第三章 聚类分析

0 A ( x) 1
当x A时 当x A 时
2. 集合的表示方法
集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般
有三种表达形式：
(１)列举法 指把集合中的所有元素一一列举出来的方
法。如Ａ＝{1,2,3,4}, B={b1,b2,b3}等。 (２)趋势法 这种表达方法仅适用于集合中元素的排列
具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可 用省略号“……”表示。例如：A={…,-1,0,1,2,…} B={a1 , a2 , … , an}
(３)描述法
又称谓语语句法，这是一种广泛应用的
集合表示方法。其一般表达式如下 A={x|p(x)}
式中：x－表示集合元素；
p(x)-作为谓语，用以说明x是什么，或在什么范围内变化。 例如：
n
n
当A1=A2=…=Aｎ时，
i1
A i | A |n
四
关系集
研究直积集的根本目的，就是为了进一步研
D2
D2
其中 叫二维笛卡空间，也即是说，若Ｘ取全体实数集 合，则其直幂集代表平面上全部点的集合。
3. 推广 以上我们研究的是两个集合的直积集问题，其中有序对叫 有序二元。那么，我们完全可以仿照这种思路，把直积集的概
念推广到几个集合。
设已知 A1 A2 A n 个非空集合，则A 1 到A 2 ， 2 到A 3 … A 的直积集记成 A i
亮与不亮则表示逻辑或（∨）的取值。
P
Q
P Q
图 3-1 开关串联电路
P Q
P Q
图 3-2 开关并联电路
４．条件语句 条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关 系的一种表达形式,分为单向条件语句和双向条件语句。 （１）单向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ。 若Ｐ为Ｔ，且有Ｑ为Ｔ，则单向条件语句成立，ＰＱ＝Ｔ； 反之若Ｐ为Ｔ，而Ｑ为Ｆ，则条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。 （２）双向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ， 有Ｑ必有Ｐ。若Ｐ为Ｔ（Ｆ），且有Ｑ为Ｔ（F)，则双向条 件语句成立，ＰＱ＝Ｔ；若Ｐ为Ｔ(F)，而Ｑ为F(Ｔ)，则
第三章 聚类分析
第一节 集合论基础 第二节 模糊集合的基本知识 第三节 模糊聚类分析 第四节 动态聚类分析
第五节 系统聚类分析
第一节 集合论基础
集合论是进行系统分析的重要理论基础。 尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析 中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的 基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基 本理论和方法有着重要意义。
Ａ＝{x｜1≤ x ≤2}
这里p(x)是说明集合Ａ的元素是由〔１,２〕闭区间全
体实数组成的。又如：
A { x i i 1,2, , n}
此集合与 A { x1 , x 2 ,, x n } 完全等价。
3. 集合的包含与相等
包含关系是用来描述集合与集合之间关系的一种表示方法。 设有Ａ、Ｂ二集，如果属于Ａ的元素全部属于Ｂ，则Ａ称作Ｂ 的一个子集，或说集Ｂ包含集Ａ，记成Ａ B，或ＢA。其数 学描述如下：
条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。 同样，条件语句的物理意义也可用真值表说明，见表３ －２。
表 3-2 条件语句真值表
P T T F F
Q T F T F
单向条件语句 P Q
双向条件语句 P Q
T F F T
T F F T
５．量词 在数学描述式中，特别是在集合论 中，经常用到下面两个量词： (１)万有量词，可读成“全部”、 “所有”、“一切”…。如 x j ， x A ∈ 0 等。 x A x B (２)存在量词，可读成“总有”、 A B x x “至少有”…。如 ,读成至 少一个 属于 ，而 不属于 。
二
1. 集合与元素
普通集合的基本概念
当我们把一群确定的事物当作整体来考察时，则该整体就 叫作集合，或简称集。例如某学校的全体教职员工可视为一个 集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习 惯上，我们常用大写字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ…表示集合，集合中 的每一个具体事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大 括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母 ａ、ｂ、ｃ、ｄ…来表示。例如已知集合Ａ为
实例：
例１：已知 A a1 , a 2 , B b1 , b2 , b3 ，求A到B的直积 集。 解：A×Ｂ＝{(a，b)｜a∈A∧b∈B，且a，b取遍A，B的一切 元} a1 , b1 , a1 , b 2 , a1 , b 3 , a 2 , b1 , a 2 , b 2 , a 2 , b 3 例2：已知Y ＝ＹX 2 Y 2 X Y Ｘ X ＝{-∞<x,y<∞}，求直积集。 解： x , y | x. y
所以
三 直积集
顾名思言，直积集可表面理解成两个以上 集合直接相乘而得到的集合。但事实并非完全 如此。直积集又叫序集，它是建立在有序对概 念基础上而定义的新集合，这也是它与普通集 合的本质区别所在。为了给出直积集的一般定 义。我们需首先介绍有序对的概念。
1. 有序对 在解析几何中我们知道，可用一对有顺序的实数（x，ｙ） 来表示平面座标上的一个点。某中规定ｘ所在位置叫第一座标， 代表在ｘ轴上的取值；ｙ所在位置叫第二座标，代表在ｙ轴上 的取值。显然，#!&随着x,y的不同取值，便对应着平面上不同 的 点 ， 并 且 一 般 情 况 下 ， (x,y)≠(y,x) 如 图 ３ － ３ 所 示 ， (3,1)≠(1,3)，(-1,3)≠(3,-1)，(-2,2)≠(2,-2)等等。这说 明，有序对引入了位序的概念，而普通集合则与元素排列顺序 无关，如{1，2}={2，1}。 两个有序对，只有当它们的第一座标和第二座标分别相等 时,才认为它们是相等的，即 (a,b)=(p,q)a=p∧b=q
当Ｐ、Ｑ同时为Ｔ时，Ｐ∧Ｑ为Ｔ，否则为假（Ｆ）。对逻辑
或（∨）来讲，则Ｐ与Ｑ至少有一个为Ｔ，Ｐ∨Ｑ为Ｔ，否则 为（Ｆ）。 对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。 设Ｐ、Ｑ代表两个电源开关，开关关上为Ｔ，打开为Ｆ。电路
的灯泡则代表逻辑与（∧）和逻辑或（∨），电灯泡亮为Ｔ，
不亮为Ｆ。显然，图３－１开关串联电路中的灯泡亮与不亮则 表示逻辑与（∧）的取值，图３－２的开关并联电路中的灯泡
一 几个逻辑运算符号
为更好理解下面介绍的有关集合论的基本知识， 先介绍几个常用的逻辑运算符号的物理意义。 １．逻辑非（ＮＯＴ）记作“” ； ２．逻辑与（ＡＮＤ）记作“∧” ； ３．逻辑或（ＯＲ）记作“∨” 。
以上三个运算符号被广泛应用。下面用 真值表来说明它们的物理意义。 设 P、Q 为两个逻辑变量 其取值为:
A={a1 , a2 , … , an}
说明集合A中含有n个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集 合的势或基数，记｜Ａ｜＝ｎ。
当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集 合中的元素为无限时叫无限集合。 元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关 系，二者必居其一。 若ａ是集合Ａ的一个元素，即ａ属于Ａ，记为 ａ∈Ａ，若ａ不是集合Ａ的一个元素，即ａ不属 于Ａ，记为ａＡ。 上述元素与集合的关系可用特征函数来描述， 即
注意：对于两个相等的集合还有以下两个 性质： (１)重复元素没有意义，即 Ａ＝{1,2,2,4}={1,2,4} (２)同一集合不同表达形式当然相等。例 如： Ａ＝{x|x(x-1)=0}，Ｂ={0,1} 则Ａ＝Ｂ。
4. 几个重要集合 (１)空集Φ 指不含有任何元素的集合。其表达式如下： Φ ＝{x｜P(x)∧P(x)} 式中谓语 P(x)∧P(x)说明既满足 Ｐ (x)，又满足 Ｐ (x)的 元素是不存在的。因为Ｐ(x)为Ｔ，P(x)为F，显然这样的x是 不存在的，故为空集。 (２)单元素集 只含有一个元素的集合叫单元素集，如{a}， {b}…等。单元素集与单元素是两个完全不同的概念。如“学生” 做为集合的一个元素，可能是男学生，女学生，也可能是若干 个学生，而{学生}，则表示学生的全体。 (３)全集U 指由论域全体元素组成的集合叫全集，一般记 成U 。其表达式为: U ={x｜P(x)∨Ｐ(x)} 式中的谓语P(x)∨ P(x)与并运算等价。意指满足Ｐ(x)和 不满足Ｐ(x)都是集合的元素。
A B x A x B y B 不一定y A 一个集合A称为Ｂ的真子集，则Ａ与Ｂ的关系叫真包含关 系，记成ＡＢ。其数学描述如下：
A B x A x B y B y A 例如：A＝{a,b},B={a,b,c}，则有ＡＢ。 根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式，即 (3-3) A B A BB A 如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就 是真包含关系。(3-3)式则是全面反映了这两种关系。



