电磁场 点电荷 电场线 电势 MATLAB 仿真 中南大学

电磁场理论 实验一

——利用Matlab 模拟点电荷电场的分布

一．实验目的：

1．熟悉单个点电荷及一对点电荷的电场分布情况；

2．学会使用Matlab 进行数值计算，并绘出相应的图形；

二．实验原理：

根据库伦定律：在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力，它们之间的力F 满足： R R

Q Q k F ?

212

=

(式1)

由电场强度E 的定义可知：

R R kQ E ?

2=

(式2)

对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E 的势函数为 R kQ U =

(式3)

而 U E -?= (式4) 在Matlab 中，由以上公式算出各点的电势U ，电场强度E 后，可以用Matlab 自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况.

三.实验内容：

1. 单个点电荷

点电荷的平面电力线和等势线

真空中点电荷的场强大小是E=kq /r^2 ,其中k 为静电力恒量, q 为电量, r 为点电荷到场点P(x,y)的距离.电场呈球对称分布, 取电量q> 0, 电力线是以电荷为

起点的射线簇.以无穷远处为零势点, 点电荷的电势为U=kq /r,当U 取常数时, 此式就是等势面方程.等势面是以电荷为中心以r 为半径的球面.

●平面电力线的画法

在平面上, 电力线是等角分布的射线簇, 用MATLAB 画射线簇很简单.取射线的半径为( 都取国际制单位) r0=0.12, 不同的角度用向量表示( 单位为弧度)

th=linspace(0,2*pi,13).射线簇的终点的直角坐标为: [x,y]=pol2cart(th,r0).插入x 的起始坐标x=[x; 0.1*x].同样插入y 的起始坐标, y=[y; 0.1*y], x 和y 都是二维数组, 每一列是一条射线的起始和终止坐标.用二维画线命令plot(x,y)就画出所有电力线.

●平面等势线的画法

在过电荷的截面上, 等势线就是以电荷为中心的圆簇, 用MATLAB 画等势

线更加简单.静电力常量为k=9e9, 电量可取为q=1e- 9; 最大的等势线的半径应

该比射线的半径小一点? r0=0.1.其电势为u0=k8q /r0.如果从外到里取7 条等势线, 最里面的等势线的电势是最外面的3 倍, 那么各条线的电势用向量表示为:

u=linspace(1,3,7)*u0.从- r0 到r0 取偶数个点, 例如100 个点, 使最中心点的坐

标绕过0, 各点的坐标可用向量表示: x=linspace(- r0,r0,100), 在直角坐标系中可形成网格坐标: [X,Y]=meshgrid(x).各点到原点的距离为: r=sqrt(X.^2+Y.^2), 在乘方时, 乘方号前面要加点, 表示对变量中的元素进行乘方计算.各点的电势为

U=k8q. /r, 在进行除法运算时, 除号前面也要加点, 同样表示对变量中的元素进行除法运算.用等高线命令即可画出等势线contour(X,Y,U,u), 在画等势线后一般会把电力线擦除, 在画等势线之前插入如下命令hold on 就行了.平面电力线和

等势线如图1, 其中插入了标题等等.越靠近点电荷的中心, 电势越高, 电场强度越大, 电力线和等势线也越密.

-0.2

-0.15-0.1-0.0500.050.10.15

-0.2-0.15-0.1-0.050

0.05

0.1

0.15x

y

单个点电荷的电场线与等势线

图1

● 点电荷的立体电力线和等势面 立体电力线的画法

先形成三维单位球面坐标, 绕z 轴一周有8 条电力线[X,Y,Z]=sphere(8),每维都是9×9 的网格矩阵, 将X 化为行向量, 就形成各条电力线的终点x 坐标x=r 0=X(:)′, 其他两个坐标也可同样形成终点坐标y=r 0+Y(:)' , z=r 0+Z(:)' .对x 坐标插入原点x=[x(zeros(size(x))], 其他两个坐标如下形成y=[y(zeros(size(y))], z=[z(zeros(size(z))], 用三维画线命令plot3(x,y,z), 就画出所有电力线.

● 立体等势面的画法

画5 条等势面时, 各面的电势为u=linspace(1,3,5)+u0, 各等势面的半径为r=k6q. /u, 其中第一个球面的半径为rr=r(1).三维单位球面的坐标可由

[X,Y,Z]=sphere 命令形成, 每维都是21×21 的网格矩阵, 由于外球会包围内球, 因此把球面的四分之一设为非数, 表示割去该部分Z(X<0&Y<0)=nan. 用曲面命令可画出第一个曲面surf(rr6X,rr6Y,rr6Z), 只要取不同的半径就能画出不同的等势面.为了使等势面好看, 可设置一个颜色浓淡连续变化的命令shading interp.点电荷的立体电力线和等势面如图2, 旋转图片可从不同的角度观察.

