系综理论
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dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
2019/12/25
即得
系综理论
d 0
qi
qi
pi
pi
P.6/55
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
围内，或者说 E E之间。
对宏观系统，表面分子数远小于总 分子数，系统与外界的作用很弱
E 1
E
微弱的相互作用
微观状态的巨大变化
2019/12/25
系综理论
使系统的代表点由满足正则方程的 一条轨道转到另一条轨道运动，这 样的过程不断发生，使系统的微观 状态发生极其复杂的变化。不能确 定每一时刻的微观状态，只能给出 在某一时刻处在各个微观状态的概 率。宏观量是相应微观量在一切可 能的满足给定宏观条件的微观状态 上的平均值。 一、分布函数及微观量的统计平均值
根本问题。
二、平衡状态的孤立系统的系综分 布函数
孤立系统的能量具有确定值，能量 在 E—E E范围内。系统可能的 微观状态是大量的，需要确定系统 在这些微观状态上的概率分布。 等概率原理：
系统的微观状态出现在E—E E
之间相等体积的概率相等，称为等 概率原理，也称为微正则分布。
等概率原理是平衡态统计物理的基 本假设，经典表达式为：
变化。
t t dt
qi , pi qi qidt, pi pidt
q1, , pf ,t q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
在后一处的密度是
q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
d dt
注意：系综是统计物理中假想的工具， 而不是实际的客体，实际的客体是组 成系综的单元——系统。 系综理论中做了两点假设：
2019/12/25
系综理论
①宏观量是相应微观量的时间平均， 而时间平均等价于系统平均；
②平衡孤立系的一切可达微观态 出现的概率相等。
稳定系综：当系统达到宏观平衡 态时，具有的宏观性质不随时间 变化，任何一个宏观量都不是时 间的函数，则分布函数一定不是 时间的函数，即满足平均条件， 相应的系综是稳定系综。
1、力学描述
设体系有K种粒子，第i种粒子的自
由度为
ri
，粒子数为
N
，这系统的
i
自由度为
f Niri
i
确定系统的运动状态即确定
q1, q2 , , q f , p1, p2 , , p f
系统的运动状态随时间而变，遵从 哈密顿正则方程：
.
qi
H pi
,
.
pi
H qi
i 1, 2, , f
2019/12/25
P.11/55
二、平衡状态的孤立系统的系综分 布函数
共2f个变量为直角坐标构成一个2f维 空间。 ①相空间是人为想象的一个2f维超 越空间。相空间的一个代表点代表 了系统的一个微观态，而不代表一 个系统。系统微观态随时间的变化， 表示为代表点的运动轨迹。
②任何系统总可以建立一与其对应 的相空间来描述其运动状态，只有 力学性质完全相同的系统才能在同 一相空间描述其运动状态。
d范围的概率为 q, p,td。
Bt Bq, p q, p,td
上式为微观量B在统计系综上的平 均值，称为系综平均值。
2019/12/25
系综理论
在量子理论中，系统的微观状态称 为量子状态。在给定的宏观条件之 下，系统可能的微观状态是大量的。
用指标s＝1，2，……标志系统的
各个可能的微观状态，用 s t 表
示在时刻t系统处在状态s的概率。
s 称t 为分布函数，满足规一化条件：
s t 1
s
Bs 表示微观量B在量子状态s上的
数值，微观量B在一切可能的微观 状态上的平均值为
Bt s t Bs
s
Bt就是与微观量 Bq, p相应的
根据不同的宏观条件，将稳定系综 分为三种： 微正则系综：由孤立系统组成的， N、E、V不变； 正则系综：由恒温封闭系综组成 的，N、V、T不变，设想与大热 源接触；
巨正则系综：由开放系统组成的，
V、T、 不变 ，设想与热源粒子
源接触。
P.2/55
§9.1相空间 刘维尔定理
一、系统微观运动状态的经典描述
宏观物理量。
P.10/55
在量子理论中，系统的微观状态称 为量子状态。在给定的宏观条件之 下，系统可能的微观状态是大量的。
用指标s＝1，2，……标志系统的
各个可能的微观状态，用 s t 表
示在时刻t系统处在状态s的概率。
s 称t 为分布函数，满足规一化条件：
s t 1
