1.2.1充分条件与必要条件练习题及答案
学案12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件学习目标(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．学习重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．学习难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件.互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件规律方法1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．类型3 充要条件的证明例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．变式训练求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．当堂检测1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？参考答案知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思1．【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A 不一定闭合，即p ⇒q ，qp ；②开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，灯泡B 亮，开关A 必须闭合，即p q ，q ⇒p ；③开关A 闭合，灯泡B 亮，反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合，即p ⇔q ；④开关A 闭合与否，不影响灯泡B ，反之，灯泡B 亮与否，与开关A 无关，即pq ，且q p .2．【提示】 p ⇔q .知识梳理1．⇒ 充分 充分 必要 必要2.充分必要 充要 互为充要互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D.(2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件． 变式训练 【答案】 ①③④【解析】 ①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a >b ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b . ∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b，即ab ＝1， ∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6. ∴是充要条件，④正确．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 解：(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则¬q ⇒¬p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由¬p 是¬q 的必要不充分条件，可得¬q ⇒¬p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 变式训练解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }．∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.类型3 充要条件的证明例3 证明：充分性(由条件推结论)：∵0＜m ＜13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0， ∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13. 综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 变式训练证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.当堂检测1．【答案】A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．【答案】B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．3．【答案】x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。
1.2.1充分条件与必要条件
”,
2 反之“N M ”，则， N {a }={1} 或，
N {a }={2} , 不一定有“a=1 ”。
全国Ⅱ理（3）下面四个条件中，使a>b成立的 充分而不必要的条件是 ( A ) (A)a>b+1 (B)a>b-1 (C)a2> b2 (D)a3>b3 【解析】：由a>b+1，得a>b；反之不成立。 湖南文３． " x 1"是"| x | 1" 的 ( A ) A. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
命题的四种条件形式
1、充分非必要条件 2、必要非充分条件
3、充要条件 4、非充分非必要条件 p q 且 q / p 1、充分不必要_____________ p且 p / q 2、必要不充分_____________ q
3、充要条件
p / q 且 q / p 4、非充分非必要____________
∴p 是 q 的充分而不必要条件. 选A.
பைடு நூலகம்纳小结
本 节 主 要 知 识
“若p则q为真”约定为 一个约定： “p能推出q” 两个定义：充分条件与必要条件 定义 两种方法： 集合
四种形式
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 非充分非必要条件
