《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(多目标决策)

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《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对策论基础)

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（2）2× 或 ×2 对策的图解法
注意：该方法用在赢得矩阵为 2× 或 ×2 阶的对策上特别方便，也可用在 3× 或
×3 对策上。但对和均大于 3 的矩阵对策就丌适用了。
设缩减后的赢得矩阵为二阶无鞍点对策问题，局中人Ⅰ的混合策略为
的最优纯策略。定理 1 矩阵对策使得对一切
在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势
，均有
。
定义 2 设
为一个定义在
及
上的实值函数，如果存在
，使得对一切
和
，有
，则称
为
函数的一个鞍点。矩阵对策解的性质：
性质 1 无差别性。即若性质 2 可交换性。即若
也是解。定义 3 设有矩阵对策
记
是对策 G 的两个解，则
定理 11 设矩阵对策
的值为，则
6．矩阵对策的解法（1）2×2 对策的公式法所谓 2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为 2×2 阶的，即
如果 A 有鞍点，则很快可求出各局中人的最优纯策略；如果 A 没有鞍点，为求最优混合策略可求下列等式组：
上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解
和
，其中
6 / 33
是对策 G 的两个解，则
和
，其中
，
，
则和分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混的混合策略（或策略）；对
，称
为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成
，称为对策 G 的混合扩充。
定义 4 设
是矩阵对策
的混合扩充，如果
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《运筹学》课后答案

《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。

掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。

下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。

线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。

2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。

3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。

如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。

4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。

单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。

5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。

对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。

6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。

整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。

7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。

8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。

《运筹学》课后习题答案

四非线性规划
第Hale Waihona Puke 章练习题为7.7、7.17（第二小题）、7.21、7.23（因解答部分是pdf图片把无关的题也弄上去了，让大家多看几道题了）
七排队论
此部分课后练习题为12.7、12.13、12.17
八存储论
存储论课后习题为13.7、13.11
运筹学考试可以带书大部分都是原题，只是改一下数据，考试题型基本是大题。
考试时间：11月12日14:00-16:00
考试地点：高级运筹学一30518；高级运筹学二30521
手写版本
第1页共1页四四非线性规划第2页共2页第3页共3页第七章练习题为77717第二小题721723因解答部分是pdf图片把无关的题也弄上去了让大家多看几道题了第4页共4页七排队论第5页共5页第6页共6页此部分课后练习题为12712131217第7页共7页八存储论第8页共8页存储论课后习题为1371311第9页共9页运筹学考试可以带书大部分都是原题只是改一下数据考试题型基本是大题

运筹学钱颂迪答案

运筹学钱颂迪答案【篇一： 803 运筹学】class=txt>运筹学考试大纲一、考试性质运筹学是我校航空运输管理学院硕士生入学考试的综合考试科目之一，它是我校为招收交通运输规划与管理学科硕士研究生而实施的水平考试，其评价标准是普通高等院校优秀本科毕业生能够达到的及格以上水平，以保证被录取者较好地掌握了必备的专业基础知识。

本门课程主要考试内容包括：线性规划及其对偶理论、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析，注重考察考生是否已经掌握运筹学最基本的理论知识与方法。

二、考试形式与试卷结构1.答卷方式：闭卷、笔试2.答卷时间： 180 分钟3.题型比例：满分 150 分，基本概念 20% ，计算及证明题 80%三、考查要点1.线性规划及对偶理论：单纯形法，改进单纯形法。

线性规划的对偶理论，对偶单纯形法，灵敏度分析；2.运输问题：运输问题的数学模型；用表上作业法求解运输问题；产销不平衡的运输问题及其求解方法；3.目标规划：目标规划的数学模型，目标规划的图解法与单纯形法；4.整数规划：0－1 型整数规划，分支定界解法，割平面解法，指派问题；5.动态规划：动态规划的基本概念和基本方法，动态规划的最优性原理与最优性定理，动态规划与静态规划的关系，动态规划的应用；6.图与网络分析：图与树的基本概念，最短路问题，网络最大流问题，最小费用最大流问题，中国邮路问题，网络计划。

四、主要参考书目1、郭耀煌，李军 .运筹学原理与方法. 成都：西南交通大学出版社，2004 ；2 、钱颂迪主编. 运筹学（修订版）. 北京：清华大学出版社，1991 。

