多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节 多元函数的极值及其求法

教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定

方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：

一、 多元函数的极值及最大值、最小值

定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式

00(,)(,)f x y f x y <，

则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >，

则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任

一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从

几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面

2243y x z +=的顶点。

例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函

数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，

点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。

例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点

),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

0),(,0),(0000==y x f y x f y x

证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点

),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式

),(),(00y x f y x f <

特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式

000(,)(,)f x y f x y <

这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有

0),(00=y x f x

类似地可证

0),(00=y x f y

从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面

))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-

成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。

仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为

函数),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xy z =的驻点，但是函数在该点并无极值。

怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，令

C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000

则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下：

(1)02>-B AC 时具有极值，且当0A 时有极小值；

(2)02<-B AC 时没有极值；

(3)02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值的求法叙述如下：

第一步 解方程组

0),(,0),(==y x f y x f y x

求得一切实数解，即可以得到一切驻点。

第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。

第三步 定出2B AC -的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、

是极大值还是极小值。

例1 求函数

x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值。 解 先解方程组

22(,)3690,(,)360,x y f x y x x f x y y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩

求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。

再求出二阶偏导数

(,)66,(,)0,(,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+

在点(1,0) 处，06122>⋅=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值

(1,0)5f =-；

在点(1,2) 处，0)6(122<-⋅=-B AC ，所以f (1,2)不是极值；

在点(-3,0) 处，06122<⋅-=-B AC ，所以f (-3,0)不是极值；

在点(-3,2) 处，

0)6(122>-⋅-=-B AC 又0

例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

解 设水箱的长为xm ，宽为ym ，则其高应为m

xy 2，此水箱所用材料的面积

)22(2xy x xy y xy A ⋅+⋅+=， 即 )22(2y x xy A ++

= （0>x ，0>y ）

可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(y x 。

令 0)2(22=-=x y A x ， 0)2(22=-=y x A y

解这方程组，得：

32=x ，32=y 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。

二、条件极值 拉格朗日乘数法