3.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
4：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
C充分不必要
D不充分不必要
四、练习: 2011年高考数学试题—简易逻辑 福建理2．若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 ( A ) A．充分而不必要条件
高中数学 1.2.1充分条件与必要条件
充分条件与必要条件(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·西安高二检测)使x>1成立的一个必要条件是( )>0 >3 >2 <2【解析】选A.只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,应选A.2.(2021·大连高二检测)已知p:x 2-x<0,那么命题p 的一个充分条件是( )<x<2<x<1 C.12<x<23 D.12<x<2 【解析】选<0⇒0<x<1,运用集合的知识易知只有C 中由12<x<23能够推出0<x<1,其余均不可,应选C. 3.以下p 是q 的必要条件的是( ):a=1,q:|a|=1 :a<1,q:|a|<1:a<b,q:a <b+1:a>b,q:a>b+1 【解析】选D.要知足p 是q 的必要条件,即q ⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,应选D.4.以下所给的p,q 中,p 是q 的充分条件的个数是( )①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b 不相交,q:a ∥b.B.2【解题指南】依照充分条件与必要条件的意义判定.【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,因此p 是q 的充分条件;②由于p:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),因此p 是q 的充分条件;③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,因此p 是q 的充分条件;④由于p:直线a,b 不相交q:a ∥b,因此p 不是q 的充分条件.5.(2021·武汉高二检测)若是不等式|x-a|<1成立的充分但没必要要条件是12<x<32,那么实数a 的取值范围是( )A.12<a<32 B.12≤a ≤32 >32或a<12 ≥32或a ≤12【解析】选B.|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,由题意知(12,32)(a-1,a+1),那么有{a −1≤12,a +1≥32,且等号不同时成立, 解得12≤a ≤32,应选B. 【变式训练】(2021·上海高二检测)集合A={x |x −1x +1<0},B={x||x-b|<a},假设“a=1”是“A ∩B ≠”的充分条件,那么实数b 的取值范围是 _____________.【解析】“a=1”是“A ∩B ≠”的充分条件的意思是说当a=1时,A ∩B ≠,此刻A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A ∩B ≠得-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即0≤b<2或-2<b ≤0,因此b 的范围是-2<b<2. 答案:(-2,2)6.已知等比数列{a n }的公比为q,那么以下不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1<a 2;②a 1>0,q>1;③a 1>0,0<q<1;④a 1<0,0<q<1.A.①②B.①③C.③④D.①③④【解析】选B.由等比数列{a n }是递增数列⇔a n <a n+1⇔a 1q n-1<a 1q n ⇔a 1q n-1(1-q)<0,假设a 1>0,那么q n-1(1-q)<0,得q>1;假设a 1<0,那么q n-1(1-q)>0,得0<q<1.因此等比数列{a n }是递增数列⇔a 1>0,q>1或a 1<0,0<q<1.因此a 1>0,q>1⇒等比数列{a n }是递增数列,或a 1<0,0<q<1⇒等比数列{a n }是递增数列;由a 1<a 2不能推出等比数列{a n }是递增数列,如a 1=-1,a 2=2.【触类旁通】假设把此题中的“不是{a n }为递增数列的充分条件”改成“是{a n }为递增数列的必要条件”,其他不变,结论如何?【解析】由等比数列{a n }是递增数列⇒a 1<a 2.由等比数列{a n }是递增数列a 1>0,q>1, 由等比数列{a n }是递增数列a 1>0,0<q<1, 由等比数列{a n }是递增数列a 1<0,0<q<1.故a 1<a 2是{a n }为递增数列的必要条件.二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·福州高二检测)“lgx>lgy ”是“√x >√y ”的 条件.【解析】由lgx>lgy ⇒x>y>0⇒√x >√y .而√x >√y 有可能显现x>0,y=0的情形,故√x>√ylgx>lgy.答案:充分 【变式训练】“x>y ”是“lgx>lgy ”的 条件.【解析】因为x>y lgx>lgy,比如y<x<0,lgx 与lgy 无心义,而lgx>lgy ⇒x>y.答案:必要8.函数f(x)=a-22x +1为奇函数的必要条件是 _________.【解析】由于f(x)=a-22x +1概念域为R,且为奇函数,那么必有f(0)=0,即a-220+1=0,因此a=1.答案:a=1 9.(2021·广州高二检测)知足tan α=1的一个充分条件是α= (填一角即可)【解析】由于tan α=1,故α=k π+π4(k ∈Z), 取α=π4,显然,α=π4是tan α=1的一个充分条件. 答案:π4三、解答题(每题10分,共20分)10.别离判定以下“假设p,那么q ”命题中,p 是不是为q 的充分条件或必要条件,并说明理由.(1)p:sin θ=0,q:θ=0.