2019-2020学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷剖析版
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-<<，{}220B x x x =-<，则AB =（ ）A. ()10-， B. ()02， C. ()20-， D. ()22-，【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()2220x x x x -=-<，解得02x <<，所以()0,2A B =.故选：B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.函数()f x =的定义域为（ ） A. (]30-， B. ()31-， C. ()3-∞-，D.()(]331-∞--，，【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零，属于基础题.3.若函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（）A. （﹣∞，2)B. （0，2）C. （0，12] D. [12，2） 【答案】C 【解析】 【分析】函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，等价于当1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，当1x <时，()1f x ax =+是增函数；另外还要满足()f x 在分界点1x =处，左边的函数值小于等于右边的函数值，即12+≤-a a ，通过解不等式组，可确定a 的取值范围. 【详解】由1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，得20a ->，即2a <；由1x <时，()1f x ax =+是增函数，得0a >；又()f x 的定义域为R ，所以在1x =应有12+≤-a a ，即12a ≤，综上，实数a 的取值范围是1(0,]2，故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,容易忽略对分界点左右两边的函数值大小关系进行讨论.4.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y x = B. y ＝2x -C. y ＝|x|D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.【详解】对于A ， y x =，为奇函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于C ， y x =，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于D ，1y x=，为奇函数，不符合题意；故选C.【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.5.函数[]211,1y x x x =-+∈-，的最大值与最小值之和 （ ） A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的对称轴，判断其在[]1,1-上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。
【优质文档】2019-2020学年人教A版湖南省长沙一中高一第一学期期末数学试卷含解析
由 AB＝ ，得 FG＝
．
设△ PAB的外心为 E， 在△ PAB中，由 PA＝ PB＝ ， AB＝ ，
得 cos P＝
，则 sin P＝
．
设△ PAB的外接圆半径为 r ，则
，即 r ＝ ．
再设三棱锥 P﹣ ABC的外接球球心为 O，则外接球半径 R＝ OA＝
．
∴该三棱锥外接球的表面积为 4π×
．
）
A．外切
B．内切
C．相交
D．相离
7．已知两条不同直线 a、 b，两个不同平面α、β，有如下命题：
①若 a∥α， b? α，则 a∥ b；②若 a∥α， b∥α，则 a∥ b；
③若α∥β， a? α，则 a∥β；④若α∥β， a? α， b? β，则 a∥ b；
以上命题正确的个数为（
）
A． 3
B． 2
③若α∥β， a? α，则 a∥β；④若α∥β， a? α， b? β，则 a∥ b；
以上命题正确的个数为（
）
A． 3
B． 2
C． 1
D．0
【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．
解：①若 a∥α， b? α，则 a 与 b 平行或异面，故①错误；
②若 a∥α， b∥α，则 a∥ b，则 a 与 b 平行，相交或异面，故②错误；
2019-2020 学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．已知集合 A＝{ x| x﹣ a≤ 0} ，若 2∈ A，则 a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞， 4]
B．（﹣∞， 2]
C． [2 ， +∞）
2．函数 f （ x）＝ ax+1﹣ 2（ a＞ 0，且 a≠1）的图象恒过的点为（
湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题(六)
绝密★启用前长郡中学2019年1月高一人教版期末复习试卷（六）（数学必修1+4 ）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷解答题1. 设关于x 的函数()()2lg 23f x x x =--的定义域为集合A ，函数()()04g x x a x =-≤≤的值域为集合B .（1）求集合,A B ；（2）若集合,A B 满足A B B ⋂=，求实数a 的取值范围【答案】（1）{| 1x x <-或}3x >， {}|4y a y a -≤≤-；（2）{| 5a a >或}3a <-. 【解析】试题分析：本题考查函数定义域的求法和集合的运算。
（1）根据条件求得函数()f x 的定义域和函数()g x 的值域，即可得到集合,A B ；（2）由A B B ⋂=得B A ⊆，转化为不等式求解a 的范围。
(2)∵A B B ⋂=, ∴B A ⊆.∴41a -<-或3a ->, 解得 3a <-或5a >，∴实数a 的取值范围是{a | 3a <-或5a >}. 2. 函数f （x ）=是定义在[-l ，1]上的奇函数，且f （）=。
（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）判断并用定义证明f （x ）在（-1，1）上的单调性； （3）若f （1-3m ）+f （1+m ）≥0，求实数m 的所有可能的取值。
【答案】（1）；（2）增函数；（3）0（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则即解得所以.（2）任取，不妨设，y -=，因为，，，，，所以，即，所以在上是增函数；（3）为上的奇函数，且由（2）知为增函数，则，所以解得.3. 已知函数()311212xf x x ⎛⎫=+⋅⎪-⎝⎭. （1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性； （3）求证： ()0f x >.【答案】（1）()(),00,-∞⋃+∞；（2）()f x 为偶函数；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由分母不能为零得210x-≠求解即可，要注意定义域要写成集合或区间的形式；（2）在（1）的基础上，只要再判断()f x 与()f x -的关系即可，但要注意作适当的变形；（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立即可，不妨证明：当0x >时，则有21x >进而有: 1210,021x x->>-，然后得到110212xx ⎛⎫+⋅>⎪-⎝⎭，再由奇偶性得到对称区间上的结论.（3）证明：当0x >时，()()310,0,0,21xx f x f x >>∴>-为偶函数， ()0,0x f x ∴.综上所述，定义域内的任意x 都有()0f x >. 4. 已知函数()f x = ()221x a a -∈+R . (1)是否存在实数a 使函数()f x 是奇函数?并说明理由;(2)在(1)的条件下,当0x >时, ()()220f kx f x +--<恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)存在1a =满足题意.(2) (.∞- 【解析】试题分析：(1)由()f x -=()f x -得221x a --+=221xa -++，可得a=1；(2)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数，则原不等式等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +，即22kx x <+，当0x >时22x k x +<恒成立，设()g x =22x x+，再利用函数单调性的定义证明()g x 在(上是减函数，在)∞+上是增函数，即可求出求值，即可得出结论.试题解析：(1)当1a =函数()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-得， 221x a --+=221x a -++, 解得1a =. (2)函数()2121x f x =-+，任取12,x x ∈R ，设12x x <，则()()21f x f x -=12112121x x -++=()()2112222121x x x x -++， 因为函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <，所以21220x x ->， 又()()1221210x x ++>,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R 上是增函数，因为()f x 是奇函数，从而不等式()()220f kx f x +--<等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +,因为函数()f x 在R 上是增函数，所以22kx x <+，所以当0x >时22x k x+<恒成立.设()22x g x x +=，任取12,x x ,且120x x <<，则()()21g x g x -=22212122x x x x ++-=()()2112122x x x x x x --，当(12x x ∈，且12x x <时, 2112120200x x x x x x ->-，，，所以()()21g x g x <，所以()g x在(上是减函数；当)12x x ∞∈+，且12x x <时， 2112120200x x x x x x ->->>，，，所以()()21g x g x >，所以()g x在)∞+上是增函数，所以()min g x= g=即k <k的取值范围为(.∞-5. 已知函数()f x =()27x mx m m ++-∈R .(1)若函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性,求实数m 的取值范围; (2)求函数y = ()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m .【答案】(1) 4m ≥-或8m ≤-.(2) ()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤.【解析】试题分析：(1)由函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性可得22m -≤或42m-≥，求解即可；(2)利用二次函数的单调性，分1111222m m m-≤--<-<-≥、、三种情况讨论求解. 试题解析：(1) ()f x =()27x mx m m ++-∈R 开口向上，对称轴为2m x =-，若函数()f x 在[]2,4上具有单调性，则需22m -≤或42m-≥，所以4m ≥-或8m ≤-. (2) 当m12-≤-，即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增，所以()g m = ()1g -=6-，当112m-<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以()g m = 2m g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=274m m -+-； 当12m-≥，即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减，所以()g m = ()1g =26m -，综上得()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤. 6. 设实数a ∈R ,函数()f x = 221x a -+是R 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)当()1,1x ∈-时,求满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）( 【解析】试题分析：(1)由题意结合奇函数的性质可得1a =.(2)结合(1)中函数的解析式可得()f x 在R 是增函数,结合函数的定义域和函数的单调性可得实数m 的取值范围是(. 试题解析：（1）因为函数()f x = 221xa -+是R 上的奇函数, 所以()00f =.即02021a -=+,解得1a =. (2)由(1),得()2121x f x =-+.因为()f x 是R 上的奇函数,由()()2110f m f m -+-<,得()()211f m f m -<--,即()()211f m f m -<-.下面证明()f x 在R 是增函数,设12,x x ∈R 且12x x <,则()()12f x f x -=1222112121x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()()()1212222,2121x x x x -++ 因为12x x <,所以121222,220x x xx <-<,而12210,210x x +>+>,所以()()()121222202121x x x x -<++,即()()12f x f x <,所以()f x = 221x a -+是R 上的增函数. 当()1,1x ∈-时,由()()211f m f m -<-得22111{11 1 11m m m m -<-<-<-<-<-,解得1m <<，所以,当()1,1x ∈-时,满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m的取值范围是(.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．7. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，当0x >时，()0f x >；（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()()220f kx f kx -+->对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()f x 为奇函数；（2）08k ≤<.试题解析：(1)令则令所以为奇函数.(2)任取12,x x <则()()()()()()()11221221212,0f x f x x x f x x f x f x f x f x x =-+=-+-=->()()12f x f x > ，()f x 是单调减函数，()f x 为奇函数且0x >时，()0f x <， 0x ∴<时，()0f x >， 220kx kx ∴-+-<恒成立，当时，-2<0恒成立，当0k ≠时，得20{80k k k -<∆=-<，得08k <<，综上， .8. 已知定义在R 上的函数()22x x bf x a--=-是奇函数.（1）求a ， b 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t R ∈，关于t 的不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1a =-， 1b =-（2）()f x 在R 上为减函数（3）1k <-【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a ， b ；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()()22f t t f k f k -<--=，然后利用单调性求k 的取值范围.试题解析：（1）因为()22x x b f x a--=-是定义在R 上的奇函数所以()()()00{11f f f =-=-，解得1a =-， 1b =-经检验符合题意，所以1a =-， 1b =-（3）因为()f x 为R 上减函数，且为奇函数所以()()220f t t f k -+-<等价于()()()22f t t f k f k -<--=，所以22t t k ->恒成立 即()22211k t t t <-=--，所以1k <-点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f ”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()22f t t f k -<，结合单调性由此可把不等式化为具体不等式求解.9. 已知函数()2π2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】(1) T ＝2π4＝π.2;(2) 取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期, (2)根据x 的范围,求出4x ＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答. 试题解析：(1)由题意知, ()f x x -cos π42x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 4x ＋sin 4x ＝2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴函数()f x 的最小正周期T ＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x ≤π4,∴-π3≤4x ＋π3≤4π3,∴2-π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.10. 已知，，．(1)求；(2)设，，求点及的坐标．【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，，，∴，，∴. (2)设点的坐标分别为则而，∵，，∴解得∴点的坐标分别为.∴．考点：平面向量的坐标运算.11. 已知函数()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为π; （Ⅱ）函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 【解析】试题分析：(Ⅰ)整理函数的解析式为()πsin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为π，最大值为22-. (Ⅱ)结合函数的解析式和正弦函数的性质可得函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 试题解析：（Ⅰ）()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭2cos sin x x x =()1sin21cos222x x =-+ 1sin2222x x =--πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵()f x 的最小正周期为π，最大值为22-.12. 