高等数学公式大全

其中“±”号由角 ( nπ +α ) 所处的象限确定. 2
(2) 和角公式
sin(α ± β ) =sinα cosβ ±cosα sinβ , cos(α ± β ) =cosα cosβ ∓sinα sinβ ,
tan(α ± β )=1t∓antaαn±αttaannββ .
(3) 积化和差
sinα cosβ = 1[sin(α + β )+sin(α −β )], cosα cosβ = 1[cos(α + β )+cos(α −β )],
3.
设数列{an}与{bn}都收敛,
lim
n→∞
an
=
a,
lim
n→∞
bn
=b,
则
lni→m∞(an
± bn )
=
lim
n→∞
an
±
lim
n→∞
bn
=
a±b;
lni→m∞(anbn
)
=
(lim n→∞
an
)(lim n→∞
bn
)
=
ab;
lim an b n→∞
n
=
lim
n→∞
an
lim
n→∞
bn
=
a b
x → x0
f
(x) lim
x → x0
g(x) =
A B
(B≠0).
8. 设 y = f(u)与 u = g(x)的复合函数 f[g(x)]在 x0 的某去心邻域 N (x0 ) 内有定义.
若 lim g(x) =u0, x → x0
lim f (u) =A,
u →u0
且∀x∈ N (x0 ) ,
1 ,即dy= f ′( y) d x
1
dx dy
.
4. 复合函数的求导法则
设函数 u =ϕ(x) 在点 x 处可导, 函数 y = f(u)在对应的点 u =ϕ(x) 处可导, 则复合函数 y = f (ϕ(x))
在点 x 处可导, 且 d y = f ′(u)ϕ′(x), 即 d y = d y ⋅ du .
sin x⋅cscx =1, cosx⋅secx =1, tan x⋅cot x =1.
sin x = tan x, cosx = cot x.
cos x
sin x
奇变偶不变, 符号看象限:
f
(
nπ 2
+α
)
=
⎧± ⎩⎨±
f (α ) cof (α
)
n = 0, ±2, ±4, n = 0, ±1, ±3,
θ ∈(π ,3π ); 22
y
=
a
(a
>0)
⇒
ρ
=
a sinθ
θ ∈(0,π );
y
=
a
(a
<0)
⇒
ρ
=
a sinθ
θ ∈(π ,2π );
y
=
x
−
a
(a
>
0)
⇒
ρ
=
cosθ
a +sinθ
θ ∈(−π ,3π ). 44
二. 极限
1. |q|<1, lim q n = 0. n→∞
2. lim n n =1. n→∞
3. 一些常见的曲线
(1)
圆
x
2
+
y
2
=
a
2
的参数方程为
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
acosθ asinθ
, ,
极坐标方程为ρ = a (θ∈[0, 2π) );
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(α − k +1)xα−k ,
(4) (a x )(k) = a x (lnk a), 特别的, (ex )(k) =ex ,
的参数方程为
⎧x=a(t −sint)
⎨ ⎩
y
= a(1− cost
)
;
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(11) 心形线 x2 + y2 = a( x2 + y2 − x) 的极坐标方程为ρ = a(1-cosθ);
.
1− x2
1− x2
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1
(14) (arctanx)′ =
.
1+ x2
1
(15) (arccotx)′ = −
dx
dx du dx
5.
设函数
y
=
f(x)由参数方程
⎧x
⎨ ⎩
y
=ϕ (t ) =ψ (t)
确定.
x =ϕ(t),
y =ψ (t) 在区间[α , β ] 上可导, 函数 x =ϕ(t)
具有连续的严格单调的反函数 t =ϕ −1(x), 且ϕ′(t)≠ 0, 则 y =ψ (t) =ψ (ϕ −1(x)). 函数 y = f(x)的导函数
⎧x =ϕ(t)
由参数方程
⎪ ⎨ ⎪⎩
y′
=
y′(t) x′(t)
确定.
6. 基本求导公式
(1) (xα)′ = αxα−1. (6) (sinx)′ = cosx.
(2) (ax)′ = axlna.
(3) (ex)′ = ex.
1 (4) (logax)′ = x ln a .
1
(5) (lnx)′ = .
sin x～tan x～arcsin x～arctan x～ x (x→0); ln(1+x)～x (x→0)
(1- cos x)～ 1 x2 (x→0) 2
(ex-1)～x (x→0)
( n 1 + x -1)～ x (x→0); n
三. 导数与微分
[ (1+ x)α -1]～α x (x→0).
(b≠0).
4.
设
xn=
a0 b0
+ a1n + + b1n +
+ al nl + bmnm
,
其中 al≠0, bm≠0, l≤m, 则 lim xn= ⎨⎧al n→∞ ⎩0
bm
l=m
.
l<m
5.
lim (
n→∞
1 p
+
2 p2
+…+
n pn
)
=
p ( p −1)2
,
其中 p>1.
( ) 6.
lim
.
2 1+ cosα sinα 1+ cosα
2 1− cosα sinα 1− cosα
2. 复数 (1) 代数表示 z = a+bi
(2) 三角表示 z = r(cosθ +i sinθ), 其中 r = |a + bi| = a2 + b2 , a = rcosθ, b = rsinθ. (3) 指数表示 a + bi = reiθ (欧拉公式: eiθ = cosθ +i sinθ ).
x
(7) (cosx)′ = −sinx.
(8) (tanx)′ = sec2x. (9) (cotx)′ = −csc2x.
(10) (secx)′ = secx⋅tanx. (11) (cscx)′ = −cscx⋅cotx.