(2)p:θ=π,q:tan θ=0.(3)p:a 是整数,q:a 是自然数.(4)p:a 是素数,q:a 不是偶数.【解析】(1)由于p:sin θ=0⇐q:θ=0,p:sin θ=0q:θ=0,因此p 是q 的必要条件,p 是q 的不充分条件.(2)由于p:θ=π⇒q:tan θ=0,p:θ=πq:tan θ=0, 因此p 是q 的充分条件,p 是q 的没必要要条件.(3)由于p:a 是整数q:a 是自然数,p:a 是整数⇐q:a 是自然数,因此p 是q 的必要条件,p 是q 的不充分条件.(4)由于p:a 是素数q:a 不是偶数,因此p 是q 的不充分条件,p 是q 的没必要要条件.11.假设p:-2<a<0,0<b<1;q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,那么p是q的什么条件?【解析】假设a=-1,b=12,那么Δ=a 2-4b<0,关于x 的方程x 2+ax+b=0无实根,故p q. 假设关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x 1,x 2,且0<x 1<x 2<1, 那么x 1+x 2=-a,x 1x 2=b.于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q ⇒p.因此,p 是q 的必要条件,但不是充分条件.【一题多解】针对必要条件的判定给出下面另一种解法:设f(x)=x 2+ax+b,因为关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,因此{f (0)>0,0<−a2<1,0<b <1,即{b >0,−2<a <0,0<b <1⇒-2<a<0,0<b<1,即q ⇒p.因此,p 是q 的必要条件,但不是充分条件.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.不等式1-1x>0成立的充分条件是( ) >1>-1 <-1或0<x<1<0或x>1 【解析】选A.不等式1-1x >0等价于x −1x >0,解得不等式的解为x<0或x>1,比较选项得x>1为不等式成立的充分条件,应选A.2.(2021·青岛高二检测)函数y=x 2+bx+c,x ∈[0,+∞)是单调函数的必要条件是( ) >1 <-1 <0 >-1【解析】选D.因为函数y=x 2+bx+c 在[0,+∞)上单调,因此x=-b2≤0,即b ≥0, 显然b ≥0⇒b>-1,应选D.【触类旁通】函数y=x 2+bx+c 在[0,+∞)上是单调函数的充分条件是( )>1 <-1 <0 >-1【解析】选A.当b>1时,y=x 2+bx+c 在[0,+∞)上显然是单调函数,故b>1是函数y=x 2+bx+c 在[0,+∞)上是单调函数的充分条件.3.(2021·兰州高二检测)设集合U={(x,y)|x ∈R,y ∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n ≤0},那么点P(2,3)∈A ∩(U B)的既是充分条件,又是必要条件的是( ) >-1,n<5<-1,n<5 >-1,n>5 <-1,n>5【解析】选A.因为P ∈A ∩(U B), 因此P ∈A 且P ∉B,因此{2×2−3+m >0,2+3−n >0,因此{m >−1,n <5,应选A. 4.(2021·天津高二检测)设a ,b 为向量,那么“a ·b =|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.假设a ,b 中有零向量,那么a ·b =|a ||b |⇒a ∥b ,假设a ,b 中无零向量,那么设a ,b 的夹角为θ,a ·b =|a ||b |⇒|a ||b |cos θ=|a ||b |⇒cos θ=1⇒θ=0⇒a ∥b ,故有a ·b =|a ||b |能够推出“a ∥b ”,但假设a ∥b ,那么有a ·b =|a ||b |或a ·b =-|a ||b |,故“a ·b =|a ||b |”是“a ∥b ”的充分条件.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·长春高二检测)若是命题“假设A ,那么B ”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,那么A 是B的条件.【解析】因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A B,又因否命题为真,因此逆命题为真,即B⇒A,因此A是B的必要条件.答案:必要6.假设向量a=(x,3),x∈R,那么|a|=5的一个充分条件是____________.【解析】因为|a|=5⇒x2+9=25⇒x=±4,因此|a|=5的一个充分条件是x=4(或x=-4).答案:x=4(或x=-4)三、解答题(每题12分,共24分)7.已知p:x2-2x-3<0,假设-a<x-1<a是p的一个必要条件但不是充分条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).依题意,得{x|-1<x<3}{x|1-a<x<1+a}(a>0),因此{1−a≤−1,1+a≥3,2a>4.解得a>2,那么使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,即(-∞,2].8.(2021·佛山高二检测)已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3-√m2+8≥0,假设p是q的充分条件,求a的取值范围.【解析】因为p是q的充分条件,因此当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥√m2+8恒成立,又当-1≤m≤1时,√m2+8≤3,因此a2-5a-3≥3,因此a2-5a-6≥0,因此a≥6或a≤-1.。
1.2.1充分条件与必要条件
∴A B. 1－m<1＋m ∴1－m≤－2 1＋m>10 1－m<1＋m 或1－m<－2 1＋m≥10
m>0 m>0 ∴m≥3 或m>3 ⇒m≥9 m>9 m≥9 所以，所求实数 m 的取值范围是{m|m≥9}.
