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数学实验矩阵的运算

数学实验报告

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实验四矩阵的运算

（一）投入产出分析

一．实验目的

1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；

2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆

矩阵等的含义。

二．问题描述

设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示

表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表

根据表回答下列问题：

（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为

50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？

（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?

三.实验过程

1．问题（1）的求解

（1）求直接消耗矩阵A

根据直接消耗的计算公式

a ij=x ij/x j

和各部门中间需求;

x n a n

运行如下代码可得直接消耗系数表。

X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];

X_colsum=[100 200 150];

X_rep=repmat(X_colsum,3,1)

A=X./ X_rep

运行结果为：

A =

0.1500 0.1000 0.2000

0.3000 0.0500 0.3000

0.2000 0.3000 0

（2）求解

根据公式

X=(I-A)-1y

在运行如下代码

y=[50;150;100];

n=size(y,1);

W=eye(n)-A;

X=W\y

运行结果为

X =

139.2801

267.6056

208.1377

即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。

2．问题2求解

设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy

利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB代码可得问题的结果：

dx=inv(W)

运行结果:

dx =

1.3459 0.2504 0.3443

0.5634 1.2676 0.4930

0.4382 0.4304 1.2167

根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加

1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加

0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加

0.3443,0.4930，1.2167个单位。

四．实验总结

投入产出的理论依据，主要是矩阵运算和逆矩阵，投入和产出分析在编制和修订宏观计划、开展紧急预测和项目效果预测、研究价格水平及其变动影响，研究产业结构及其关联程度，投资对消费的带动分析等方面对会有很重要的应用。

（二）Hill密码的加密、解密与破译

一、实验目的

1. 复习线性代数, 矩阵, 线性空间与线性变换等概念和

运算.

2. 熟悉Hill密码体制的加密, 解密和破译过程.

3. Hill密码体制的加密, 解密和破译过程的MATLAB

编程实践.

二、问题描述

对明文为“Mr Hill made this code”,利运用不同的密匙矩阵加密矩阵，实现Hill加密与解密过程。

三．实验过程

（1）模型建立于问题分析

简单起见，为了使明文参与矩阵运算，建立如下表格2-1：

表2-1 26个英文字母、空格、句号与数字之间的对应关系设明文为M=（m1, m2,…,m i）T，密匙矩阵为可逆的l x l的方阵，则经过线性变换得到密文C=E K（M）=

（c1c2…cI）T，其中

C1=(k11m1+ k12m2+…+ k1l m l)mod28,

C2=(k21m1+ k22m2+…+ k2l m l)mod28,

………….

C l=(k l1m1+ k l2m2+…+ k ll m l)mod28,

或写成矩阵形式

C=（KM）mod28,

其中

C=（C1，C2，…，C l）T ，M=（m1，m2，…，m l）T，

K=(k ij)lxl

解密得明文

M=（K-1C）mod28

注意，明文、密文都是非负实数，故密匙矩阵K及其逆矩阵K-1的元素都应该是非负实数，不能是负整数、分数、或小数。当密匙矩阵K的行列式的值等于+1或-1，则逆矩阵K-1的元素是整数。若K-1的元素有负整数，再对矩阵K-1的所有元素加28的若干倍，再取模28，可保证矩阵K-1的所有元素为正整数。密文解密后可得非负整数明文M,与原明文相同。

（2）加密

对明文为“Mr Hill made this code。”,按表2-1的规则映射为数集{13，18，0，8，9，12，12，0，13，1，4，5，0，20，8，9，19，0，3，15，4，5，27，0}，假设将消息从左到右，每4个字符分为一组，并将对应的四个整数排列成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，要发出的消息可写为一个矩阵：

. 13 9 13 0 19 4

M= 18 12 1 20 0 5

0 12 4 8 3 27

8 0 5 9 15 0

为求出合适的密匙矩阵K1，在一个4x4阶矩阵中，任设二元函数的值为x,y,其余元素给出具体的非负整数值，并令其行列式的值的绝对值为1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取：

4 x 8 y