1
1
(12) (arcsinx)′ =
. (13) (arccosx)′ = −
2
2
2
2
(5) 降幂公式
sin2α =1−cos2α , cos2α =1+cos2α .
2
2
(6) 半角公式
sin α = ±
1− cosα
,
α cos
=
±
1+ cosα
,
2
2
2
2
α tan
=±
1− cosα
= 1− cosα =
sin α
,源自文库
α cot
=
±
1+ cosα
= 1+ cosα =
sin α
(12) 心形线 x2 + y2 = a( x2 + y2 + x) 的极坐标方程为ρ = a(1+cosθ);
(13) 双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2) 的极坐标方程为ρ2 = a2cos2θ ;
(14) 双纽线(x2+y2)2=2a2xy 的极坐标方程为ρ2 = a2sin2θ ;
(15) 阿基米德螺线 x2 + y2 = aarctan y x
(t∈[0,
2π)
)极坐标方程为ρ
=
2acosθ
(θ ∈(−π ,π ]) 22
;
(4) 圆 (x+ a)2 + y2 = a2 的参数方程为
⎧x = −a+acost,
⎨ ⎩
y
=
asint
,
(t∈[0, 2π) )
极坐标方程为ρ = -2acosθ (θ ∈[π ,3π ) ) ; 22
(5) 圆 x2 +( y + a)2 =a2 的参数方程为
的极坐标方程为ρ = aθ
(16) 不经过原点的直线 ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
⇒ aρcosθ + bρsinθ + c = 0
⇒ρ=
c
.
acosθ +bsinθ
例如: x = a (a > 0)
⇒
ρ
=
a cos
θ
θ
∈(−
π
π ,
);
22
x
=
a
(a
<0)
⇒
ρ
=
a cosθ
(2) 圆 x2 +( y −a)2 = a2 的参数方程为
⎧x = acost,
⎨ ⎩
y
=
a
+
asint,
(t∈[0,
2π)
)
极坐标方程为ρ = 2asinθ (θ∈[0, π) ) ;
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(3) 圆 (x−a)2 + y2 = a2 的参数方程为
⎧x
⎨ ⎩
y
= a+acost, = asint,
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lim[ f (x)g(x)] = [lim f (x)][lim g(x)] = AB;
x → x0
n→∞
n→∞
lim
x → x0
f (x) g(x)
=
lim
⎧x = acost,
⎨ ⎩
y
=
−a
+
asint,
(t∈[0,
2π)
)
极坐标方程为ρ = -2asinθ (θ∈[π, 2π) );
(6)
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1 的参数方程为
⎧x = acost,
⎨ ⎩
y
= bsint ,
(t∈[0,
2π)
);
⎧x = acost,
(7)
空间螺线
⎪ ⎨
y
=
asint,
(t∈R);
⎪⎩z =bt,
(8) 笛卡儿叶线 x3+y3=3axy
的参数方程为
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x y
= 3at 1+ t 3
= 3at2 1+ t 3
;
(9) 星形线 x2/3+y2/3=a2/3 的参数方程为
⎪⎧ x = acos3θ ⎪⎩⎨ y =asin3θ ;
(10) 摆线(圆滚线) x = aarcsin(1− y )− 2ay − y2 a
n→∞
1+
1 n
n = e.
7. 设 lim f (x) =A, lim g(x) =B. 则 lim[ f (x) ± g(x) = lim f (x) ± lim g(x) = A±B;
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
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有 g(x)≠u0,
其中 x0, u0 为有限值.
则复合函数 f[g(x)]当 x→x0 时也有极限, 且 lim f [g(x)]= lim f (u) =A.
x → x0
u →u0
sin x 9. lim =1.
x→0 x
lim⎜⎛1+ 1 ⎟⎞ x = e. x→∞⎝ x ⎠
10. 常用的等价无穷小:
.
1+ x2
7. 一些简单函数的高阶导数(n, k 为正整数)
⎧n⋅(n −1) (1) (xn )(k) = ⎪⎨n!
⎪⎩0
(n − k +1)xn−k
k < n, k =n, k > n,
(2) (x−n )(k) =(−1)k n⋅(n +1) (n + k −1)x−n−k , (3) [(1+ x)α ](k) =α ⋅(α −1)
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（含微分方程、复变函数）
一. 初等数学
1. 三角函数 (1) 相互联系
sin2 x+cos2 x =1, tan2 x+1=sec2 x, cot2 x+1= csc2 x.
1. 导数定义:
f
′(
x0
)
=
lim
∆x→0
∆y ∆x
= lim ∆x→0
f (x0
+ ∆x) − ∆x
f (x0 )
= lim x→x0
f (x) − f (x0 ) . x − x0
2. 函数四则运算的求导法则
[u ( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x).
[u ( x) ⋅v( x)]′ = u′( x)v( x) + u ( x)v′( x).
2
2
sinα sinβ = −1[cos(α + β )−cos(α −β )]. 2
(4) 和差化积
sinα
+ sin
β
=
2sin
α
+
β
α cos
−
β
,
sinα
− sin
β
=
α 2cos
+
β
sin
α
−
β
,
2
2
2
2
cosα
+ cos β
=
α 2cos
+
β
α cos
−
β
,
cosα −cosβ = −2sinα + β sinα −β .
⎡ ⎢⎣
u(x) v(x)
⎤ ⎥⎦
/
=
u
′(
x)v(
x) − u( v2 (x)
x)v′(
x)
.
3. 反函数的求导法则
设定义在区间 I 上的严格单调连续函数 x = f( y)在点 y 处可导, 且 f ′( y) ≠ 0 , 则其反函数 y = f -1(x)在
对应的点 x 处可导,
且( f
−1)′(x) =