广东省广州市高三数学二轮复习概率统计专题三理

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高三数学二轮复习 3-4概率与统计

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赢在微点无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
教师备练
某车间 20 名工人年龄数据如下表：
年龄/岁工人数/人
19
1
28
3
29
3
30
5
31
4
32
3
40
1
合计
20
(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差；
解 (1)由题表中的数据易知，这 20 名工人年龄的众数是 30，极差为 40
－19＝21。
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考前顶层设计·数学文·二轮教案
根据题意，该市居民的月平均水费估计为 1×0.04 ＋ 3×0.08 ＋ 5×0.15 ＋ 7×0.20 ＋ 9×0.26 ＋ 11×0.15 ＋ 14×0.06 ＋ 18×0.04＋22×0.02＝8.42(元)。
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考前顶层设计·数学文·二轮教案
(3)已知平价收费标准为 4 元/吨，议价收费标准为 8 元/吨。当 x＝3 时，估计该市居民的月平均水费。(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
解 (3)设居民月用水量为 t 吨，相应的水费为 y 元，则
y＝43t×，40＋<t≤t－3， 3×8，t>3，
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热点一概率
【例 1】 (2017·山东高考)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2， A3 和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3 中选择 2 个国家去旅游。
(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

高中数学必修3高考第二轮复习《概率与统计》PPT

高考第二轮复习
概率与统计（3）
近三年高考形式：
本节内容是高考的必考点，也是我们的得分点.
考试的主要形式是一个填选题加一个解答题，共17分，属于中低档题。
学习目标:
掌握概率的基本性质以及简单的古典概型、几何概型概率计算；
1、古典概型与几何概型 (1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．有如下2个特点
可重复选择 4．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一
个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同
学参加同一个兴趣小组的概率为(
1
1
2
3
A.3
B.2 C.3 D.4
) 【答案】 A
【解析】设三个兴趣小组为 1,2,3，甲、乙两位同学参加 3
个小组的所有可能性有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），
2、古典概型中基本事件的寻找方法：
列举法：当一次试验要涉及的因素比较少时；树状图：当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时；列表法：当一次试验要涉及2个因素并且可能出现的结果数目较多时
3、古典概型的基本问题类型：类型一：有序与无序问题；类型二、编号问题；类型三、重复选择问题
考点一：求几何概型概率
1
【答案】 5
【解析】任意取出两个不同的数所有可能性有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共 10 种，其和为 5 的情况有 2 种．
故其和为 5 的概率 P＝120＝15.
①②
2
3 14
5
①②
3 24
5
①②
4 3

高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计

高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计概率统计是高中数学中的一个重要内容，它涉及到随机事件的概率计算和统计分析。

在高三数学二轮复中，概率统计是一个需要重点复和掌握的知识点。

1. 概率计算概率计算是概率统计的基础，它涉及到事件发生的可能性大小的计算。

在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 根据样本空间和事件的定义计算概率；- 利用频率定义概率；- 使用排列和组合计算概率；- 利用事件的补集计算概率。

2. 随机变量和概率分布随机变量是概率统计中的重要概念，它表示随机事件的结果。

概率分布则是随机变量取各种可能值的概率分布情况。

在复中，我们应该掌握以下几个重点：- 定义随机变量和概率分布；- 计算离散型随机变量的期望和方差；- 计算连续型随机变量的期望和方差。

3. 统计分析统计分析是概率统计的另一个重要内容，它涉及到数据的收集、整理和分析。

在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 数据的收集和整理；- 数据的均值和标准差的计算；- 样本估计和参数估计的方法；- 使用统计推断进行判断和决策。

4. 解题技巧和思路在复的过程中，我们还需掌握一些解题技巧和思路：- 注意理解题目中的要求和条件；- 灵活运用概率计算的各种方法；- 注意统计分析中的常见统计指标的计算；- 理解样本和总体的关系，正确进行估计。

总之，对于高三数学二轮复微专题精选6的概率统计内容，我们应该系统性地复和掌握概率计算、随机变量和概率分布以及统计分析的相关知识。

同时，我们还应该注意解题思路和技巧的应用，提高解题效率。

通过充分理解和练，我们可以更好地应对考试中的概率统计题目，取得好成绩。

广东省广州市高三数学二轮复习概率统计专题三理

广东省广州市2013届高三数学二轮复习概率统计专题三理1．（2011广州二模）设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 A ．73 B ．53C ．5D ．3 （） 2．（2008广州二模）某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法种数共有（） A ．600种B ．480种C ．408种D ．384种3、（2011广州一模）将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为（） A ．96 B ．114 C ．128 D ．136 4．（2009广州二模）现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（） A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种5、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.5 （）6．（2012年高考（江苏））某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取____名学生.7、（2012年高考（湖南））图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图8．（2008广州二模）在一次数学测试（满分为150分）中，某地区10000名考生的分数X服从正态分布2(100,15)N ，据统计，分数在110分以上的考生共2514人，则分数在90分以上的考生共________人．图19、（2010广州二模）已知2nx ⎫+⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56︰3,则该展开式中2x 的系数为 .10．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：11、（佛山2011普通高中高三教学质量检测（一））某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.12、（14分）假设关于某种设备的使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：已知555221190,140.8,112.3,ii i i i i i xy x y ======∑∑∑ 1.4.≈≈（1）用相关系数对,x y 进行相关性检验，判断是否具有相关性如果x 与y 具有相关关系，求出回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ni ix ynx yr -=∑5152215ˆ5i ii ii x y x ybxx ==-⋅=-∑∑ ˆˆay bx =-10解：（1）依题意，随机变量X 的取值为：0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ， 7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴X0 1 2 3P2161 725 7225 216125221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分 11、解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． -------------------------------6分随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． -----------10分 X 0 1 2 3P52041568336855204 ∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ---------------------14分 12. （本小题满分14分）解：（1）由题设条件可得23456 2.2 3.8 5.5 6.57.04, 5.55x y ++++++++====515112.354512.3i ii x y x y =-⋅=-⨯⨯=∑，522215905410ii xx =-=-⨯=∑，52215140.812515.8ii yy =-=-=∑ ………………………………3分122221112.30.9871.48.91015.8158279ni ii n n i i i i x ynx yr x nx y ny ===-∴====≈=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑……5分因为 0.9870.75> 所以与y 之间具有很强的线性相关关系…………7分51522215112.3545ˆ 1.2390545i ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， …………………………9分 ˆˆ5 1.2340.08.ay bx =-=-⨯= ……………………10分所以所求的回归直线方程为：ˆ 1.230.08.yx =+ ……………………11分（2）当10x =时，ˆ 1.23100.0812.38y=⨯+=（万元）即估计用10年时，维修的费用为12.38万元。