【篇二：运筹学大纲(13 、 14 级使用)2014.9 】（理论课程）开课系（部）：数理教研部课程编号：380020 、 381703课程类型：专业必修课或学科必修课总学时： 48 或 32学分：3或2适用专业：信息管理与信息系统、投资学、工业工程、工程管理、经济统计学、物流管理开课学期： 3 或 4 或 5先修课程：高等数学、线性代数一、课程简述本课程是以经济活动方面的问题以及解决这类问题的原理和方法作为研究的对象，把经济活动中的问题归结为对应的某种数学模型，运用数学知识等工具求得最合理的工作方案。

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(5-6)章【圣才出品】

Pl
(lk dk
lk
dk
)
l 1 k 1
n
ckj x j
d
k
d
k
gk ,
k 1, , K
j 1
n
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(, )bi ,
i 1, , m
j 1
x d
j
k
0,
,
d

k
j 0,
1, , n k 1, 2,
,
K
其中，
lk
,
lk
为权系数。
3．目标规划的图解法对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，可以用图解法来分析求解。图解法求解目标规划的基本步骤：（1）令各目标约束的偏差变量为 0，在坐标系中画出所有的约束直线；（2）在直线旁标上偏差变量，作图表示偏差变量增加对约束直线的影响；（3）确定满足第一优先级目标集的最优解空间（不考虑其他优先级）；（4）依次类推到下一优先级，直到所有优先级均求解完毕。注意：目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级考虑。在求解时会出现某些约束得不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。
c j－z j－ akj Pk , j＝1, 2,n;k＝1, 2, ,K ，因 pk pk 1,k 1, 2,…, K ；从每个检验数的整体来看：检验数的正、负，首先决定于 P1 的系数 a1 j 的正、负。若 a1 j 0 ，这时此检验数的正、负就决定于 P2 的系数 a2 j 的正、负，下面可依此类推。
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4．目标规划的单纯形法目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结构形式上没有本质的区别，所以可用单纯形法进行求解。但要考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：（1）因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以以检验数大于等于 0 为最优准则。（2）因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即

《运筹学》(第二版)课后习题参考答案

表1—17 家具生产工艺耗时和利润表
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得：．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为，又由于取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要，即．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；

《运筹学》习题与答案

《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。

2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。

3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。

4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。

5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。

二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。

2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。

3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。

4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。

5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。

三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。

A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(存储论)

第13章存储论13.1 复习笔记1．存储论的基本概念备货时间：从订货到货物进入“存储”往往需要一段时间，我们把这段时间称为备货时间。

备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性的，也可以是确定性的。

提前时间：从另一个角度看，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，那么这段时间称之为提前时间。

存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略称为存储策略。

存储论要解决的问题是：多少时间补充一次，每次补充的数量应该是多少，即存储策略。

2．一些参数的含义K：货物单价；：最佳订货周期；R：需求速度；：最佳订货批量；：单位存储费用；：单位缺货损失；：订购费；：最佳费用；：最佳生产时间；：生产速度；：最大存贮量；：最大缺货量；：最大缺货量。

3．存储策略（1）-循环策略，每隔时间向系统内补充存储量Q。

（2）策略，当存储量时不补充；当时补充存储，补充量(即，将存储量补充到S)。

（3）混合策略，每经过t时间检查存储量，当时不补充；当时，补充存储量使之达到S。

4．确定性存储模型（1）模型一—经典的E.O.Q模型：不允许缺货，备货时间很短，且需求是连续均匀的，即需求速度是一常数；每批订货量不变，订货费用为常数；单位存储费用不变。

已知，求，，（2）模型二：不允许缺货，生产需一定时间，其余条件同模型一。

已知，求，，（3）模型三：允许缺货，备货时间很短，其余条件同模型一。

已知，求，，，最大缺货量（4）模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需要一定时间，其余条件同模型一。

已知，求，，简便的记忆方法：①永远成立②记住模型一，，③定义两个因子④与因子的关系与乘以因子，与除以因子模型二乘除，模型三乘除，模型四乘除⑤模型二的，模型三的，模型四的说明：在允许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是：每隔时间订货一次，订货量为，用中的一部分补足所缺货物，剩余部分进入存储。