s
Bs 表示微观量B在量子状态s上的
其中H是系统的哈密顿量。对于孤立 系统，哈密顿量就是它的能量。
2019/12/25
2、几何描述
系综理论
相空间或 空间：
q1, q2 , , q f , p1, p2 , , p f
共2f个变量为直角坐标构成一个2f维 空间。
ห้องสมุดไป่ตู้
①相空间是人为想象的一个2f维超 越空间。相空间的一个代表点代表 了系统的一个微观态，而不代表一 个系统。系统微观态随时间的变化， 表示为代表点的运动轨迹。
dt
其中
P.5/55
N是所设想的系统的总数，是不随 时间改变的常量。
刘维尔定理要研究 的时间变化。 现在考虑代表点密度 随时间t的
变化。
t t dt
qi , pi qi qidt, pi pidt
q1, , pf ,t q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
P.4/55
二、刘维尔定理
设想大量结构完全相同的系统，各 自从其初态出发独立地沿着正则方 程所规定的轨道运动。这些系统的 运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布。相空间中的一个体积 元：
d dq1 dq f dp1 dp f
在时刻t，运动状态在 d内的代表 点数：
q1, , qf ; p1, , pf ;t d
③对于孤立系统的能量E不随时间 改变：
H q1, , qs; p1, , ps E const
2019/12/25
系综理论
上式确定相空间中的一个曲面，称 为能量曲面。孤立系统运动状态的 代表点一定位于能量曲面之上。
H
④H在均一为般单物值理函问数题，可中见，相H以空及间中pi代和
qi
Bt 就是与微观量 Bq, p 相应的
宏观物理量。
设想有大量结构完全相同的系统， 处在相同的给定的宏观条件之下。 我们把这大量系统的集合称为统计 系综，简称系综。 在统计系综所包括以的大量系统中， 在时刻t，运动状态在d 范围内的
系统数将与 q, p,t 成正比。
如果在时刻t，从统计系综中任意选 取一个系统，这个系统的状态处在
的数值为Bq, p 。微观量B在一切
可能的微观状态上的平均值为
2019/12/25
系综理论
Bt Bq, p q, p,td
Bt 就是与微观量 Bq, p 相应的
宏观物理量。
设想有大量结构完全相同的系统， 处在相同的给定的宏观条件之下。 我们把这大量系统的集合称为统计 系综，简称系综。 在统计系综所包括的大量系统中， 在时刻t，运动状态在d 范围内的
dt
刘维尔定理：如果随着一个代表点 沿正则方程所确定的轨道在相空间 中运动，其邻域的代表点密度是不 随时间改变的常数。
P.7/55
§9.2 微正则系综
统计物理学研究系统在给定宏观条 件下的宏观性质。 孤立系统的宏观条件： 系统具有确定的粒子数N，体积V和 能量E。 实际上系统通过其表面分子不可避 免地与外界发生作用，使孤立系统 的能量是在E附近的一个狭窄的范
d dq1 dq f dp1 dp f
表示相空间的一个体积元。在时刻t 系统的微观状态处在 d内的概率可 以表为
q, p,td q, p,t 称为分布函数，满足归一
化条件
q, p,t d 1
表示微观状态处在相空间各区域的概 率总和为1。
当微观状态处在 d范围时，微观量B
称为代表点密度——也叫分布函数
意义：在时刻t，系统状态的代表点出
现在相空间中相点 q, p处单位相体积
中的概率。 将上式对整个相空间积分，得
q1, , qf ; p1, , pf ;t d N
2019/12/25
系综理论
N是所设想的系统的总数，是不随 时间改变的常量。
刘维尔定理要研究 的时间变化。 现在考虑代表点密度 随时间t的
②任何系统总可以建立一与其对应 的相空间来描述其运动状态，只有 力学性质完全相同的系统才能在同 一相空间描述其运动状态。
③对于孤立系统的能量E不随时间 改变：
H q1, , qs; p1, , ps E const
P.3/55
2、几何描述
相空间或 空间：
q1, q2 , , q f , p1, p2 , , p f
数值，微观量B在一切可能的微观 状态上的平均值为
Bt s t Bs
s
Bt就是与微观量 Bq, p相应的
宏观物理量。
系综理论
Bt Bq, p q, p,td
上式给出宏观量与微观量的关系， 是在系综理论中求宏观量的基本公
式。确定分布函数 是系综理论的
系统数将与 q, p,t 成正比。
如果在时刻t，从统计系综中任意选 取一个系统，这个系统的状态处在
