总体均数的估计

t界值

已将各种自由度对应的t分布曲线下的尾部 面积（概率）的百分界值编制成t界值表。 由于 t 分布是以 0 为中心的对称分布，故表 中只列出正值，所以查表时，不管 t 值正 负只用绝对值。 表右上角插图中阴影部分，表示tα,ν以外尾 部面积占总面积的百分数，即概率P。


t界值

随着自由度 的增大， t 界值逐渐减小，当自 由 度 无 穷 大 时 ， 双 侧 t0.05=1.96， 单 侧 t0.05,=1.645，即为u分布的界值。故常用自由 度无穷大时的t界值作为u界值来用。 如由表查出单侧t0.05,10=1.812，表示从正态总 体作样本例数为 11 的随机抽样，其 t 值服从 =n-1=11-1=10的t分布，理论上 P(t≤-1.812)=0.05，或P(t≥1.812)=0.05
总体均数的可信区间

于是得可信度为1- 时，计算总体均数 可信区间的通式：
x t / 2, s / n x t / 2, s / n

习惯上，常取1- =0.95， 即95%可信 区间；或取1- =0.99， 即99%可信区 间。
总体均数的可信区间

未知时，一般用t分布的原理作区间估计。
0
体重分布
t分布

在总体均数为 ，标准差为 的正态总体中，独立随 机的抽取样本含量为 n的样本，则样本均数服从正态 2 分布 N ( x , x ) ：
x

x
n
将样本均数标准化，则：
u
x
x

其中的分母称为均数的标准误，如果变量是正态的或 近似正态的，则标准化的变量服从或近似服从 N（0， 1）分布，即u分布。
标准差、标准误与样本含量的关系

例：某年龄段正常成年女性的体重服从 N（51，52）（单位为kg），从该总体中随 机抽取例数n为50的样本。
x＝52.8kg
s 5.87
s x 0.830

从总体中随机抽取例数n为300的样本。
x＝51.5kg
s 5.76
s x 0.339
12
10
可信区间


从总体中作随机抽样，每个样本可以算出一 个可信区间，如 95% 可信区间，意味着 100 次抽样，算得 100 个可信区间，平均有 95 个 可信区间包括总体均数（估计正确），只有 5 个可信区间不包括总体均数（估计错误）。 5% 是小概率事件，实际发生的可能性小， 在实际应用中就认为总体均数在算得的可信 区间内, 这种估计方法会冒5%犯错误的风险。
t分布的特征

t 分布与u分布相比有以下特征：
– 都是单峰分布，以0为中心，左右两侧对称。 – t 分布的峰部较矮而尾部翘得较高，说明远侧 t 值的个数相对较多，即尾部面积较大。自由度 越小这种情况越明显。 – t分布不是一条曲线，而是由一簇随自由度改变 而变化的曲线所组成。 – 自由度是t分布的参数。当逐渐增大时，t分布 逐渐逼近u分布；当 = 时，t分布就完全成为 u分布了。
sx
s n
标准差、标准误与样本含量的关系
sx s

n

标准差随着样本量的增多，逐渐趋于稳定。 标准误随着样本量的增多而减小，如均数的 标准误，当标准差不变时，与样本量的平方 根呈反比。 当样本含量趋近于总体例数时，则样本标准 差趋于稳定，近似等于总体标准差；标准误 则趋近于0，抽样误差几乎消失。
x
n
i
Var( xi ) 2
2 1 1 2 2 2 2 Var ( x) 2 2 n n n n




x
n
均数标准误

在实际工作中，总体标准差常是未知的而 x 的估计值记 是用样本标准差 s 来代替 ， 作 sx 。 sx s n
总体均数的可信区间

例：对某人群随机抽取 20 人，用某批号的结 核菌素作皮试，平均浸润直径为10.9mm，标 准差为3.86mm。问这批结核菌素在该人群中 使用时，求平均浸润直径的 95% 可信区间？ t0.05/2,19=2.093
10.9 2.093 3.86/ 20 9.1,12.7
总体均数差的可信区间

大样本时两总体均数之差的95%可信区间为：

该地成年男子红细胞均数的95%可信区间为 (5.31,5.45)1012/L。
总体均数差的可信区间

从两个正态总体N（μ1,2）和N（μ2,2）中随机 抽样，样本含量分别为n1，n2，样本均数和标准 x 2S2，根据定理， 差分别为 和 x1 S1， 和
( X1 X 2 ) (1 2 ) t S x1 x2

