三角函数的平移与伸缩变换_整理
三角函数中的平移与伸缩变换
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
计算三角函数的平移和缩放
计算三角函数的平移和缩放三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理和工程等领域中起着关键作用。
为了更好地研究和应用三角函数，我们需要了解如何进行平移和缩放操作。
本文将详细介绍计算三角函数的平移和缩放的方法和步骤。
1. 平移的概念和计算方法平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。
对于三角函数来说，平移操作会导致函数图像在横轴或纵轴上发生水平或垂直方向的移动。
下面以正弦函数为例，介绍平移的计算方法。
正弦函数y = sin(x)的图像可以表示为以原点为中心的周期为2π的曲线。
如果我们希望将该函数图像向左平移a个单位，那么新的函数可以表示为y = sin(x + a)。
同样地，如果希望向右平移a个单位，那么新的函数可以表示为y = sin(x - a)。
对于余弦函数y = cos(x)的平移计算，同样采用类似的方法。
如果希望将余弦函数图像向左平移a个单位，那么新的函数可以表示为y = cos(x + a)。
如果希望向右平移a个单位，那么新的函数可以表示为y = cos(x - a)。
这样，我们可以利用平移操作得到任意横轴平移的三角函数图像。
2. 缩放的概念和计算方法缩放是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
对于三角函数来说，缩放操作会导致函数图像在横轴或纵轴上的周期或幅度发生变化。
下面以正弦函数为例，介绍缩放的计算方法。
正弦函数y = sin(x)的图像的周期为2π，幅度为1。
如果希望将该函数图像的周期变为b倍，那么新的函数可以表示为y = sin(bx)。
同样地，如果希望将该函数图像的幅度变为a倍，那么新的函数可以表示为y =a*sin(x)。
对于余弦函数y = cos(x)的缩放计算，同样采用类似的方法。
如果希望将余弦函数图像的周期变为b倍，那么新的函数可以表示为y =cos(bx)。
如果希望将该函数图像的幅度变为a倍，那么新的函数可以表示为y = a*cos(x)。
这样，我们可以利用缩放操作得到任意周期和幅度的三角函数图像。
复习三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数s i n()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象 得sin()y x ϕ=+的图象得sin()y x ωϕ=+的图象 得sin()y A x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移 sin y x =的图象 得sin y A x =的图象 得sin()y A x ω=的图象得sin ()y A x x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．xy sin =)3s in(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．练习1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度3．（07山东文）4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 4．（06江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6、（2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 （B ） 43（C ）32（D ） 37（2010福建）将函数()()ϑω+=x x f sin 的图像向左平移2个单位，若所得图像与原图重合，则ω的值不可能是（ ）（A ）423 （B ） 643 （C ） 832（D ） 12作业 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数3.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）（A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 34.将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( )(A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R)5.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ）(A)y=sin(x/2)(B)y=sin(x/2-π/2)(C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6) 6.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-7.5yAsin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）12(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8、将函数y=sin2x 的图象向左平移π/4个单位，再向上平移1个单位所得到函数解析式（ ） y=cos2x y=2(cosx)*(cosx) y=1+sin(2x+π/4) y=2(sinx)*(sinx)。
三角函数的伸缩变换与平移变换
三角函数的伸缩变换与平移变换1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个有趣的话题，那就是三角函数的伸缩变换和平移变换。
听起来是不是有点晦涩，但别担心，咱们慢慢来，轻松讲解。
想象一下，三角函数就像是一个调皮的小孩，它总是喜欢玩各种变形游戏，不信你看看，正弦、余弦、正切，它们都能搞出不少花样来。
咱们先来看看这些变换都是什么吧，别着急，咱们一步一步来。
2. 伸缩变换2.1 什么是伸缩变换首先，咱们得了解什么是伸缩变换。
简单来说，就是把图像放大或缩小。
这就像你在照镜子时，调节镜子的位置，让自己变得更高或更矮。
比如说，如果你有一个正弦函数 ( y = sin(x) )，如果把它的幅度加大，比如变成 ( y = 2sin(x) )，那么它的波峰就高了，波谷也低了，整个图像就像是喝了兴奋剂一样，蹭蹭往上蹿，变得活泼多了。
2.2 伸缩的感觉再说个例子，如果把它的幅度缩小，比如变成 ( y = 0.5sin(x) )，那么图像就像是被压扁了一样，波峰和波谷都不那么明显，感觉像是被子弹压得没有了气息。
不过，虽然看起来不那么张扬，但其实它的性格依然在，只是低调了很多。
所以啊，伸缩变换就像是给三角函数穿上了不同风格的衣服，让它在不同场合下都能发挥自己的魅力。
3. 平移变换3.1 平移的魔法接下来，我们再来说说平移变换。
这一招就像是把图像往左或往右移动，简直是个魔法师！比如，把正弦函数 ( y = sin(x) ) 往右移动 ( frac{pi{2 ) 的话，就变成了 ( y =sin(x frac{pi{2) )，这时候它就变成了余弦函数 ( y = cos(x) )。
是不是很神奇？就像是给小孩换了个地方玩耍，结果发现他变得更开心了。
3.2 左右平移的感受而且，平移不仅可以往右移动，也可以往左移动。
比如，往左移动 ( frac{pi{2 )，那么就是 ( y = sin(x + frac{pi{2) )，这又是一番风味。
高二数学三角函数的平移与伸缩变换的应用
高二数学三角函数的平移与伸缩变换的应用三角函数是高中数学中重要的概念和工具，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在高二数学学习中，我们不仅仅学习了基本的正弦、余弦、正切函数，还学习了三角函数的平移与伸缩变换。
这些变换对于解决实际问题和分析函数图像都起着重要的作用。
本文将介绍三角函数平移与伸缩变换的概念和应用，并通过实例展示其在实际问题中的具体运用。
1. 三角函数的平移变换平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向的移动，使得图像的位置发生变化。
在三角函数的平移变换中，我们可以通过改变函数中的常数项来实现平移效果。
以正弦函数y = sin(x)为例，我们可以将其平移h个单位，得到新的函数y = sin(x - h)。
当h大于0时，函数图像沿x轴正方向移动；当h小于0时，函数图像沿x轴负方向移动。
平移变换可以使得函数图像在横向上发生移动，从而改变函数的相位。
平移变换在实际问题中的应用非常广泛。
比如，在物理学中，我们经常研究物体的周期性运动。
通过平移变换，我们可以调整物体的运动起始位置，从而分析其周期性变化规律。
在经济学中，平移变换可以用来分析市场需求和供给的变化，从而预测市场走势。
平移变换还可以用于图像处理、信号处理等领域，通过调整图像或信号的位置，实现目标检测、降噪、滤波等操作。
2. 三角函数的伸缩变换伸缩变换是指改变函数图像在横向和纵向上的形状和尺寸。
在三角函数的伸缩变换中，我们可以通过改变函数中的系数来实现伸缩效果。
以正弦函数y = sin(x)为例，我们可以将其在横向上压缩或拉伸a倍，得到新的函数y = sin(ax)。
当a大于1时，函数图像在横向上被压缩；当0 < a < 1时，函数图像在横向上被拉伸。
伸缩变换还可以改变函数在纵向上的振幅，从而调整函数图像的高度。
伸缩变换在实际问题中也有着重要的应用。
比如，在物理学中，我们经常研究波的传播和干涉现象。
通过伸缩变换，我们可以调整波长和振幅，从而分析波的传播规律和干涉效应。
三角函数角的变换总结
三角函数角的变换总结三角函数是数学中重要的一部分，它们能够描述直角三角形中的各种关系以及周期性现象。
三角函数角的变换是指将一个角按照一定的规律进行平移、伸缩、翻转等操作，得到新的角。
这些变换可以帮助我们更好地理解三角函数的性质、图像以及应用。
一、平移变换平移变换是指将角按照一定的规律在坐标平面上沿着横轴或者纵轴进行移动。
平移变换可以通过改变角的坐标来实现。
具体来说，设原始角为θ，平移后的角为θ+a。
对于三角函数来说，平移变换的规律如下：1. 正弦函数的平移变换：y = sin(θ+a) = sinθcosa + sinacosθ平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
2. 余弦函数的平移变换：y = cos(θ+a) = cosθcosa - sinasina平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
3. 正切函数的平移变换：y = tan(θ+a) = (tanθ + tana) / (1 - tanθtanα)平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
二、伸缩变换伸缩变换是指将角按照一定的规律进行拉伸或者收缩操作。
伸缩变换可以通过改变角度的系数来实现。
具体来说，设原始角为θ，伸缩后的角为kθ。
对于三角函数来说，伸缩变换的规律如下：1. 正弦函数的伸缩变换：y = sin(kθ) = sinθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。
2. 余弦函数的伸缩变换：y = cos(kθ) = cosθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像左右收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像左右拉伸。
3. 正切函数的伸缩变换：y = tan(kθ) = tanθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。
三角函数的平移与伸缩变换-整理
)(A > 0,3> 0) ,x € [0,+ s)表示一个振动量时，A1图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的-，得到函数）图像的横坐标不变， 纵坐标向上（k 0）或向下（k 0），要特别注意，若由y sin x 得到y sin x 的图像，则向左或向右平移应平 移|—|个单位。
对y sin （x ）图像的影响一般地，函数y sin （x ）的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向 ____ 当＞0时）或向 ______ 当 ＜0时）平移| |个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“ _____________ ”_ 对y sin x 图像的影响函数y sin x x R （ 0且 1），的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的1横坐标 ______ 1）或 _____ 0 1）到原来的一倍（纵坐标不变）。
A 对y A sin x 的影响函数y A sinx , x R(A 0且 A 1)的图像可以看成是把正弦函数上所有的点 的纵坐标 ______ (A 1)或 ________ _0 A 1)到原来的A 倍得到的函数 y A sin( x）的图像2 称为振幅，T = 一-称为频率，x 称为相位，称为初相。
T(2)函数 y Asin( x）k 的图像与ysin x 图像间的关系:① 函数y sin x 的图像纵坐标不变, 横坐标向左（＞0 ）或向右（＜0 ）平移||个（1）物理意义：y Asin （ x② 函数y sin xy sin x的图像；③ 函数ysin xy As in( x）的图像;④ 函数y Asin( x得到 y Asi n x图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数k 的图像。
