实变函数与泛函分析总复习题

第一章 复习题（一）

一、判断题

1、大人全体构成集合。（× ）

2、小个子全体构成集合。（× ）

3、所有集合都可用列举法表示。（× ）

4、所有集合都可用描述法表示。（√ ）

5、对任意集合A ，总有A ∅⊂。（√ ）

6、()A B B A -⋃=。（× ）

7、()()A B B A B B A A -⋃=⋃=-⋃。（√ ） 8、若B A ⊆，则()A B B A -⋃=。（√ ）

9、c A A ⋂≠∅，c A A X ⋃=，其中X 表示全集。（× ） 10、A B B A ⨯=⨯。（× ）

11、()c c c A B A B ⋃=⋃，()c c c A B A B ⋂=⋂。（× ）

12、()()()A B C A C B C ⋃⋂=⋂⋃⋂，()()()A B C A C B C ⋂⋃=⋃⋂⋃。（√ ） 13、若A B ，B C ，则A C 。（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。（√ ）

15、若12A A A =⋃，12B B B =⋃，且11A B ，22A B ，则A B 。（× ） 16、若A B ⊆，则A B ≤。（√ ） 17、若A B ⊆，且A B ≠，则A B <。（× ） 18、可数集的交集必为可数集。（× ）

19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 20、因整数集Z ⊂有理数集Q ，所以Q 为不可数集。（× ） 21、()c c A A =。（√ ）

第二章 复习题

一、判断题

1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=⇔P Q =。（× ）

2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。（× ）

3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。（× ）

4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。（√ ）

5、设点P为点集E的外点，则P E

∉。（√）

6、设点P为点集E的边界点，则P E

∈。（×）

7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）

8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。（×）

9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。（√）

10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。（√）

11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。（√）

12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）

13、开集中可以含有边界点和孤立点。（×）

14、E是开集⇔E E

=的内部（开核）。（√）

15、任意多个开集的并集仍为开集。（√）

16、任意多个开集的交集仍为开集。（×）

17、有限个开集的交集仍为开集。（√）

18、闭集中的每个点都是聚点。（×）

19、E'和E都是闭集。（√）

20、E是闭集⇔E E

'⊂。（√）

21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√）

22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（×）

23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√）

24、E 是开集⇔c E 是闭集。（√ ）

25、E 是完全集（完备集）⇔E E '=E ⇔是无孤立点的闭集。（√ ）

二、填空题

1、设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=[0,1]

；1E 的内

部= 空集 ；1E =

[0,1]

。

2、设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '=

[0,1]

；1E 的内部= 空集 ；

1E =[0,1]

。

3、设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '=22{(,)1}x y x y +≤；1E 的内部=1E ；1E =22{(,)1}x y x y +≤。

4、设P 是康托（三分）集，则P 为 闭 集；P 为 完全 集；

P 没有

内 点；P = c ；mP = 0 。

5、设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,)a b ⊂G ，且

a ∉G ，

b ∉G 。

6、设(1,2)(3,4)E =⋃，写出E 的所有的构成区间(1,2),(3,4)。

7、设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间(1,6)。

8、设E 为1R 上的闭集，0x 为E 的孤立点，则0x 必为E 的两个邻接区间的 公共 端点。

9、设E 为1R 上的闭集，则E 的邻接区间必为

c

E 的构成区间。

第三章复习题

一、判断题

1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。（√ ）

2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。（× ）

3、设n E R ⊆，则*m E 可能小于零。（× ）

4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。（√ ）

5、设A B ⊆，则**m A m B <。（× ）

6、*

*1

1(

)n n n n m S m S ∞

∞===∑。（× ）

7、*

*1

1

(

)n n n n m

S m S ∞

∞==≤∑。（√ ）

8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。（√ ）

15、设{n S }是可测集列，则1

n n S ∞

=，1

n n S ∞

=都是可测集。（√ ）

16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =∅，则*0m E >。（× ）

20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ）