(完整word版)高中数学压轴题系列——导数专题——双变量问题(2).docx
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高中数学压轴题系列——导数专题——双变量问题（
2）
1.（2010?辽宁）已知函数 f （x ） =（ a+1）lnx+ax 2 +1
（1）讨论函数 f （x ）的单调性；
（2）设 a ＜﹣ 1．如果对任意 x 1，x 2∈（ 0，+∞），| f （ x 1）﹣ f （ x 2）| ≥ 4| x 1﹣ x 2 | ，求 a 的取值范围．
解：（Ⅰ ）f （x ）的定义域为（ 0，+∞） .
．
当 a ≥0 时， f ′（x ）＞ 0，故 f （ x ）在（ 0，+∞）单调递增；
当 a ≤﹣ 1 时， f ′（ x ）＜ 0，故 f （ x ）在（ 0， +∞）单调递减；
当﹣ 1＜ a ＜0 时，令 f ′（ x ） =0，解得
．
则当
时， f'（ x ）＞ 0；
时， f' （ x ）＜ 0．
故 f （x ）在
单调递增，在
单调递减．
（Ⅱ）不妨假设 x 1≥
2，而 ＜﹣ ，由（ Ⅰ）知在（
0， ∞）单调递减，
x
a
1
+
从而 ? x 1，
2∈（ ， ∞）， | f （ 1）﹣
（ 2）
≥
4| x 1﹣ 2
| x
0 +
x
f x |
x 等价于 ? x 1，
2∈（
， ∞）， f （ 2 ）
2 ≥
（ 1 ） 1 ①
x 0 +
x +4x f
x +4x
令 g （ x ）=f （ x ） +4x ，则
①等价于 g （x ）在（ 0，+∞）单调递减，即
．
从而
故 a 的取值范围为（﹣∞，﹣ 2] ．（ 12 分）
2．（ 2018?呼和浩特一模）已知函数 f （x ） =lnx ， g （ x ） = ﹣ bx （b 为常数）．
（Ⅰ）当 b=4 时，讨论函数 h （x ）=f （x ）+g （x ）的单调性；
（Ⅱ） b ≥2 时，如果对于 ? x 1，x 2∈（ 1， 2] ，且 x 1≠ x 2，都有 | f （x 1）﹣ f （ x 2）| ＜| g （x 1）﹣ g （x 2）
| 成立，求实数 b 的取值范围．
解：（ 1）h （ x ）=lnx+ x 2﹣bx 的定义域为（ 0，+∞），当 b=4 时， h （ x ）=lnx+ x 2 ﹣4x ，
h'（x ）= +x ﹣4=
，
令 h'（x ） =0，解得 x 1
﹣ ， 2 ，当 ∈（ ﹣
，
2+ ）时， ′（ ）＜ ，
=2 x =2+
x2
h x 0
当 x ∈（ 0， 2﹣ ），或（ 2+ ，+∞）时， h ′（x ）＞ 0，
所以， h （x ）在∈（ 0， 2﹣
），或（ 2+ ，+∞）单调递增；在（ 2﹣
， 2+
）单调递减；
（Ⅱ）因为 f （ x ）=lnx 在区间（ 1，2] 上单调递增，
当 b≥ 2 时， g（x） =x2﹣bx 在区间（ 1，2] 上单调递减，
不妨设 x1＞ x2，则| f（x1）﹣ f（ x2）| ＜| g（ x1）﹣g（x2）| 等价化为 f（x1）+g（ x1）＜ f（x2）+g （ x2），令φ（ x） =f（x）+g（ x），则问题等价于函数φ（x）在区间（ 1，2] 上单调递减，
即等价于φ′（x）= +x﹣b≤0 在区间（ 1，2] 上恒成立，所以得b≥+x，
因为 y= +x 在（ 1，2] 上单调递增，所以y max= +2= 所以得 b≥
3．（ 2018?乐山二模）已知 f （x）=．
（1）求 f（ x）的单调区间；
（2）令 g（ x） =ax2﹣2lnx ，则 g（ x）=1 时有两个不同的根，求 a 的取值范围；
（3）存在 x1，2∈（，∞）且
x 1≠2，使
| f
（1）﹣（ 2）≥
k| lnx
1﹣2
|
成立，求
k
的取值范围．
x 1 +x x f x|lnx
解：（ 1）∵ f （x）=， f ′（x）==﹣=﹣，
故x∈（ 0， 1）时， f ′（ x）＞ 0， x∈（ 1， +∞）时， f ′（ x）＜ 0，
故f（x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1，+∞）上单调递减；
（2）∵ g（x）=ax2﹣2lnx=1，∴ a==f（x），作函数 f（ x）的图象
如下，
∵f （1）==1，∴结合图象可知， a 的取值范围为（ 0，1）；
（3）不妨设 x1＞ x2＞1，∵f（ x）在（1，+∞）上单调递减， y=lnx 在（1，
+∞）上单调递增；
∴| f（ x1）﹣ f（ x2）| ≥k| lnx1﹣lnx2| 可化为 f（ x2）﹣ f（ x1）≥ k（ lnx1﹣lnx2），
∴f（x2）+klnx2≥f（ x1）+klnx1，即函数 h（ x）=f（ x）+klnx 在（ 1，+∞）上存在单调减区间，即 h′（ x） =f ′（x）+=﹣+ =＜ 0 在（ 1，+∞）上有解，
即 m（x）=kx2﹣4lnx＜0 在（ 1， +∞）上有解，即 k＜在（ 1，+∞）上有解，
∵（）′=，当 x=时，=0；故（） max；∴
k ＜．
=
4．（ 2018?衡阳三模）已知函数 f（ x） =lnx﹣ax2+x（ a∈ R），函数 g（x） =﹣ 2x+3．
（Ⅰ）判断函数 F（x）=f（ x） +ag（x）的单调性；
（Ⅱ）若﹣ 2≤a≤﹣ 1 时，对任意x1， x2∈[ 1， 2] ，不等式 | f（ x1）﹣ f （x2）| ≤t | g（x1）﹣ g（x2）|