2，△t >3，k 2＝t －34， △S △PF 1Q ＝3－31t ＋132＋43，△0<1t <13，△S △PF 1Q △(0,3)，△当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S △PF 1Q ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大， △PF 2→＝F 2Q →，△λ＝1.。
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7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .
(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QR
AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .
①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；
②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G 的离心率为
e =
A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的内接ABC ∆的内切圆.
(Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；
（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.
o '
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(x+
4、已知圆C过点P（1，1）且与圆M：)2
直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l与圆C
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7、如图，在平面直角坐标系中，已知1，2，，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .
(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；
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(2)过点Q 作直线1QR
AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .
①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；
②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为
22
221(0)x y a b a b
+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分
而2
2
16a b -=,所以2
25a =，故椭圆的标准方程为
22
1204x y +=
---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(
,),(,)22
t t
P t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t - ---8分
则线段1F R 的中垂线方程为2
t
x =-
, 线段1PF 的中垂线方程为151628
t y x -=-+,
由1516282
t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩,解得1
PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上
解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得
88(
,),(,)22
t t
P t Q t --, 再由1QR AF ,得(4,0)R t -
设1PRF ∆的外接圆C 的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=,
则22
22(4)(4)0(4)40
88
()022
t t D F y D F t t t D tE F ⎧
⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D t E t F t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩
所以圆心坐标为7(,
2)28
t t
--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 ②由①可得圆C 的方程为2
2
7
(4)41604x y tx t y t +++-
+-=
第20题
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该方程可整理为2
2
7
(216)(4)04
x y y t x y ++-+-+=,
则由224160740
4x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432
(,)1313
(Ⅱ)设B 0
2,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC
交长轴于H
由
O D HB
AD AH '=
06y r =+,即 0y =而点B 02,r y +（）在椭圆
上,222
0(2)124(2)(6)
1161616
r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2
158120r r +-=,解得23r =或65
r =-（舍去）
(2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224
(2)9
x y -+=相切的直线
方程为:1y kx -= (3)
则23=即2323650k k ++= (4) 解得12k k =
= 将(3)代入2
2116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161
k
x k =-
+----------------------13分
设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则12
12
22123232,161161
k k x x k k =-
=-++ 则直线FE 的斜率为：22111221123
1164
EF k x k x k k k x x k k -+=
==--
于是直线FE 的方程为:21122
1132323
1()1614161
k k
y x k k +-=+++ 即37
43
y x =
- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离23d ==故结论成立.
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