已知()1,2a =， ()3,2b =-,求当k 为何值时（1）3ka b a b +-与垂直； (2) 3ka b a b +-与平行. 【答案】（1）19k =；（2）13k =-. 【解析】试题分析：（1）根据向量垂直得到向量点积为0，由向量坐标运算得到结果；（2）根据向量平行的坐标运算得结果. 解析：由题意可得： ()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+ ， 而()()()31,233,210,4a b -=--=- ，故满足题意时： （1） ()()1034220k k --+= ，解得： 19k = . （2）()()()3410220k k -⨯--+= ，解得： 13k =- . 13. 已知23a b ==， a 与b 的夹角为120，求（1）a b ⋅；（2）(23a b a b -⋅+）（）；（3）a b +【答案】（1）-3；（2）-34；（3）7.【解析】试题分析：（1）根据向量运算的定义式得到cos120o a b a b ⋅==-3.（2）根据向量点积的运算规律和定义展开得到结果.（3）将模长平方根据向量点积的运算得到结果. 解析：（1）1cos1202332oa b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）2223253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-（）（）2225cos1203o a a b b =+-8152734=--=-（3）()2222469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=14. 已知ABC ∆，点()()()2,3,0,2,1,1A B C --，（1）以AC 为对角线作正方形/ AMCN (点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）设0n 为与BC 垂直的单位向量，求向量0n 的坐标，并求边BC 上的高AD 的长.【答案】（1）()2,3MN =， 31,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),M N x y =∴22320{13x y x y -=+=即求得MN ，设,A C 中点为1,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭又E 为MN 中点，由31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭得点M 的坐标（2）0n 为与BC 垂直的单位向量，则设()0,n x y =，由0n BC ⊥， ()1,3BC =得221{ 30x y x y +=+= 解出0n ，在ABC ∆中，由余弦定理得出cos ACB ∠，过A 作AD BC ⊥,得cos ACD ∠，sin sin ACD AD AC ACD ∠=⋅∠，则求得得解.试题解析：（1）∵()()2,3,1,1A C - ∴()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),MN x y = ∴22320{13x y x y -=+=得2{ 3x y ==或2{ 3x y =-=-（舍） ∴()2,3MN = 设,A C 中点为1,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭又E 为MN 中点，∴31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设()0,n x y =，则0n BC ⊥， ()1,3BC =∴221{ 30x y x y +=+= ∴0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭在ABC ∆中， 29AB =， AC BC ==由余弦定理得cosACB ∠==过A 作AD BC ⊥,∴cos ACD ∠=∴sin ACD ∠∴sin AD AC ACD =⋅∠===15. 某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）求1x ， 2x ， 3x 的值及函数()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值． 【答案】（1）()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）.【解析】试题分析：（1）由可得；由可得，()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.试题解析：（1）由可得 :2分由可得:又6分（2）由的图象向左平移个单位得的图象, 8分10分时,13分16. 已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω的值和函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()2463f αππα⎛⎫=<<⎪⎝⎭，求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()23k x k Z ππ=+∈；（2）=【解析】试题分析：（1）根据图像上相邻两个最高点的距离可求函数周期，即可求出ω的值，从而求出()f x 的对称轴方程；（2）由（1）可知1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数之间关系及角的变换即可求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（2）由（1）得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由263ππα<<得062ππα<-<，所以cos 6πα⎛⎫-===⎪⎝⎭sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ cos 66ππα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭114242=⋅-⋅ =17. 已知()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+；（2）2sin sin2αα+. 【答案】（1）－16（2）85【解析】试题分析：（1）首先利用诱导公式化简已知条件等式为sin 2cos αα=，由此可求得代数式的值；（2）将代数除以22sin cos αα+，然后利用同角三角函数间的基本关系求解． 试题解析：（1）∵()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+⎪⎝⎭， ∴sin 2cos αα-=-，即sin 2cos αα=， 则原式2cos 4cos 2110cos 2cos 126αααα--===-+．（2）∵sin 2cos αα=，即tan 2a =，∴原式22222sin 2sin cos tan 2tan 448sin cos tan 1415αααααααα+++====+++． 考点：1、诱导公式；2、同角三角函数间的基本关系．18. 已知:；（I ）化简；（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（I ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（I ）根据三角函数的诱导公式化简，即可求出；（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得到的值 .试题解析： （I ）（Ⅱ），所以，又由是第三象限角，所以，故19. 已知函数()()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且点,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域； （3）把函数()y f x =的图象向右平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，求θ的取值范围． 【答案】（1）()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[)2,1-；（3）,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：（1）由,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点求出A ，由周期为π求出ω，由特殊点的坐标求出ϕ的值，从而可得函数的解析式；（2）由,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可求的52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质可求其值域；（3）利用三角函数平移变换规律可求()2226g x sin x πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得03{,64k k Z k ππθπππθ+-≤∈++≥，结合范围02πθ<<，可求θ的取值范围.试题解析：（1）∵由题意可得，A=2， =π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M （，2），可得2sin （2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ϕ=，∴f （x ）=2sin （2x+）．（2）∵x ∈[﹣，0]， ∴2x+∈[﹣，]，∴sin （2x+）∈[﹣1，]，可得：f （x ）=2sin （2x +）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f （x ）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g （x ）=2sin [2（x ﹣θ）+]=2sin （2x ﹣2θ+），∴令2k π﹣≤2x ﹣2θ+≤2kπ+，k ∈Z ，解得：k π+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k ∈Z ，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k ∈Z ，∵函数y=g （x ）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k ∈Z ，∵0＜θ＜，，∴当k=0时，θ∈[，]．20. 已知两个不共线的向量,a b 满足()1,3a =， ()cos ,sin b θθ=， R θ∈.（1）若2a b -与7a b -垂直，求a b +的值；（2）当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ使得3a b ma +=成立，求正数m 的取值范围.【答案】（1）a b + =23m +≤≤ 【解析】试题分析：（1）已知2a b -与7a b -垂直，所以以()()270a b a b -⋅-=，变形得2221570a a b b -⋅+=，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为2a =， 1b =，代入上式可得81570a b -⋅+=，求得1a b ⋅=.求向量的模，应先求向量的平方。
湖南省长沙市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
长沙市第一中学2019-2020学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题1.已知集合{|0}A x x a =-„，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ）A. (,2]-∞-B. (,2]-∞C. [2,)+∞D. [2,)-+∞【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再讨论元素包含关系，讨论参数．【详解】解：因为集合{|0}A x x a =-„，所以{}|A x x a =„，又因为2A ∈， 则2a …，即[2,)a ∈+∞ 故选：C ．【点睛】本题考查元素与集合包含关系，属于基础题．2.函数1()2x f x a+=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过的点为（ ） A. (1,1)--B. (1,0)-C. (0,1)-D. (1,2)-- 【答案】A【解析】【分析】令指数为0，即可求得函数1()2x f x a +=-恒过点．【详解】解：令10x +=，可得1x =-，则(1)121f -=-=-∴不论a 取何正实数，函数1()2x f x a +=-恒过点(1,1)--故选：A ．【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题．3.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC BB ===，则线段1BD 的长是（ ）B. C. 28 D. 【答案】A【解析】【分析】 利用体对角线公式直接计算即可.【详解】1BD === A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.4.方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ）A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)【答案】B【解析】【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解.【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数，由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5). 故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题. 5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于( )A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°【答案】D【解析】【分析】通过证明AC ⊥平面11BB D D ，可证得直线1BD 与直线AC 垂直，即所成的角为90o .【详解】画出图像如下图所示，连接11,BD B D ，由于几何体为正方体，故1,AC BD AC DD ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥,即所成的角为90o .所以选D.【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查正方体的几何性质，还考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.6.已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x ﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ） A. 外切B. 内切C. 相交D. 相离【答案】A【解析】【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.【详解】圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4，5=，等于半径之和， ∴两个圆相外切.故选A.【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．7.已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题：①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ；③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b以上命题正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】C【解析】【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．【详解】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误；③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确；④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误．∴正确的个数为1．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．8.已知直线10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是( )A. 1B. 54C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】12mm=⇒=10y+-=可化为220y+-=，再由两直线之间的距离公式，即可求解.10y+-=与直线30my++=12mm=⇒=，即230y++=10y+-=可化为220y+-=，所以两直线之间的距离为54d==，故选B.【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知幂函数()y f x=的图象过点⎛⎝⎭，则21log2f f⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.C. D.12【答案】B【解析】【分析】设()af x x=，将点3,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x=的解析式，求出a的值，然后再计算出21log2f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值.【详解】设()af x x=，由题意可的()333af==，即1233a-=，12a∴=-，则()12f x x-=，所以，112211222f-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，11122222111log log22222f f f f-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩„，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A. （﹣1，+∞）B. （﹣1，1]C. （﹣∞，1）D. [﹣1，1）【答案】B【解析】【分析】 由方程f （x ）＝a ，得到x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，且x 3x 4＝1；化简()31232343112x x x x x x x ++=-+，利用数形结合进行求解即可．【详解】作函数f （x ）图象如图所示，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4， ∴x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，即x 1+x 2＝﹣2，0＜x 3＜1＜x 4，则|log 2x 3|＝|log 2x 4|，即﹣log 2x 3＝log 2x 4，则log 2x 3+log 2x 4＝0，即log 2x 3x 4＝0，则x 3x 4＝1；当|log 2x|＝1得x ＝2或12，则1＜x 4≤2；12≤x 3＜1； 故()3123323431112,12x x x x x x x x ++=-+<„； 则函数y ＝﹣2x 3+31x ，在12≤x 3＜1上为减函数，则故当x 3＝12取得y 取最大值y ＝1， 当x 3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选B ．