很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(11-12)章【圣才出品】

（2）T 无圈，且 m=n-1。（3）T 连通，且 m=n-1。（4）T 无圈，但每加一条新边即得惟一一个圈。（5）T 连通，但任舍去一条边就不连通。（6）T 中任意两个顶点之间有惟一链相连。
3．图的最小支撑树
图的支撑树：设图 T=[V， E' ]是图 G=（V，E）的支撑子图，如果 T 是一个树，则称 T
为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬挂边，次为零的点称为孤立点。
定理 1：图 G=（V，E）中，所有点的次之和为边数的两倍，即 d (vi ) 2 e j 2q 。
i
j
奇点与偶点：次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
定理 2研考证电子书、题库视频学习平台
2．树及其性质无圈的连通图称为树，树一般用 T 表示。
定理 3：任给一个树 T=（V，E），若 p T ≥2，则 T 中至少有两个悬挂点。
定理 4：图 T=（V，E），p=n，q=m，则下列关于树的说法是等价的。（1）T 是一个树。
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初始（ i 0 ）令 S0 vs ，P vs 0 ， vs 0 ，对每一个 v vs ，令 T v ， v M ，令
k s。
①如果 Si V ，算法终止，这时，对每个 v Si ， d vs , v P v ；否则转入②。
②考查每个使 vk , v j A 且 v j Si 的点 v j 。如果T v j P vk kj ，则把T v j 修改为 P vk kj ，把 v j 修改为 k ；否
连通图：图中任意两点间至少有一条链相连。
子图：给定图 G=（ V ， E ），若图 G' =（ V' ， E' ），其中 V' V ， E' E ，则称 G' 是 G 的子图。

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性规划与目标规划)【圣才出品】

3．线性规划问题解的概念
（1）可行解：满足约束条件（2-4）式、（2-5）式的解 X x1, x2 ,…,xn T ，称为线
性规划问题的可行解。（2）最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
（3）基：若 A 是约束方程组的 m n （m＜n）维系数矩阵，其秩为 m 。B 是矩阵 A 中 m m 阶非奇异子矩阵（|B|≠0），则称 B 是线性规划问题的一个基。
定理 4 若线性规划问题在至少两个顶点上到达最优，则该问题有无穷多最优解，最优解即是这些顶点的凸组合。
5．线性规划问题的求解方法（1）图解法图解法是一种使用作图的方法直接在图上找到线性规划问题的最优解的方法，简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理，仅适用于决策变量为二维的情况。图解法的求解步骤为： ①建立平面直角坐标系； ②根据约束条件画出约束直线，找出可行域； ③图示出目标函数，作出一条直线； ④将目标函数直线沿其法线方向在可行域中平移至边界，直至找到使目标函数达到最优的边界点为止，该边界点即为线性规划的最优解。注意： ①有时目标函数可能在多个顶点处达到最大值，此时在这些顶点的凸组合处也达到最大值，称这种线性规划问题有无限多个最优解。 ②若可行域无界，则可能无最优解，也可能有最优解，但若有，必在顶点处取得。 ③若可行域为空集，即无可行解，也不存在最优解。（2）单纯形法单纯形法求解线性规划的思路：一般线性规划问题线性方程组的变量数大于方程个数，
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2．线性规划问题的标准型及标准化（1）线性规划的标准型
max z c1x1 c2x2 cnxn
或
n
max z cj xj j 1
（2-5）
2 / 40
（2-4）
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《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)

影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
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记忆方法：极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。（3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0

(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目录
第1章运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化（1）线性规划的标准型
或
（2-4）（2-5）线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约束；决策变量非负。（2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令，于是得到
第13章排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解第14章存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解第15章对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解第16章单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解第17章多目标决策 17.1 复习笔记

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(启发式方法)【圣才出品】

第18章启发式方法18.1 复习笔记1．基本概念良好结构问题：有些实际问题的结构比较清晰，各元素之间的关系明确，边界清楚，容易为人们所认识，能够通过建模和使用一定的算法求得解决，这类问题称为良好结构问题。

良好结构问题的特征：（1）能建立起正确反映该问题性质的一种“可接受”模型，与问题有关的主要信息可纳入模型之中；（2）模型所需要的数据能够获得；（3）模型可解，能拟订出求解的程序性步骤和求解方法，而且，得到的解能体现解决问题的可行方案；（4）可拟订出明确的准则，用以判定解的可行性和最优性；（5）求解所需的计算量不太大，所需的费用不太多。