设有一正态总体N（μ,2），现从中随机抽 取一个样本，该样本的均数和标准差分别 用 和 x s表示，样本均数的标准t离差服从t分 布，则可信度为（1- ）的t值满足： P(-tα/2,ν< t < tα/2,ν)=1- ， 将t
x s n
代入不等式，即：
t / 2, x t / 2, s n

标准误可用于计算总体均数的可信区间，也 是进行假设检验的基础。
标准差和标准误的区别
标准差 意义 用途 计算 描述了个体值之间的变异程 度，即观察值间的离散度。 标准误 反映了抽样误差的大小，即样本均 数和总体均数之间的接近程度。
可结合均数估计正常值范围。 可用于估计总体参数的可信区间。
( x x) 2 s n 1
总体均数的估计
主要内容
抽样误差和标准误 t变换和t分布
均数的可信区间
统计分析

统计描述

统计推断
– 参数估计 – 假设检验
定量资料的描述

服从正态分布:
x SD

不服从正态分布:
– M（Q1，Q3) – M（Min，Max） – M±QR
总体（population）

总体：根据研究目的所确定的性质相同的所 有观察单位的某种变量值的集合。
t分布

若上式中的 是未知的，可用样本标准 差s代替总体标准差，此时采用的不是 u变换而是t变换了，即：
x x t s sx n

其结果就不再服从标准正态分布了，而 是服从自由度为n-1的t分布。
t-分布曲线
.4 ν=∞ ν=5 .3 ν=1
.2
.1
0.0 -4 -2 0 2 4



抽样误差的分布有一定的规律性，并且可以通过一定 的方法来估计。
N（μ,2）
（μ,2）
n
n
x
N (tral Limit Theorem)
从正态总体 N（μ,2）中，随机抽取例数为
n的样本，样本均数 也服从正态分布，即使 x 是从偏态总体中抽样，当 n 足够大时，样本 均数的分布仍然服从正态分布，样本均数的 均数 x ，标准差为 。 x
x1
x2
xk
x 1 x 2 …… x k
x
μ
x
标准误(standard error)

x 是样本均数的标准差称为均数标准误
（简称标准误），它反映了样本均数与 总体均数之间的接近程度，常用以说明 均数抽样误差的大小。 标准误的计算：
x
n
n n 1 1 Var ( x) Var ( i 1 ) 2 Var ( xi ) 2 Var ( xi ) n n n i 1 i 1
n xi n n 1 1 1 i 1 Ex E E xi E xi n n n n i 1 n i 1

N（μ,2）
n
样本1
n
样本2
n …… ……
n
样本k
x t / 2, s / n x t / 2, s / n

已知
x u / 2 / n x u / 2 / n

未知，但n足够大（如n>100）
x u / 2 s / n x u / 2 s / n

t界值

用更一般的表示法为
– 单侧：P(t≤-tα,ν)=α，或P(t≥tα,ν)=α – 双侧：P(t≤-tα/2,ν)+P(t≥tα/2,ν)=α 反之 P(-tα/2,ν<t<tα/2,ν)=1-α
参数估计

参数估计是通过样本指标（统计量）来估计 总体指标（参数）。它包括两种方法：
– 点（值）估计（point estimation）：即把样本统 计量直接作为总体参数的估计值，如用样本均数 来估计总体均数。这种方法虽然很简单，但是未 涉及随机误差，而随机误差在抽样研究中是不可 忽视的。 – 区间估计（interval estimation）即按一定的概率 估计总体均数在哪个范围，它把抽样误差引入估 计量，确定具有特定概率意义的区间（可信区 间）。
样本（sample）

样本：从总体中随机抽取的部分观察 单位的某个变量值所组成的集合。 抽样的目的：用样本信息来推断总体 特征，要保证样本的可靠性和代表性， 使样本能够充分地反映总体的真实情 况。这就要求严格遵循随机化的原则， 并保证足够的样本含量。

均数抽样误差

由于抽样而造成的样本统计量和总体参数之差称为抽 样误差（sampling error)。 由于抽样而造成的样本均数和总体均数之差称为均数 抽样误差。 抽样误差产生有两个条件：抽样和个体差异。
可信区间和可信限

可信限（Confidence Limit，CL）分别 指两个点值。 可信区间（Confidence Interval，CI） 是以上、下可信限为界的一个范围。 如可信区间(5.31,5.45)1012/L的下限是 5.311012/L，上限是5.451012/L 。