河南省六市2019届高三第二次联考数学(理)试题 含解析
河南省六市2019届高三第二次联考数学试题（理）含答案
河南省六市2019届高三第二次联考数学试题（理）含答案2019年河南省六市高三第二次联科试题数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合2{|0},{|55}x A x x x B x =+≥=≥，则A B =A ．{|01}x x x ≥≤-或B ．{|1}x x ≥-C ．{|1}x x ≥D ．{|0}x x ≥2、已知2(,)a i b i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b += A ．-1 B ．2 C ．2 D ．33、下列函数中既是奇函数又在区间[]1,1-上单调递减的是A ．sin y x =B ．1y x =-+C ．2ln2x y x -=+ D ．1(22)2x x y -=+ 4、下列说法错误的是A ．自变量取值一定时，因变量的取值费油一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性回归分析中，相关系数r 越大，变量间的相关性越强C ．{|1}x x ≥ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好5、在明朝大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看魏巍七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖点几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每次悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？A ．5B ．6C ．4D ．36、执行如右图程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为A ．23B ．11C ．5D ．2 7、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为AC．18、已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤??-≥??-≥?，则2y z x =的最大值是 A ．13B ．1C ．2D ．9 9、已知某几何体的三视图如下图所示（图中数据单位：cm ），则这个几何体的体积为A ．320cmB ．322cmC ．324cmD ．326cm10、在ABC ?中，17,cos ,sin 5BC A C ===P 满足2(1)()3AB AB AC R λλλ=+-∈，则点P 的轨迹与直线AB 、 AC 所围成的封闭区域的面积为A． C． D．11、如图，在长方形ABCD中，1,AB BC E ==为线段DC 上一动点，现将AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则所形成的轨迹长度为AC ．2πD ．3π 12、已知函数()21ln 2f x a x x =-存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为 A ．3e - B ．2e - C ．e - D ．1e -第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省六市2019届高三理数第二次联考试卷
河南省六市2019届高三理数第二次联考试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={(x,y)|y=x+1,x∈Z}，集合B={y|y=2x,x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1,2}B．(1,2)C．{(1,2)}D．ϕ2．（2分）若复数z满足(3−4i)z=|3−4i|，则z的虚部为（）A．-4B．45C．4D．−453．（2分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A．416B．432C．448D．4644．（2分）等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，则n的值为（）A．7B．6C．5D．45．（2分）设P是正方体ABCD−A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在6．（2分）已知RtΔABC，点D为斜边BC的中点，|AB⇀|=6√3，|AC⇀|=6，AE⇀=12ED⇀，则AE⇀⋅EB⇀等于（）A．-14B．-9C．9D．147．（2分）设变量x，y满足不等式组{x+y−4≤0x−3y+3≤0x≥1，则z=|x−y−4|的最大值为（）A．53B．72C．133D．68．（2分）函数f(x)=x 2−2x−32x的大致图象为（）A．B．C．D．9．（2分）设实数a,b,c分别满足a=5−12，blnb=1，3c3+c=1，则a,b,c的大小关系为()A．c>b>a B．b>c>a C．b>a>c D．a>b>c10．（2分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A,B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）A．√22B．12C．13D．1411．（2分）已知数列{a n}中，a1=1，且对任意的m,n∈N∗，都有a m+n=a m+a n+mn，则∑2019i=11a i=（）A．20192020B．20182019C．20181010D．2019101012．（2分）已知函数f(x)=sin2x的图象与直线2kx−2y−kπ=0(k>0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则(x1−x2)tan(x2−2x3)=（）A．-2B．−12C．0D．1二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）已知tan(x+π4)=2，x是第三象限角，则cosx=．14．（1分）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．15．（1分）抛物线y2=4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M(5，2√5)作直线l的垂线，垂足为H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是．16．（1分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。
2019届河南省高三下学期质量检测理科数学试卷【含答案及解析】
2019届河南省高三下学期质量检测理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，若，则的值可以是（）A. B. C. D.2. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3. 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A. B. C. D.4. 已知，且（），则等于（）A. B. C. D.5. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点（单位：升）则输入的值为（）A. B. C. D.6. 已知双曲线：（，）过点，过点的直线与双曲线的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.7. 若为奇函数，且是函数的一个零点，额下列函数中，一定是其零点的函数是（）A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9. 在中，，，，是上一点，且，则等于（）A. 6B. 4C. 2D. 110. 已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.11. 如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面 )，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（）A. 与平面垂直的直线必与直线垂直B. 异面直线与所成角是定值C. 一定存在某个位置，使D. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值12. 若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 已知实数满足条件，则的最小值为__________ ．14. 把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 __________ ．（用数字作答）三、解答题15. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则 __________ ．四、填空题16. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，且，则__________ ．五、解答题17. 已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中， .（1）求数列及的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，求 .18. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标 . 现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案 : 两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司可正确回答其中的道題目，而乙公司能正确回答毎道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19. 如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．（Ⅰ）已知点在上，且，求证：平面平面；（Ⅱ）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？20. 已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.（1）求线段的长；（2）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程.21. 设函数 .（1）若直线和函数的图象相切，求的值；（2）当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为 .（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为，求的值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。
2019届河南省六市高三第二次联考数学(理)试题
2019年河南省六市高三第二次联考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则集合等于（ ）A.B.C.D.2.若复数满足，则的虚部为（ ） A. -4B.C. 4D.3.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（ ） A. 416 B. 432C. 448D. 4644.等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，则的值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 45.设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点（ ）A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在6.已知，点为斜边的中点，，，，则等于（ ）A. -14B. -9C. 9D. 147.设变量，满足不等式组，则的最大值为（ ） A. B. C.D. 68.函数的大致图象为A. B.C. D.9.设实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.10.在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.11.已知数列中，，且对任意的，都有，则（）A. B. C. D.12.已知函数图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（）A. -2B.C. 0D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知，是第三象限角，则__________．14.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率__________．15.抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的角平分线所在的直线斜率是_______.16.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。
河南省六市2019届高三理数第二次联考试卷
第1页，总19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………河南省六市2019届高三理数第二次联考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知 ，点 为斜边 的中点， ， ， ，则 等于（ ）A . -14B . -9C . 9D . 142. 设 是正方体的对角面（含边界）内的点，若点 到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点 （ ）A . 仅有一个B . 有有限多个C . 有无限多个D . 不存在 3. 设实数 分别满足 ， ， ，则的大小关系为 A . B .C .D .4. 在直角坐标系 中， 是椭圆 的左焦点，分别为左、右顶点，过点 作 轴的垂线交椭圆 于 两点，连接 交 轴于点 ，连接交于点，若是线段 的中点，则椭圆 的离心率为（ ）A .B .C .D .5. 已知集合 ，集合 ，则集合 等于（ ）A .B .C .D .。
河南省六市2019年高三第二次联合调研检测数学(理)试卷(有答案)
2019年河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ∈Z }，集合B ＝{y ｜y ＝2x ，x ∈Z }，则集合A ∩B 等于A ．{1，2}B ．（1，2）C ．{（1，2）}D ．2．若复数z 满足（3－4i ）z ＝｜3－4i ｜，则z 的虚部为A ．－4B ．45C ．4D ．－453．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学 生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1－2400编号，按编号顺序平均分 成30组（1－80号，81－160号，…，2321－2400号），若第3组与第4组抽出的号码 之和为432，则第6组抽到的号码是A ．416B ．432C ．448D ．4644．若等差数列{n a }的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最 小值时n 的值等于A ．7B ．6C ．5D ．45．设P 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点PA ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在6．已知Rt △ABC ，点D 为斜边BC 的的中点，｜AB ｜＝AC ｜＝6，AE ＝12ED ，则AE ·EB 等于A ．－14B ．－9C ．9D ．147．设变量x ，y 满足不等式组001x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－4≤－3＋3≤，≥则z ＝｜x －y －4｜的最大值为A ．53B ．72C ．133D ．6 8．函数22xx x f x －2－3（）＝的大致图象为9．设实数a ，b ，c 分别满足a ＝125－，b1nb ＝1，3c 3＋c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c10．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左焦点，A 、B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为A．2 B ．12 C ．13 D ．1411．已知数列{n a }中，1a ＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有m n a ＋＝m a ＋n a ＋mn ，则201911i i a ∑＝ ＝A ．20192020B ．20182019C ．20181010D ．2019101012．已知函数f （x ）＝sin2x 的图象与直线2kx －2y －k π＝0（k ＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，则（x 1－x 2）tan （x 2－2x 3）＝A ．－2B ．－12C ．0D ．1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan （x ＋4）＝2，x 是第三象限角，则cosx ＝_________．14．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率）_________．15．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，其准线为直线l ，过点M （5，l 的垂线，垂足为H ，则∠FMH 的角平分线所在的直线斜率是__________．16．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。
2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A．416B．432C．448D．464 4．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A．7B．6C．5D．45．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．147．（5分）设变量x，y满足不等式组，则z＝|x﹣y﹣4|的最大值为（）A．B．C．D．68．（5分）函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．9．（5分）设实数a，b，c分别满足，blnb＝1，3c3+c＝1，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c10．（5分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（）A．﹣2B．C．0D．113．（5分）已知tan（x）＝2，x是第三象限角，则cos x＝．14．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．15．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0．（1）求的值；（2）若cos C，求sin B的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△P AB为等边三角形，平面P AB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：经计算，样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ﹣3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E 交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）为曲线y＝f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l 的倾斜角．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（D）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的虚部为（B）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（A）A．416B．432C．448D．4644．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（B）A．7B．6C．5D．45．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（A）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（D）A．﹣14B．﹣9C．9D．147．（5分）设变量x，y满足不等式组，则z＝|x﹣y﹣4|的最大值为（D）A．B．C．D．68．（5分）函数f（x）的大致图象为（C）A．B．C．D．9．（5分）设实数a，b，c分别满足，blnb＝1，3c3+c＝1，则a，b，c的大小关系为（B）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解；因为，所以a，又因为blnb＝1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，又因为f（x）＝3x3+x﹣1在R上为增函数，又f（1）＝3＞0，f（）1＜0，又f（c）＝0，由函数零点定理可得：＜＜，即b＞c＞a，10．（5分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（C）A．B．C．D．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP的方程为：y（x﹣a），x＝0时，y，E（0，），A（﹣a，0），则AE的方程为：y（x+a），则M（﹣c，），M是线段QF的中点，可得2•（），即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e．故选：C．11．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则（C）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则：a2＝a1+a1+1×1＝3＝1+2，a3＝a1+a2+1×2＝6＝1+2+3，a n＝1+2+3+…+n，所以：，所以：，＝2（），．12．（5分）已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（B）A．﹣2B．C．0D．1【解答】解：由题意得直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）过定点（，0），且斜率k＞0，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，所以x3+x1＝π；x2，f′（x）＝2cos2x，则切线方程过点（x1，sin2x1），（x2，sin2x2），所以2（2x3﹣π）cos2x3＝2sin2x3，，而（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（x3）tan（2x3）（π﹣2x3）cot2x3．13．（5分）已知tan（x）＝2，x是第三象限角，则cos x＝．14．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．【解答】解：从八卦中任取两卦，共有28种取法，若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法．当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有3×3＝9种取法．所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9＝10种．则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P，15．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是．【解答】解：连接HF，因为点M在抛物线y2＝4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|＝|MF|，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F（1，0），H（﹣1，，），所以HF的中点为（0，），所以∠FMH的角平分线的斜率为．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为24．【解答】解：由三视图还原原几何体如图所示，在长宽高分别为6，3，4的长方体中，A1E＝D1F＝2，BG＝CH＝1，三视图所对应的几何体是多面体AEG﹣DHF，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积：V＝V E﹣AGHD+V H﹣EFD．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0．