启发式方法：对于非良好结构问题，为了得到近似可用的解，分析人员必须运用自己的感知和洞察力，从与其有关而较基本的模型及算法中寻求其间的联系，从中得到启发，去发现适于解决该问题的思路和途径，这种方法称为启发式方法，由此建立的算法称为启发式算法。

启发式方法具有下述优点：（1）计算步骤简单，要求的理论基础不高，可由未经高级训练的人员实现；（2）比优化方法常可减少大量的计算工作量，从而显著节约开支和时间；（3）易于将定量分析与定性分析相结合。

启发式策略：（1）逐步构解策略。

一个完整的解通常是由若干个分量组成的。

当用该策略时，应建立某种规则，按一定次序每次确定解的一个分量，直至得到包含所有解分量的一个完整的解为止。

（2）分解合成策略。

为求解一个复杂的大问题，可首先将其分解为若干个小的子问题，再选用合适的方法（包括启发式方法、优化方法、模拟方法等）按一定顺序求解每个子问题，根据子问题之间及其与总问题的关系（例如递阶关系、包含（嵌套）关系、平行关系等），将子问题的解作为下一阶子问题的输入，或在相容原则下将子问题的解进行综合，经合成最后得到总问题合乎要求的解。

（3）改进策略。

运用这一策略时，首先从一个初始解（初始解不必一定是可行解）出发，然后对解的质量（包括它产生的目标函数值、可行性及可接受性等）进行评价，并采用某种启发式方法设计改进规则，对解加以改进，反复进行如上的评价和改进，直至得到满意的解为止。

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(整数规划)【圣才出品】

若有 n 个决策变量，则可以产生 2n 个可能的变量组合，故完全枚举是不可能的，因此
常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，这样的方法称为隐枚举法。
隐枚举法的基本思想是：在 2n 个可能的变量组合中，往往只有一部分是可行解。只要
发现某个变量组合不满足其中的某一约束条件，就不必要再去检验其他的约束条件是否可行。若已发现一个可行解，则根据它的目标函数值可以产生一个过滤条件，对于目标函数值比它差的变量组合就不必再去检验它的可行性（类似分支定界法中的定界。实际上，隐枚举法是一种特殊的分支定界法）。在以后的求解过程中，每当发现比原来更好的可行解，则依次替代原来的过滤条件（可减少运算次数，较快地发现最优解）。
3．割平面法基本思想：先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规划，然后不断增加线性约束条件（即割平面），将原可行域割掉不含整数可行解的一部分，最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域，而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。割平面法的关键是切割方程的求解。切割方程的基本步骤：
（1）令 xi 是相应线性规划问题最优解中为分数值的一个基变量，由最终单纯形表得到
2．分支定界法分支定界法的依据：整数规划的最优解不会优于相应的线性规划问题的最优解。分支定界法步骤：（1）求解相应的线性规划问题的最优解和最优值。 ①若没有可行解，计算停止； ②若有满足整数条件的最优解，则已得到整数规划问题的最优解，计算停止；
③若有最优解，但不满足整数条件，记此最优值为原整数规划问题 Z* 的上界，然后，
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第 6 章整数规划
6.1 复习笔记
1．整数规划的分类（1）纯整数规划：要求所有的变量均为（非负）整数；（2）混合整数规划：只有部分变量限制为整数；（3）0-1 规划：变量的取值仅限于 0 或 1。注意：由于整数规划对变量的整数限制，一般情况下，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。

