二次函数压轴题之正方形存在性

正方形存在性问题

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：

（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．

依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：

（1）2个定点+2个全动点；

（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;

甚至可以有：（3）4个半动点．

不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！

常用处理方法：

思路1：从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．

思路2：构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．

总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．

例：在平面直角坐标系中，A （1,1），B （4,3），在平面中求C 、D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是正方形．

如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形． 至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．

题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．

两动点：构造等腰直角定第3点

（2015·毕节）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在过A 、B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）抛物线：223y x x =--；

（2）已知A （-1，0）、B （3，0），故构造以AB 为斜边的等腰直角△APB ，如下：

若四边形APBQ 是正方形，易得P 点坐标为（1，2）或（1，-2）， 当P 点坐标为（1，2）时，易得抛物线解析式为()2

1122

y x =--+； 当P 点坐标为（1，-2）时，易得抛物线解析式为()2

1122

y x =--． 综上所述，抛物线解析式为()21122y x =-

-+或()2

1122

y x =--． 【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3个点的位置，均可通过构造等腰直角三角形确定第3个点，再求得第4个点．

两定两动：抛物线+抛物线

（2012·通辽）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD 放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2）、点B （1，0），抛物线22y ax ax =--经过点C ． （1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P 与点Q （点C 、D 除外）使四边形ABPQ 为正方形？若存在求出点P 、Q 两点坐标，若不存在说明理由．

【分析】 （1）C （3，1）； （2）抛物线：211

222

y x x =

--； （3）考虑A 、B 、P 构成等腰直角三角形且∠B 为直角，故可作出点P 如下：

构造三垂直全等：△AMB ≌△BNP ，

即可求得P 点坐标为（-1，-1），将点P 代入抛物线解析式，成立， 即点P 在抛物线上．

根据点P 构造点Q ，通过点的平移易得点Q 坐标为（-2，1）， 代入抛物线解析式，成立，即点Q 也在抛物线上， 故存在，点P 坐标为（-1，-1），点Q 坐标为（-2，1）．

【小结】本题数据设计得巧妙，由A、B确定的点P恰好在抛物线上，由A、B、P确定的点D恰好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q，当然若适当调整数据，则答案完全可以变成不存在．

4动点：已知矩形构造邻边相等

（2017·雅安）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （1，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ． （1）求抛物线的解析式．

（2）若点P 在直线BD 上，当PE=PC 时，求点P 的坐标．

（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，点N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F 、N 、G 、M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．

【分析】

（1）抛物线：223y x x =+-；

（2）求CE 的直线解析式或设P 点坐标表示PE=PC ， 可得P 点坐标为()2,2--．

（3）考虑FN ⊥FM ，故四边形为MFNG ，

若要成为正方形，则GN ∥FM ，GM ⊥x 轴，即四边形MFNG 为矩形． 设FN 长度为m ，则NG=FN=m ，故G 点横坐标为m-2， 代入解析式得：()

22,23G m m m ---， 故223GM m m m =

--=， 解得：1

m =

2

m =，3

m =，4m （舍）

．

则M 点坐标为⎫⎪

⎪⎝⎭或⎫

⎪⎪⎝⎭

．