（1）求的值；（2）若cos C，求sin B的值．【解答】解：（1）因为sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0，sin B≠0，所以（）26＝0，得2或3（舍去）．由正弦定理得2．（2）由余弦定理得cos C．①将2，即a＝2b代入①，得5b2﹣c2＝3b2，得c b．由余弦定理cos B，得：cos B，则sin B．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△P AB为等边三角形，平面P AB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，又平面P AB⊥平面ABCD，且平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面P AB，（1分）又AQ⊂平面P AB，所以BC⊥AQ，（2分）因为Q为PB中点，且△P AB为等边三角形，所以PB⊥AQ，（3分）又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．（4分）解：（2）取AB中点为O，连接PO，因为△P AB为等边三角形，所以PO⊥AB，由平面P AB⊥平面ABCD，因为PO⊂平面P AB，所以PO⊥平面ABCD，（5分）所以PO⊥OD，由AB＝2BC＝2CD＝4，∠ABC＝90°，可知OD∥BC，所以OD⊥AB．以AB中点O为坐标原点，分别以OD，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．（6分）所以A（0，﹣2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），则（2，2，0），（﹣2，0，2），（0，﹣2，0），因为Q为PB中点，所以Q（0，1，），由（1）知，平面PBC的一个法向量为（0，3，），（7分）设平面PCD的法向量为（x，y，z），由，取z＝1，得（，，），（9分）由cos＜，＞．（11分）因为二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．（12分）9．为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：经计算，样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ﹣3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．【解答】解：（1）p（m﹣s＜X＜m+s）＝p（82.8＜X＜87.2）＝0.8＞0.6826p（m﹣2s＜X＜m+2s）＝p（80.6＜X＜89.4）＝0.94＜0.9544p（m﹣3s＜X＜m+3s）＝p（78.4＜X＜91.6）＝0.98＜0.9974，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，“突变品”个数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），可得ξ的分布列：EY＝012．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E 交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，联立消去y得．＞，，，所以，，，．四边形当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．21．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）为曲线y＝f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），设切点为（m，n），由题意可得a＝e m（2m+1），又n＝am﹣a＝e m（2m﹣1），解方程可得，a＝1或4；22．在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l 的倾斜角．【解答】解：（1）∵，代入y2＝4x，∴ρsin2θ﹣4cosθ＝0（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l的参数方程代入抛物线方程得：t2sin2α﹣4cosα•t﹣8＝0，∴△＝16cos2α+32sin2α＞0，∴t1+t2，t1t2，则|AB|＝|t1﹣t2|4，∴，∴或．。
【精品高考数学试卷】2019年河南省郑州高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知集合2{|450}A x x x =--<，集合{|22}B x x =-<<．则(A B =I ) A ．{|12}x x -<< B ．{|22}x x -<< C ．{|25}x x << D ．{|12}x x <<2．（5分）已知复数21((1)iz i i -=+为虚数单位），则(z = ) A ．1122i --B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i + 3．（5分）已知命题p ：方程221ax by +=表示双曲线；命题:0q b a <<．命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等差数列{}n a 各项均为正数，12312a a a ++=，12348a a a =g g ，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n B ．2n +C ．32n -D ．n5．（5分）函数21x y +=的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知1F ，2F 分别为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若12||||PF PF 的最大值为3，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．12C 6D 27．（5分）如图所示的程序框图，则输出结果为( )A ．2log 6B ．2log 7C ．3D ．2log 98．（5分）已知函数2,1()1,11log x x f x x x⎧⎪=⎨<⎪-⎩…，则不等式()1f x „的解集为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，0](1⋃，2]C ．[0，2]D ．(-∞，0][1U ，2]9．（5分）将曲线22||||x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ，曲线221x y +=围成的区域记为Ⅱ，曲线221x y +=与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，则( ) A ．121p p +>B ．121p p +<C ．121p p +=D ．12p p =10．（5分）第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有( ) A ．150B ．126C ．90D ．5411．（5分）若关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解，则实数a 的值()A ．等于1-B ．等于1C ．等于2D ．不唯一12．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为20π，则三棱柱的体积为( ) A．B ．12C．D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 13．（5分）已知实数x ，y 满足线性约束条件21210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„……，则23x y -的最小值为 ．14．（5分）已知||1a =r，b =r ，|3|2a b +=r r ，则b r 在a r方向上的投影为 ．15．（5分）将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，得到cos y x =的图象，则ϕ的最小值为 ． 16．