《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(多目标决策)

第16章 多目标决策

16.1 复习笔记

1．基本概念

在生产、经济、科学和工程活动中经常需要对多个目标（指标）的方案、计划、设计进行好坏的判断，只有对各种因素的指标进行综合衡量后，才能做出合理的决策。

（1）多目标的最优解

假定有m 个目标同时要考查，并要求都越大越好。在不考虑其他目标时，记第个目标的最优值为，相应的最优解记为，=1,2,…,m ；其

中是解的约束集合,。当这些都相同

时，就以这共同解作为多目标的共同最优解。

（2）非劣解

考查使目标函数越大越好的情况，当

为非劣解时，即不存在

，使

，且至少对一个严格不等式成立。

2．化多为少的方法 （1）主要目标法 ①优选法

在实际问题中通过分析讨论，抓住其中一两个主要目标，让它们尽可能地好，而其他指

()()1,,m f x f x …i ()0max i i x R

f f x ∈=()i x i R (){}

()()(){}10,,,T

l R x g x g x g x g x =≥=…()

i X

标只要满足一定要求即可，通过若干次试验以达到最佳。

②数学规划法

设有m个目标要考查，其中方案变量（约束集合），若以某目标为主要目标，如要求实现最优（最大），而对其他目标只满足一定规格要求即可，如（=2,…,m）。其中当或就变成单边限制，这样问题便可化成求下述非线性规划问题：

3．线性加权的法

（1）—法

对于有m个目标的情况，不妨设其中要求最小化，而要求最大化，这时可构成下述新目标函数。

其中满足方程组

其中

（2）—法

当m个目标都要求实现最大时，可用下述加权和效用函数，即

其中取

4．平方和加权法

设有m个规定值，要求m个函数分别与规定的值相差尽量小，若对其中不同值的要求相差程度又可不完全一样，即有的要求重一些，有的轻一些。这时可采用下述评价函数：

要求，其中可按要求相差程度分别给出。

5．理想点法

有m个目标，每个目标分别有其最优值

记向量函数，。理想点法的中心思想是定义一定的模，在这个模意义下找一个点尽量接近理想点，即让模

。

一般定义的p-模为：

要求模最小，即要找到一个解，使得。

6．乘除法

当在m个目标中，不妨设其中k个要求实现最小，其余要求实现最大，并假定

这时可采用评价函数

7．功效系数法——几何平均数

设m个目标，其中个目标要求实现最大，个目标要求实现最小，其余的目标是过大不行，过小也不行。对于这些目标分别给以一定的功效系数（即评分），之间的某一数。当目标达到最满意时，取；当最差时，取。描述与的关系，称为功效函数，表示为。对于不同类型目标应选用不同类型的功效函数。

Ⅰ型：当越大；也越大；越小，也越小。

Ⅱ型：越小，越大；越大，越小。

Ⅲ型：当取适当值时，最大；而取偏值（即过大或过小）时，变小。

有了功效函数后，对每个目标都可对应为相应的功效函数。目标值可转换为功效系数。这样每确定一方案后，就有m个目标函数值。然后用其对应的功效函数转换为相应的功效系数。并可用它们的几何平均值

作为评价函数，显然D越大越好，D=1是最满意的，D=0是最差的，这样定义的评价函数有一个好处，一个方案中只要有一个目标值太差，如，就会使D=0，而不会采用这个方案。

8．分层序列法

分层法的思想是把目标按其重要性给出一个序列，分为最重要目标、次要目标等。设给出的重要性序列为。首先，对第一个目标求最优，并找出其所有最优解的集合，记为；其次，在内求第二个目标的最优解，记最优解集合为。以此类推，直至求出第m个目标函数的最优解。

9．多目标线性规划的解法

（1）逐步法（STEM）

逐步法是一种迭代法。在求解过程中，每进行一步，分析者把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止，故称此法为逐步进行法或对话式方法。

（2）妥协约束法

设有两个目标的情况，即k=2，，，A为m×n矩阵，，

引进一个新的超目标函数。、为权系数，，，=1,2；此外构造一个妥协约束：，，、分别为、的最大值（当）。求解的具体步骤为：

第1步：解线性规划问题：，得到最优解及相应的目标函数值。

第2步：解线性规划问题：，得到最优解及相应的目标函数值。

第3步：解下面三个线性规划问题之一。

得到的解为妥协解。

10．层次分析法（AHP法）

（1）AHP法原理

设有n件物体；它们的重量分别为。若将它们两两比较重量，其比值可构成n×n矩阵A。

若用重量向量右乘A矩阵，则，由矩阵理论知，W为特征向量，n为特征值。若为未知时，则可根据决策者对物体之间两两相比的关系，主观作出比值的判断，或用Delphi法来确定这些比值，使A矩阵为已知，故判断矩阵记作。这时问题由变成，这里是矩阵的最大特征值，便是带有偏差的相对权重向量。这就是由判断不相容而引起的误差。为了避免误差太大，所以要衡量矩阵的一致性。检验判断矩阵一致性的指标（CI）：

当，CI=0时，为完全一致；CI值越大，判断矩阵的完全一致性越差。判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵一致性的要求。于是引入修正值RI，如下表，并取更为合理的CR为衡量判断矩阵一致性的指标。