d范围的概率为 q, p,td。
Bt Bq, p q, p,td
上式为微观量B在统计系综上的平 均值，称为系综平均值。
P.9/55
Bt Bq, p q, p,td
在后一处的密度是
q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
d dt
dt
其中
2019/12/25
系综理论
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
在经典理论中，可能的微观状态在 相空间构成一个连续分布，以
d dq1 dq f dp1 dp f
表示相空间的一个体积元。在时刻t 系统的微观状态处在 d内的概率可 以表为
q, p,td
P.8/55
一、分布函数及微观量的统计平均值
在经典理论中，可能的微观状态在 相空间构成一个连续分布，以
2019/12/25
系综理论
P.1/55
第九章 系综理论
1、最概然分布方法的局限性：
只适用于研究力学性质相同的近独 立粒子组成的系统。不能用来研究 有相互作用的实际系统。
2、平衡态统计物理的普遍理论： 系综理论：
适用研究粒子间有相互作用的系统。 近独立粒子系只是作为一种特例出现。 系综：在一定的宏观条件下，大量性 质和结构完全相同的处于各种运动状 态的各自独立的系统的集合。系综中 的每个系统和被研究的系统具有完全 相同的结构，受到完全相同的宏观约 束，但可能处于不同的微观态。
表点的运动轨迹永不相交。 二、刘维尔定理
设想大量结构完全相同的系统，各 自从其初态出发独立地沿着正则方 程所规定的轨道运动。这些系统的 运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布。相空间中的一个体积 元：
d dq1 dq f dp1 dp f
在时刻t，运动状态在 d内的代表 点数：
q1, , qf ; p1, , pf ;t d
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
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即得
系综理论
d 0
qi
qi
pi
pi
P.6/55
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
围内，或者说 E E之间。
对宏观系统，表面分子数远小于总 分子数，系统与外界的作用很弱
E 1
E
微弱的相互作用
微观状态的巨大变化
2019/12/25
系综理论
使系统的代表点由满足正则方程的 一条轨道转到另一条轨道运动，这 样的过程不断发生，使系统的微观 状态发生极其复杂的变化。不能确 定每一时刻的微观状态，只能给出 在某一时刻处在各个微观状态的概 率。宏观量是相应微观量在一切可 能的满足给定宏观条件的微观状态 上的平均值。 一、分布函数及微观量的统计平均值
根本问题。
二、平衡状态的孤立系统的系综分 布函数
孤立系统的能量具有确定值，能量 在 E—E E范围内。系统可能的 微观状态是大量的，需要确定系统 在这些微观状态上的概率分布。 等概率原理：
系统的微观状态出现在E—E E
之间相等体积的概率相等，称为等 概率原理，也称为微正则分布。
等概率原理是平衡态统计物理的基 本假设，经典表达式为：
变化。
t t dt
qi , pi qi qidt, pi pidt
q1, , pf ,t q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
在后一处的密度是
q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
d dt
注意：系综是统计物理中假想的工具， 而不是实际的客体，实际的客体是组 成系综的单元——系统。 系综理论中做了两点假设：
2019/12/25
系综理论
①宏观量是相应微观量的时间平均， 而时间平均等价于系统平均；
②平衡孤立系的一切可达微观态 出现的概率相等。
稳定系综：当系统达到宏观平衡 态时，具有的宏观性质不随时间 变化，任何一个宏观量都不是时 间的函数，则分布函数一定不是 时间的函数，即满足平均条件， 相应的系综是稳定系综。
1、力学描述
设体系有K种粒子，第i种粒子的自
由度为
ri
，粒子数为
N
，这系统的
i
自由度为
f Niri
i
确定系统的运动状态即确定
q1, q2 , , q f , p1, p2 , , p f
系统的运动状态随时间而变，遵从 哈密顿正则方程：
.