【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关的键，属于中档题．11.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 16πB. 654πC. 6516πD. 494π 【答案】B【解析】【分析】取AB 中点D ，连接,PD CD ，三角形的中心E 在CD 上，过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O ，使得PO OC =， O 点即为球心，通过三棱锥的性质以及三棱锥的外接球的相关性质列方程，求出球的半径，从而可得出结果. 【详解】如图所示，取AB 中点D ，连接,PD CD ，三角形的中心E 在CD 上，过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O ，使得PO OC =，因为三棱锥底面是一个边长为E 为三角形的中心，,OA OB OC ∴== O ∴点即为球心，因为,PA PB D =为AB 中点，所以PD AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面,ABCPD ∴⊥平面ABC ，则//OE PD ，23,2,13CD CE CD DE CD CE ======-=，2PD ==，设球的半径为r ,则有,PO OC r OE ===作OG PD ⊥于G ，则OEDG 为矩形，222()PD DG OG PO -+=，即(22221r +=,解得26516r =， 故表面积为26544S r ππ==，故选B . 【点睛】本题考查三棱锥的相关性质,主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考査如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，是难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出（或设出）球心和半径.12.已知1()22ln 20191x x x f x x-+=-++-，若()(1)4038f a f a ++>，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】【分析】 设1()22ln 1x x x g x x-+=-+-，则()()2019f x g x =+，则可证()g x 为奇函数，且在定义域上单调递增，则()(1)4038f a f a ++>等价于()(1)g a g a >--，再根据函数的单调性及定义域得到不等式即可解得. 【详解】解：设1()22ln 1x x x g x x -+=-+-，则()()2019f x g x =+. 由1()22ln ()1x x x g x g x x ---=-+=-+，所以()g x 为奇函数， 又12()22ln 22ln 1(11)11x x x x x g x x x x --+⎛⎫=-+=-+--<< ⎪--⎝⎭， 易知22,2,ln 11x xy y y x -⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭为增函数，故()g x 为增函数， 所以()(1)4038f a f a ++>，即()2019(1)20194038g a g a ++++>()(1)g a g a ∴>-+，即()(1)g a g a >--，故1,11,111,a a a a >--⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩解得102a -<<， 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题.二、填空题13.已知直线l20y -+=，则直线l 的倾斜角为__________.【答案】60°【解析】【分析】设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=【详解】解：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=[)0,θπ∈Q则60θ=︒．故答案为：60︒．【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.在三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，且AB ，AC ，AD 两两垂直，点E 为CD 的中点，则直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值是__________．【解析】【分析】由AB ，AC ，AD 两两垂直可知AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在三角形ABE 中计算即可.【详解】∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在RT△ABE 中，AB=2，，∴sin∠AEB=AB BE 3=，∴直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值3，故答案为3【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.15.已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径 ∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．16.如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B 的距离始终等于P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为___．【解析】【详解】设动点P 在三棱锥表面形成曲线是EFGH ，如图所示．则BE BH ==BAH 中，cosHBA ∠==∴6HBA π∠=，4612HBG πππ∠=-=,∴¼12HGπ=，同理»EF；在直角三角形HAE 中，2HAE π∠=，AH AE ===∴»2HEπ==，在等边三角形BCD 中，3CBD π∠=，∴¼33GHπ==，则这条曲线的长度为+++66232=，故答案为2. 【点睛】本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题17.已知集合{}2|450A x x x =--…，集合{|22}B x a x a =+剟. （1）若1a =-，求A B U ；（2）若A B B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x „或5}x …；（2）2a >或3a -„【解析】 【分析】（1）由此能求出集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-厔或5}x …，从而能求出A B U ． （2）由A B B =I ，得B A ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．详解】解：（1）1a =-时，集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-厔或5}x …， 集合{|22}{|21}B x a x a x x =+=-剟剟， {|1A B x x =U „或5}x …．（2）因为A B B =I ，∴B A ⊆， 若B =∅，则22a a >+，∴2a >； 若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩„„或2,25,a a ⎧⎨⎩„…∴3a -„.综上，2a >或3a -„. 即(](),32,a ∈-∞-+∞U【点睛】本题考查交集和并集的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，属于基础题．18.已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求线段AB 的垂直平分线2l 方程. （2）直线1l 过点(2,3)P -，且A B 、两点到直线1l 的距离相等，求直线1l 的方程； 【答案】(1)34230x y --=；（2）4310x y ++=或3110x y --=【解析】【【分析】（1）先求出线段AB 的中点坐标，再利用直线2l 与直线AB 垂直，斜率之积为－1，求出直线2l 的斜率，由点斜式即可写出线段AB 的垂直平分线2l 的方程；（2）按照点A B 、与直线1l 的位置，分类讨论，若两点在直线1l 同侧，则直线1//l AB ；若两点在直线1l 两侧，则直线1l 过线段AB 中点，即可求出．【详解】（1）因为AB 的中点坐标为()5,2-，∵624823AB k --==-- ∴AB垂直平分线斜率为34，所以由点斜式32(5)4y x +=-，得AB中垂线方程为34230x y --=（2）当1//l AB 时，由点斜式43(2)3y x +=--得4310x y ++= 当1l 过AB 中点时，由两点式322352y x +-=-+-得3110x y --=所以，直线1l 的方程为4310x y ++=或3110x y --=【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力． 19.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，的∵PA =4OP ==，∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==∴APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题20.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=o ,2AB =,AC BD O =I ,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值. 【答案】（1）见证明；（2【解析】 【分析】方法一：（1）由题意，得出PO AC ⊥，再由菱形的性质，求得AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理，证得AC ⊥面PBD ，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面ACE ⊥面PBD ；（2）连接OE,证得OE PD ⊥，得到POE ∠是二面角P AC E --的平面角，在POE ∆中，即可求解. 法二：（1）以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面PBD 的一个法向量为n r ，根据AC n u u u r r∥，得AC ⊥面PBD ，在面面垂直的判定定理，证得面ACE ⊥面PBD ；（2）分别求得平面PAC 和平面ACE 的法向量为,u v r r，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：∵PO ⊥面ABCD ∴PO AC ⊥∵在菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 且BD PO O ⋂= ∴AC ⊥面PBD 故面ACE ⊥面PBD（2）连接OE ，则OE =面ACE ⋂面PBD 故CE 在面PBD 内的射影为OE ∵CE PD ⊥ ∴OE ⊥ PD又由（1）可得，,AC OE AC OP ⊥⊥ 故POE ∠是二面角P AC E --的平面角 菱形ABCD 中，2AB =,60ABC ∠=o∴BD =OD =又2PO = 所以PD ==故OE ==∴cos OE POE OP ∠==即二面角P AC E -- 法二：（1）菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 又PO ⊥面ABCD 故可以以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 由2,60AB ABC o=∠= 可知相关点坐标如下：())()()()0,0,2,,,0,1,0,0,1,0P BD A C -则平面PBD 的一个法向量为()0,1,0n v=因为()0,1,0AC =u u u v 所以AC n u u u P v v故AC ⊥面PBD从而面ACE ⊥面PBD（2）设PE ED λ=u u u v u u u v，则21E λ⎫⎪⎪+⎝⎭因为CE PD ⊥所以34011CE PD λλλ⋅=-=++u u u v u u u v 故43λ=可得：67E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 平面PAC 的一个法向量为()1,0,0u =v设平面ACE 的一个法向量(),,v x y z v=则20607v AC y v AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v故)v v=∴cos ,u v ==v v即二面角P AC E --的余弦值为7【点睛】本题考查了立体几何中的直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x ，当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）()[)[)2140250,0,803100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100.【解析】 【分析】（1）利用利润=总售价-总成本，根据x 的范围分段考虑()L x 关于x 的解析式，注意每一段函数对应的定义域；（2）求解()L x 中的每段函数的最大值，然后两段函数的最大值作比较得到较大值，即为最大利润. 【详解】（1）当[)0,80x ∈时，()()22110.051000102504025033L x x x x x x ⎛⎫=⨯-++=-+-⎪⎝⎭，当[)80,x ∈+∞时，()()10000100000.0510005114502501200L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)[)2140250,0,803100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当[)0,80x ∈时，()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+， 所以当60x =时，()max 950L x =（万元）； 当[)80,x ∈+∞时，()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 取等号时10000x x=即100x =，所以()max 1000L x =（万元）950>（万元）， 所以年产量为100千件时，所获利润最大.【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式在实际问题中应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，一定要注意函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时要注意取等号的条件.22.已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦（1）若函数()f x 的最大值是1-，求k 的值；（2）已知01k <<，若存在两个不同的正数,a b ，当函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,23⎛ ⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）对k 分类讨论，当0k ≠时，令1()4(1)22xxg x k k k =⋅--++，根据二次函数的性质计算可得； （2）令2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++，即可判断函数的单调性，函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，可转化为函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦与1y x =+有两个正交点,a b ，即21log 4(1)212x x k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个正根，即21(1)02k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组，即可解得. 【详解】解：（1）当0k =时，2211()log 2log 122xf x ⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，不合题意； 0k ≠时，令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++， 设2(0)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++.①若0,()k g t >开口向上没有最大值，故()f x 无最大值，不合题意；②当k 0<时，且此时对称轴102k t k-=>，函数()f x 的最大值是1-， 所以2max11111()(1)22222k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1k =-或13k =（舍）， 所以1k =-..（2）当01k <<时，设2(1)x t t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++的对称轴102k t k-=<， 所以当1t >时()g t 为增函数，即()f x 为增函数.所以函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++， 可转化为函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦与1y x =+有两个正交点,a b ， 即21log 4(1)212x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个正根. 即114(1)222x xx k k k +⋅--++=，设2(1)x t t =>， 所以21(1)22k t k t k t ⋅--++=， 即21(1)02k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的根. 所以201,1(1)40,211,211(1)10.2k k k k k kk k k <<⎧⎪⎛⎫⎪∆=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨+>⎪⎪⎪⋅-+⋅++>⎪⎩解得123k <<，所以实数k的取值范围是1,23⎛ ⎝⎭.【点睛】本题指数函数，对数函数以及二次函数有关性质的综合运用，考查了转化思想及化归能力，属于中档题．。
湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题(无答案)