（5分）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001)，将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =，)，记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)(21)f f f f +++++⋯+-=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数211()sin sin 222x f x x =+-，ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）求f （A ）的取值范围；（2）若C A >，f （A ）0=，且2sin sin A B =ABC ∆的面积为2，求b 的值． 18．（12分）如图所示，在多面体BC AEFD -中，矩形BCFE 所在平面与直角梯形AEFD 所在平面垂直，//AE DF ，AE EF ⊥，G 为CD 的中点，且1AE BE BC ===，2DF =． （1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）求直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值．19．（12分）某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．)20．（12分）已知点G 在抛物线2:4C x y =的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． （1）证明：1212x x y y +为定值；（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM AN ⊥．问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数2()()2ax f x xlnx a x a R =-+-∈．（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（2）若2a =，k N ∈，2()22g x x x =--，且当2x >时不等式(2)()()k x g x f x -+<恒成立，试求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1(4x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数），以原点O 为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 0a ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形； （2）曲线1C 与两坐标轴的交点分别为A 、B ，点P 在曲线2C 运动，当曲线1C 与曲线2C 相切时，求PAB ∆面积的最大值． 23．已知函数()|21||1|f x x x =++-． （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()()()g x f x f x =+-，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，求实数k 的取值范围．2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．【解答】解：{|15}A x x =-<<； {|12}A B x x ∴=-<<I ．故选：A ． 【解答】解：21(1)iz i -=+Q ， 2(1)1z i i ∴+=-， 21zi i ∴=-，则2(1)1z i i i -=-=+， 1122z i ∴=--，则1122z i =-+．故选：C ．【解答】解：方程221ax by +=表示双曲线等价于0ab <，即命题:0p ab <， 由0ab <推不出0b a <<，充分性不具备， 由0b a <<能推出0ab <，必要性具备， 故命题p 是命题q 的必要不充分条件， 故选：B ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由12312a a a ++=，可得：2312a =，解得24a =， 又12348a a a =g g ，1312a a ∴=g ，又138a a +=，1a ∴，3a 是方程28120x x -+=的两根，又等差数列{}n a 各项均为正数， 12a ∴=，36a =，2d ∴=故数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=．故选：A ．【解答】解：由()f x 的解析式得()()0f x f x -+=， ()f x ∴是奇函数图象关于原点对称，当1x =时，f （1）1=<，排除A ， 当0x >时，()f x ==，函数在(0,)+∞上单调递减，故可排除B ，D 故选：C ．【解答】解：P 到椭圆C 焦点的最大距离为a c +，最小距离为a c -， 又12||||PF PF 的最大值为3， ∴3a c a c +=-，12e ∴=． 故选：B ．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯值，由于2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 234567899log 923456782lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg =⨯⨯⨯⨯⨯⨯==． 故选：D ．【解答】解：当1x …时，()1f x „即为：2log 1x „ 解得12x 剟当1x <时，()1f x „，即为：111x-„ 解得0x „．综上可得，原不等式的解集为(-∞，0][1U ，2] 故选：D ．【解答】解：由方程22||||x y x y +=+，得：22111()()2220,0x y x y ⎧-+-=⎪⎨⎪⎩厖，或者22111()()2220,0x y x y ⎧++-=⎪⎨⎪⎩剠，或者22111()()2220,0x y x y ⎧+++=⎪⎨⎪⎩剟，或者22111()()2220,0x y x y ⎧-++=⎪⎨⎪⎩厔， 曲线22||||x y x y +=+围成的区域Ⅰ、曲线221x y +=围成的区域Ⅱ、四边形ABCD 围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为222()2ABCD S ππ+=+正方形； 区域Ⅱ的面积为21ππ⨯=； 区域Ⅲ的面积2(2)2=；∴由几何概率公式得：12p ππ=+，222p π=+， 故121p p +=． 故选：C ．【解答】解：选一名男记者参加“负重扛机”，剩余的4人分为(2，1，1)一组，再分配另三项工作，故有123343108C C A ⨯⨯=种，选两名男记者参加“负重扛机”，剩余的3分配另三项工作，故有233318C A ⨯=种， 由分类计数原理，可得共有10818126+=种， 故选：B ．【解答】解：令1t x =-，则关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解等价于关于t 的方程||2019sin 0t a t a ++=只有一个实数解，若0a …，则由sin 1t -…及2019x y =为增函数，得：||02019sin 201910t a t a a a ++-+=>…，方程无解， 故0a <，令||()2019t f t a =+，()sin g t a t =， 则()y f t =在0t =时取最小值1a +， 又函数()y g t =的图象关于点(0,0)对称，当1a =-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有且只有一个交点，此而满足题意， 当1a <-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有两个交点，此而不合题意， 当10a -<<时，两函数()y f t =、()y g t =的图象没有交点，此而不合题意， 所以1a =-为所求， 故选：A ．【解答】解：为三棱柱111ABC A B C -的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同， 所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a ，高为h ，截面圆的半径为r ，球半径为R ，Q 球O 的面积为20π，2420R ππ=，解得5R =，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴222()()()223a h +=，∴3a h =，①又Q 222()()23h R +=，②由①②得23a =，2h =， 三棱柱的体积为23(23)263V =⨯⨯=． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令23z x y =-，则2133y x z =-，作出直线2:3l y x =，平移直线l ，由图可得，当直线经过点C 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时23z x y =-取得最小值，由2121x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31(,)55C ，23z x y ∴=- 的最小值是21323555⨯-⨯=．故答案为：35．【解答】解：||1a =rQ，b =r，||b =r|3|2a b +=r r，∴22694a a b b ++=rrrr g ，∴12a b =-r r g∴则b r 在a r方向上的投影为：1||2a b a =-r r g r故答案为：12-．【解答】解：将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，可得sin()6y x πϕ=--的图象；又因为得到cos sin()2y x x π==+的图象，sin()sin()26x x ππϕ∴+=--，∴226k πππϕ=--，k Z ∈，223k πϕπ∴=-，则当1k =时，ϕ取得最小值为43π， 故答案为：43π． 【解答】解：依题意201820182017201602120202022018a =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2018选择0，20182018(2)2f ∴=，2018201820171021120202122017a +=⨯+⨯+⋯⋯+⨯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2017选择0，20182017(21)2f ∴+=，根据计数原理，在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20172共有20172018C 个，同理在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20162的共有20162018C 个，⋯⋯在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于02的有02018C 个．所以201820182018201900112018201820182018201820182018(2)(21)(22)(21)222(12)3f f f f C C C +++++⋯+-=⨯+⨯+⋯⋯+⨯=+=．故填：20183．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【解答】解：（1）2111cos sin 1()sin sin )2222224x x x f x x x π-=+-=+-=-． 由题意0A π<<， 则(44A ππ-∈-，3)4π，可得：sin()(4A π-∈，1]． 可得：f （A ）的取值范围为1(2-．（2)04A π-=， 4A k ππ∴-=，k Z ∈， 4A k ππ∴=+，k Z ∈．又A Q 为锐角， 4A π∴=．由余弦定理及三角形的面积得：22221sin 224cos 42a b bc b c a bc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪+-⎪=⎩，解得2b =．方法二：32sin sin()44C C ππ=-+，且C A >，可得2C π=，则ABC ∆为等腰直角三角形，由于：2122b =，所以：2b =．【解答】（1）证明：取CF 的中点H ，连结EH ．H Q 是CF 的中点，G 是CD 的中点．//GH FD ∴，12GH FD =． 又//AE DF ，12AE DF =． //AE GH ∴，AE GH =．∴四边形AGHE 是平行四边形，//AG EH ∴．又AG ⊂/Q 平面EFCB ，EH ⊂平面EFCB ． //AG ∴平面EFCB ．（2）Q 平面BEFC ⊥平面AEFD ，CF EF ⊥，平面AEFD ⋂平面EFCB EF =， CF ∴⊥平面AEFD ．CF EF ∴⊥，CF FD ⊥． //AE DF Q ，AE EF ⊥，EF DF ∴⊥．以F 为原点，分别以FE 、FD 、FC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -， 则(1E ，0，0)，(0F ，0，0)，(0D ，2，0)，(0C ，0，1)，(1A ，1，0)，(1B ，0，1)，(0G ，1，1)2，∴(1AG =-u u u r ，0，1)2，(0AE =u u u r ，1-，0)．设平面AGE 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ，则00n AG n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令2z =，得(1n =r ，00，2)． 又(0AB =u u u r ，1-，1)，10cos ,52n AB ∴<>==⨯u u ur r ． ∴直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值为10．【解答】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率12p >．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是： “甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：2212(1)p p p p =+-，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜， 而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-．而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--． 12p >Q ，21p p ∴>，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大． ∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．【解答】解：（1）法1：抛物线2:4C x y =的准线为:1l y =-，故可设点(,1)G a -， 由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ． 因为点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线C 上，所以22112211,44y x y x ==． 所以直线GA 的方程为211111()42y x x x x -=-．因为点(,1)G a -，在直线GA 上，所以2111111()42x x a x --=-，即211240x ax --=．同理，可知222240x ax --=． 所以1x ，2x 是方程2240x ax --=的两个根，所以124x x =-． 又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值． 法2：设过点(,1)G a -，且与抛物线C 相切的切线方程为1()y k x a +=-， 由21(),4,y k x a x y +=-⎧⎨=⎩，消去y 得24440x kx ka -++=， 由△2164(44)0k ak =-+=，化简得210k ak --=，所以121k k =-． 由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．直线GB 的斜率为2212k x =． 所以12114x x =-，即124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值． （2）存在，由（1）知2212124x x x x =-=-=-． 不妨设12x x <，则12x =-，22x =，即(2,1)A -，(2,1)B ． 设设(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ．则2112244M x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得111()()4()M M M x x x x y y -+=-，所以直线AM 的斜率为1244M M AM x x x k +-==，同理可得24N AN x k -=， 因为AM MN ⊥，所以22144N M AM AN x x k k --==-g g ， 整理得2()200M N M N x x x x -++=g ，又，①又因为因为224,4M M NN x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得()()4()M N M N M N x x x x y y -+=-，从而可得直线MN 的斜率为4M NMN x x k +=， 所以直线MN 的方程为2()44M N MM x x x y x x +-=-，化简可得4()M N M N y x x x x x =+-，将①代入上式得4()2()20M N M N y x x x x x =+-++， 整理得4(5)()(2)M N y x x x -=+-．