单位得y sin x 的图像;由y si nx到y A si n( x )的图像变换先平移后伸缩：先伸缩后平移：【典型例题】例1 将y sin x的图象怎样变换得到函数y 2sin 2x n1的图象.4练习：将y cosx的图象怎样变换得到函数y cos 2x」的图象.44例2、把y 3cos(2x )作如下变换：(1)向右平移一个单位长度；21(2)纵坐标不变，横坐标变为原来的-；33(3)横坐标不变，纵坐标变为原来的；4(4)________________________________________________ 向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为_____________________________ .4练习：将y 2sin(2x ) 2做下列变换：(1)向右平移—个单位长度；2(2)横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变;(3)纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；(4)沿y轴正方向平移1个单位，最后得到的函数y f(x) ________________ . 例3、把y f (x)作如下变换：(1)横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变；(2)向左平移—个单位长度；33(3)纵坐标变为原来的-，横坐标不变；53 3(4)沿y轴负方向平移2个单位，最后得到函数y —sin(—x -),求y f (x).练习1 ：将y4sin( x8 才)作何变换可以得到y sinx. 练习2:对于y 3sin(63|x)作何变换可以得到y si nx.例4、把函数y sin( x )(0,112)的图象向左平移 A. 1,B.61, -6C.2,—D.2, —33练习：7、 右图是函数 y Asin( x )(x R)在区间5(-,—)上的图象，只要将 6 6(1) y si nx 的图象经过怎样的变换?(2) y cos2x 的图象经过怎样的变换?【课堂练习】1、为了得到函数y sin(3x —)的图象，只需把函数y sin 3x 的图象曲线的一部分图象如图所示，则() 3个单位长度，所得3、要得到函数y sinx 的图象，只需将函数y cos x —的图象( )A 、向右平移-个单位B 、向右平移-个单位C 、向左平移-个单位D 、向 左平移-个单位4、为了得到函数y sin(2x )的图象，可以将函数y cos2x 的图象( )6A 、向右平移-个单位长度B 、向右平移-个单位长度63C 、向左平移-个单位长度D 、向左平移-个单位长度636、为了得到函数y sin(2x —)的图像，只需把函数y sin(2x —)的图像()g(x) cos x 的图象，只要将y f (x)的图象 ( )A 、向左平移6B 向左平移18C 向右平移云D 、向右平移182、为得到函数yncos 2x3的图像'只需将函数ysin 2x 的图像(A 、向左平移55个长度单位12C 、向左平移 乞个长度单位6B 、向右平移55个长度单位12D 、向右平移55个长度单位65、把函数y sin x ( x所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 示的函数是()A 、y sin(2 x) , x R 3C 、 y sin(2x ) , x R 3 R )的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把312倍(纵坐标不变)，得到的图象所表xB 、y sin( ) , x R2 6 2D 、 y sin(2x ) , x R3A 、向左平移-个长度单位4 C 、向左平移-个长度单位27、已知函数 f (x) sin( x )(x R,4B 、向右平移-个长度单位4 D 、向右平移-个长度单位20)的最小正周期为，为了得到函数A 、 向左平移-个单位长度8B 、 向右平移一个单位长度8C 、 向左平移一个单位长度4D 、 向右平移一个单位长度48.将函数 y=s inx 的图象向左平移 (0V 2）的单位后，得到函数y=sin (x -）的图象，则等于（)A.—B. 5C. 7D.116 6 6 6专练：1. （2009山东卷理）将函数y sin2x 的图象向左平移；个单位,再向上平移1个 单位，所得图象的函数解析式是（ ）.A. y cos2xB. y cos2x 1C. y 1 sin （2x ）4D. y 2sin 2 x2. （2009天津卷理）已知函数f （x ） sin （ x -）（x R, 0）的最小正周期为4 为了得到函数g （x ） cos x 的图象，只要将y f （x ）的图象A 、向右平移—个单位B 、向右平移—个单位C 、向左平移—个单位D 、向左平移—个单位4（ （ 10江苏卷）为了得到函数y 2sin （Z ）,x R 的图像，只需把函数3 6y 2 si nx,x R 的图像上所有的点A 、向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐63标不变）A 向左平移一个单位长度8 C 向左平移一个单位长度4B 向右平移一个单位长度8 D 向右平移一个单位长度43.（09山东）要得到函数y sin x 的图象，只需将函数y cos x 的图象（）B、向右平移—个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）C、向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D、向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵6坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数y sin（2x -）的图像，只需把函3数y sin(2x -)的图像A、向左平移一个长度单位4C、向左平移一个长度单位26、（ 2010辽宁）设0,函数y sin(原图像重合，则的最小值是A、-3 B、-3B、向右平移一个长度单位4D、向右平移-个长度单位2x -） 2的图像向右平移—个单位后与3 3C、-D、 32。
三角函数图像变换总结（范本）
三角函数图像变换总结三角函数图像变换总结篇一：三角函数图像变换小结(修订版) ★三角函数图像变换小结★相位变换：①y?sinx?y?si n(x??)0? 将y?sinx图像沿x轴向左平移?个单位②y?s inx?y?sin(x??)0?将y?sinx图像沿x轴向右平移?个单位周期变换：①y?sinx?y?sinx(0??1)将y?sinx图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 1 倍②y?sinx?y?si nx(?1)将y?s inx图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍振幅变换：①y?sinx?y?A sinx的A倍②y?sinx?y?Asinx A倍?0?纵坐标缩短为原来A?1?将y?si nx图像上所有点的横坐标不变， ?A?1?将y?sinx图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的【特别提醒】由y＝sinx的图象变换出y ＝Asin(?x＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(?＞0)或向右（??0）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的移 |?| 1? 倍(?＞0)，便得y＝sin(ωx＋?)的图象 1 ?倍(?＞0)，再沿x轴向左(?＞0)或向0?右平 ?个单位，便得y＝si n(?x＋?)的图象 ?? |个单位【特别提醒】若由y?s in?x 得到y?si n??x的图象，则向左或向右平移应平移| 1 为了得到函数y?3sin?x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x? ? ? ?? ?上所有的点（） 5? （A）向右平行移动（C）向右平行移动 ?52?5 个单位长度（B）向左平行移动个单位长度（D）向左平行移动 ? 52?5 个单位长度个单位长度（201X·朝阳期末）要得到函数y?sin(2x?（A）向左平移（C）向右平移 (09山东文)将函数y?sin2x的图象向左平移( ). ? 4 ?4 )的图象，只要将函数y?sin2x的图象 ( ) 单位（B）向右平移单位（D）向左平移 ?4 单位单位 ?8 ? 8 ? 4个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A.y?2cs2x B. y?2sin2xC.y?1?sin(2x? 【方法总结】 ? 4 ) D.y?cs2x①将y?f?x?图像沿x轴向左平移a个单位 y?f?x??y?f(x?a)②将y?f(x)图像沿x轴向右平移a个单位 y?f?x??y?f(x?a) 为了得到函数y?3si n?2x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x? ? ? ???上所有的点（）5? 1212 （A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的（C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的（201X四川文）将函数y?s inx 的图像上所有的点向右平行移动 ?10 倍，纵坐标不变倍，横坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）（A）y?sin(2x?（C）y?sin( 2?10 ) （B）y?sin(2x?) （D）y?sin( 12 ? 5 )) 12 x? ? 10 x? ? 20 (201X·广州期末)若把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移 ? 4 个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y?sinx的图象,则y?f?x?的解析式为( ) A．y?sin?2x? ??? ???B．?1y?sin2x1 4?2?? C．y?s in?2x? 【方法总结】 ?? ???D．?1y?sin2x1 4?2?? 将y?f?x?图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的y?f(x)?y?f?x 1 倍? (?0) 为了得到函数y?4sin?x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x?? ? ?? ?上所有的点（） 5?34 （A）横坐标伸长到原来的（C）纵坐标伸长到原来的【方法总结】 4343倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 34倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变将y?f?x?图像上所有点的横坐标不变，横坐标变为原来的A倍y?f(x)?y?A f?x ? (A?0) 为了得到函数y?sin?2x? ???? ?的图像，可以将函数y?cs2x的图像（） 6?A 向右平移 ? 6B 向右平移 ?3 C 向左平移?6 D向左平移?3 试述如何由y=sin（2x+ 31π3 ）的图象得到y=sinx的图象3 函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确定；?由周期确定；?由图象上的特殊点确定，（201X重庆理）（6）已知函数y?sin(?x??)(??0,??A. ?=1 ?= ? 6 ? 2 )的部分图象如题（6）图所示，则（） ? 6 B. ?=1 ?= —C.?=2 ?= ? 6? 6 D. ?=2 ?= —（201X天津文）（8）右图是函数y?Asin(?x??)?A?0,??0,?? ?? ?? 2? ?在区间?? ? ??5?? 上的图像为?66?, 了得到这个函数的图象，只要将y?sinx（x?R）的图象上所有的点（） (A)向左平移? 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变(B) 向左平移 ? 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 ? 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变(D) 向左平移?6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变【规律总结】 y?Asin(?x??)的图像（１）相邻的对称轴之间的距离为半个周期；（２）相邻对称中心间的距离是半个周期；（３）相邻的对称轴和对称中心之间的距离为14 个周期。
三角函数伸缩变换法则
三角函数伸缩变换法则
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。
一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。
当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。
一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。
当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。
高考数学复习点拨：三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩河北 张军红函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A kωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下:先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x=的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解:（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x=的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数．解:ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 根据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x=的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
(完整)三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换（伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0），便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换（伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0），再沿x 轴向左（ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像（ A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2。
要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象( D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位3。