-0.2

-0.1

0.1

0.2

-0.2

-0.1

0.1

0.2

-0.2-0.15-0.1-0.0500.05

0.10.150.2x

正电荷电场线等势面的三维图形

y

z

图2

2 一对点电荷

● 平面等势线的画法

仍然用MATLAB 的等高线命令画等势线.对于正负两个点电荷, 电量不妨分别取q1=2e- 9,q2=- 1e- 9, 正电荷在x 轴正方, 负电荷在x 轴负方, 它们到原点的距离定为a=0.02; 假设平面范围为xx0=0.05,yy0=0.04, 两个坐标向量分别x=linspace(- xx0,xx0,20)和y=linspace(- yy0,yy0,50).设置平面网格坐标为[X,Y]=meshgrid(x), 各点到两电荷的距离分别为r1=sqrt((X- a).^2+Y .^2)和r2=sqrt((X+a).^2+Y .^2).各点的电势为U=k6q1. /r1+k6q2. /r2, 取最高电势为u0=50, 最低电势取其负值.在两者之间取11 个电势向量u=linspace (u0,- u0,11), 等高线命令contour(X,Y ,U,u,'k- ' )用黑实线, 画出等势线如图4所示, 其中, 左边从里到外的第6 条包围负电荷的等势线为零势线.

● 平面电力线的画法

利用MATLAB 的箭头命令, 可用各点的电场强度方向代替电力线.根据梯度可求各点的场强的两个分量[Ex,Ey]=gradient(- U),合场强为E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2).

为了使箭头等长, 将场强Ex=Ex. /E,Ey=Ey. /E 归一化, 用箭头命令

quiver(X,Y,Ex,Ey)可标出各网点的电场强度的方向,异号点电荷对的场点方向如图3 所示.

为了画出连续的电力线, 先确定电力线的起点.电荷的半径可取为r 0=0.002, 如图4 所示, 假设第一条电力线的起始角为30 度, 其弧度为q=30+pi /180, 起始点到第一个点电荷的坐标为x1=r0+cos(q),y=r0+sin(q), 到第二个点电荷的坐标只有横坐标x2=2+a+x1 不同.用前面的方法可求出该点到两个电荷之间的距离r1 和r2, 从而计算场强的两个分量以及总场强Ex=q1+x1 /r1^3 +q2+x2 /r2^3, Ey=q1+y/r1^3+q2+y/r2^3, E=sqrt(Ex6Ex+Ey6Ey).下面只要用到场强分量与总场强的比值, 在计算场强分量时没有乘以静电力常量k.由于电力线的方向与场强的切线方向相同, 取线段为s=0.0001,由此可求出终点的坐标为

x1=x1+s#Ex/E,y=y+s+Ey/E, 从而计算x2.以终点为新的起点就能计算其他终点.当终点出界时或者到达另一点电荷时, 这个终点可作为最后终点. 这种计算电力线的方法称为切线法.

x

y

一对点电荷的电场分布图

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.04

0.05

图3

x

y

一对不相等的电荷的等势线图和电场线图

-0.05

-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05

-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05

图4

-2

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-10-5

5

10

点电荷电场分布的3-D 图

图5

部分M-file;

1. 点电荷的平面电力线和等势线

%点电荷的平面电力线和等势线%平面电力线的画法

q=1e-9;

r0=0.12;

th=linspace(0,2*pi,13);

[x,y]=pol2cart(th,r0);

x=[x;0.1*x];

y=[y;0.1*y];

plot(x,y);

grid on

hold on

plot(0,0,'o','MarkerSize',12) xlabel('x','fontsize',16)

ylabel('y','fontsize',16)

title('单个点电荷的电场线与等势线','fontsize',20)

%平面等势线的画法

k=9e9;

r0=0.1;

u0=k*q/r0;

u=linspace(1,3,7)*u0;

x=linspace(-r0,r0,100);

[X,Y]=meshgrid(x);

r=sqrt(X.^2+Y.^2);

U=k*q./r;

hold on;

contour(X,Y,U,u)

2. 一对电荷平面等势线和电场线图

%一对电荷平面等势线和电场线图

clear all;

clf;

%平面等势线的画法

q1=2e-9;

q2=-1e-9;

a=0.02;%到原点的距离

xx0=0.05;

yy0=0.04;

k=9e9;

x=linspace(-xx0,xx0,20);

y=linspace(-yy0,yy0,50);

[X,Y]=meshgrid(x);

r11=sqrt((xx0/1.7-a)^2+(yy0/1.7)^ 2);

r22=sqrt((xx0/1.7+a)^2+(yy0/1.7)^ 2);

r1=sqrt((X-a).^2+Y.^2);

%各点到点电荷的距离

r2=sqrt((X+a).^2+Y.^2);

U=k*q1./r1+k*q2./r2;

%各点的电势

u0=k*q1/r11+k*q2/r22;

u=linspace(u0,-u0,11); %取21个等势向量

contour(X,Y,U,u,'k-');

hold on

grid on

plot(a,0,'o','MarkerSize',12);

plot(-a,0,'o','MarkerSize',12);

xlabel('x','fontsize',16);

ylabel('y','fontsize',16);