A n a 1 , b 2 , a n A n ,a 1 ,a 2 , A n


根据上面的例子，我们归纳给出求幂集势的一般公式如下 | A 1 | 1, | P A 1 | 21 2 因为
| A 2 | 2, | P A 2 | 22 4 | P A 3 | 23 8 | P A n | 2n | A 3 | 3, |An | n ,
(-1,3) (-2,2)
y
(1,3)
(3,1)
x
(3,-1) (2,-1)
图 3-3 直角坐标系
2. 直积集
设 Ａ 、 Ｂ 为任意两个非空集合，则由 Ａ 、 Ｂ 中的全体元 素组成的有序对（ａ,ｂ）叫做 Ａ 到 Ｂ 的直积集，记为 Ａ × Ｂ，即 Ａ × Ｂ ={(a，b)｜a∈ Ａ ∧b∈ Ｂ ，且ａ,ｂ取遍 A 、 Ｂ 中 的一切元} 式中(ａ，ｂ）又叫有序二元，并且ａ位于第一座标， ｂ位于第二座标。 如果第一座标取自Ｂ的一切元，第二座标取自Ａ的一切 元，则全体有序对（ｂ,ａ）组成的直积集叫 Ｂ 到 Ａ 的直积 集，记成Ｂ×Ａ，即 Ｂ × Ａ ＝{(b，a)｜b∈B∧a∈A ，且b，a取遍 B ， A 的一 切元} 根据有序对的定义，显然有Ａ×Ｂ≠Ｂ×Ａ 如果A=B,则有A×B=B×A=A2=B2 此时A2(B2)叫集上直积集，又叫直幂集。