为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）（A)向右平移6π个单位长度 (B ）向右平移3π个单位长度 (C ）向左平移6π个单位长度 (D ）向左平移3π个单位长度4。
把函数sin y x =(x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+,x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+，x R ∈ 5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于B .(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（D ）A ．6π B ．56π C. 76π D 。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数 y Asi n ( x) k的图象与函数 y sin x 的图象之间可以通过变化 A，，，k来相互转化． A，影响图象的形状，，k影响图象与x 轴交点的位置．由 A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩y sin x 的图象向左 ( >0) 或向右 (0)平移个单位长度得 y sin( x) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 ( >1)到原来的1(纵坐标不变 )得 y sin(x) 的图象纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0< A <1)为原来的 A倍 (横坐标不变 )得 y Asin(x) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 y Asin( x) k 的图象．y sin x纵坐标不变横坐标向左平移π/3个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的 1/2横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍先伸缩后平移y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )y sin(x)3y sin(2x)3y 3sin(2x)3得 yAsin x 的图象 横坐标伸长 (0 1) 或缩短 ( 1)到原来的 1(纵坐标不变 )得 yAsin( x) 的图象向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位得 yAsin x( x ) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 yA sin( x ) k 的图象．纵坐标不变y sin x横坐标缩短为原来的 1/2纵坐标不变横坐标向左平移π /6个单位横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍y sin 2xy sin(2x)3y 3sin(2x ) 3例 1 将 y sin x 的图象怎样变换得到函数y 2sin2 xπ1 的图象．4解：（方法一）①把y sin x 的图象沿 x 轴向左平移π个单位长度，得y sin xπ的图象；②将所得44图象的横坐标缩小到原来的1，得 y sin 2xπ的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得24y 2sin 2xπ的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1 个单位长度得到y2sin 2xπ 1 的图象．44（方法二）①把 ysin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得 y 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得 y 2sin2 x 的图象； ③将所得图象沿 x 轴向左平移 π个单位长度得 y 2sin 2 x π 的 2 88 图象；④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y π 1 的图象．2sin 2 x4说明： 无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由 ysin 2x 的图象向左平移π个单位长度得到的函数图象8的解析式是 y sin 2xπ而不是 ysin 2 xπ ，把 ysin xπ的图象的横坐标缩小到原来的1，得到884 2的函数图象的解析式是y sin 2xπ而不是y sin 2 x π ．44 对于复杂的变换，可引进参数求解．例 2将 y sin 2 x 的图象怎样变换得到函数y cos 2 xπ的图象．4分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解： y sin 2 x cos π2x cos 2x π ，22在 y cos 2xπ中以 x a 代 x ，有 y cos 2( x a)πcos 2x2a π ．222 根据题意，有 2 x 2a π 2x π，得 a π．2 4 8所以将 y sin 2 x 的图象向左平移π个单位长度可得到函数y cos 2xπ 的图象．84。
三角函数平移伸缩变换公式
三角函数平移伸缩变换公式
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。
左加右减
一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。
当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。
上加下减
一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。
当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。
三角函数的平移与伸缩变换_整理之欧阳美创编
函数)sin(A ϕω+=x y 的图像（1）物理意义：sin()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0），x∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T = ωπ2，1fT=称为频率，x ωϕ+称为相位，ϕ称为初相。
（2）函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。
ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当ϕ>0时)或向______(当ϕ<0时)平移ϕ个单位长度得到的注意：左右平移时可以简述成“______________”ω对x y ωsin =图像的影响函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω1倍（纵坐标不变）。