《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~7章【圣才出品】

①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，返时 min z f (d d ) ； ②要求丌超过目标值，即正偏差变量要尽可能地小,返时 min z f (d ) ； ③要求超过目标值，但必须是负偏差变量要尽可能地小，返时 min z f (d ) 。
2．目标觃划一般数学模型
L
（2）因非基变量的检验数中含有丌同等级的优先因子，即因 pk pk1, k 1, 2,…, K ；从每个检验数的整体来看：检验数的正、负，首先决定亍 P1 的系数 a1 j 的正、负。若 a1 j 0 ，返时此检验数的正、负就决定亍 P2 的系数 a2 j 的正、负，下面可依此类推。
解目标觃划问题的单纯形法的计算步骤：（1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K 行，令 k=1。（2）检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行的系数是 0。若存在负数，则取其中最小者对应的变量为换入变量，转（3）。若无负数，则转（5）。（3）按最小比值觃则确定换出变量，当存在两个和以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。（4）按单纯形法迕行基变换运算，建立新的计算表，迒回（2）。（5）当 k=K 时，计算结束。表中的解，即为满意解。否则置 k=k+1，迒回到（2）。
5．目标觃划的灵敏度分析目标觃划的灵敏度分析方法不线性觃划相似，但目标觃划的灵敏度分析丌仅考虑各项系数的变化，迓考虑优先因子的变化。
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4.2 课后习题详解
4.1 若用以下表达式作为目标觃划的目标函数，试述其逡辑是否正确？
（4）目标觃划的目标函数目标觃划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。目标觃划的目标函数的基本形式有三种：

运筹学复习笔记

运筹学复习笔记Part 1 题型1.选择题（20分）2.填空题（40分）3.建模题（40分）4.决策问题（20分）5.运输问题（10分）计算Part 2 需要掌握的知识点Chapter 2 线性规划与单纯型法一、线性规划问题（建模）二、求解两个变量的线性规划模型——图解法附：图解法的启示1)图解法求解结果的几种可能情况：➢唯一最优解➢无穷多最优解➢无界解（并不是说可行域是无界的线性规划问题的解就一定是无界解）➢无可行解2)若线性规划问题的可行域非空，则可行域是一个凸集。

3)若线性规划问题的最优解存在，则一定可以在可行域的凸集的某个顶点达到。

（线性规划问题的基可行解X对应于可行域D的顶点。

）三、单纯形法准备知识——标准型1) 标准型的四个条件➢ 目标函数为极大（max ） ➢ 所有的约束条件满足等式 ➢ 所有的决策变量非负 ➢ 右端常数均为非负数 2) 化为标准型的方法➢ 若要求目标函数实现最大化，即max z=CX 。

这时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令 z ′=-z ，于是得到max z ′= －CX 。

这就同标准型的目标函数的形式一致了。

➢ 约束方程为不等式。

这里有两种情况：一种是约束方程为‘≤’不等式，则可在‘≤’不等式的左端加入非负松弛变量j x ，把原‘≤’不等式变为等式，j x 0；另一种是约束方程为‘≥’不等式，则可在‘≥’不等式的左端减去一个非负剩余变量k x （也可称松弛变量），把不等式约束条件变为等式约束条件,目标函数中加上k x 0 (松弛变量).➢ 若变量约束中：0≤i x ，则令i i x x -='，得到0≥'i x ；若R ∈j x ，则令"'=j j j x x x -，其中0≥"'j j x x ，，用 'i x 、'j x 、"j x 分别代替i x 、j x 后得到线性规划的变量约束均为非负约束。

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章

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2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
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2.1.4 线性规划问题的解的概念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T，称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
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2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变量，把原“≤”型不等式变为等式约束；若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(运输问题)

第3章运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。

如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。

即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。

即系数矩阵的秩≤m+n -1。

注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。

闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。

（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。

(完整版)《运筹学》复习参考资料知识点及习题

第一部分线性规划问题的求解一、两个变量的线性规划问题的图解法：㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。

定义：达到目标的可行解为最优解。

㈡图解法：图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。

1、将约束条件（取等号）用直线绘出；2、确定可行解域；3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。

4、确定最优解及目标函数值。

㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。

max z = 70x 1+30x 2 s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+072039450555409321212121x x x x x x x x ，可行解域为oabcd0，最优解为b 点。

由方程组⎩⎨⎧=+=+72039450552121x x x x 解出x 1=75，x 2=15 ∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（75，15）T∴max z =Z *= 70×75+30×15=5700⑴⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹max z = 6x 1+4x 2 s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：可行解域为oabcd0，最优解为b 点。

由方程组⎩⎨⎧=+=+81022121x x x x 解出x 1=2，x 2=6 ∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（2，6）T∴max z = 6×2+4×6=36⑴⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹min z =－3x 1+x 2 s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤≤08212523421212121x x x x x x x x ，解：可行解域为bcdefb ，最优解为b 点。