长郡中学2019-2019学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A=［1,3?，集合B 亠..1,2,4,5 ?,则集合AUB 二( )A. 11,3,1,2,4,5 / B . MC. 11,2,3,4,5 / D . ：2,3,4,5 /TL2 •已知tan: - -3 , ，则sin 的值为( )2A •1B731C • ——D •732222r r r r r r3 •已知j刁=4，t)=3，且a与b不共线，若向量 a + kb与a - kb互相垂直，则k的值为( )A•a B2丽C • ±--------- D34324•如果奇函数f (x )在区间12,8 ］上是减函数且最小值为6，贝U f(x )在区间［-8,-2】上是( ) A.增函数且最小值为-6 B •增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6 D •减函数且最大值为-65•方程2x，3x-7 =0的解所在的区间为( )A. -1,0 B • 0,1 C • 1,2 D • 2,36 • =ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a, b, c，若a2- c2，b2= ab，则C =( )A. 30° B • 60° C • 120° D • 60° 或120°7 • ABC中，内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos^ ，则ABC为( ) cosB aA •等腰三角形B •等边三角形C.直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形f 8 •已知集合A= X■■■■ -x2 6Li2 :：1 ，B = ' x log 4 x a "，a的取值范围为若A I B^，则实数R 上的周期为2的偶函数，已知 x - 2,3 I 时，f x = x ，则x 1-2,0 1时，f x的解析式为( )A . x 4B C. 3 — X +1D 13.若函数 f (x )=si n 豹 x —J Jcos ^x ，⑷ >0,x ^ R ，又 f (x j = 2 , f (x 2)=0，且捲—x 2 的最小值为—，则，的值为（ 2 )1 24A . -BCD.233314.如图，正三角形 ABC 的中心位于点G 0,1 , A 0,2 ，动点P 从点A 出发沿厶ABC 的边界按逆时针uun r方向运动，设• AGP =x 0乞x 乞2二，向量OP 在a 二1,0方向上的射影为y （ O 为坐标原点），则 y 关于x 的函数y 二f x 的图象大致为（）A. BC.A . 1 ：：：a ::: 2 C..1 ：：： a 乞 2设是第二象限角， 1 P x,4为其终边上的一点，且 cos x ，则tan =（） A .4 _3 二 11 ■:sin 2二-匚 cos 「亠二 jco^ — - :- cos - 10.化简 cos 二「sin 3二…sin -二-：sin 吟 的结果为tan :- 11 .先把函数 象向右平移 3 A .ji —+CL tan :-f x =sin x i 的图象上各点的横坐标变为原来的 1“ I 6丿 个单位, （纵坐标不变），再把新得到的图得到y 二g x 的图象.当x g x 的值域为（.亠 C IL 21-4,012 .设f x 是定义在 2 -x2_x+1—1,0<x^2彳0)=廿.则关于x的方程2 f(x-2),x>26「f （x p — f （x ）—1 = 0的实数根个数为（A. 6 B . 7 C . 8 D . 9、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bsin A=乜.acosB若b 3 , sin C =2sin A，求a, c的值.Q已知函数f x「3sinxcosx-cos2x ?15.已知定义在R上的奇函数f x，当x .0时,16.lg 2 Ig5 二0戸17.18.2sin -cos:-已知tan「- 3，贝U —cosa +3sin G已知向量a, b满足b =2, a与b的夹角为60 °，则b在a上的投影是19.若函数f x =2x2-kx-3在区间〔-2,4 1上具有单调性，则实数k的取值范围是20.uuu uuu在.ABC 中，AB AC =9, si n B =cosA si nC, S ABC= 6 , P 为线段AB 上一点，且uir CP UlTCB，则—•丄的最小值为x y21.(1)(2)UlTCA=x CA y CB解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集合A x求AI B ;求$ A UB .+3)(x—2)兰0}, B={x1 兰x 兰4}.22.(1) 求角B的大小;(2)23.(1) 求f x的单调递增区间;(2) 若角:的终边不共线，且f 二f ［，求tan24.已知向量a = cos： ,sin ：, b = cos :,sin ：,2.5 5(1 )求cos - ；1 i 5(2)右0 , 0 ,且sin ，求sin、丄.2 2 1325.已知二次函数f x =x2，若不等式f -x • f x < 2 x的解集为C .(1)求集合C ；(2)若函数g x = f a x-a x 1-11( a 0且a")在集合C上存在零点，求实数a的取值范围.。
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是( )A. (0,3)B. [0,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3] 3. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b4. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)5. 设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是( )①m//l ，n//l ，则m//n ；②m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；③若m//l ，m//α，则l//α； ④若l//m ，l ⊂α，m ⊂β，则α//β；⑤若m ⊂α，m//β，l ⊂β，l//α，则α//β⑥α//γ，β//γ，则α//β．A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 已知A(1,0)，B(−1,0)，点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则|PA|+|PB|的最大值是( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√210. 方程log 2x =7−x 的实根x 0∈(n,n +1)，则整数n =( )．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 若直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y −2=0平行，则m 的值为____.12. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．13.若幂函数f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m的值为________．14.已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为________．15.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=8，则P到BC的距离为______三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，直线PA的方程：x−y+1=0．(1)若|PA|=|PB|，求直线PB的方程．(2)若直线l:(m2−2)x+my+1=0与直线PA垂直，求m的值．17.化简求值：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32;(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PA⊥PC．(2)若AD=4，AB=8，求三棱锥P−ABD的体积．(3)在(2)的条件下，求四棱锥P−ABCD的外接球的表面积．20.定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x +a3x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,4]上的解析式．(2)若x∈[−2,−1]时，不等式f(x)≤m2x −13x−1恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B ={x|1<x <3}；∴∁R B ={x|x ≤1，或x ≥3}；∴A ∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C ．2.答案：C解析：解：由{x −3≥0x >0，解得x ≥3． ∴函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是[3,+∞)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b ，c 与√3的大小得答案．解：∵b =12516=√5>√3，c =log 47=12log 27<32<√3，∴c <a <b ，故选：D ．4.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．5.答案：C解析：解：①若m//l，n//l，则m//n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；③若m//l，m//α则l//α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑥α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，正确．故选：C．要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定和性质，八个定理来判断．此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案．解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查点和圆位置关系的应用，考查三角函数的性质，是中档题．分两种情况讨论：①当点P 与点A 或点B 重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P 与点A 和点B 都不重合时，设∠PAB =θ，得到|PA|+|PB|=2cosθ+2sinθ，结合两角和的正弦函数公式，辅助角公式和三角函数的性质可得|PA|+|PB|的最大值．解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(1,0)，B(−1,0)为此圆上两个定点，①当点P与点A或点B重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P与点A和点B都不重合时，设∠PAB=θ，，则，所以当，即时，(|PA|+|PB|)max=2√2．综上|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选B．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．设函数f(x)=log2x+x−7，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(4)f(5)<0，可得x0∈(4,5)，从而可求出n的值．解：由于x0是方程log2x=7−x的根，设f(x)=log2x+x−7，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续f(x)的零点．∵f(4)=log24+4−7=−1<0，f(5)=log25+5−7=log25−2>0，故x0∈(4,5)，则n=4.故选C．11.答案：2或−3解析：本题考查了两直线平行，属于基础题．根据两直线平行，斜率相等即可求出m的值．解：∵直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行，∴m+1≠0，两条直线的方程可以化为：l1：y=−2m+1x+−4m+1，l2：y=−m3x+23，∴2m+1=m3，且−4m+1≠23，解得m=2或m=−3．故答案为2或−3．12.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．13.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．14.答案：x−y+2=0解析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解：将两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0方程相减，得x−y+2=0，就是两圆的公共弦所在的直线方程．故答案为x−y+2=0．15.答案：4√5解析：本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取BC中点O，连结AO，PO，推导出PO⊥BC，由此能求出P到BC的距离．解：取BC中点O，连结AO，PO，∵PA垂直于△ABC所在的平面，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，PA=8，∴AO⊥BC，又AO、PA为平面PAO内两条相交直线，∴BC⊥平面PAO，又PO在平面PAO内，∴PO⊥BC，AO=√AB2−BO2=√25−9=4，∴P到BC的距离为PO=√PA2+AO2=√64+16=4√5．故答案为：4√5．16.答案：解：(1)根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为(−1,0)，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P(2,3)，过P做x轴的垂线交x轴于Q，则Q(2,0)，又因为Q为A与B的中点，所以得到B(5,0)，(x−5)化简后为x+y−5=0；所以直线PB的方程为：y−0=3−02−5(2)由题意得，(m2−2)×1−m=0，解得m=2或m=−1．解析：此题是一道基础题，要求学生会根据题中的条件利用数形结合的数学思想解决实际问题．考查学生会根据两点坐标写出直线的一般式方程．(1)把P 点的横坐标代入x −y +1=0求出纵坐标得到P 的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P 在线段AB 的垂直平分线上，则过P 作PQ ⊥x 轴即为AB 的中垂线，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，然后根据P 和B 的坐标写出直线方程即可．(2)由题意得，直接运用两直线的关系化简即可求解．17.答案：解：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32 =53−1+8 =263；(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2 =2lg5+lg4+(1−lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2+1−(lg2)2+(lg2)2=3．解析：(1)利用指数与指数幂的运算性质计算即可；(2)利用对数的运算性质计算即可．18.答案：解：由圆C：x2+y2−6x+4y=0，即(x−3)2+(y+2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r=√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4√2=2√r2−d2，得d=√5．①当l的斜率k存在时，设直线方程为y−0=k(x−2)．又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=√13，由|3k+2−2k|√1+k2=√5，解得k=12．所以直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0．②当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2不满足条件．综上所述，直线l的方程为：x−2y−2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵平面PAD平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．∵∠APD=90°，∴PA⊥PD．∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PA⊥PC；(2)过点P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴DF ⊥面ABD ，PF =2．∴三棱锥P −ABD 的体积：V P−ABD =13×12×4×8×1=323；(3)根据题意，O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为S =4π⋅OD 2=80π．解析：(1)推导出CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA.由∠APD =90°，得PA ⊥PD.从而PA ⊥平面PCD.由此能证明PA ⊥PC ；(2)过点P 作PF ⊥AD 于F ，则DF ⊥面ABD ，PF =2.由此能求出三棱锥P −ABD 的体积；(3)O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，由此能求出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积． 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(1)f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，∴f(0)=1+a =0，∴a =−1，∵f(x)=14x −13x ，设x ∈[0,4]，∴−x ∈[−4,0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ，∴x ∈[0,4]时，f(x)=3x −4x ,(2)∵x ∈[−2,−1]，f(x)≤m 2x −13x−1，即14−13≤m 2−13，即14x +23x ≤m 2x ，x ∈[−2,−1]时恒成立，∵2x >0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[−2,−1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为：g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172， ∴m ≥172．解析：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．(1)根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0,4]，−x ∈[−4,0]，易求f(−x)，根据奇函数性质可得f(x)与f(−x)的关系；(2)分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上数学期末复习检测试题含解析
A.134217728 C.536870912
B.268435356 D.513765802
3． f x 2x 4x 3零点所在的区间是（）
A. 2,3
B. 1,2
C. 0,1
D. 1,0
4．已知圆 x2 y2 1 与圆 x2 y2 6x 8y m 0 相离，则 m 的取值范围（ ）
数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算 64×256 的值，就可以先查第一行的对应数字:64 对应 6，
256 对应 8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的 14，对应第二行中的 16384，所以有：64×256
＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
25 m 0
本题选择 D 选项.
