高中简单立体几何体(附例题详解)资料讲解

2. 简单几何体

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简单几何体结构简图

画龙点晴 概念

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.

棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为: 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.

按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱

可表示为:棱柱ABCDE-A /B /C /D /E /,或棱柱AC /

. 棱柱的性质：

(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；

(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；

直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.

长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.

公式

棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C 与高h 的乘积, 即Ch S =直棱柱, 斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C 1与侧棱长l 的乘积, 即l C S ⋅=1斜棱柱侧, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.

[活用实例]

[例1] 如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3

π， (1)求证:顶点A1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上;

(2)求这个平行六面体的表面积.

[题解](1) 如图,连结A 1O,则A 1O ⊥底面ABCD. 作OM ⊥AB 交AB 于M,作ON ⊥AD 交AD 于N,连结A 1M,A 1N. 由三垂线定理得A 1M ⊥AB,A 1N ⊥AD.

∵ ∠A 1AM=∠A 1AN,∴ Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA.∴ A 1M=A 1N.

∴ OM=ON. ∴ 点O 在∠BAD 的平分线上.

(2),2

32133

cos

1=⨯

==π

AA AM 2

3=

∴AN , ∴侧面AB 1和侧面DC 1的面积都等于423⨯

=6,侧面AD 1和侧面BC 1的面积都等于52

3

⨯=7.5, 又AB ⊥AD ，∴两底面面积都等于45⨯=20，∴平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47. [例2] 如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱,过点A 1、B 、C 1的平面和平面ABC 的交线记作l . (1)判定直线A 1C 1和l 的位置关系,并加以证明;

(2)若A 1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A 1到直线l 的距离.

[题解](1)根据棱柱的定义知平面A 1B 1C 1和平面ABC 平行.

由题设知直线A 1C 1=平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1,直线l =平面A 1BC 1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l ∥A 1C 1.

(2)解法一:过点A 1作A 1E ⊥l 于E,则A 1E 的长为点A 1到l 的距离. 连结AE.由直棱柱的定义知A 1A ⊥平面ABC. ∴ 直线AE 是直线A 1E 在平面ABC 上的射影.

又 l 在平面ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有AE ⊥l . 由棱柱的定义知A 1C 1∥AC,又l ∥A 1C 1,∴ l ∥AC. 作BD ⊥AC 于D,则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高,且BD=AE, 从而AE=BD=

.5

12

534=⨯=⨯AC BC AB

在Rt △A 1AE 中,∵ A 1A=1,∠A1AE=90°,

.5131)512(

22121=+=+=

∴A A AE E A 故点A 1到直线l 的距离为5

13

. 解法二:同解法一得l ∥AC.

由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt △ABC ∽Rt △BEA,AE:BC=AB:AC,

AC

AB

BC AE ⨯=

∴ , 以下同解法一. [例3] 如图,已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱,D 是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC1;

(2)假设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数.

[题解](1)∵A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱, ∴四边形B 1BCC 1是矩形. 连结B 1C 交BC 1于E,则B 1E=EC.连结DE. 在△AB1C 中,∵AD=DC,∴DE ∥AB 1.

又⊄1AB 平面DBC 1, DE ⊂平面DBC 1, ∴AB 1∥平面DBC 1.

(2)作DF ⊥BC,垂足为F,则DF ⊥面B 1BCC 1,连结EF,则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影.

∵AB 1⊥BC 1,由(1)知AB 1∥DE,∴DE ⊥BC 1,则BC 1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α的平面角. 设AC=1, 则DC=.2

1

∵△ABC 是正三角形,∴在Rt △DCF 中, ,43sin =

⋅=C DC DF CF=.4

1cos =⋅C DC 取BC 中点G.∵EB=EC,∴EG ⊥BC. 在Rt △BEF 中,AC=1, ,2

GF BF EF ⋅= 又BF=BC-FC=

43, GF=4

1

, 16341432

=⋅=∴EF , 即EF=43..14

3

43

tan ===∠∴EF DF DEF ∴∠DEF=45°. 故二面角α为45°.

概念

棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.