2018年高考真题理科数学全国卷3试题+答案

2018年高考真题理科数学全国卷3试题及参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，答案 C解析：由A 得，1≥x ，所以{1,2}AB =2．()()12i i +-=（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +答案 D解析：原式i i i i i +=++=-+-=312222，故选D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头， 凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）答案 A4．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-答案 B解析：97921sin 212cos 2=-=-=αα 5．222x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析：由r r r r r r r r r r r x C x x C xx C T 310521055251522)2()(----+⋅=⋅⋅==令4310=-r ，则2=r所以40222255==C C rr6．直线20x y ++=分别与x 轴y 交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，答案 A解析：因为直线02=++y x 分别与x轴，y轴交于A ，B 两，点，所以)2,0(),0,2(--B A ,22||=AB .因为点p 在圆()2222x y -+=上，圆心为(2.0) 设圆心到直线的距离为1d ,则222|202|1=++=d ，故点P 到直线x+y+2=0的距离2d 的范围]23,2[,则]6,2[||212∈=∆d AB S ABM 7．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）答案 D解析：当0=x 时，2=y 排除A 、B1,0),12(22423=--=+-='x x x x x y 时，0>'y 故选D8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X -<-，则p =（ ） A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3答案 B解析：4.0),1(=-=p p np DX 或者6.0=p4661064410)1()6()1()4(p p C X P p p C X P -==<-==，可知5.0>p ，故选B9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π答案C解析：有三角形面积公式知：4sin 21222c b a C ab S ABC-+==∆由余玄定理得：CC C ac c b a cos sin ,cos 2222=∴=-+，所以4π=C10．设A B C D ，，，是问一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A．B．C．D．11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ） AB ．2CD答案C解析：：a PO b OF b PF =∴==||;||,||22 在2POF Rt ∆中，cbOF PF ==||||cos 22θ在21F PF Rt ∆中，cbF F PF PF F F PF =-+=||||2||||||cos 2122222122θ22222222222336446422)6(4a c a c b a c b cbc b a c b -=-⇒=-+⇒=⋅-+∴3322=⇒=⇒e a c12．设3.0log 2.0=a ，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+答案B解析：因为3.0log ,3.0log 22.0==b a ，2log 1,2.0log 13.03.0==∴ba,1110,4.0log 113.0 <+<∴=+∴b a b a 即10<+<abba 又因为0,0,0<∴<>ab b a 即0<+<b a ab 故选B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()12a =，，()22b =-，，()1c λ=，．若()2c a b +∥，则λ=________． 答案21 解析：()2,4)2,2()2,1(22=-+=+b a 又因为()2c a b +∥，故有21,0124=∴=⨯-⨯λλ14．曲线()1x y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 答案3-=a解析：xxe ax ae y )1(++='，则3,21)0(-=⇒-=+='a a f15．函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在],0[π的零点个数为________．答案3个解析：因为],0[π∈x ，,619636,330ππππ≤+≤≤≤∴x x由图可知263ππ=+x 得9π=x ，2363ππ=+x 得94π=x ，2563ππ=+x 得97π=x ，16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．答案2=k解析：设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧==22212144x y x y)(4212221x x y y -=-∴2121214y y x x y y k +=--=∴因为︒=∠90AMB ,取AB 中点),(00y x M '分别过点A,B 作准线1-=x 的垂线，垂足为B A '',|)||(|21|||(|21||21||B B A A BF AF AB M M '+'=+=='∴ 又因为M '为AB 的中点则M M '平行于x 轴10=y2,221==+∴k y y三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{}n a 中，12314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 答案（1）12-=n n a 或1)2(--=n n a （2）6=m 解析：（1）因为3514,1a a a == 0)4(,42224=-=∴q q q q 2±=∴q12-=∴n n a 或1)2(--=n n a（2）1.当2=q 时，6321)21(1=--=m m S 6,642=∴=∴m m2.当2-=q 时，63)2(_1])2(1[1=---=m m S m m∴-=-∴,188)2(无解综上所述：6=m 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； ⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．答案（1）第二种生产方式的效率更高；（2）80=m超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 解析：（1）第二种生产方式的效率更高，因为第二组多数数据集中在70min-80min 之间，第一组多数数据集中在80min-90min 之间，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组，84202011==∑=i itE ，212012,7.7420E E tE i i>∴==∑=第二种生产方式的效率更高。