qi
H pi
,
.
pi
H qi
i 1, 2, , f
2019/12/25
P.11/55
二、平衡状态的孤立系统的系综分 布函数
共2f个变量为直角坐标构成一个2f维 空间。 ①相空间是人为想象的一个2f维超 越空间。相空间的一个代表点代表 了系统的一个微观态，而不代表一 个系统。系统微观态随时间的变化， 表示为代表点的运动轨迹。
②任何系统总可以建立一与其对应 的相空间来描述其运动状态，只有 力学性质完全相同的系统才能在同 一相空间描述其运动状态。
d范围的概率为 q, p,td。
Bt Bq, p q, p,td
上式为微观量B在统计系综上的平 均值，称为系综平均值。
2019/12/25
系综理论
在量子理论中，系统的微观状态称 为量子状态。在给定的宏观条件之 下，系统可能的微观状态是大量的。
用指标s＝1，2，……标志系统的
各个可能的微观状态，用 s t 表
示在时刻t系统处在状态s的概率。
s 称t 为分布函数，满足规一化条件：
s t 1
s
Bs 表示微观量B在量子状态s上的
数值，微观量B在一切可能的微观 状态上的平均值为
Bt s t Bs
s
Bt就是与微观量 Bq, p相应的
根据不同的宏观条件，将稳定系综 分为三种： 微正则系综：由孤立系统组成的， N、E、V不变； 正则系综：由恒温封闭系综组成 的，N、V、T不变，设想与大热 源接触；
巨正则系综：由开放系统组成的，
V、T、 不变 ，设想与热源粒子
源接触。
P.2/55
§9.1相空间 刘维尔定理
一、系统微观运动状态的经典描述
宏观物理量。
P.10/55
在量子理论中，系统的微观状态称 为量子状态。在给定的宏观条件之 下，系统可能的微观状态是大量的。
用指标s＝1，2，……标志系统的
各个可能的微观状态，用 s t 表
示在时刻t系统处在状态s的概率。
s 称t 为分布函数，满足规一化条件：
s t 1
s
Bs 表示微观量B在量子状态s上的
其中H是系统的哈密顿量。对于孤立 系统，哈密顿量就是它的能量。
2019/12/25
2、几何描述
系综理论
相空间或 空间：
q1, q2 , , q f , p1, p2 , , p f
共2f个变量为直角坐标构成一个2f维 空间。
ห้องสมุดไป่ตู้
①相空间是人为想象的一个2f维超 越空间。相空间的一个代表点代表 了系统的一个微观态，而不代表一 个系统。系统微观态随时间的变化， 表示为代表点的运动轨迹。
dt
其中
P.5/55
N是所设想的系统的总数，是不随 时间改变的常量。
刘维尔定理要研究 的时间变化。 现在考虑代表点密度 随时间t的
变化。
t t dt
qi , pi qi qidt, pi pidt
q1, , pf ,t q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
P.4/55
二、刘维尔定理
设想大量结构完全相同的系统，各 自从其初态出发独立地沿着正则方 程所规定的轨道运动。这些系统的 运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布。相空间中的一个体积 元：
d dq1 dq f dp1 dp f
在时刻t，运动状态在 d内的代表 点数：
q1, , qf ; p1, , pf ;t d
③对于孤立系统的能量E不随时间 改变：
H q1, , qs; p1, , ps E const
2019/12/25
系综理论
上式确定相空间中的一个曲面，称 为能量曲面。孤立系统运动状态的 代表点一定位于能量曲面之上。
H
④H在均一为般单物值理函问数题，可中见，相H以空及间中pi代和
qi
Bt 就是与微观量 Bq, p 相应的
宏观物理量。
设想有大量结构完全相同的系统， 处在相同的给定的宏观条件之下。 我们把这大量系统的集合称为统计 系综，简称系综。 在统计系综所包括以的大量系统中， 在时刻t，运动状态在d 范围内的
系统数将与 q, p,t 成正比。
如果在时刻t，从统计系综中任意选 取一个系统，这个系统的状态处在
的数值为Bq, p 。微观量B在一切
可能的微观状态上的平均值为
2019/12/25
系综理论