点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法
5、C
【解析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为 l cm，半径为 r cm，则 l 3，即 l 3r 且 l 2r 15，解得： l 9 （cm），故此扇形的弧长 r
13．经过 P(1,3) ， Q3,5 两点的直线的倾斜角是__________ .
1 x 1 , x 1
14．已知
x
，则函数
1
g(x)
(x
2)
f
(x)
2x
1的零点个数为__________
15．已知函数
f
x 的定义域为 0, ，当 x2
x1
0 时，
f
x1
x2
f
C(x) 1 x2 10x （万元）.当年产量不小于 80 件时， C(x) 51x 10000 1450 （万元）.每件商品售价为 50 万元.
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像大致是…………………………………()参考答案：D2. 的值是 ( )A .B . C.D.参考答案：B略3. 设集合，集合,若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A. B.C． D. 参考答案：B略4. 已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣1，∵B={﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}．故选D5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数就是“同族函数”．下列有四个函数：①；②；③；④；可用来构造同族函数的有_ ▲参考答案：①②6. 已知，，那么的值是（）．A．B．C．D．参考答案：B 解析：7. 设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A． B． 2 C． D． 4参考答案：B考点：平面向量的综合题．专题：新定义．分析：设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．解答：解：设的夹角为θ，则cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故选B．点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．8. 用秦九韶算法计算函数当时的函数值时.的值为( )A．3 B.-7 C.34 D.-57参考答案：C略9. 函数的定义域为（★）A．R B．[1，10] C．D．（1，10）参考答案：D略10. 在△ABC中，AC=，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（）A． B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算min。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合U ＝{1，3，4，5，7，9}，A ＝{1，4，5}，则∁U A ＝（ ） A ．{3，9} B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}【答案】D【解析】利用补集的运算,直接求出A 在U 中的补集即可. 解:因为集合U ＝{1,3,4,5,7,9},A ＝{1,4,5}, 所以{3,7,9}U A =ð. 故选:D .本题考查了补集的运算,属基础题.2．函数lg(3)y x =-的定义域为（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(3,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B【解析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可.由题意可得,1030x x -≥⎧⎨->⎩,解得13x ≤<.故选:B.求函数定义域要注意: ①分母不为零;②偶次根式的被开方数非负; ③对数的真数部分大于零;④指数与对数的底数大于零且不等于1; ⑤函数tan y x =中ππ,2x k k ≠+∈Z ⑥0x 中0x ≠.3．若函数()24f x x mx m =+-在区间[]1,4-上单调，则实数m 的取值范围为A ．(,8][2,)-∞-+∞UB ．[2,)+∞C ．(,8]-∞-D ．(,2][8,)-∞-+∞U【答案】A【解析】根据二次函数的性质，只需对称轴2mx =-∉(1,4)-即可. 因为函数()24f x x mx m =+-的对称轴2m x =-，所以2mx =-∉(1,4)-时，函数()2 4f x x mx m =+-在区间[]1,4-上单调， 当12m-≤-，则2m ≥， 当4,82mm -≥≤-，所以(,8][2,)m ∈-∞-+∞U .本题主要考查了二次函数的单调性，属于中档题.4．函数332xx xy =+的值域为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，1）C ．（1，＋∞）D ．（0，1）【答案】D【解析】可上下同时除以3x ，再结合反比例函数特点求解值域即可 3132213x xx xy ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()20,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故令()211,3xt ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭，1y t=在()1,+∞为减函数，当1t =时，1y =，故()0,1y ∈ 故选：D本题考查具体函数值域的求法，属于基础题5．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数,(0,)x y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若(3)1f =且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．(0,2)C ．9,110⎛⎫⎪⎝⎭D ．90,10⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先赋值可知()92f =，不等式转化为()()91f m f m <-⎡⎤⎣⎦，再根据单调性解不等式.()()()()933332f f f f =⨯=+= ，()()()()()1219f m f m f m f m f <-+⇒<-+()()91f m f m ∴<-⎡⎤⎣⎦ ，Q 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，()01091m m m m ⎧>⎪∴->⎨⎪<-⎩， 解得：9010m <<. 故选：D本题考查解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，抽象函数求值时一般需赋值，解不等式时注意函数的定义域. 6．设1331411()11lo 34g ,,4a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．∵a ＝log 1314=log 34＞1， 11040311,1311()(143)4b c ⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<= ∴a 最大， 又∵b ＝（14）14=（164）112，c ＝（13）13=（181）112，且幂函数y ＝x 112在（0，+∞）上单调递增， ∴c ＜b ， ∴c ＜b ＜a 故选：B ．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．1A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<< C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<< 【答案】B【解析】先求出幂函数的解析式，再确定其单调性．设()f x x α=，则11()()222f α==，1α=-，即11()f x xx-==， 函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ∵01a b <<<，∴110a b b a<<<<， ∴11()()()()f a f b f f b a>>>． 故选：B ．本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的单调性．属于基础题．8．对于一个声强为I 为（单位：2/W m ）的声波，其声强级L （单位：dB ）可由如下公式计算：010lgIL I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的（ ）倍 A ．10 B ．100C ．1010D ．10000【答案】A【解析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出12I I 的值，可得出答案． 由题意可得102010lg 7010lg 60I I I I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1020lg 7lg 6I I I I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得12lg 1I I =，所以，1210I I =， 因此，1I 是2I 的10倍，故选A.本题考查对数的运算律，考查对数在实际问题的应用，熟练应用对数的运算性质是解本题的关键，其次就是要弄清题目的意思，考查理解能力与运算能力，属于中等题． 9．已知函数()3sin 2f x x π⎛⎫=-，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2π；B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称；C ．函数()f x 的图象关于点（,06π-）对称； D ．函数() f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数. 【答案】D【解析】利用正弦函数的性质对A ，B ，C ，D 个个选项逐一分析即可求得答案． 解：对于A ，()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其周期为π，故排除A ； 对于B ，当232x k πππ-=+时，5122k x ππ=+，故可排除B ；对于C ，当23x k ππ-=时，62k x ππ=+，故可排除C ；对于D ，当222232k x k πππππ-+≤-≤+时，5312k x k ππππ-+≤≤+，包含5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 成立. 故选D ．本题考查正弦型函数的周期性、奇偶性以及单调性，属于中档题．10．为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点（ ） A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 【答案】B【解析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 将3sin y x =的图象上的所有点的横坐标缩短12倍（纵坐标不变），可得y ＝3sin2x 的图象；再向上平行移动1个单位长度，可得函数3sin 21y x =+的图象， 故选B ．本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题．A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【答案】D【解析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解.设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2261 2.2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩， 故选D.扇形的弧长和面积计算公式： 弧长公式：l r α=；面积公式：21122S lr r α==，其中α是扇形圆心角弧度数，r是扇形的半径.12．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】因为,0,sin sin()cos ,2222A B AB A B B πππππ+∴->∴>-= cos sin 0,,0B A sinB cosA ∴--同理,所以点P 在第二象限.13．知函数π()3sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为( ) A ．4 B ．1 C ．12D ．2【答案】D【解析】直接利用正弦型函数的性质求出函数的周期和函数的最值，进一步求出结果． 解：函数()3sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数的周期242T ππ==．对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，3()3f x -剟． 则12||x x -的最小值为22T=． 故选：D ．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力14．已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-r r ，若a b λ-r r 与b r 垂直，则λ=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出．∵a b λ-=r r λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）＝（λ﹣4，﹣3λ+2），a b λ-r r 与b r 垂直，∴()4λ4a b b λ-⋅=-r rr （）﹣2（﹣3λ+2）＝0，解得λ＝2．故选：D ．本题考查向量坐标运算，熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．15．如图，圆O 是边长为２的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ ⋅u u u r u u u r的最小值为( )A ．-6B ．322--C ．32--D ．-4【答案】B【解析】以O 为坐标原点建立如图坐标系, 则P ,Q 在以O 为圆心的单位圆上,设(cos ,sin )P αα,(cos ,sin )Q ββ，表示出AP uuu r 、CQ u u ur ，再根据向量的数量积、三角函数及三角恒等变换计算可得.