《数学模型第三版》学习笔记完整版

《数学模型第三版》学

习笔记

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《数学模型(第三版)》学习笔记

写在开始

---小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的

都是.

整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：

(一)“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假

设了；

(二)模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的

求解似乎是家常便饭了；

(三)用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的

数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业

学生）。

从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。

也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~

——Tony Sun July 2012, TJU

（目前已更新：全12章）

第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点

第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型

也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。

椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用

简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事

物、现象——往往增添了说服力。

第2章初等模型关键词：初等数学简化技巧思想

这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想确实十分重要的。

如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。

节公平席位分配，通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出Q值法。有意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时，根据所提出的4个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。这给我们什么启示呢有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。

录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键，阐述现象。

实物交换——是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值……），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。

量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知，即只能得出表达式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。关键：恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。

第2章小结：

本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。

第3章简单的优化模型关键词：简单优化微分法建模思想

本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题，可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中，主要是几个简单的优化模型，可以归结到函数极值

问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句——建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。

存贮模型

分不允许、允许缺货两种讨论，中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。对存贮量函数q(t)作图，观察规律，对结果解释。

生猪出售时机

关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。

森林救火

亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设，以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。

最优价格

主要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条着名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。

血管分支

是很有趣的一节，用数学模型研究生理问题，我们还是只关注建模、数学的层面，而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。消费者的选择

一个消费者买两种产品时，钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数

U(q1,q1)。