A 对x y sin A =的影响函数x y sin A =，)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 【典型例题】例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．例2、把)342cos(3π+=x y 作如下变换： （1）向右平移2π个单位长度；（2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31；（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的43；（4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________. 练习：将2)542sin(2++=πx y 做下列变换： （1）向右平移2π个单位长度；（2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；（3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变； （4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数._________)(==x f y例3、把)(x f y =作如下变换：（1）横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变； （2）向左平移3π个单位长度；（3）纵坐标变为原来的53，横坐标不变；（4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),423sin(43π+=x y 求).(x f y =练习1：将)48sin(4ππ+=x y 作何变换可以得到.sin x y =练习2：对于)536sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =例4、把函数)2||,0)(sin(πϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移3π个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A.6,1πϑω== B.6,1πϑω-==C.3,2πϑω== D.3,2πϑω-==练习：7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间)65,6(ππ-上的图象，只要将（1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 【课堂练习】1、为了得到函数)63sin(π+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象（ ）xA 、向左平移6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18π2、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A 、向左平移5π12个长度单位B 、向右平移5π12个长度单位 C 、向左平移5π6个长度单位 D 、向右平移5π6个长度单位3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4、为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A 、向右平移6π个单位长度B 、向右平移3π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移3π个单位长度5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A 、sin(2)3y x π=-，x R ∈ B 、sin()26x y π=+，x R ∈ C 、sin(2)3y x π=+，x R ∈ D 、sin(2)32y x π=+，x R ∈6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位7、已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A 、向左平移8π个单位长度B 、 向右平移8π个单位长度C 、 向左平移4π个单位长度 D 、 向右平移4π个单位长度8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（ ）A ．6π B ．56π C.76π D.116π专练：1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.12cos +=x y C.)42sin(1π++=x yD.22sin y x =2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度D 向右平移4π个单位长度3．（09山东）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4．（10江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点A 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B 、向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D 、向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位6、（2010辽宁）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是A 、23B 、43C 、 32D 、3。
高中三角函数的像变换
高中三角函数的像变换三角函数是数学中常见的函数形式，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
像变换是对函数图像进行的一种变换操作，可以通过变换操作来改变原始函数图像的形态和位置。
在高中数学中，三角函数的像变换是一个重要的概念，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。
一、平移变换平移变换是一种保持函数形状不变，只改变位置的变换操作。
对于三角函数来说，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种类型。
1. 水平平移水平平移是将函数图像沿x轴的方向移动，可以使函数图像向左或向右平移。
数学上，水平平移的量可以用常数c表示。
对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x + c)的图像向左平移c个单位；- 余弦函数y = cos(x + c)的图像向右平移c个单位；- 正切函数y = tan(x + c)的图像向左平移c个单位。
2. 垂直平移垂直平移是将函数图像沿y轴的方向移动，可以使函数图像向上或向下平移。
数学上，垂直平移的量可以用常数d表示。
对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x) + d的图像向上平移d个单位；- 余弦函数y = cos(x) + d的图像向上平移d个单位；- 正切函数y = tan(x) + d的图像向上平移d个单位。
二、伸缩变换伸缩变换是一种改变函数图像形状和大小的变换操作。