高考数学二轮复习7大专题汇总

高考数学二轮复习7 大专题汇总专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：侧重掌握函数的单一性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质往常会综合起来一同观察，而且有时会观察详细函数的这些性质，有时会观察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯串中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了认识，高中阶段更多的是将它与导数进行连接，依据抛物线的张口方向，与x 轴的交点地点，进而议论与定义域在x 轴上的摆放次序，这样能够判断导数的正负，最后达到求出单一区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题经常出此刻恒成立，或存在性问题中，其本质是求函数的最值。

自然对于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的联合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是特别必需的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，观察等差等比数列的通项公式，乞降公式，通项公式和乞降公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前 n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有波及，有时观察三角函数的公式之间的相互转变，从而求单一区间或值域 ; 有时观察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，自然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量能够很好得实现数与形的转变，是一个很重要的知识连接点，它还能够和数学的一大难点分析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出此刻选择，填空题中。

大题中的立体几何主要观察成立空间直角坐标系，经过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

此外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，侧重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应当掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的地点关系应以证明垂直为要点，自然常观察的方法为间接证明。

专题五：分析几何。

高三理科数学二轮复习专题资料之概率与统计

概率与统计随着概率统计在日常生活、社会生活及各学科领域中的广泛应用，为了使高中生能够具备基本的统计与概率的思想、方法和知识,在遇到有关问题时能自觉地运用所学知识和方法，适应社会的发展，概率统计在高考中日益受到重视。

考纲要求：⑴抽样：①会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

⑵用样本估计总体：①会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。

②能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），会计算数据标准差，并作出合理的解释。

⑶变量的相关性：①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。

②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

⑷概率①了解概率的意义，了解两个互斥事件的概率加法公式。

②理解古典概型及其概率计算公式，会计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

③了解几何概型的意义。

③理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，能计算其均值和方差，并能解决一些实际问题。

④理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

⑤了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

⑥了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

⑸统计案例：了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。

近年广东高考概率与统计考点逐年扩散，综合程度提高。

从广东近几年的高考题结合其它新课标地区的高考题来看，概率统计问题主要以考查古典概型及统计知识（如频率分布直方图、样本平均值、方差）为主，理科考查离散型随机变量的分布列、数学期望及二项分布问题，文科考查用列举法求相应概率。

但其它知识与方法也有体现：如回归方程，2×2列连表，独立性检验的知识，但难度并不大。

所以对于这一章的复习，要注意覆盖面，不能随意删减。

题型一：古典概型与几何概型例1．设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为。

高三数学二轮复习专题讲解4 概率统计

高三数学二轮复习专题讲解第4讲概率统计专题综述数学文化不仅是数学知识，还包含数学理念、数学思想，以及数学史和所有解决数学问题的思路和方法，数学文化伴随着人类文明的发展，承载了数学发展漫长的积累过程。

新课标把"体现数学文化价值"作为高中数学课程的十项理念之一,强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容。

高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化，一般以选填题的形式出现。

概率统计中的数学文化题多以具有中国古典色彩的史实如“田忌赛马”“卖油翁”“割圆术”等或者具有中国特色元素的代表图如“太极图”“赵爽弦图”“中数会会标”等为背景设计的，考查古典概型的转化求解。

专题探究探究1：以统计为背景以实际问题为背景，以统计图表为载体考查样本数据的数字特征、概率的求法、分布列以及独立性检验等知识是高考常考考点。

解题关键是仔细阅读题目，准确获取信息，将问题转化为统计概率求解。

(2022广州省东莞市二模)《九章算术衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱，乙持钱，丙持钱，甲、乙，丙三个人一起出关，关税共计钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是A. 甲付的税钱最多B. 乙、丙两人付的税钱超过甲C. 乙应出的税钱约为钱D. 丙付的税钱最少【阅读突破】：：：：，甲付的税钱应占总税钱的，乙付的税钱应占总税钱的，丙付的税钱应占总税钱的，甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知，D正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的，不超过甲，可知B错误；乙应出的税钱为，可知C正确；故选B．(2022黑龙江省哈尔滨一中期末)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少，”其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为A. 石B. 石C. 石D. 石探究2：以概率为背景数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养，解决此类问题的关键是构建合理的概率模型。

二轮复习概率与统计第3讲统计与成对数据的分析

二轮复习概率与统计第3讲统计与成对数据的分析一、单项选择题1．某公司2022年1月至7月空调销售完成情况如图，如7月份销售量是190台，若月份为x，销售量为y，由统计数据(x i，y i)(i＝1,2，…，7)得到散点图，下面四个经验回归方程类型中最适合作为销售量y和月份x的经验回归方程类型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln x2．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.(2022·济南模拟)某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1 200棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600,400,200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为( )A ．34B ．46C ．50D ．704．(2022·运城模拟)从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y 与温度x 的关系可以用模型y ＝21e c xc (其中e 为自然对数的底数)拟合，设z ＝ln y ，其变换后得到一组数据：x 20 23 25 27 30 z22.4334.6由上表可得经验回归方程z ＝0.2x ＋a ，则当x ＝60时，蝗虫的产卵量y 的估计值为( ) A ．e 6 B ．10 C ．6 D ．e 105．(2022·绵阳模拟)某车间从生产的一批产品中随机抽取了1 000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．a ＝0.005B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[50,70)的概率约为0.56．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人(甲班40人，乙班30人)参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为( ) A ．74 B ．128 C ．138 D ．136二、多项选择题7．(2022·益阳调研)据新华社报道，“十三五”以来，中国建成了全球规模最大的信息通信网络，光纤宽带用户占比从2015年底的56%提升至94%，行政村通光纤和4G 的比例均超过了99%；中国移动网络速率在全球139个国家和地区中排名第4位；在5G 网络方面，中国已初步建成全球最大规模的5G 移动网络．如图是某科研机构对我国2023－2029年5G 用户规模和年增长率发展的预测图，则下列结论正确的是( ) 2023－2029年中国5G 用户规模和年增长率发展预测图A ．2023－2029年，我国5G 用户规模逐年增加B ．2023－2028年，我国5G 用户规模后3年的方差小于前3年的方差C ．2023－2026年，我国5G 用户规模的年增长率逐年下降D ．2023－2029年，我国5G 用户规模年增长最多的是2025年8．(2022·菏泽模拟)某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年借阅数据如下表：年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y (万册)4.95.15.55.75.8根据上表，可得y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.24x ＋a ^，下列结论正确的有( ) A.a ^＝4.68B ．借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位数为5.7C ．y 与x 的样本相关系数r >0D ．2023年的借阅量一定不少于6.12万册9．(2022·山东联考)为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：选物理不选物理数学成绩优异 20 7 数学成绩一般1013由以上数据，计算得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是( ) 参考数据：α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.8416.6357.87910.828A.依据小概率值α＝0.05的独立性检验认为是否选择物理与数学成绩有关 B ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为是否选择物理与数学成绩无关 C ．95%的数学成绩优异的同学选择物理D ．若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化 10．(2022·连云港模拟)一组数据x 1，x 2，…，x 10是公差为－1的等差数列，若去掉首末两项x 1，x 10后，则( ) A ．平均数变大 B ．中位数没变 C ．方差变小 D ．极差没变三、填空题11．某工厂为研究某种产品的产量x (吨)与所需某种原材料的质量y (吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x ，y )，如表所示．(残差＝观测值－预测值)x 3 4 5 6 y2.534m根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.7x ＋a ^.据此计算出在样本(4,3)处的残差为－0.15，则表中m 的值为________．12．某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a 即为优秀，如果优秀的人数为14，则a 的估计值是________．四、解答题13．(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本均值分别记为x和y，样本方差分别记为s21和s22.(1)求x，y，s21，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－x≥2s21＋s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．14．(2022·广东大联考)中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y (单位：万台)关于x (年份)的经验回归方程为y ^＝4.7x －9 459.2，且销量y 的方差为s 2y ＝2545，年份x 的方差为s 2x ＝2. (1)求y 与x 的样本相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关程度； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：依据小概率值α＝0.025的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层随机抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为X ，求X 的分布列和均值．参考数据：5×127＝635≈25.参考公式：①经验回归方程：y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .②样本相关系数：r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2，若r >0.9，则可判断y 与x 线性相关程度较强． ③χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .附表：。