练习：
已知 p ：－ 2≤x≤10 ， q ： x2 － 2x ＋ 1 －
答:
答:
⒈
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
原命题 真 真 假 真 假
逆命题 假 假 真 真 假
小明不是中国人就一定不是四川人 2. 若q则p
3.感知概念、引出课题
⑴ p：小明是四川人，q：小明是中国人 ⑵ p ：x >5 ， ⑷ p ：A∩B=A， q ： x >0；
q ： A B；
问题：能否改变⑴、（2）中的条件p ，使结论q仍然成立？
2、方法收获 （1）判别步骤： 找出p、q （2）判别技巧 ①否定命题时举反例 ②第二定义还原第一定义 判断“p=>q”真假 下结论
既不充分也不必要
4．填空题
(1)若p q则q是p的充分条件 ______条件;
a a 充要 (2)ab 0是 0的 _______ 条件, ab 0是 0的 ______ 条件; b b
(3)若A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的必 要条件，则A是D的 充分 条件. 练习 2. 若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙 是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要 条件，则命题丁是命题甲的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
m2≤0(m>0) ，若 q 是 p 的充分不必要条件，求
1.2.1充分条件与必要条件(张用)
•q是p成立所 必须具备
的前提。
第13页，共49页。
练习3，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sinA=sinB是A=B的充分条件； （4）ab≠0是a ≠ 0的充分条件。
4. “x－1=0”是“x2－1=0”的 充分条件；
5. “两个角是对顶角”是“这两个角相等”的
充分 条件；
6. “至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等
”的必要 条件；
7. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不为0)
来说，“b2－4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的
条件； 必要
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2.充分不必要条件,必要不充分条件 如果“p⇒q且q⇏p ”,那么称p是q的充分不必要条件.例如,x=2⇒x2=4,反
过来x2=4x=2,所以称x=2是x2=4的充分不必要条件. 如果“p q且q⇒p”,则称p是q的必要不充分条件.例如,p:“四边形对
角线相等.”q:“四边形为正方形.”显然p⇏q且q⇒p,所以p是q的必 要不充分条件.
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 的__充__分____条件。
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练习4.用“充分”或“必要”填空，并说明理由： 1. “a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的
充分 条件；
2. “四边相等”是“四边形是正方形”的
必要 条件；
3. “x≠3”是“|x|≠3”的 必要条件；
一、引入
事例二：
有一位母亲要给女儿做一件衬 衫，母亲带女儿去商店买布，母 亲问营业员：“要做一件衬衫， 应该买多少布料？”营业员回答 ：“买三米足够了！”
充分条件与必要条件(经典练习及答案详解)
充分条件与必要条件1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．所以“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B．2．(2020年佛山高一期末)“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x ＝1或x＝3，不是必要条件．故选A．3．(2021年荆州期末)x2＜9的必要不充分条件是()A．－3≤x≤3 B．－3＜x＜0C．0＜x≤3 D．1＜x＜3【答案】A【解析】x2＜9即－3＜x＜3.因为－3＜x＜3能推出－3≤x≤3，而－3≤x≤3不能推出－3＜x＜3，所以x2＜9的必要不充分条件是－3≤x≤3.4．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件【答案】BD【解析】因为A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac ＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；因为B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；因为C中“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；因为D中{a|a＜5}{a|a＜3}，故“a＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D为真命题．故选BD．5．(多选)已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是()A．r是q的充要条件B．p是q的充分条件而不是必要条件C．r是q的必要条件而不是充分条件D．r是s的充分条件而不是必要条件．【答案】AB【解析】由已知有p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，由此得r⇒q且q⇒r，A正确，C不正确，p⇒q，B正确，r⇒s且s⇒r，D不正确．故选AB．6．“m＝9”是“m＞8”的________条件，“m＞8”是“m＝9”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要条件必要不充分条件【解析】当m＝9时，满足m＞8，即充分性成立，当m＝10时，满足m＞8，但m＝9不成立，即必要性不成立，即“m＝9”是“m＞8”的充分不必要条件，“m＞8”是“m＝9”的必要不充分条件．7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．【答案】{a|a<1}【解析】p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，即p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.8．下列说法正确的是________(填序号)．①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．【答案】①【解析】①中，当x＞1时，有x>0，所以①正确；②中，当a＞b时，a3＞b3一定成立，但a3＞b3也一定能推出a＞b，即“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，所以②不正确；③中，当a＞b时，有A＞B，所以“a＞b”是“A＞B”的充分条件，所以③不正确．9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0.(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2.(3)p：a能被6整除；q：a能被3整除．(4)p：两个角不都是直角；q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q 是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．B级——能力提升练10．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0，即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0，(a －b )a 2可以为0，所以“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．11．已知a ，b 为实数，则“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“a ＋b >4”⇒“a ，b 中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A ．12．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0≤a ≤12 【解析】因为q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1＞1，解得0≤a ≤12. 13．