Bt Bq, p q, p,td
Bt 就是与微观量 Bq, p 相应的
宏观物理量。
设想有大量结构完全相同的系统， 处在相同的给定的宏观条件之下。 我们把这大量系统的集合称为统计 系综，简称系综。 在统计系综所包括的大量系统中， 在时刻t，运动状态在d 范围内的
dt
刘维尔定理：如果随着一个代表点 沿正则方程所确定的轨道在相空间 中运动，其邻域的代表点密度是不 随时间改变的常数。
P.7/55
§9.2 微正则系综
统计物理学研究系统在给定宏观条 件下的宏观性质。 孤立系统的宏观条件： 系统具有确定的粒子数N，体积V和 能量E。 实际上系统通过其表面分子不可避 免地与外界发生作用，使孤立系统 的能量是在E附近的一个狭窄的范
d dq1 dq f dp1 dp f
表示相空间的一个体积元。在时刻t 系统的微观状态处在 d内的概率可 以表为
q, p,td q, p,t 称为分布函数，满足归一
化条件
q, p,t d 1
表示微观状态处在相空间各区域的概 率总和为1。
当微观状态处在 d范围时，微观量B
称为代表点密度——也叫分布函数
意义：在时刻t，系统状态的代表点出
现在相空间中相点 q, p处单位相体积
中的概率。 将上式对整个相空间积分，得
q1, , qf ; p1, , pf ;t d N
2019/12/25
系综理论
N是所设想的系统的总数，是不随 时间改变的常量。
刘维尔定理要研究 的时间变化。 现在考虑代表点密度 随时间t的
②任何系统总可以建立一与其对应 的相空间来描述其运动状态，只有 力学性质完全相同的系统才能在同 一相空间描述其运动状态。
③对于孤立系统的能量E不随时间 改变：
H q1, , qs; p1, , ps E const
P.3/55
2、几何描述
相空间或 空间：
q1, q2 , , q f , p1, p2 , , p f
数值，微观量B在一切可能的微观 状态上的平均值为
Bt s t Bs
s
Bt就是与微观量 Bq, p相应的
宏观物理量。
系综理论
Bt Bq, p q, p,td
上式给出宏观量与微观量的关系， 是在系综理论中求宏观量的基本公
式。确定分布函数 是系综理论的
系统数将与 q, p,t 成正比。
如果在时刻t，从统计系综中任意选 取一个系统，这个系统的状态处在
d范围的概率为 q, p,td。
Bt Bq, p q, p,td
上式为微观量B在统计系综上的平 均值，称为系综平均值。
P.9/55
Bt Bq, p q, p,td
在后一处的密度是
q1 q1dt, , p f p f dt,t dt
d dt
dt
其中
2019/12/25
系综理论
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
在经典理论中，可能的微观状态在 相空间构成一个连续分布，以
d dq1 dq f dp1 dp f
表示相空间的一个体积元。在时刻t 系统的微观状态处在 d内的概率可 以表为
q, p,td
P.8/55
一、分布函数及微观量的统计平均值
在经典理论中，可能的微观状态在 相空间构成一个连续分布，以
2019/12/25
系综理论
P.1/55
第九章 系综理论
1、最概然分布方法的局限性：
只适用于研究力学性质相同的近独 立粒子组成的系统。不能用来研究 有相互作用的实际系统。
2、平衡态统计物理的普遍理论： 系综理论：
适用研究粒子间有相互作用的系统。 近独立粒子系只是作为一种特例出现。 系综：在一定的宏观条件下，大量性 质和结构完全相同的处于各种运动状 态的各自独立的系统的集合。系综中 的每个系统和被研究的系统具有完全 相同的结构，受到完全相同的宏观约 束，但可能处于不同的微观态。
表点的运动轨迹永不相交。 二、刘维尔定理
设想大量结构完全相同的系统，各 自从其初态出发独立地沿着正则方 程所规定的轨道运动。这些系统的 运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布。相空间中的一个体积 元：
d dq1 dq f dp1 dp f
在时刻t，运动状态在 d内的代表 点数：
q1, , qf ; p1, , pf ;t d