【新课标】高三数学二轮精品专题卷_概率与统计

高三数学二轮精品专题卷：概率与统计考试范围：概率与统计一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．要完成下列两项调查:①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1000根火腿肠进行“瘦肉精”检测；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．适合采用的抽样方法依次为（）A ．①用分层抽样，②用简单随机抽样B ．①用系统抽样，②用简单随机抽样C ．①②都用系统抽样D ．①②都用简单随机抽样2．将一个骰子抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现偶数，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件3．要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定,则选取的5枚导弹的编号可能是（）A ．05,10,15,20,25B ．03,13,23,33,43C ．01,02,03,04,05D ．02,04,08,16,324．（理）2011年３月17日上午，日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的染料池进行了4次注水．如果直升飞机有A 、B 、C 、D 四架供选,飞行员有甲、乙、丙、丁四人供选，且一架直升飞机只安排一名飞行员，则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为（） A ．18 B ．36 C ．72 D ．108（文）两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛克”，则“温洛克”与两端距离都大于1m 的概率为（） A ．21 B ．31 C ．41 D ．32 5．（理）道路安全交通法规定,驾驶员血液酒精含量在20～80mg /100ml ,属酒后驾车，血液酒精含量在80mg /100ml 以上时，属醉酒驾车,2011年6月1日7:00至22:30,某地查处酒后驾车和醉酒驾车共50起，如图是对这50人的血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数大约为（）A ．9B ．10C ．11D ．12（文）某农科所研制成功一种产量较高的农作物种子，并对该作物种子在相同条件下发芽与否进行了试验，试验结果如下表，则其发芽的概率大约为（A 6．（理）某堂训练课上，一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为8165,则四次射击中，他命中2次的概率为（） A ．814 B ．818 C ．278 D ．以上都不对（文）2011年4月28日，世界园艺博览会（以下简称世园会）在西安顺利开幕，吸引了海内外的大批游客．游客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为31、41，假定他们两人的行动相互不受影响，则暑假期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为（）A ．21 B ．127 C ．1211 D ．32 7．2011年6月，台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件，令世人震惊．我国某研究所为此开发了一种用来检测塑化剂的新试剂，把500组添加了该试剂的食品与另外500组未添加该试剂的食品作比较，提出假设0H ：“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出()01.0635.62≈≥x P ．对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化剂的作用” q ：随意抽出一组食品，它有99%的可能性添加了塑化剂 r ：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为99% s ：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为1%则下列命题中正确的是（） A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．（﹁p ∧﹁q ）∧（r ∨s ）D ．（p ∨﹁r ）∧（﹁q ∨s ）8．日本福岛核电站爆炸后，工作人员随机测量了甲、乙两个城镇空气中核辐射的含量，获得的数据如茎叶图所示，则对甲、乙两个城镇的空气质量评价正确的是（）A ．甲城镇的空气质量优于乙城镇的空气质量B ．乙城镇的空气质量优于甲城镇的空气质量C ．甲、乙两城镇的空气质量差不多D ．无法比较9．给出以下三幅统计图及四个命题:①从折线统计图能看出世界人口的变化情况 ②2050年非洲人口大约将达到近15亿③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．（理）如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y = x 2图像上方的点构成的区域（阴影部分）．在D 内随机取一点，则该点在E 中的概率为（）（1（文）已知函数()x a x f 3cos π=，a 等于抛掷一颗骰子得到的点数，则()x f y =在[]4,0上有5个以下或6个以上零点的概率是（） A ．31 B ．32 C ．21 D ．65二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上）11．2011年“两会”期间，某大学组织全体师生，以调查表的形式对温总理的政府工作报告进行讨论．为及时分析讨论结果，该大学从所回收的调查表中，采用分层抽样的方法抽取了300份进行分析．若回收的调查表中，来自于退休教职工、在职教职工、学生的份数之比为3:7:40，则所抽取的调查表中来自于退休教职工的有份. 12．（理）在某项测量中，测量结果x （单位:mm ）服从正态分布)2,(2μN 且正态分布的密度曲线如图所示，则x 在[]3,1-内取值的概率为 .（其中:841.0)1(=Φ）（文）小明同学学完统计知识后，随机调查了他所在辖区若干居民的年龄，将调查数据绘制成如图所示的扇形和条形统计图，则b a -= .（60以上含60）[来源:金太阳新课标资源网]13．（理）若()5cos x +ϕ的展开式中3x 的系数为2，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ϕπ223sin .（文）某城市供电局为了了解用电量)(度y 与气温）（C x 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当由表中数据，得测用电量的度数约为 .（1）把容量为100的某组样本数据分为10组，其分组情况及频率如下：[)40,20:0.1；[)60,40:0.25；[)80,60:0.45；[)100,80:0.20.若同一组数据用该组区间的中点（例如:区间[)40,20的中点值为30）表示，则这100个数据的平均值为 .15．把一颗骰子投掷两次，第一次得到的点数记为a ，第二次得到的点数记为b ，以a 、b 为系数得到直线31=+by ax l :，又已知直线22:2=+y x l ，则直线1l 与2l 相交的概率为 . 三、解答题（本大题共6小题；共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）在甲、乙两个箱子中分别装有标号为1、2、3、4的四张卡片，现从甲、乙两个箱子中各取出1张卡片，每张卡片被取出的可能性相等．（1）求取出的两张卡片上标号恰好相同的概率；（2）求取出的两张卡片上的标号至少有一个大于2的概率．17．（本小题满分12分）2011年2月始发生的利比亚内战引起了全球人民的关注，联合国为此多次召开紧急会议讨论应对措施．在某次分组研讨会上，某组有6名代表参加,B A 、两名代表来自亚洲，D C 、两名代表来自北美洲，E 、F 两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言．12题（文）12题（理）（1）代表A 不被选中的概率是多少？（2）（理）记选出的两名代表中来自于北美洲或非洲的人数为X ,求X 的分布列及期望．（文）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？18．