(2020年大庆高一期中)已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：2＜x ＜3.若q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为________．【答案】{a |－1≤a ≤6} 【解析】因为p ：－4＜x －a ＜4，即a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x＜3.若q 是p 的充分条件，则{x |2＜x ＜3}⊆{x |a －4＜x ＜a ＋4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，即－1≤a ≤6.所以实数a 的取值范围为{a |－1≤a ≤6}．14．若集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }，试写出：(1)A ∪B ＝R 的一个充要条件；(2)A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件；(3)A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件．解：(1)集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }．(1)若A ∪B ＝R ，则b ≥－2，故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b ≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.C级——探究创新练15．已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α，β，证明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4＋b且|b|＜4的充要条件．证明：(1)充分性：由韦达定理，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|＜2×2＝4.设y＝x2＋ax＋b，则y＝x2＋ax＋b的图象是开口向上的抛物线．又|α|＜2，|β|＜2，所以当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，即有－(4＋b)＜2a＜4＋b.因为|b|＜4，所以4＋b＞0，即2|a|＜4＋b.(2)必要性：令y＝x2＋ax＋b，由2|a|＜4＋b，得当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，因为|b|＜4，所以方程y＝0的两根α，β同在{x|－2＜x＜2}内或无实根．因为α，β是方程y＝0的实根，所以α，β同在{x|－2＜x＜2}内，即|α|＜2且|β|＜2.。
1.2.1-1.2.2充分条件与必要条件
1 1 a－2≥－ a－2>－ 3 2⇔ ≤a<2 或3<a≤2⇔3≤a≤2 2，或 所以 2 2 2 a<2 a≤2 10 分 3 即所求 a 的取值范围是 [ ，2]. 2 12 分
【题后反思】 在涉及到求参数的取值范围又与充分、必 要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意 推出的方向及推出与子集的关系．
例如：
x a 2 b 2 x 2ab
x a 2 b2是x 2ab的充分条件
x 2ab是x a 2 b2的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
充分条件与必要条件 1．
命题真假
∴x2－7x＋10＝0
x＝2，
∴“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的充分条件. 答案：(1)充要条件 (2)充分条件 (3)充分条件
1.若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2＜5x－6则 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
p”是“ q” ( )
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：∵p：－5≤x≤3，则 ∵q：2＜x＜3，则 充分不必要条件. 答案：A
3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
1.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空：
(1)“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的 (2)“x＞1”是“ ＜1”的 ； . (3)“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的 解析：(1)∵a＋b＜0且ab＞0， ∴a，b同号且都是负数. 即a＋b＜0且ab＞0⇒a＜0且b＜0. ；
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(完整版)充分条件与必要条件测试题(含答案)
充分条件与必要条件测试题（含答案）班级 姓名一、选择题1．“”是“”的 （ ）2x =(1)(2)0x x --=(A) 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件2．在中，，则是的 （ ）ABC ∆:,:p a b q BAC ABC >∠>∠p q (A) 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件3．“或是假命题”是“非为真命题”的（ ）p q p A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若非空集合，则“或”是“”的（ ）M N ≠⊂a M ∈a N ∈a M N ∈ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 提示：“或”不一定有“”。
a M ∈a N ∈a M N ∈ 5．对任意的实数，下列命题是真命题的是（ ）,,a b c （A ）“”是“”的必要条件ac bc >a b >（B ）“”是“”的必要条件ac bc =a b =（C ）“”是“”的充分条件ac bc <a b >（D ）“”是“”的必要条件ac bc =a b =6．若条件，条件，则是的（ ）:14p x +≤:23q x <<q ⌝p ⌝（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件7.若非空集合满足，且不是的子集，则（ ）,,A B C A B C = B A A. “”是“”的充分条件但不是必要条件x C ∈x A ∈B. “”是“”的必要条件但不是充分条件x C ∈x A ∈C. “”是“”的充要条件x C ∈x A ∈D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件x C ∈x A ∈x A ∈ 8．对于实数，满足或，则是的（）,x y :3,:2p x y q x +≠≠1y ≠p q (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件9．“”是“函数的值恒为正值”的 （ ）40k -<<2y x kx k =-- （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件10．已知条件，条件，则是的 （ ）:2p t ≠2:4q t ≠p q （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件11.“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件12．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，p r q r s r q 是 的必要条件。
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件
(2)(2018·广西桂林期末)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
则“α ⊥β ”是“m⊥β ”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)(2018·成都七中期末)命题p:“a=-2”是命题q:“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-
3=0垂直”成立的( )
(A)充要条件
(B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件
(1)解析:由题意,得圆心(1,1)到直线 x+y+m=0 的距离等于圆的半径,
即 11 m = 2 , 2
所以 m=0 或 m=-4.