解：以O 为坐标原点建立如图坐标系,则P ,Q 在以O 为圆心的单位圆上,设(cos ,sin )P αα,(cos ,sin )Q ββ,又(1,1)A --,(1,1)C ,∴(cos 1,sin 1)AP αα=++u u u r ,(cos 1,sin 1)CQ ββ=--u u u r,cos cos cos cos 1sin sin sin sin 1αββααββα=+--++-- (cos cos sin sin )(sin cos )(sin cos )2αβαβββαα=+++-+-ππcos()244αββα⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当cos()1αβ-=-,且πsin 14β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且πsin 14α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,则AP CQ ⋅u u u r u u u r 有最小值,此时(21)πk αβ-=+,且5π2π4k β=+,且2π()4k k πα=+∈Z , ∴AP CQ ⋅u u u r u u u r能取到最小值3--,故选：B .本题主要考查了向量的夹角与向量数量积的关系，向量的坐标运算，三角恒等变换等知识，用到了转化思想，属于中档题．二、填空题 16．计算：233238log log 9log 2125-⎛⎫-+-⋅= ⎪⎝⎭__________. 【答案】4【解析】根据指数幂的运算，对数的运算及对数的性质计算可得.解：232338log log 9log 21253-⎛⎫-+-⋅ ⎪⎝⎭2333234333log 3log log 2g 3253lo 2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭14332332log log 3log 2o 25g 23l --⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭251244⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭4=故答案为：4本题考查对数的运算及性质的应用，属于基础题. 17．若()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪，则12f ⎛⎫= ⎪__________.【解析】由()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，列方程组，求出42()133f x x x =++，由此能求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 解：()f x Q 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴12()21122()1f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得42()133f x x x=++， ∴141213123232f ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭⨯．故答案为：3．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+=__________.【答案】25【解析】首先根据同角三角函数的基本关系将弦化切求出tan α，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将其化成齐次式，最后代入计算可得.解：sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-Qtan 25tan 2αα+∴=-解得tan 3α= 2222221cos sin cos 1tan 132cos sin 22cos sin 1tan 135ααααααααα+++∴+====+++故答案为：25本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 19．已知πsin 2410α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin α=__________. 【答案】2425【解析】利用二倍角公式求出πcos α⎛⎫-，再由诱导公式计算可得.解：π2sin 2410α⎛⎫-=⎪⎝⎭Q 22ππ224cos 212sin 1224241025αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2524cos 2α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭24sin 25α∴=故答案为：2425本题考查二倍角公式、及诱导公式的应用，属于基础题.20．若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示,则ω的值为__________.【答案】2【解析】化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，通过周期的范围，确定ω的范围，利用图象经过点(1,0)，以及1(0)2f >，缩小ω的范围，根据ω为整数，即可求出ω的值．解：由21cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=及图象知：函数的半周期在1,12⎛⎫⎪⎝⎭之间，即1121222πω<⨯<，得2ππω>>，正整数2ω=或3； 由图象经过点(1,0)，所以()1cos(22)102f ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈，222k ωϕπ∴=-+，由图象知1(0)2f >， 即1cos21cos21222ϕω--=>，得cos20ω<， 又ω为正整数2或3，可得：cos40<，cos60>， 所以可得：2ω=． 故答案为：2解决问题的能力，属于中档题．三、解答题21．若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数(,,)a b c ∈N )，且(1)2f =，(2)3f <. (1)求实数a ,b ,c 的值；(2)判断函数()f x 在(,1]-∞-上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.【答案】(1)1a =,1b =,0c =；(2)()f x 在(,1]-∞-上为增函数,证明见解析.【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得(1)2f -=-，进而可得12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩，解可得a 、b 、c 的值，即可得答案；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可．解：(1)根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数（,a b c ∈N ,），且(1)2f =， 则(1)2f -=-，又由(2)3f <， 则有12124132a b c a b c a b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩，且a b c ∈N 、、，解得1a =，1b =，0c =. (2)由(1)可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(,1]-∞-上为增函数 证明：设任意的121x x <≤-，()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由121x x <≤-，则120x x -<且1210x x ->，120x x >，则有()()120f x f x -<，故函数()f x 在(,1]-∞-上为增函数本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a 、b 、c 的值，属于基础题．22．设向量a r ()cos ,sin αλα=，b r ()cos ,sin ββ=，其中0λ>，02παβ<<<，且+a b r r 与-a b v v 互相垂直.（1）求实数λ的值；（2）若a b ⋅r r45=，且tan 2β=，求tan α的值. 【答案】（1）1；（2）12. 【解析】（1）由+a b r r 与-a b v v 互相垂直可得22+)a b a b a b v v v v v v （）（⋅-=-0=，展开化简即得1λ=.（2）由a b ⋅r r 45=，得()4cos 5αβ-=.()3 sin 5αβ-=-.()3tan 4αβ-=-，最后求()tan tan ααββ=-+= ()()tan tan 11tan tan 2αββαββ-+=--. 解：（1）由+a b r r 与-a b v v 互相垂直，可得22+)a b a b a b v v v v v v （）（⋅-=-0=， 所以222cos sin 10αλα+-=.又因为22sin cos 1αα+=，所以()221sin 0λα-=. 因为02πα<<，所以2sin 0α≠，所以210λ-=.又因为0λ>，所以1λ=.（2）由（1）知a r ()cos ,sin αα=.由a b ⋅r r 45=，得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，即()4cos 5αβ-=. 因为02παβ<<<，所以02παβ-<-<，所以()3sin 5αβ-==-. 所以()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ--==--， 因此()tan tan ααββ=-+=()()tan tan 11tan tan 2αββαββ-+=--. 本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．已知ABC V 为等边角形，2AB =.点N M 、满足AN AB u u u v u u u v λ=，()1AM AC λ=-u u u u v u u u v ，R λ∈.设,AC a AB b ==u u u v u u u v v v .()1试用向量a r 和br 表示,BM CN u u u u v u u u v ; ()2若3·2BM CN =-u u u u v u u u v ,求λ的值. 【答案】(1) ()1?BM a b λ=--u u u u v v v ；CN b a λ=-u u u v v v ；(2) 12. 【解析】（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为()()2231112a b a b λλλλ⎡⎤-+⋅---=-⎣⎦v v v v ；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于λ的方程，解方程求得结果.（1）()()11BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v v vCN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v v（2）()()()()22311112BM CN a b b a a b a b λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⋅=--⋅-=-+⋅---=-⎣⎦⎣⎦u u u u v u u u v v v v v v v v v ABC Q 为等边三角形且2AB = 2a b ∴==v v ，,60a b <>=o v v ()()()()223111114cos604142a b a b λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤∴-+⋅---=-+⨯---=-⎣⎦⎣⎦o v v v v即：()22441210λλλ-+=-=，解得：12λ= 本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.24．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围． 【答案】（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()f ϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围.（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭Q 2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭， 又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤Q ，6πϕ∴=． ()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++ ⎪⎝⎭， 02πϕ<≤Q ，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x Q 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤． ,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦． 本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.25．已知函数f （x ）=|x -a |-1，（a 为常数）．（1）若f （x ）在x ∈[0，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g （x ）=x •f （x ）+a -m ，若存在实数a ∈（-1，2]，使得函数g （x ）有三个零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1) a =4或-2 (2) -1＜m ＜94． 【解析】（1）将()f x 写成分段函数形式,分类讨论a 的范围即可（2）将()0g x x x a x a m =--+-=有三个零点转化为()h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点,可得()22,,x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+≥=⎨-+-+<⎩,分类讨论在12a ≤≤与11a -<<时()h x 的单调性,进而由零点个数求解m 范围即可解：（1）()1,1,x a x a f x x a x a --≥⎧=⎨-+-<⎩, 当1a ≥时,()()max 03f x f ==,∴4a =；当1a <时,()()max 23f x f ==,∴2a =-；综上,4a =或2-（2）()0g x x x a x a m =--+-=有三个零点,等价于()h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点,()22,,x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+≥=⎨-+-+<⎩, 当12a ≤≤时,()h x 在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增, ∴102a m h -⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即2(1)04a m +<<, 191,42a h -⎛⎫ ⎪⎛⎤∈ ⎥⎝⎝⎭⎦Q ,∴904m << 当11a -<<时,()h x 在11,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增； ∴1122a a h m h +-⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()221(1)44a a m +--<<, ()11,02a h +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ,1,4129a h ⎛⎤∈-⎛ ⎥⎝⎫⎪⎝⎭⎦,∴914m -<< 综上, 914m -<< 本题考查分段函数最值问题,考查零点个数求参问题,考查数形结合思想,转化思想。