（2）中位数8028179=+=m超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）635.61020202020)25225(4022>=⨯⨯⨯-⨯=K 所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；⑵当三棱锥镜M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 解析：（1）证明：因为正方形⊥ABCD 半平面CMD ⊥∴AD 半平面CMD ,⊥AD 平面CMD因为CM 在平面CMD 上，CM AD ⊥∴又CM MD ⊥∴⊥∴CN 平面AMD ,因为CM 在平面CMD 上，∴平面AMD ⊥平面BMC （2）如图建立直角坐标系因为ABC S ∆恒定，ABC M V CD MO -⊥∴,最大 )0,1,0();0,1,0();0,1,2();0,1,2();1,0,0(--D C B A M设面MAB 的法向量为),,(111z y x m =，设面MCD 的法向量为),,(222z y x n =yxz)1,1,0(),1,1,0(),1,1,2(),1,1,2(--=-=-=--=MD MC MB MA)2,0,1(0202222111=⇒⎩⎨⎧=-+=--z y x z y x 同理)0,0,1(=552sin ,55cos =∴=∴θθ 20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，． ⑴证明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解析：（1）解法一：设),(),,(2211y x B y x A则 (13)42121=+y x ① (13)42222=+y x ② 由①②得，03))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x则)()(43)()(21212121y y x x x x y y ++-=--其中m y y x x 2,22121=+=+ mx x y y k 432121-=--=又因为点),1(m M 为椭圆内的点，且0>m 当1=x 时，椭圆上的点的纵坐标23±=y ，)23,0(∈∴m )21,(43--∞∈-=m k 21<∴k 法二：设直线l 方程为t kx y +=设),(),,(2211y x B y x A⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x t kx y 联立消y 得01248)34(222=-+++t ktx x k 则0)43)(124(4642222>+--=∆k t t k 得..........3422t k >+① 且2438221=+-=+kktx x m ktt x x k y y 24362)(22121=+=++=+ 因为0,0,0<<∴>k t m ，且 (4432)k k t -+=② 由①②得222)443(43kk k -+=+ 21>∴k 或21-<k因为0<k 21-<∴k（2）0FP FA FB ++= 0=+因为),1(m M P ∴的坐标为)2,1(m -由于P 在椭圆上，134412=+∴m 43=∴m 143-=-=∴mk 直线l 方程为)1(43--=-x y ，即47+-=x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=∴1344722y x x y 0156282=+-x x 281,22121==+x x x x 314)(221=-=+-=+x x aca23)023()1(||22=--+-= ||2|||FA =+ |||,|,||FA ∴成等差数列 |||||||22121x x acx a c a x a c a FA d -±=+--=-= 282134)(2121221±=-+±=x x x x 21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．⑴若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； ⑵若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 解析（1）111)1ln(212)1ln()(-+++=-++++='x x x x x x f ，2)1(111)(+-+=''x x x f 令00)(≥⇒≥''x x f ，0≥x 时，)(x f '递增，01<<-x 时，)(x f '递减 又当0=x 时，0)(='x f ，0)(≥'∴x f 恒成立，所以当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >（2）1112)1ln()12()(-+++++='x ax x ax x f0)1(1)1(2112)1ln(2)(22≤+--++++++=''x ax x ax x ax x a x f 012)1)(12()1ln()1(222≤-+++++++ax ax x ax x x a 043)1ln()1(222≤+++++x ax ax x x a x x x x x a -≤++++)43)1ln()1(2(22设);43)1ln()1(2)(22x x x x x h ++++=46)1(2)1ln()1(4)(++++++='x x x x x h0)0(,06)0(=>='h h所以在0=x 的邻域内，0>x 时0)(>x h ，0<x 时0)(<x h0>x 时,61,43)1ln()1(222-≤++++-≤a xx x x x a 0<x 时,61,43)1ln()1(222-≥++++-≥a xx x x x a61-=∴a（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。