答案:m=0或m=-4
(2)求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是什么?
(2)解:①当 a=0 时,原方程变为 2x+1=0,
即 x=- 1 ,符合要求. 2
证明:(1)必要性:由 1 < 1 , xy
得 1 - 1 <0,即 y x <0,
xy
xy
又由 x>y,得 y-x<0,
所以 xy>0. (2)充分性:由 xy>0 及 x>y,
得 x > y ,即 1 < 1 . xy xy x y
综上所述, 1 < 1 的充要条件是 xy>0. xy
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
新课引入 成语“水滴石穿”的故事：
宋朝时，张乖崖在崇阳当县令.当时，常有军卒侮辱将帅、小吏 侵犯长官的事.张乘崖认为这是一种反常的事，下决心要整治这种现 象. 一天，他在衙门周围巡行.突然，他看见一个小吏从府库中慌慌 张张地走出来.张乘崖喝住小吏，发现他头巾下藏着一文钱.那个小吏 支吾了半天，才承认是从府军中偷来的.张乘崖把那个小吏带回大堂 ，下令拷打.那小吏不服气：一文钱算得了什么！你也只能打我，不 能杀我！张乘崖大怒，判道：一日一钱，千日千钱，绳锯木断，水滴 石穿.为了惩罚这种行为，张乘崖当堂斩了这个小吏.
C A
[图1]
提示：“开关A关闭” 但，“灯泡亮” \
“灯泡亮 ” “开关A关闭”
例4.使x(y-2)=0存在的一个充分条件是（
2 2 A. 0 (y 2) x 2 2 B. (x 2) y 0
A
）
C. (x 1) y 0 D.x(y-2)(z+2)=0
2 2
请注意：我们平常说充分必要条件时，一般是“p是q的充分（必要） 条件”，而这里明显是“x(y-2)=0的充分条件是（ ）”
（3）x>5成立的必要条件是（ A ） A x>1 B x>8 C x<5 D x≤5
２ 填空 x=0 ⑴ xy 0 的一个充分条件_______ x＜-5 ⑵ x 2 的一个必要条件_______ ⑶已知
x 3是 x a的一个必要条件，
a≤3
求a的取值范围。
3.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么 必要 条件. “a∈M ”是“a∈N ”的________
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.知识点一 充分条件与必要条件的概念 给出下列命题：(1)若x >a 2＋b 2，则x >2ab ； (2)若ab ＝0，则a ＝0.思考1 你能判断这两个命题的真假吗？ 答案 (1)真命题 (2)假命题思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？答案 命题(1)中只要满足条件x >a 2＋b 2，必有结论x >2ab ；命题(2)中满足条件ab ＝0，不一定有结论a ＝0，还可能b ＝0.知识点二 充分条件与必要条件的判断知识点三 充分条件、必要条件与集合的关系思考“x <2”是“x <3”的__________条件，“x <3”是“x <2”的__________条件. 答案 充分 必要A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }A BB A类型一充分条件、必要条件的判断例1下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；(2)若f(x)＝x，则f(x)为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若x＝y，则x2＝y2；(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(6)若a>b，则ac>bc.解(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x ＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；(2)∵p⇒q，而q⇏p，∴p是q的充分不必要条件.(3)∵p⇏q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件.(4)∵p⇒q，而q⇏p，∴p是q的充分不必要条件.(5)∵p⇒q，而q⇏p，∴p是q的充分不必要条件.(6)∵p⇏q，而q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件.反思与感悟本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p 是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.跟踪训练1指出下列命题中p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sin α>sin β，q：α>β.解(1)∵x2＝2x＋1⇒/ x＝2x＋1，x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件.(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件.(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件.(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.类型二充分条件、必要条件与集合的关系例2若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，求a的最大值.解∵x2>1，∴x<－1或x>1.又∵“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件.∴x<a⇒x2>1但x2>1⇏x<a.如图所示：∴a≤－1，∴a的最大值为－1.反思与感悟设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集.跟踪训练2例2中“x<a”改为“x>a”，其他条件不变，则a的最小值为多少？解∵x2>1，∴x<－1或x>1，∵“x2>1”是“x>a”的必要不充分条件，∴x>a⇒x2>1，但x2>1⇏x>a.如图所示：∴a≥1，∴a的最小值为1.类型三充分条件和必要条件的应用例3(1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是()A.0B.2C.4D.16(2)已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________. 答案(1)B(2)－1≤a≤6解析(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确.(2)化简p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由于q 是p 的充分条件，故有⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得：－1≤a ≤6.反思与感悟 应用充分条件和必要条件的两个思路 (1)条件与结论：确定p 和q 谁是条件，谁是结论.(2)p ⇒q 和q ⇒p 的应用：充分条件确保p ⇒q 为真，必要条件确保q ⇒p 为真.跟踪训练3 已知p ：3x ＋m <0，q ：x 2－2x －3>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围.解 由3x ＋m <0得，x <－m 3.