%平面电力线的画法

[Ex,Ey]=gradient(-U);

E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);

Ex=Ex./E;

Ey=Ey./E;

hold on;

quiver(X,Y,Ex,Ey);

title('一对不相等的电荷的等势线图和电场线图','fontsize',20)

clear;

3. 立体电力线的画法

%立体电力线的画法

q=1e-9;

[X,Y,Z]=sphere(8);

r0=0.18;

r1=0.2;

k=9e9;

u0=k*q/r0;

x=r1*X(:)';

y=r1*Y(:)';

z=r1*Z(:)';

x=[x;zeros(size(x))];

y=[y;zeros(size(y))];

z=[z;zeros(size(z))];

plot3(x,y,z)

hold on;

%立体等势线之画法

u=linspace(1,3,5)*u0;

%画5 条等势面时, 各面的电势为u=linspace(1,3,5)+u0,

r=k*q./u;

%各等势面的半径为r=k6q. /u

[X,Y,Z]=sphere;

Z(X<0&Y<0)=nan;

surf(r(1)*X,r(1)*Y,r(1)*Z);

%第一到第五个球面

surf(r(2)*X,r(2)*Y,r(2)*Z);

surf(r(3)*X,r(3)*Y,r(3)*Z);

surf(r(4)*X,r(4)*Y,r(4)*Z);

surf(r(5)*X,r(5)*Y,r(5)*Z);

shading interp %个颜色浓淡连续变化的命令shading interp.

xlabel('x','fontsize',16);

ylabel('y','fontsize',16);

zlabel('z','fontsize',16);

title('正电荷电场线等势面的三维图形','fontsize',20);

clear;

4.

clear all;

clf;

q1=1;

q2=1;

a=0.02;

xx0=0.05;

yy0=0.04;

k=9e9;

x=linspace(-xx0,xx0,20);

y=linspace(-yy0,yy0,50);

[X,Y]=meshgrid(x);

r11=sqrt((xx0/1.7-a)^2+(yy0/1.7)^ 2);

r22=sqrt((xx0/1.7+a)^2+(yy0/1.7)^ 2); r1=sqrt((X-a).^2+Y.^2);

r2=sqrt((X+a).^2+Y.^2);

U=k*q1./r1+k*q2./r2;

u0=k*q1/r11+k*q2/r22;

u=linspace(u0,-u0,11);

contour(X,Y,U,u,'k-');

hold on

[Ex,Ey]=gradient(-U);

E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);

Ex=Ex./E;

Ey=Ey./E;

dth1=20;

th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; r0=a/5;

x1=r0*cos(th1)+a;

y1=r0*sin(th1);

streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1);

streamline(-X,-Y,-Ex,-Ey,x1,-y1);

q=abs(q1/q2);

dth2=dth1/q;

th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;

x2=r0*cos(th2)-a;

y2=r0*sin(th2);

streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2);

streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2);

grid on

plot(a,0,'o','MarkerSize',12);

plot(-a,0,'o','MarkerSize',12);

xlabel('x','fontsize',16);

ylabel('y','fontsize',16);

title('一对点电荷的电场分布图');

clear;

clear all;

clf;

q1=1;

q2=1;

a=0.02;

xx0=0.05;

yy0=0.04;

k=9e9;

x=linspace(-xx0,xx0,20);

y=linspace(-yy0,yy0,50);

[X,Y]=meshgrid(x);

r11=sqrt((xx0/1.7-a)^2+(yy0/1.7)^ 2);

r22=sqrt((xx0/1.7+a)^2+(yy0/1.7)^2);

r1=sqrt((X-a).^2+Y.^2);

r2=sqrt((X+a).^2+Y.^2);

U=k*q1./r1+k*q2./r2;

u0=k*q1/r11+k*q2/r22;

u=linspace(u0,-u0,11);

contour(X,Y,U,u,'k-');

hold on

[Ex,Ey]=gradient(-U);

E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);

Ex=Ex./E;

Ey=Ey./E;

dth1=20;

th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180;

r0=a/5;

x1=r0*cos(th1)+a;

y1=r0*sin(th1);

streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1);

streamline(-X,-Y,-Ex,-Ey,x1,-y1);

q=abs(q1/q2);

dth2=dth1/q;

th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;

x2=r0*cos(th2)-a;

y2=r0*sin(th2);

streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2);

streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2);

grid on

plot(a,0,'o','MarkerSize',12);

plot(-a,0,'o','MarkerSize',12);

xlabel('x','fontsize',16);

ylabel('y','fontsize',16);

title('一对点电荷的电场分布图');

clear;

5.

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);%建立数据网格

z=1./sqrt(x.^2+(y-1).^2+0.01)-1./sqrt(x.^2+(y+1).^2+0.01);%电势的表达式surfl(x,y,z);%三维曲面绘图

shading interp %平滑i维曲面

title('点电荷电场分布的3-D图')