（本小题满分12分）一机器可以按各种不同速度转动，其生产的产品有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷产品的多少随机器运转速度而变化，用x 表示转速（单位：转/秒），用y 表示每小时生产的有缺陷产品的个数，现观测得到）（y x ,的4组观测值为（8,5），（12,8），（14,9），（16,11）．（1）画出散点图．（2）你能从散点图中发现零件数与加工时间近似成什么关系吗？如果近似成线性相关关系的话，请求出相应的回归直线方程;（3）若实际生产中所容许的每小时最多有缺陷产品数为10，则机器的速度不得超过多少转/秒？（精确到1）[来源: ]19．（本小题满分12分）（理）某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众，参加社区的义务服务工作．假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为31,21,43,54且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第四轮才被淘率的概率．（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）（文）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示．（1）分别求出a ,b ,x ,y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人? （3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20．（本小题满分13分）为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表，若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10（1（2）是否有99.5％的把握认为喜欢看该节目节目与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜欢看该节目的10位男生中，1A 、2A 、3A 、4A 、5A 还喜欢看新闻，1B 、2B 、3B 还喜欢看动画片，1C 、2C 还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．（参考公式：()()()()d b c a d c b a bcad n K ++++-=22，其中d c b a n +++=）21．（本小题满分14分）某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了一自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高,量出的身高如下（单位:cm ）南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163 北方：183，173，169，163，179，171，157，175，178，166（1）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论．（2）设抽测的10名南方大学生的平均身高为x ,将10名同学的身高依次输入按程序框图进行运算,问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义．（3）（理）若将样本频率视为总体的概率,现从来自南方的大学生中随机抽取3名同学，记其中身高不低于平均身高的同学的人数为X ,求X 的分布列及数学期望EX （均值）．（文）为进一步调查身高与生活习惯的关系，现从来自南方这10名大学生中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率．2012届专题卷数学专题八答案与解析1．【思路点拨】简单随机抽样适用于总体容量较小的情形;总体容量较大且各个体间没有明显差异时选用系统抽样;当组成总体的各部分存在明显差异时，则应选用分层抽样．【答案】B 【解析】①中总体容量较大，且火腿肠之间没有明显差异，故适合采用系统抽样;②中总体容量偏小，故适合采用简单随机抽样． 2．【思路点拨】可从集合角度进行分析:若A 与B 是互斥事件，则φ=⋂B A ,若A 与B 是对立事件，则,Ω=⋃=⋂B A B A ,φ即对立事件是特殊的互斥事件．【答案】D 【解析】由题意知，=B A {出现点数2}，所以事件A 、B 不互斥也不对立；,,Ω=∅=C B C B 故事件B ,C 是对立事件，选D ． 3．【思路点拨】系统抽样的特点：总体平均分段、选定起始号、等间距、等可能抽样．【答案】B 【解析】采用系统抽样，可先将50个编号分成5组，在第一组随机地抽取一号码，比如抽到3号，则其它各组就依次选取13，23，33，43．四个选择答案中，只有B 属于这种抽取方法． 4．（理）【思路点拔】本题为排列组合的综合题，一般采用“先选后排”的解题策略求解．【答案】C 【解析】选派的所有情形有72222424==A C C N ．（文）【思路点拔】几何概型的计算公式为：的长度（面积或体积）的长度（面积或体积）G G A P 1)(=．【答案】B 【解析】如图设线段AB ＝3，C 、D 是线段A B 的两个三等分点，则当“温洛克”挂在线段CD 上的时候，“温洛克”与两端A 、B 的距离都大于1．所以“温洛克”与两端距离都大于1m 的概率为31==的长度的长度AB CD P ．5．（理）【思路点拔】利用频率分布直方图中各组频率之和为1这一性质求解．【答案】Ｃ【解析】由图可知数据落在20~80间的累积频率为0.1+0.2+0.2+0.04+0.12+0.12=0.78,故数据落在80～100间频率为1-0.78=0.22,故醉酒驾车人数为50×0.22=11（人）．（文）【思路点拔】求出种子发芽的各频率值，发现频率的稳定值,即为概率值．【答案】D 【解析】我们可以用频率的近似值表示随机事件发生的概率，根据表格计算不同情况下的菜籽发芽的频率分别是1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.903，0.905，由上面的计算结果可知，菜籽发芽的频率接近于0.9,且在它附近摆动，故此可知菜籽在已知条件下发芽的概率大约为0.9． 6．（理）【思路点拔】（1）在n 次独立重复试验中，某事件恰好发生k 次的概率为()()()n k p p C k P k n kk n n ,,2,1,01 =-=-,其中p 为该事件在一次试验中发生的概率．（2）本题解题思路为：先设他命中一次的概率为p ,并由已知构造方程求得p ,即可由概率公式得所求．【答案】C 【解析】四次射击可看作4次独立重复试验．设一次射击中，他命中的概率为p ,则他至少命中一次的概率为()8165114=--p ,解得31=p ．∴他命中2次的概率为()278812431131222244==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P ．（文）【思路点拔】由于甲、乙两人的行动相互不受影响，故他们去西安看世园会为相互独立事件,于是联想到调用概率的乘法公式求解．【答案】A 【解析】分别记甲、乙去西安旅游为事件A 、B ,则()31=A P ,()41=B P ,由题设可知A 、B 相互独立,故所求的概率()()()21411311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅=B P A P B A P P . 7．【思路分析】本题中：提出假设0H ：“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出()01.0635.62≈≥x P ，因此，在一定程度上说明假设不合理,我们就以99%的把握拒绝假设，故易知p ,r 为真命题，再由真值表即可获解．【答案】D 【解析】由题设可知命题p ,r 为真命题，q ,s 为假命题,依据复合命题的真值表可知D 为真命题． 8．【思路点拔】先利用茎叶图得到两组数据，并求出其平均值和方差，再利用方差进行比较：方差越小，波动越小，空气质量越高．【答案】B 【答案】17010182179179171170168168163162158=+++++++++=x .甲城镇核辐射的样本方差为：[()()()()+-+-+-+-2222170168170163170162170158101()+-2170168()+-2170170()+-2170171()2170179-()]571701822=-+， 1.17110181179178176173170168165162159=+++++++++=x ，乙城镇核辐射的样本方差为101[()21.171159-()21.171162-+()21.171165-+()21.171168-+()21.171170-+()21.171173-+()21.171176-+()21.171178-+()21.171179-+()21.171181-+29.51=,由此判断乙城镇的空气质量较好．