∴p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 3.由x 2－2x －3>0得，x <－1或x >3. ∴q ：B ＝{x |x <－1或x >3}.∵p ⇒q 而q ⇏ p ，∴A 是B 的真子集，∴－m3≤－1，∴m ≥3，即m 的取值范围是[3，＋∞).1.“x ＝1”是“x 2－1＝0”的________条件(填“充分”或“必要”). 答案 充分解析 当x ＝1时，x 2－1＝0成立，反之不成立，所以“x ＝1”是“x 2－1＝0”的充分条件. 2.“ △ABC 为直角三角形”是“其三边关系a 2＋b 2＝c 2”的________条件(填“充分”或“必要”). 答案 必要解析 若△ABC 三边关系满足a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 为直角三角形，故“△ABC 为直角三角形”是“其三边关系a 2＋b 2＝c 2”的必要条件.3.已知函数f (x )的定义域为R ，函数f (x )为奇函数的________条件是f (0)＝0(填“充分”或“必要”). 答案 必要解析 若函数f (x )为奇函数，则必有f (0)＝0，故函数f (x )为奇函数的必要条件是f (0)＝0. 4.“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根都大于3”是“⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＞6x 1x 2＞9，”的________(填“充分条件”或“必要条件”). 答案 充分条件解析 若方程的两根都大于3，即x 1>3，x 2>3，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＞6，x 1x 2＞9，成立，故“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根都大于3”是“⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＞6，x 1x 2＞9”的充分条件.5.“x 2＝2x ”是“x ＝0”的________条件，“x ＝0”是“x 2＝2x ”的________条件(用“充分”“必要”填空). 答案 必要 充分解析 由于x ＝0⇒x 2＝2x ，所以“x 2＝2x ”是“x ＝0”的必要条件，“x ＝0”是“x 2＝2x ”的充分条件.1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立.(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充分必要条件.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1.下列命题中q 是p 的必要条件的是( ) A.p ：A ∩B ＝A ，q ：A ⊆B B.p ：x 2－2x －3＝0，q ：x ＝－1 C.p ：|x |<1，q ：x <0 D.p ：x 2>2，q ：x > 2 答案 A解析 由A ∩B ＝A 能得出A ⊆B ，其余选项都不符合要求.2.a <0，b <0的一个必要条件为( ) A.a ＋b <0 B.a －b >0 C.ab >1 D.ab＜－1 答案 A解析 a ＋b <0⇒/ a <0，b <0，而a <0，b <0⇒a ＋b <0. 3.“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由于θ＝0时，一定有sin θ＝0成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件.4.设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.以上都不对 D.不确定 答案 A解析 当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x (x ∈R )是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )是偶函数不一定得出φ＝0，故A 正确.5.设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由2x 2＋x －1>0，可得：x <－1或x >12，∴“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的充分不必要条件.6.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有a 1＝2a ＋1，解之得a ＝1或a ＝－2.所以为充分不必要条件.二、填空题7.设a ∈R ，则“a <1”是“a 2<1”成立的________条件(填“充分”或“必要”). 答案 必要解析 由“a <1”推不出“a 2<1”，而由“a 2<1”能推出“a <1”，故“a <1”是“a 2<1”成立的必要条件.8.不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________. 答案 a >2解析 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.9.设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件： ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β； ③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 答案 ②④ 三、解答题10.分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由. (1)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0. (2)p ：a 是整数，q ：a 是自然数. (3)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数. 解 (1)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0， p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0，所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件. (2)由于p ：a 是整数⇒/ q ：a 是自然数， p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件.(3)由于p ：a 是素数不能推出q ：a 不是偶数，而q ：a 不是偶数也不能推出p ：a 是素数. 所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件.11.已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.解 p ：－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0). 因为q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}.12.是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由.解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}， 由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件.13.已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a 得x －1<－a ，或x －1>a ， ∴x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1， 解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1.即p ⇒q ，反之不成立.∴a ＝1.。