2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】
4.设「，厂-疋，集合—H n •：巴珀2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三四五总分得分一、选择题1. 已知集合 启斗1,:叮，则下列说法正确的是（）A •一一一B -C • -j 用-1D •「一3.下列各组函数中表示同一函数的是 （ ）A•B •貞刃-—C •g)=左D •，若严=哄，贝V-I C5.设集合 (i)i ■:，贝【J 总"i 禺■-(A." B .,C .■ D .F 列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 1[-4.0)U(OJ1 [-4,0) COJ] 卜M9. 设，| 为定义在”上的奇函数，当■ > '时，• |(•为常数)，则煮=[]：等于( )A . 3B . 1C .； D-I6. 7.函数.一二一的定义域为 ()函数i -8.)的图象的大致形状是10.定义在：上的；满足：①:;②对任意的，"E[0-+8）（片* ），有5一八叽0 ，则（）A • ' ' |B - ■ 'C .化7「⑴：0心D •11. 设函数 「“y 宀」，则使得• I 成立的.的取值范围是（ ） A .- - ___________ B .■-.'C . - -D . 1 ' - 二12. 在如图所示的锐角三角形空地（底边长为 40 •，高为40邨）中，欲建一个面 积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：臥）的取值范围是 （）A .| B . C . l-'.-U D ...、解答题13. 若函数「1ntx:* ■+ + 3的定义域为厂，则实数：的取值范围是-：Dol设|表示不超过•的最大整数(如|| _ ，，，定义「 「，「，则当X (.T -1>. (x-[rj+l)的值域是 ()Z] W1 (3,y]U[15J0) (3,4]UC5J5]已知函数，若不等式r,-.：/：. ；; ■> < I ；对 UD 恒 则实数；•的取值范围是( )；, _ 或■—2 2四、填空题16.若 /(2T + 1)= > ，贝V /(5) = _________________ .rg1117. 已知集合 討 -------------- E ¥ •，则用列举法表示集合* = _____________________18. 已知，' 是定义在区间[1〕)上的减函数，且 • | ，则灯的取值范围是 __________________ .三、 选择题 14.匚时，函数15. 成立,)•对于给定为 ______________ . 20.在一次研究性学习中，老师给出函数： — (.,四个小组的同1+UI学在研究此函数时，讨论交流后分别得到以下四个结果： ① 函数 的值域为9 ] |_. ② 若——，则一定有;③ 若规定-I ，…，二■二.m ,则•对任意L+«| JC |洱L 葢:泣恒成立;④ 若实数•，：满足•「 ， I ,则• ，.你认为上述四个结果中正确的序号有 _______________________ •(写出所有正确结果的序 号)五、解答题21.(1)求值：，49(2)已知：：—一「求...■的值.22. 已知全集‘.：，集合 •’： ',(1 )若• ，求；门池隔 (2)若—求实数；的取值范围.若「| 是• 的最小值，则•的取值范围19.已知 y (x )=23. 已知函数「厂4--(1) 判断的奇偶性；(2) 写出的单调递增区间，并用定义证明.(2)若对任意的，，不等式.|■- 恒成立，求实数 的取值范围.25.已知函数 - - I ,：以；：—二-•(1)若关于 ’的方程，• 只有一个实数解，求实数 「的取值范围; (2 )若•0，求函数」• 「 在区间 - |上的最大值.参考答案及解析 第1题【答案】【解析】试题分析；集合与集合关系为旅包含”、饴于,元素与集合关系为悵于刑「'不属于，故选C ・第2题【答案】 E【解析】试题分析；由函数概念可得.第3题【答案】 D 【解析】试题分析；同一国数需满足；定义域一致,对应，刼L 致.24.(1)2^十用的值；是定义在上的奇函数.第4题【答案】【解析】试题分析；由已知，"茫0 ,故心6- 0 ；5JJ —--1 f所以口=-1 J b =1 ,第5题【答案】j【解析】血颁"&TI<2} ={x|-l<x<3) , ^ = {v|v = 2\re[0,2]} ={y|U>£4},则[L3).第6题【答案】p【解析】试题分折；奇函数有y^~ 、一一丘一八严丁-丄j定义域内为减函数的只有,>■ = -x3-Y .y x 第7题【答案】A【解析】f—Y*—3 Y + 4 ^0试题分析：由题，j ,解得"I -<0)UC01]."0第8题【答案】【解析】试题分析，，二,7>0「可得国匏團象. -a ,JC< 0第9题【答案】【解析】试题分析：由题，/(0)=0 ,得打二亠】，/ei) = VU) = -C2 + 2 + «)=-3 .第10题【答案】A【解析】试题分析；由已知国对偶国数，且在【0十叼单碉遥减WA-2) = A2),故第11题【答案】A【解析】试题分析：由a^/(.o=x4+^ ,可鬻囲数m 为偶画甑且在［0廿叼单调递豐故hi>i2x-n,解得x右小・第12题【答案】【解析】试题分析：由颍设拒彫长肯⑷、列窒为(40』所以双407疋孔0 ,解得* [10.30].第13题【答案】【解析】叭析；由已肌当0，沁十皿+X0 ,恥"或血丸'解得如的取侑范围是第14题【答案】j【解析】试题分析：当山討时.©二厂4当丫无限接近工叭[r] = l ,所臥U**3.32re(23)时，C; = y-4-l?：些丫无限接近3时,[x] = 2 ,所以C； =^-5・故函数匚；的值域fi(3,4]U(5,15] _第15题【答案】【解析】析：宙已知(4, 的W -弘一3玄0 ,令貞町韭(4^- -4z?-3)v- -6.V-3 ,彳盟1 3 b 亠・_(0-3)、若4<r2- 4a-3=^ 0 J EPc? = "- s£o =-、黒不等式在上怛成立』若,抛物线貞刃幵口向上，不満足；若4^=-4«-5<0』拋物线或P幵口向下・对耦由対,0 , gft(4n:-4«-3)x:-6v-3<0 、只需畫⑴"，二W ™ 4<7 —3P-6^3<0 , . .'. 1S2^I< ^< £±2^1 ,又2 213 1 34fr2—_ 3 < 0，艮卩J〒u ◎ w匚 >综上，* "7冬□冬〒-第16题【答案】2【解析】KSlSfW：令21 + 1=5 , Mr = 2 ,故/(5) = 2 .第17题【答案】{245}【解析】试题分析；由题，当= 2,4.5时，满足丄丘N .6 - x第18题【答案】co 33【解析】析：由题设，「得口更(o| ■1 > 2^ -1第19题【答案】IM【解析】试题分析；由已知..v+- + «>2+・*第20题【答案】(D@®@【解析】f r -1—^>0 1+ ——.^>0试题介析：2)=亠屮+工「2：；作岀国数图嶷可知的数心｝的1S H|x|亠”0■"丄”0I p I 1 -X域为(-L1),且在定义域內单调遽増，所洪若可*兀,则一定有,若/1(A)=/(X)> f2M= /(Ji00) = /CTOT) = -_7—、/jW = f(f2^y)=:—7—- > •归纳列知1 + J I v| ■】4,|糾Z(x)=-^-对任壹讥町恒成立#由圈数子⑴为奇困数且虽调逋増，故/^"D^/W = 0 l + n| r |,-1) = = Z(*^)，所£^。
湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题A(一)
绝密★启用前长郡中学2019年1月高一人教版期末复习试卷A （一）（数学必修1+4 ）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．已知集合{}1,2,3A =， {}2,3B =，则（ ） A . A B = B . A B A ⋂= C . A B ⊂≠ D . B A ⊂≠ 【答案】D【解析】A B ≠, {}1A B A ⋂=≠, B A ⊂≠,选D .2．已知函数x x f x21log 2)(-=，且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ） A ．a x <0 B ．a x >0 C ．b x <0 D ．c x <0【答案】D【解析】()f x 是定义域上的增函数，所以0x x <时，()0f x <，0x x >时，()0f x >，对于D 选项，可得()()()0f a f b f c >>>，故不成立。
3．函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间)5,(-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]4,(--∞ B ．),4[+∞- C ．]4,(-∞ D ．),4[+∞【答案】A 【解析】试题分析：二次函数()f x 对称轴为1x a =-，在区间)5,(-∞上为减函数，所以154a a -≥∴≤-考点：二次函数单调性 4．函数的单调递增区间是( ) A.B.C.D.【答案】D5．直角三角形ABC的两条直角边1,BC AC ==,A B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，,P Q 分别为,AC BC 的中点.则OP OQ ⋅的最大值是(A ) 1 (B )2 (C(D) 【答案】B 【解析】试题分析：设AB 的中点为E ，则由题意可得OE =AB =1，=（），利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义化简为，故当时，最大为2，从而得到结果. 解：设AB 的中点为E ，则由题意可得OE =AB =1，=（），∵=+=+，=+=+，yx∴=（ + ）•（ +）=++•+．由于OA ⊥OB ，AC ⊥BC ，∴=0，=0，∴=+•=+=﹣+﹣=+=（）•=，故当共线时，即时，最大为 2=2×1=2，故选B ．考点：平面向量数量积的运算点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题6．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g (x )=sin 2x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向左平移6π个长度单位 C ．向右平移3π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位【答案】B 【解析】试题分析：由图可知1A =,741234T πππ=-=,所以2,2T ππωω==∴=．因为,03π⎛⎫⎪⎝⎭为五点作图的第三个点,所以2,33ππϕπϕ⨯+=∴=．所以()sin 2sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以只需将函数()sin 2g x x =的图像向左平移6π个单位．故B 正确．考点：1三角函数解析式;2图像伸缩平移．7．已知函数)0()sin(2)(πϕϕ<<+=x x f 是偶函数，则)32cos(2πϕ+等于（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：因为，函数)0()sin(2)(πϕϕ<<+=x x f 是偶函数，所以,2k k z πφπ=+∈，2cos(2)2cos 1,33k ππππ++=-=-选B ．考点：1．三角函数的图象和性质；2．三角函数的诱导公式． 8．为了得到函数y =3sin （2x +）的图象，只要把函数y =3sinx 的图象上所有的点（ ）A ．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移个单位长度 C ．向右平移个单位长度，再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） D ．向左平移个单位长度，再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】9．已知向量a ， b 的夹角为23π，且()3,4a =- ， 2b = ，则2a b += （ ）A. B . 2 C. D . 84 【答案】C 【解析】 试题分析： 因为()22222221|2|44?cos 43442232a b a a b b π⎛⎫+=++=⨯++⨯-+= ⎪⎝⎭84，所以2a b +==，故选C ．考点：1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式.10．已知R v u ∈,,定义运算(1),u v u v *=-设cos sin ,cos sin 1,u v θθθθ=+=-- 则当324πθπ≤≤时，v u *是的值域为A ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,4 D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A点评：求函数值域首先要注意定义域 11．将函数)22sin()(π-=x x f 的图象向右平移4π个单位后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2π=x 对称 B ．在)4,0(π上单调递减，为奇函数C ．在)8,83(ππ-上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点)0,83(π对称 【答案】B . 【解析】试题分析：由题意得，()sin[2()]sin(2)sin 242g x x x x πππ=--=-=-，A ：最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=对称，故A 错误；B ：当(0,)4x π∈时，2(0,)2x π∈，满足单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；C ：当3(,)88x ππ∈-时，32(,)44x ππ∈-，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；D ：周期22T ππ==，3()8g π=，故不关于点3(,0)8π对称，故选B ．