9．【思路点拔】利用折线图，扇形统计图，条形统计图的特征，解决问题．【答案】B 【解析】①显然正确;从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到近18亿，②错;从扇形统计图中能够明显的得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．因此正确的命题有①③． 10．（理）【思路点拔】利用定积分求面积时要特别注意函数的选择，对于几何概型则应特别注意基本事件空间和时间A 的几何度量（面积、体积、长度）的计算．【答案】C 【解析】由定积分的几何意义可得阴影部分面积为33232162-442322=-=⨯=⎰x dx x S 阴，又由几何概型可得点在E 中的概率为3216332===正阴μμP ．（文）【答案】D 【解析】抛掷一颗骰子共有6种情况．当a =1,2,3,4,5,6时,利用函数()x f 的图像易知，()x f y =在[]4,0上的零点分别为1,2,4,5,7,8个．故所求概率为656263=+=P ． 11．【思路点拔】确定各层应抽取的个体数是实施分层抽样的最关键步骤，而确定办法主要有二:①利用抽样比k 来确定,当已知各层的个体数时，用此法计算较为简便;②利用结论“样本中各层抽取的个体数之比=总体中各层的个体数之比”来确定,当总体（或样本）中各层个体数以比的形式给出时，一般考虑用此法速解．【答案】18【解析】由题设知：来自于退休教职工、在职教职工、学生的份数之比为3:7:40，故样本中相应的份数之比仍为3:7:40,设所抽取的调查表中来自退休教职工份数为m ，则1840733300=⇒++=m m ．（1）（理）【思路点拔】由正态曲线得到μ＝１，再利用公式⎪⎭⎫⎝⎛-=σμφx Fx 计算概率．【答案】0.682【解析】由图可知,2σ=，所以()()()()682.01121121121331=-Φ=-Φ-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤-ξP ．（文）【思路点拔】读取统计图解答问题的关键是充分挖掘图中所包含的信息.在条形统计图中，每个直条的高度表示相应样本值出现的次数（即频数）或百分比；扇形统计图中，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体百分比的大小.【答案】8%【解析】设小明共调查了x 名居民的年龄，由230%46=⋅x ，得50=x ；于是得%20%100500100=⨯=a ；b=12%22%)46%(20%1=++-.故a-b =8%.13．（理）【思路点拔】（1）涉及二项展开式中的特定项（如常数项、有理项等）、二项式系数、系数的问题一般用通项法求解;（2）由诱导公式知ϕϕπ2cos 223sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-．（3）二倍角的余弦公式：ϕϕϕ22sin 211cos 22cos -=-=．【答案】53【解析】由二项式定理得，3x 的系数为2cos 235=ϕC 得51cos 2=ϕ故53cos 212cos 223sin 2=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-ϕϕϕπ.（文）【思路点拨】先利用回归直线方程过（y x ,），求出a ，然后再求解. 【答案】68【解析】因为1813101104x ++-==，40464383424=+++=y ，又因为回归直线方程过（y x ,），所以402060a a =-+⇒=，把04-代入回归直线方程，可得用电量的都市约为68. 14．【思路点拔】由频率求出频数，便能求得这100个数据的平均值．【答案】65【解析】由题设可知各组及其频数分别为:[)40,20:10;[)60,40:25;[)80,60:45;[)100,80:20．故这100个数据的期望值（平均值）为[]6520904570255010301001=⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 15．【思路点拔】由两直线的交点在第一象限，构造出关于a ,b 不等式组，再利用枚举法确定基本事件数，便易得所求．【答案】3613【解析】由题意知，{}6,5,4,3,2,1,∈b a ．因为直线1l 与2l 的交点在第一象限，所以由他们的图象可知：3132b a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩或3132b a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得3,1b a >⎧⎨≤⎩或32b a <⎧⎨≥⎩,所以基本事件()b a ,可以是（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（5,1）,（5,2）,6,1）,（6,2）共13个，而基本事件有3666=⨯种，所以随机事件“直线1l 与2l 的交点在第一象限”的概率为3613=P 16．【思路点拨】根据树脂图列出所有结果或者直接写出所有结果，然后求解.【解析】利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果（如下图），可以看出，试验的所有可能结果数为16种且每种结果是等可能的．（3分）（1）所取两张卡片上的标号为相同整数的结果有1－1，2－2，3－3，4－4，共4种．故根据古典概型公式，所求概率41164==P ．答：取出的两张卡片的标号为相同整数的概率为41．（6分）（2）记事件“取出的两张卡片的标号至少有一个大于2”为A .则A 的对立事件是A =“取出的两张卡片上的标号都不于大2”（8分）所取出的两张卡片上的标号都不大于3的结果有1－1，1－2，2－1，2－2，共4种.43)(1)(41164)(=-=∴==A P A P A P ．答：取出的两张卡片上的标号至少有一个大于3的概率为43．（12分） 17．（理）【思路点拔】（1）利用对立事件的概率公式求解;（2）易知X 的可能取值为0,1,2,分别求出对应的概率值，即得分布列，再进一步求期望．[来源:金太阳新课标资源网] 【解析】（1）代表A 被选中的概率为151125=C （2分），所以代表A 不被选中的概率是15141511=-．（４分）（2）X 的可能取值为0,1,2．（5分）()1510262===C C X P ，()1581261412===C C C X P ，()15622624===C C X P （8分）∴X 的分布列为（见右图表）（10分）1864()0121515153E X =⨯+⨯+⨯=．（12分）（文）【思路点拔】先利用枚举法列举出6名代表中随机选出2名的结果总数，再从中找中各事件所包含的结果数，然后代入古典概型、对立事件以及互斥事件的概率公式进行求解．【解析】（1）从这6名代表中随机选出2名，共有C 种不同的选法，分别为（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ）,（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）．（3分）．其中代表A 被选中的选法有（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ）共5种，则代表A 被选中的概率为31155=（6分）所以代表A 不被选中的概率为321551=-=P ．（2）随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果有9种，分别是),(C A ，),(D A ，),(C B ,),(D B ，),(E C ，),(F C ，),(E D ，),(F D ，),(F E ．“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为53159=（12分）． 18．【思路点拔】先画出散点图，由散点图可知各散点分布成一条直线附近，故零件数与加工时间近似成线性相关关系，再求出回归直线方程，并利用此方程求解．