高中数学 1.2.1充分条件与必要条件练习 北师大版高二选修1-1数学试题
【成才之路】2015-2016学年高中数学 充分条件与必要条件练习 北师大版选修1-1一、选择题1．(2015·某某文，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析]a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确．选A. 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查两条直线垂直的充要条件．当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直； 当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0， ∴a ＝1，故选C.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，所以x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x2＋x －1>0⇒/x >12，选A.4．(2014·某某市质检)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 [答案] B[解析]a∥b⇔x2－4＝0⇔x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分条件．5．(2014·某某省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析](a－b)a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b，a＝0时(a－b)·a2＝0，∴a<b⇒/ (a－b)a2<0∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{a n}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由a1<a2<a3可知等比数列{a n}为递增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5时，不能确定{a n}为递增数列，也可能是正负交替数列，例如a n＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的______条件．[答案]充分不必要[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列时却不一定有a n＝2n＋1.三、解答题9．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值X围．[答案]p≥4[解析]x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，x <－p4⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．10．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [答案]a ≤1[解析]①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a >0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0.解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.一、选择题1．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由于直线方程中含有字母m ，需对m 进行讨论．(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0，所以m ＝－2或m ＝12.显然m ＝12只是m 取值的一种情况．故为充分不必要条件．2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] “tan x ＝1”的充要条件为“x ＝k π＋π4(k ∈Z )”，而“x ＝2kx ＋π4(k ∈Z )”是“x ＝kx ＋π4(k ∈Z )”的充分不必要条件，所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件，故选A.3．设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.4．(2014·某某某某十中期中)已知平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.二、填空题5．“a ＝12”是“y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 由a ＝12，得y ＝cos 212x －sin 212x ＝cos x ，T ＝2π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝2π，得a ＝±12.故是充分不必要条件．6．下列说法正确的是________． ①x 2≠1是x ≠1的必要条件； ②x >5是x >4的充分不必要条件； ③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件； ④x 2<4是x <2的充分不必要条件． [答案]②④[解析] “若x 2≠1，则x ≠1”的逆否命题为“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题7．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2. [证明] (1)充分性：∵m ≥2，∴Δ＝m 2－4≥0， 方程x 2＋mx ＋1＝0有实根， 设x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1、x 2， 由韦达定理知：x 1x 2＝1>0，∴x 1、x 2同号， 又∵x 1＋x 2＝－m ≤－2，∴x 1、x 2同为负根．(2)必要性：∵x 2＋mx ＋1＝0的两个实根x 1，x 2均为负，且x 1·x 2＝1， 需Δ＝m 2－4≥0且x 1＋x 2＝－m <0，即m ≥2. 综上可知，命题成立．8．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 必要性：∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. ∴a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性： ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.因此，方程有一个根为x ＝1.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.。