所以直线MN 过定点(2,5)，即P 点的坐标为(2,5)． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 【解答】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x lnx ax '=-，令()0f x '=，可得0lnx ax -=，lnx a x∴=，令()lnxh x x =，则由题可知直线y a =与函数()h x 的图象有两个不同的交点， 21()lnxh x x -'=，令()0h x '=，得x e =， 可知()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()max h x h =（e ）1e=， 当x 趋向于+∞时，()h x 趋向于零， 故实数a 的取值范围为1(0,)e．（2）当2a =时，2()2f x xlnx x x =-+-， (2)()()k x g x f x -+<，即(2)k x xlnx x -<+，因为2x >，所以2xlnx xk x +<-， 令()(2)2xlnx xF x x x +=>-， 则242()(2)x lnxF x x --'=-，令()42(2)m x x lnx x =-->， 则2()10m x x'=->， 所以()m x 在(2,)+∞上单调递增，m （8）242840ln lne =-<-=，3(10)6210620m ln lne =->-=， 故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ， 即00420x lnx --=，故当02x x <<时，()0m x <，即()0F x '<， 当0x x <时，()0F x '>，所以0000000004(1)2()()222x x x lnx x x F x min F x x x -++====--， 所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈， 所以k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．【解答】解（1）曲线1C 化为普通方程为30x y ++=，是一条直线，对于曲线2C ：由cos x ρθ=及222x y ρ+=代入曲线2C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2220x y x a +-+=，即为22(1)1x y a -+=-．当1a <，曲线2C 是以(1,0)当1a =，曲线2C 表示一点(1,0)． 当1a >，曲线2C 不存在．（2）由（1）知曲线1C 化为普通方程为30x y ++=， 令0x =，3y =-；0y =，3x =-，所以(3,0)A -，(0,3)B -， 又由题可知1a <，曲线222:(1)1C x y a -+=-，=解得7a =-，此时222:(1)8C x y -+=，所以11()||221222PAB max S AB R ∆==⨯⨯=g ， 所以PAB ∆面积的最大值为12．【解答】解：（1）依题意得13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…，于是得1232x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩„或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+>⎩或132x x ⎧⎨>⎩…； 解得23x <-，或0x >；即不等式()2f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >；（2）()()()|1||1|(|21||21|)|(1)(1)||(21)(21)|4g x f x f x x x x x x x x x =+-=-+++++---+++--=…，当且仅当(1)(1)0(21)(21)0x x x x -+⎧⎨-+⎩„„，即1[2x ∈-，1]2时取等号，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，则|1|()4min k g x -<=， 所以414k -<-<，解得35k -<<，即实数k 的取值范围为(3,5)-．。
2019年河南省六市高三第二次联合调研检测--理综答案
(2 分 )
AC=BC=2Rcosr= 3R ;
光在透明球中的传播路程 L=2 3R; (2分)
传播速度v=nc =
2c, 2
(1 分 )
传播时间t=vL =2c6R . (1分) 35.(15 分 ) (1)5s25p3(1分) Ti、Ni(2分,答对1个给1分,答错不给分) (2)碳原子结合一个电子后的2p3 轨道处于半充满状态,稳定性较强(2分) (3)sp3(1分) bd(2 分,答对1个给1分,答错不给分) >(1分) [PtCl4(NH3)2]的形成过程中,NH3 中的 N 原子的孤对电子与 Pt (IV)形成了配位键,转化为成键电子对,对其他成 鍵 电 子 的 斥 力 降 低,故 键 角 増 大(2 分)
高三理科综合能力测试答案 第4页 (共5页 )
(4)(3/4,3/4,1/4)(2 分 )
3
288 ρN A
36.(15 分 )(1)苯 甲 醛 (2 分 );
(2 分 )
(2)羰 基 、溴 原 子 (2 分 );还 原 反 应 或 加 成 反 应 (1 分 )
(3)
(2 分 );
(4)
(2分) (5)19(2分);
(1)几乎全身细胞(2分) (2)1(2分)
(3)选择性表达(1分) (4)信息交流(2分) 糖蛋白(1分)
30.(共 12 分 ,每 空 2 分 )
(1)灌 溉 和 雾 化
两种处理都维持了叶片的水分含量,使气孔不关闭(合 理 即
给分)
(2)ATP 、[H](NADPH)
(3)底 部 叶 片 衰 老 ,呼 吸 酶 活 性 降 低
32.(12 分 ,每 空 2 分 )
(1)不定向性 10
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2019年河南省六市高三第二次联考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得：集合是点集，集合是数集，由交集概念即可得解。
【详解】由题可得：集合是点集，集合是数集，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题。
2.若复数满足，则的虚部为（）A. -4B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】整理得：，问题得解。
【详解】因为，所以所以的虚部为：故选：B【点睛】本题主要考查了复数的模及复数的除法运算，还考查了复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题。
3.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（ ） A. 416 B. 432C. 448D. 464【答案】A 【解析】 【分析】设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，利用等差数列性质可得第6组抽到的号码.【详解】设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，所以，，所以，解得，所以.故选：A【点睛】本题考查随机抽样的知识，考查数据处理能力和应用意识.4.等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，则的值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B 【解析】以为变量，得，，则，所以最小，故,故选B.5.设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点（ ） A. 仅有一个 B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在【答案】A 【解析】 解：与平面 距离相等的点位于平面 上； 与平面 距离相等的点位于平面 上；与平面距离相等的点位于平面上；据此可知，满足题意的点位于上述平面，平面,平面的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个. 本题选择A 选项.点睛：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可. 6.已知，点为斜边的中点，，，，则等于（ ） A. -14 B. -9C. 9D. 14【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线及向量的加减法分别表示出，，再利用即可求得，问题得解。
【详解】依据题意作出如下图象：因为，所以三点共线。
.又所以故选：D【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了向量垂直的数量积关系，考查转化能力及计算能力，属于中档题。
7.设变量，满足不等式组，则的最大值为（）A. B. C. D. 6【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求得，问题得解。
【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线，当往上平移时，变小，当直线经过点时，最大，当直线经过点时，最小.即：，所以所以，所以的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求目标函数的最值，考查了数形结合思想及转化能力，属于中档题。
8.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，.故函数的图象与轴的两个交点坐标为，，排除B、D．又，排除A，故选C．9.设实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，即；由在上为增函数，且，，结合函数零点定理可得，从而可得结果．【详解】因为，所以，因为，所以，可得，又因为在上为连续递增函数，且，，又，所以由函数零点存在定理可得，即，故选B．【点睛】本题考查了对数函数的性质以及函数的零点存在定理的应用，属中档题. 应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10.在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。
【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ. 因为△PME∽△PQB，所以，因为△PBF∽△EBO，所以，从而有，又因为M是线段PF的中点，所以.本题选择C选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11.已知数列中，，且对任意的，都有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，代入已知可得：，由即可求得：，对裂项可得：，问题得解。
【详解】令，代入得：又..所以.故选：D【点睛】本题主要考查了赋值法及转化思想，还考查了裂项求和方法，考查计算能力，属于中档题。
12.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（）A. -2B.C. 0D. 1【答案】B【解析】由题意得直线过定点，且斜率k>0,由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点，所以，，则切线方程过点，所以，而=。
选B.【点睛】直线与曲线相切一般要应用三点，一是曲线在切点处的导数是切线的斜率，二是切点即在曲线上也在切线上，三是没有切点要设切点。
本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知，是第三象限角，则__________．【答案】【解析】【分析】由两角和的正切公式即可求得，结合即可求得，问题得解。
【详解】因为，所以解得：，即：又，所以又是第三象限角，所以【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式及同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于基础题。
14.《易经》是中国传统文化中精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率__________．【答案】【解析】【分析】由图可得：三根都是阳线的有一卦，三根都是阴线的有一卦，两根阳线一根阴线的有三卦，两根阴线一根阳线的有三卦，利用组合数可得基本事件总数，分类利用计算原理求得符合要求的基本事件个数为10个，问题得解.【详解】从八卦中任取两卦，共有种取法若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有种取法.当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有种取法.所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有种.则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为【点睛】本题主要考查了组合计数及分类思想，考查古典概型概率计算公式，属于中档题。
15.抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的角平分线所在的直线斜率是_______.【答案】【解析】分析：由抛物线定义可知，进而可推断出∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论.详解：连接HF，因为点M在抛物线上，所以由抛物线的定义可知，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F，，所以HF的中点为，所以∠FMH 的角平分线的斜率为.故答案为：点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。
抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．16.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。
问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为__________．【答案】24【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后将其分割之后求解其体积即可.【详解】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，，，三视图所对应的几何体是多面体，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积：.故答案为：．【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，内角、、的对边分别为、、，且满足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）对两边同除以，即可求得，结合正弦定理即可得解。
（2）由余弦定理及可得，再利用余弦定理即可求得，问题得解。
【详解】（1）因为，，所以，得或（舍去），由正弦定理得.（2）由余弦定理得①将，即代入①，得，得，由余弦定理得：，即：，则.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题。
18.如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明及，即可证明：平面，问题得证。
（2）建立空间直角坐标系，由（1）得为平面的法向量，求得平面的法向量为，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，，所以， 又平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以，因为为中点，且为等边三角形，所以.又，所以平面.（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面， 所以，由，，可知，所以.以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，，，，，所以，，由（1）知，为平面的法向量，因为为的中点，所以，所以，设平面的法向量为，由，得，取，则.所以.因为二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题。