对于三角函数来说，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种类型。
1. 水平伸缩水平伸缩是通过改变自变量x的取值范围来改变函数图像的形状。
数学上，水平伸缩的量可以用常数a表示。
对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 余弦函数y = cos(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 正切函数y = tan(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压。
2. 垂直伸缩垂直伸缩是通过改变因变量y的取值范围来改变函数图像的形状和大小。
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函数)sin(A ϕω+=x y 的图像令狐采学（1）物理意义：sin()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T = ωπ2，1fT=称为频率，x ωϕ+称为相位，ϕ称为初相。
（2）函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。
ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当ϕ>0时)或向______(当ϕ<0时)平移ϕ个单位长度得到的注意：左右平移时可以简述成“______________”ω对x y ωsin =图像的影响函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω1倍（纵坐标不变）。
A 对x y sin A =的影响函数x y sin A =，)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 【典型例题】例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．例2、把)342cos(3π+=x y 作如下变换： （1）向右平移2π个单位长度；（2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31；（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的43；（4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________. 练习：将2)542sin(2++=πx y 做下列变换： （1）向右平移2π个单位长度；（2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；（4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数._________)(==x f y例3、把)(x f y =作如下变换：（1）横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变； （2）向左平移3π个单位长度；（3）纵坐标变为原来的53，横坐标不变；（4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),423sin(43π+=x y 求).(x f y =练习1：将)48sin(4ππ+=x y 作何变换可以得到.sin x y =练习2：对于)536sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =例4、把函数)2||,0)(sin(πϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移3π个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A.6,1πϑω== B.6,1πϑω-==C.3,2πϑω== D.3,2πϑω-==练习：7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间)65,6(ππ-上的图象，只要将（1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 【课堂练习】1、为了得到函数)63sin(π+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象（ ）A 、向左平移6π B 、向左平移18π C 、向右平移6πD 、x向右平移18π2、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A 、向左平移5π12个长度单位B 、向右平移5π12个长度单位C 、向左平移5π6个长度单位D 、向右平移5π6个长度单位3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4、为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A 、向右平移6π个单位长度B 、向右平移3π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度D 、向左平移3π个单位长度5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A 、sin(2)3y x π=-，x R ∈ B 、sin()26x y π=+，x R ∈C 、sin(2)3y x π=+，x R ∈D 、sin(2)32y x π=+，x R ∈6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位7、已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象（）A 、向左平移8π个单位长度 B 、 向右平移8π个单位长度C 、 向左平移4π个单位长度 D 、 向右平移4π个单位长度8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（）A ．6π B ．56π C. 76π D.116π专练：1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.12cos +=x y C.)42sin(1π++=x yD.22sin y x =2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度D 向右平移4π个单位长度3．（09山东）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4．（10江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点A 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B 、向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D 、向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位6、（2010辽宁）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 A 、23B 、43C 、32D 、3。