【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质．12．若向量(1,1),(1,1),(2,4)a b c ==-=-，则c 等于 ( )A ．3a b -+B ．3a b -C ．3a b -D ．3a b -+【答案】B考点：1.平面向量的基本定理；2.平面向量的坐标运算.13．【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭写成分段函数的形式：()())132,021112,0222112,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且：)01111,201,12142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，据此x 的取值范围是：1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【考点】 分段函数；分类讨论的思想【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14．已知33442232(),(),log 323a b c ===，则,,a b c 从小到大用“﹤”号排列为【答案】c a b << 【解析】试题分析：因为幂函数34()f x x =在(0,)+∞单调递增，且2332<，所以334423()()32<，即a b <.又30422()()1033a =>=>，又因为对数函数log a y x =在(0,)+∞单调递减，所以222log log 103c =<=，因此c a b <<. 考点：1、利用幂函数的单调性比较同指数幂的大小；2、借助于中间变量比较大小. 15．已知31)4cos(-=-απ，则)43cos(απ+的值为____ ____． 【答案】13【解析】试题分析：31cos cos cos 4443πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 考点：三角函数诱导公式16．设函数sin()y x ϖϕ=+(0,(,))22ππϖϕ>∈-的最小正周期为π，且其图象关 于直线12x π=对称，则在下面四个结论：①图象关于点(,0)4π对称；②图象关于点(,0)3π对称，③在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数中，所有正确结论的编号为________ 【答案】217．（本题满分10分）已知x 的方程x 2+(m +3)x +3=0的两个实根都大于1,求实数m 的取值范围. 【答案】【解析】试题分析：已知x 的方程x 2+(m +3)x +3=0的两个实根都大于1，根据方程的根可转化为函数图像与x 轴交点的横坐标，研究二次函数图像可得解. 试题解析： 设的方程的两个实根为,设,则点睛：二次函数根的分布问题主要从开口，轴，判别式，函数值这四个方面进行考虑.18．（本题满分12分）设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的函数，且满足()(),f x f x x R -=∈．（1）求a 的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是增函数． 【答案】(1)1a =；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)利用()()11f f -=,求出a 的值；(2)利用函数单调性的定义进行证明.试题解析:（1）取1x =，则()()11f f -=，即11e a e aa e a e--+=+，∴1e a ae ae a c +=+，∴1110a e a a a e⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ∴110a e a e ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴10e e -≠，∴10a a-=， ∴21a =，又0a >，∴1a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）证明：由（1）知()1x x f x e e=+， 设120x x <<，则()()12121211x x x x f x f x e e e e ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ()()()()12211212121212121110x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e ee++--⎛⎫=-+=--=-< ⎪⎝⎭．．．．．．．10分 ∴()()12f x f x <，∴()f x 在()0,+∞上是增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数单调性的证明.【思路点晴】本题主要考查了函数的性质,涉及到函数的奇偶性,函数单调性的证明,属于中档题. 在(1)中,由()(),f x f x x R -=∈,找特殊值,令1x =,求出a 的值；在(2)中,利用函数的单调性的定义进行证明, 其步骤为:赋值→作差→判定符号→确定单调性. 在判定符号时,通常化成几个因式之积,这样易于判断符号.19．（本小题满分12分）已知函数()2|2|()f x x ax x R =-+∈有最小值． （1）求实数a 的取值范围；（2）设()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()g x f x =，求()g x 的解析式．【答案】（1）[2,2]a ∈-；（2）(2)4,0()0,0(2)4,0a x x g x x a x x -->⎧⎪==⎨⎪-+<⎩．【解析】试题分析：（1）)(x f 整理成分段函数,要使)(x f 有最小值,则需2≥x 时)(x f 为增函数,2<x 时为减函数,可得关于a 的不等式,即可解得；（2）由题意可得)(x g 的解析式,当0>x 时)(x g 为奇函数,可得0)0(=g ,当0>x 时利用奇函数的定义得)(x f 的解析式,此题可解．学科+网试题解析： （1）(2)4,2()(2)4,2a x x f x a x x +-≥⎧=⎨-+<⎩，要使()f x 有最小值，需2020a a +≥⎧⎨-≤⎩，∴22a -≤≤，即当[2,2]a ∈-时，()f x 有最小值．（2）∵()g x 为定义在R 上的奇函数，∴(0)0g =，当0x >时，0x -<， ∴()()(2)4g x g x a x =--=--．∴(2)4,0()0,0(2)4,0a x x g x x a x x -->⎧⎪==⎨⎪-+<⎩．考点：分段函数；函数的奇偶性；函数的最值．20．（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a θθ=， ()2,1b =-． (1)若a b ⊥，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2a b -=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）13；（2.【解析】试题分析：（1）由数量积为0得，（2）利用向量模的计算公式得12cos sin 0θθ-+=，又22cos sin 1θθ+=，从而组成方程组求得35{ 45sin cos θθ==，进一步求得结果． 试题解析：（1）由可知，，所以，所以（2）由()cos 2,sin 1a b θθ-=-+可得，a b -=2==，即12cos sin 0θθ-+=，①又22cos sin 1θθ+=，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭②，由①②可解得， 35{45sin cos θθ==，所以)34sin sin cos 455πθθθ⎛⎫⎫+=+=+=⎪⎪⎝⎭⎭． 考点：向量垂直与数量积的关系，向量模的坐标运算，同角三角函数基本关系式，三角计算． 21．（本题满分12分）已知函数()()sin f x A x B ωϕ=++（0A >，0ω>）的一系列对应值如表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果：①当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()3f x m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围； ②若α，β是锐角三角形的两个内角，试比较()sin f α与()cos f β的大小． 【答案】（1）()π2sin 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）①)1,3m ∈；②()()sin cos f f αβ>.试题解析：（1）设()f x 的最小正周期为T ，则由表格可得11ππ2π2π66T ω⎛⎫=--==⎪⎝⎭，1ω∴= 再根据31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A B =⎧⎨=⎩，故()()2sin 1f x x ϕ=++，又当π6x =-时，1y =-，π2sin 116ϕ⎛⎫∴-++=- ⎪⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ππ2π62k ϕ∴-+=-+（k ∈Z ），即π2π3k ϕ=-+（k ∈Z ）， 取0k =，得π3ϕ=-，因此，()π2sin 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；……………（4分） （2）①由已知()π32sin 313f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π3,333t x ⎡⎤∴=-∈-⎢⎥⎣⎦，由图知，若sin u t =在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则u ⎫∈⎪⎪⎭∴方程()π32sin 31213f x x u m ⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解，则)1,3m ∈+，即实数m 的取值范围是)1,3．………………………（8分）②α 、β是锐角三角形的两个内角，π2αβ∴+>，即ππ022αβ>>->，又sin y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，πsin sin cos 2αββ⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，即sin cos αβ>且sin α，[]cos 0,1β∈，再由πππ232x -≤-≤得π5π66x -≤≤， ()f x ∴在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故在[]0,1上单调递增．因此()()sin cos f f αβ>．…………………………………（12分） 考点：三角函数图象与性质.【方法点晴】主要考查图表分析法，考查根据点的坐标求得三角函数解析式的方法，考查五点作图法作三角函数的图象，考查三角不等式的证明.第一问首先根据表格求得周期，根据最大值和最小值列方程组求得,A B 的值，最后代入一个点点坐标求得初相的值.第二问画出变换后函数的图象，根据图象即可求得m 的取值范围.第三问先求得函数的单调性，利用单调性来证明.22．（本题满分12分）已知函数()()sin ,f x x ωϕ=+其中0ω>， 2πϕ<,（1）若3coscos,sinsin 0,44ππϕϕ-=求ϕ的值；学科￥网 （2）在（1）的条件下，若函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数. 【答案】(1) 2πϕ<;(2) 12m π=.【解析】（1）由3cos cos sinsin 044ππϕϕ-=得cos cos sin sin 044ππϕϕ-= 即cos 04πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭又,24ππϕϕ<∴=。
【优质文档】湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题(五)
不等式 f x 0 的解集是（ ）
A.
, 8 4,0 B.
8, 4 0,
C. 8, 4 0,
D.
8,0
【答案】 C
【解析】∵ g x f x 4 是奇函数，
∴函数 g x f x 4 图象的对称中心为（ 0,0 ），
∴函数 f x 图象的对称中心为 4,0 .
又函数 f x 在 , 4 上是减函数，
定字母 a ， b ， c 的取值范围，再利用函数解析式证明 ab 1 ，最后数形结合写出其取值范围即可 .
10. 已知 sin2
2
2
，则 cos
3
（）
4
1
1
1
2
A.
B. -
C.
D.
6
6
2
3
【答案】 A
【解析】 cos2
1 cos2
4 1 sin2 , 又 sin2 2
4
2
2
3
∴ cos2
故选： A
3 log3 x 的定义域为 0,27
2. 已知 f x 是周期为 4 的偶函数， 当 x 0,2 时， f x x 1，则不等式 xf x 0在区间 1,3 上
的解集为（ ） A. (1 ， 3) B. ( － 1， 1) C. ( － 1，0) ∪(1 ， 3) D. ( －1，0) ∪(0 ， 1) 【答案】 C 【解析】若 x∈ [ ﹣2， 0] ，则﹣ x∈ [0 ，2] ，此时 f （﹣ x） =﹣ x﹣ 1， ∵ f （ x）是偶函数，∴ f （﹣ x） =﹣ x﹣ 1=f （ x），即 f （x） =﹣ x﹣ 1， x∈[ ﹣ 2， 0] ， 若 x∈ [2 ，4] ，则 x﹣ 4∈ [ ﹣ 2， 0] ，
湖南四大名校内部资料答案-长郡中学2019-2020学年度高一第一学期期末考试
长郡高一期末数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
D
B
A
D
C
B
B
A
D
C
C
B
D
D
B
二、填空题
16. 17. 18.
19. 20.
三、解答题
21.【解析】(Ⅰ)根据题意，函数 是奇函数( )，且
则 ，又由
则有 ，且函数，
证明：设
又由 ，则 且 ，
则有
故函数 在在 上为增函数.
22.【解析】(Ⅰ)由 与 互相垂直，可得
所以
又因为 ，所以
因为 ，所以 ，所以
又因为 ，所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，由 ，得 ，即
因为 ，所以
所以
所以
所以
23.【解析】(Ⅰ)
(Ⅱ) ，即
化为 ，解得 .
24.【解析】(Ⅰ)∵
∴函数 的图象向左平移 个单位长度后
得到 的图象
又 为偶函数，则 ， ，
∴ ，∴
∴ ，
(Ⅱ)∵
∴
∵
∴ ，
∵ 在 上是单调函数
∴ ，且
∴
25.【解析】(Ⅰ)
当 时， ，∴
当 时， ，∴
综上： 或 .
(Ⅱ) 有三个零点
等价于 和 有三个不同的交点
当 时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增
∴ ，即
又
∴
当 时， 在 上递减，在 ， 上递增
∴ ，即 ，故