【解析】（1）如图（4分）（2）设回归直线方程为a bx y+=ˆ，则5.1241614128=+++=x ，25.8411985=+++=y ，（3）43811169148125844332211=⨯+⨯+⨯+⨯=+++y x y x y x y x ；6601614128222224232221=+++=+++x x x x ，所以，70515.12466025.85.1244382=⨯-⨯⨯-=b ，765.12705125.8-=⨯-=-=x b y a ；故：y 与x 之间的回归直线方程为767051ˆ-=x y （8分）（3）由10767051≤-=x y ，得1451706≈≤x ．即机器的速度不得超过14转/秒．（12分） 19．（理）【思路点拔】对于（1）（2），均可用相互独立事件的概率公式求出相应的概率,从而得出X 的分布列，再利用期望公式求X 期望值．【解析】（1）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为()4,3,2,1=i A i ，则()541=A P ，()432=A P ，()213=A P ，()314=A P ．（2分）∴该选手进入第四轮才被淘率的概率()()()()()43214321A P A P A P A P A A A A P P ==5132214354=⨯⨯⨯=．（5分）（2）X 的可能值为4321、、、，()()5111===A P X P ，()()()()51415422121=⨯====A P A P A A P X P ,()()()()()1032143543321321=⨯⨯====A P A P A P A A A P X P 103214354=⨯⨯=,12341234123444313(4)()()()()()()154210P X P A A A A P A A A A P A P A P A P A A ==+=+=⨯⨯⨯=．（9分）X ∴的分布列为（见右侧表格）（11分） ()102710341033512511=⨯+⨯+⨯+⨯=∴X E ．（12分）（文）【思路点拔】对于（1），可结合频率分布直方图的性质求解;对于（2），则可利用分层抽样比求解;问题（3）为古典概型问题，可用枚举法求解．【解析】（1）由频率表中第1组数据可知,第1组总人数为105.05=,再结合频率分布直方图可知1001010.010=⨯=n （1分）∴a =100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,（2分）9.03.010027=⨯=x ,2.015.01003=⨯=y （4分）（2）第2,3,4组中回答正确的共有54人．（5分）∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为:第2组:265418=⨯人,第3组:365427=⨯人,第4组:16549=⨯人．（8分）（3）设第2组的2人为1A、2A,第3组的3人为1B、2B、2B,第4组的1人为1C,则从6人中抽2人所有可能的结果有：()21,AA，()11,B A，()21,B A，()31,B A，()11,CA，()12,BA，()22,BA，()32,BA，()12,CA，()21,BB，()31,BB，()11,CB，()32,BB，()12,CB，()13,CB，共15个基本事件,（10分）其中第2组至少有1人被抽中的有()21,AA，()11,BA，()21,BA，()31,BA，()11,CA，()12,BA，()22,BA，()32,BA，()12,CA这9个基本事件．（11分）∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为53159=（12分）[来源:金太阳新课标资源网]20．【思路点拔】在独立性检验中，常利用2K来确定“两个分类变量是否有关联”:当706.22≤K时，可以认为变量A、B是没有关联的；当2K＞2.706时，有90%的把握判定变量A、B有关联；当2K＞3.841时，有95%的把握判定变量A、B有关联；当2K＞6.635时，有99%的把握判定变量A、B有关联．故只需计算出2K的值，利用上述结论即可解决第（2）小题．第（3）小题可用组合知识及枚举法求解．[来源:金太阳新课标资源网]【解析】（1）由分层抽样知识知，喜欢看该节目的同学有3010650=⨯,故不喜欢看该节目的同学有50－30=20人,（2分）于是可将列联表补充如右图：（4分）（2）()333.82525203051015205022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K＞7.879（7分）∴有99.5%的把握认为喜爱该节目与性别有关．（8分）（3）（理）从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名,其一切可能的结果组成的基本事件共有30121315==CCCN个,（10分）用M表示“11CB、不全被选中”这一事件,则其对立事件M表示“11CB、全被选中”这一事件,由于M由()111,,CBA，()112,,CBA，()113,,CBA，()114,,CBA，()115,,CBA,5个基本事件组成,所以()61305==MP,（12分）由对立事件的概率公式得()()656111=-=-=MPMP．（13分）（文）从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：()111,,CBA，()211,,CBA，()121,,CBA，()221,,CBA，()131,,CBA，()231,,CBA，()112,,CBA，()212,,CBA，()122,,CBA，()222,,CBA，()132,,CBA，()232,,CBA，()113,,CBA，()213,,CBA，()123,,CBA，()233,,CBA，()223,,CBA，()133,,CBA，()114,,CBA，()214,,CBA，()124,,CBA，()224,,CBA，()134,,CBA，()234,,CBA，()115,,CBA，()215,,CBA，()125,,CBA，()225,,CBA，()135,,CBA，()235,,CBA,基本事件的总数为30，（10分）用M表示“11CB、不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“11CB、全被选中”这一事件，由于由()111,,CBA，()112,,CBA，()113,,CBA，()114,,CBA，()115,,CBA，5个基本事件组成，所以()61305==MP，（12分）由对立事件的概率公式得()()656111=-=-=MPMP．（13分）21．【思路点拔】（1）可利用给出数据直接画出茎叶图,再根据茎叶图从样本的数字特征等角度来得出统计结论;（2）认真读懂框图，不难看出该框图的功能是计算一组数据的方差;（3）（文）利用枚举法求解;（3）（理）易知X服从二项分布，故调用二项分布的概率及期望公式简解．【解析】（1）茎叶图如右图（2分）统计结论：（给出下述四个供参考，考生只要答对其中两个即给满分，给出其他合理的答案也可给分）①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高．②南方大学生身高比北方大学生的身高更整齐;③南方大学生的身高的中位数为169.5cm，北方大学生的身高的中位数是172cm．④南方11 大学生的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的高度分布较为分散．（4分）（2）169=x ，6.42=S （6分），S 表示10位南方大学生身高的方差，是描述身高离散程度的量．S 值越小，表示身高越整齐，S 值越大，表示身高参差不齐．（8分）（1）（理）记“抽取一位同学恰好抽中身高不低于平均身高的同学”为事件A ,由（2）知来自南方的大学生平均身高为169cm ,故()53106==A P ．（9分），随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,且3(3,)5X B ．所以()()3,2,1,0525333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P k k k , 所以变量X 的分布列为（见右表格）5912527312554212536112580=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX （或59533=⨯==np EX ）（14分）（文）记“身高为176cm 的同学被抽中”为事件A ,从这10名南方大学生中抽出两名身高不低于170cm 的同学有（170,171）,（170,175）,（170,176）,（170,180）,（171,175）,（171,176）,（171,180）,（175,176）,（175,180）,（176,180），共10个基本事件,而事件A 含有4个基本事件，故()52104==A P ．（14分）。

广东省广州市高考数学二轮专题复习统计与概率检测试题

统计与概率1 ．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品,三种产品数量之比依次为4:3:2,现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n 的样本,样本中A 型号的产品有16件,那么此样本容量=n __________. 【答案】 72 由题意可知22()162349nn ⨯==++，解得72n =。

2 ．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取_________名学生. 【答案】15解:高二所占的人数比为3333410=++,所以应从高二年级抽取3501510⨯=人.3. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为（结果用最简分数表示）. 【答案】53从袋中任意取两个球，共有2510C =种。

若编号为奇数，则有11326C C =种，所以编号的和是奇数的概率为63105=。

4.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是．【答案】140每个岗位至少有一名志愿者，则有2454C P 种，如甲乙两人同时参加岗位A 服务，则有33P 种，所以甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是401442533=P C P 。

5.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ▲ ．【答案】20设样本中松树苗的数量为n ，则有400015030000n =，解得20n =。

6.现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是 ▲ ．【答案】25等比数列的通项公式为111(2)n n n a a q --==-，由1(2)8n n a -=->，所以1n -为偶数，即n 为奇数，所以11(2)28n n ---=>，解得13n ->，即4n >，所以5,7,9,11,13,15,17,19n =共有8个，所以从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是82205=。

专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0，由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第二讲三角恒等变换与解三角形

[解析] 由题意S △ABC ＝12ab sin C ＝a2＋b2－c24.即sin C ＝a2＋b2－c22ab .由余弦定理可知sin C ＝cos C .即tan C ＝1.又C ∈(0.π).所以C ＝π4.3．(20xx·全国Ⅰ卷.11)已知角α的顶点为坐标原点.始边与x 轴的非负半轴重合.终边上有两点A ()1，a .B ()2，b .且cos2α＝23.则||a －b ＝( B )A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos2α＝2cos 2α－1＝23可得cos 2α＝56＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.化简可得tan α＝±55；当tan α＝55时.可得a 1＝55.b 2＝55.即a ＝55.b ＝255.此时|a －b |＝55；当tan α＝－55时.仍有此结果.故|a －b |＝55. 4．(20xx·天津卷.6)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度.所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 [解析] 选A ．因为将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度.得到函数y ＝sin2x 的图象．用五点法作出草图.如图：从图中可以看出选项A 正确.其他都不正确．⎝ ⎛4－α＝5.sin22＋＝4.＋c＝.则△7．(20xx·淮北二模)在△ABC 中.角A .B .C 的对边分别为a .b .c .若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A .则C 等于π6.[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 所以b 2＋c 2－2bc cos A ＝3b 2＋3c 2－23bc sin A .3sin A －cos A ＝b2＋c2bc .2sin(A －π6)＝b2＋c2bc ≥2.因此b ＝c .A －π6＝π2⇒A ＝2π3.所以C ＝π－2π32＝π6. 8．(20xx·长沙三模)在锐角△ABC 中.D 为BC 的中点.满足∠BAD ＋∠C ＝90°.则角B .C 的大小关系为B ＝C .(填“B <C ”“B ＝C ”或“B >C ”)[解析] 设∠BAD ＝α.∠CAD ＝β.因为∠BAD ＋∠C ＝90°.所以α＝90°－C .β＝90°－B . 因为D 为BC 的中点. 所以S △ABD ＝S △ACD . 所以12c ·AD sin α＝12b ·AD sin β.所以c sin α＝b sin β.所以c cos C ＝b cos B . 由正弦定理得.sin C cos C ＝sin B cos B .即sin2C ＝sin2B .所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝π. 因为△ABC 为锐角三角形.所以B ＝C ．9．为了竖起一块广告牌.要制造三角形支架.如图.要求∠ACB ＝60°.BC 的长度大于1米.且AC 比AB 长0.5米.为了稳定广告牌.要求AC 越短越好.则AC 最短为2＋3.[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米. AC ＝t (t >0)米.依题设AB ＝AC －0.5 ＝(t －0.5)米.在△ABC 中.由余弦定理得： AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°.所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213. cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 所以sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝7226.B 组1．(20xx·福州三模)已知a .b .c 分别是△ABC 的内角A .B .C 所对的边.点M 为△ABC 的重心．若a MA →＋b MB →＋33c MC →＝0.则C ＝( D )A ．π4B ．π2 C ．5π6D ．2π3[解析] ∵M 为△ABC 的重心.则MA →＋MB →＋MC →＝0. ∴MA →＝－MB →－MC →. ∵a MA →＋b MB →＋33c ·MC →＝0.∴a ·(－MB →－MC →)＋b MB →＋33c ·MC →＝0.即(b －a )·MB →＋(33c －a )·MC →＝0.∵MB →与MC →不共线. ∴b －a ＝0.32c －a ＝0.得a b33c ＝111.令a ＝1.b ＝1.c ＝3.则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12.∴C ＝2π3.故选D ．2．(20xx·××市一模)若sin(π6－α)＝13.则cos(2π3＋2α)＝( A )。

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第二讲三角恒等变换与解三角形

高考考点考点解读[解析] 由题意S △ABC ＝12ab sin C ＝a2＋b2－c24，即sin C ＝a2＋b2－c22ab ，由余弦定理可知sin C ＝cos C ，即tan C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.3．(20xx·全国Ⅰ卷，11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A ()1，a ，B()2，b ，且cos2α＝23，则||a －b ＝( B ) A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos2α＝2cos 2α－1＝23可得cos 2α＝56＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1，化简可得tan α＝±55；当tan α＝55时，可得a 1＝55，b 2＝55，即a ＝55，b ＝255，此时|a －b |＝55；当tan α＝－55时，仍有此结果，故|a －b |＝55. 4．(20xx·天津卷，6)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 [解析] 选A ．因为将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到函数y＝sin2x 的图象．用五点法作出草图，如图：从图中可以看出选项A 正确，其他都不正确．⎝ ⎛4－α＝5，则sin22 .＝4＋2c＝R，则△9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为2＋3.[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米， AC ＝t (t >0)米，依题设AB ＝AC －0.5 ＝(t －0.5)米，在△ABC 中，由余弦定理得： AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得： t ＝x2－0.25x －1(x >1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2，因为x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3，当且仅当x ＝1＋32时取等号，此时取最小值2＋3.10．(20xx·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sinA ＝AB sin ∠ADB. 由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.∴a ·(－MB →－MC →)＋b MB →＋33c ·MC →＝0.即(b －a )·MB →＋(33c －a )·MC →＝0，∵MB →与MC →不共线， ∴b －a ＝0，32c －a ＝0. 得a b33c ＝111，令a ＝1，b ＝1，c ＝3，则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12，∴C ＝2π3，故选D ．2．(20xx·××市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( A ) A ．－79B ．79C ．－29D ．29[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29)＝－79.3．(20xx·威海二模)已知等腰△ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上的一点且AD ＝BD ，则sin ∠ADB 的值为( C )A ．36B ．23C ．223D ．63[解析] 如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB ，。

广东省高考数学第二轮复习专题七概率与统计第3讲随机变量及其分布列理

真题试做1．(2012·上海高考，理17)设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则( )．A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．D ξ1与Dξ2的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关 2．(2012·课标全国高考，理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．3．(2012·山东高考，理19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .4．(2012·陕西高考，理20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时办理业务所需的时间(分) 1 2 3 4 5频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．考向分析本讲是概率统计的重点，主要考查三方面的内容：①相互独立事件及其概率，题型有选择、填空，有时也出现在解答题中与其他知识交会命题；②二项分布及其应用，准确把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键，一般以中档题为主；③随机变量的分布列、期望和方差，以考生比较熟悉的实际应用题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件及独立事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用，其中有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中档．热点例析热点一相互独立事件及其概率【例1】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．规律方法 (1)求复杂事件的概率的一般步骤：①列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；②理清各事件之间的关系，列出关系式．即把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小事件再分为n 个相互独立事件的乘积．③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．(2)直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．变式训练1 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．热点二二项分布及其应用【例2】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保险费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p ；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保险费(单位：元)．规律方法事件服从二项分布的条件是：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．变式训练2 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．热点三离散型随机变量的分布列、均值与方差【例3】(2012·天津高考，理16)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．规律方法求离散型随机变量的分布列，关键是计算各个概率值，一方面要弄清楚相应的概型(古典概型、相互独立事件的概率、独立重复试验等)，以便套用相关的计算公式计算；另一方面要注意运用分布列的性质检验所求概率值是否正确．变式训练3 (2012·山东青岛模拟，理19)甲居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图(例如，A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为110，路段CD 发生堵车事件的概率为115，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进)．(1)请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及E (ξ)．思想渗透转化与化归思想——期望与概率的实际应用解题中要善于透过问题的实际背景，发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【典型例题】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假设甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)且X 1的数学期望E (X 1)＝(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性.解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2，又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2. (2)X 2的概率分布列如下：所以E (X 2) 4.8，即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其“性价比”为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其“性价比”为4.84＝1.2.所以乙厂的产品更具可购买性．1．设随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，若P (ξ＞m )＝a ，则P (ξ＞6－m )等于( )． A ．a B ．1－2a C ．2a D ．1－a2．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )．A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以Z 表示取出球的最大号码，令a ＝P (Z ＝6)，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2ax 的单调递增区间是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)4．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )．A.16625B.96625C.624625D.46255．(2012·浙江五校联考，理16)甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜)．若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为23和13，记需要比赛的场次为ξ，则E (ξ)＝__________.6．(2012·广东东莞模拟，理17)某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P 1；(2)求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E (X )．参考答案命题调研·明晰考向真题试做 1．A 2.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P ＝⎝⎛ 12×12＋12×12＋12×⎭⎪⎫12×12＝38.3．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝136， P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23 ＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12.4．解：设Y Y 的分布列如下：(1)A A 对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为E(X)方法二：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为E(X)精要例析·聚焦热点热点例析【例1】解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B＝A0·A＋A1·A，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(B)＝P(A0·A＋A1·A)＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2，P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.【变式训练1】解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B 2A 3)＝P (A1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.【例2】解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B (104，p )．(1)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0，P (A )＝1－P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )104，又P (A )＝1－0.999104，故p ＝0.001.(2)该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10 000ξ＋50 000.盈利η＝10 000a －(10 000ξ＋50 000)，盈利的期望为E (η)＝10 000a －10 000E (ξ)－50 000，由ξ～B (104,10－3)知，E (ξ)＝10 000×10－3，∴E (η)＝104a －104E (ξ)－5×104＝104a －104×104×10－3－5×104.∴E (η)≥0⇔104a －104×10－5×104≥0 ⇔a －10－5≥0⇔a ≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保险费为15元．【变式训练2】解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝25C ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝40243.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6，P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427； P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ【例3】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C 4i ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝24C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝34C ⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋44C ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝81.【变式训练3】解：(1)记路段AC 发生堵车事件为AC ，各路段发生堵车事件的记法与此类同．因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A →C →D →B 中遇到堵车的概率为P 1＝1－P (AC ·CD ·DB )＝1－P (AC )P (CD )P (DB )＝1－[1－P (AC )][1－P (CD )][1－P (DB )]＝1－910×1415×56＝310.同理：路线A →C →F →B 中遇到堵车的概率为P 2＝1－P (AC ·CF ·FB )＝239800⎝⎛⎭⎪⎫小于310.路线A →E →F →B 中遇到堵车的概率为P 3＝1－P (AE ·EF ·FB )＝91300⎝⎛⎭⎪⎫大于310.显然由A 到B 只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A →C →F →B ，可使得途中发生堵车事件的概率最小． (2)路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (AC ·CF ·FB )＝561800，P (ξ＝1)＝P (AC ·CF ·FB )＋P (AC ·CF ·FB )＋P (AC ·CF ·FB )＝110×1720×1112＋910×320×1112＋910×1720×112＝6372 400， P (ξ＝2)＝P (AC ·CF ·FB )＋P (AC ·CF ·FB )＋P (AC ·CF ·FB )＝110×320×1112＋110×1720×112＋910×320×112＝772 400， P (ξ＝3)＝P (AC ·CF ·FB )＝110×320×112＝1800.所以ξ∴E (ξ)＝0×561800＋1×2 400＋2×2 400＋3×800＝3.创新模拟·预测演练1．D 解析：正态分布曲线关于x ＝μ对称，即关于x ＝3对称，m 与6－m 关于x ＝3对称，∴P (ξ＜6－m )＝P (ξ＞m )＝a ，则P (ξ＞6－m )＝1－a . 2．D3．A 解析：P (Z ＝6)＝121536C C 1C 2=，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递增． 4．B 解析：若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为266C＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是3342C 5⎛⎫ ⎪⎝⎭·35＝96625.5.10727解析：依题意ξ的可能取值分别为3,4,5， P (ξ＝3)＝23×23×23＋13×13×13＝927，P (ξ＝4)＝23C ⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＋23C ×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝1027，P (ξ＝5)＝1－P (ξ＝3)－P ()ξ＝4＝827.E (ξ)＝3×P (ξ＝3)＋4×P (ξ＝4)＋5×P (ξ＝5)＝10727. 6．解：(1)由题意得(1－P 1)·⎝⎛⎭⎪⎫P 1＋18＝932， ∴P 1＝14或58.∵P 1＞12，∴P 1＝58.(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝932， P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－58⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×78＝21256， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－58⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－78×1＝3256，所以X∴E (X )＝1×58＋2×32＋3×256＋4×256＝256.。

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