新基建量子博弈论与人工智能

（一）量子博弈论——引言量子博弈论应该算作是量子信息（或者说量子物理学）与博弈（对策）理论相结合的产物。

博弈论（在量子博弈出现之前，我们更愿意把它称为“经典”博弈论，即非量子力学的，以示区别）或许应该看作是应用数学的一个分支，它研究的是相互竞争和/或合作的博弈主体们的决策以及这些决策之间的相互作用的问题。

博弈论已经在经济学、政治学、军事、外交、国际关系、公共选择、犯罪学还有生物学的许多方面得到了广泛的应用，并成为了现代经济学不可或缺的基石之一。

或许有人会觉得奇怪，像经济学等这样一些看上去明显是“经典”的而非“量子”的领域中，量子力学的基本规律（如量子叠加、量子相干性以及量子纠缠等等）会起作用。

然而，如果我们注意到所有博弈的一个共性以后，博弈论和量子物理之间的联系就会变得明显而自然。

实现这一联系的桥梁就是“信息”。

一方面，在任何一个博弈过程和现象中，当博弈的主体自己的决策“传递”给其它人、或者仲裁者时，他们都是在交流信息，而且每一个博弈参与者都希望在给定的（物理）条件下获取尽可能多的信息。

另一方面，“信息”本身是“物理的”，这不仅仅是因为信息的载体一定脱离不了具体的物理体系，而且更因为物理规律将极大的影响信息的传递和处理方式；特别是如今量子信息理论的飞速发展和巨大成就使得人们越来越清晰地认识到这一事实并对它加以利用，形成了众多的新的交叉研究方向：如量子计算、量子密码通讯等等。

量子博弈论也是这一交叉的产物之一，它使得量子叠加、甚至是量子纠缠这样一些独特的量子现象在博弈中成为可能，并引发了一系列新颖并有价值的结果，极大地丰富了博弈理论本身。

除此以外，量子博弈论还给现有的量子计算和量子通讯等研究领域提供了新的研究方法和思维角度。

许多量子过程都可以看作是“博弈”：量子密码通信中，窃听过程也可以看成是窃听者和信息发送、接收者之间的“博弈”；量子计算可以看作是两个分别拥有经典算法和量子算法的计算者在计算速度上的一场“竞争”；量子态克隆甚至也可以理解为“博弈”。

当然，过早的期待量子博弈进入现实生活或许不太现实；然而这并不意味着量子博弈论是纯粹的纸上谈兵。

除了在前面提到的应用以外，在不算太远的将来我们可以期待的众多可能性之一是，随着量子通讯的完善和实用化，建立一个基于量子力学规律的市场，在那里所有的信息将由量子物理体系来承载，从而使得量子博弈成为不可避免的。

（二）量子博弈论——博弈、均衡在介绍量子博弈论之前，我们有必要先回顾一下经典博弈论的基本概念。

在量子博弈论中这些基本的概念被保留，并且是我们分析问题的基础。

任何一个（经典）博弈可以通过如下几个要素来定义：（1）博弈的主体，或参与者（Players）；（2）博弈中每个参与者可能采用的所有策略（Strategies），我们称之为策略空间（Strategic Space）；在每一次博弈中，所有参与人的策略的集合成为一个策略组（Strategic Profile）（3）博弈的结果，量化的博弈结果实际上就是所谓的“收益”（Payoffs）。

显然，在大多数有意义的博弈中，单个参与人的收益不仅仅与自己的策略有关，而且和其他所有的参与人的策略都密切相关，可以看成是所有参与人策略的某个函数。

在这里，我们假定每个参与者都是最大理性的，也就是说他们总能够采用正确的策略而从不犯错误。

当然，如今博弈论的发展已经能够处理研究非最大理性行为，但是要稍微复杂一些，我们把这一部分放到后面讨论。

严格来说，上面定义的策略应该叫做“纯策略”，也就是说在每个参与人都确定的使用了其策略空间中的某个特定的策略。

然而，在许多可重复多次的博弈中，参与人也许会在某一轮选择一个策略，而在另一轮中选择另一个策略；在这种情况下，我们称参与人采用了“混合策略”。

用数学的语言描述，一个混合策略就是在策略空间上的一个概率分布（即“纯策略”的概率混合），参与人在这多次重复的博弈中所期望的平均收益显然将表达成为这些概率分布的函数而不再是某个特定的纯策略的函数。

不论是经典的还是量子的博弈论中，最重要的概念莫过于“Nash均衡”。

这里的Nash便是在电影《美丽心灵》（A beautiful Mind）中的那个有点“神经兮兮”的男主角^_^。

由于Nash均衡的重要性以及对经济学产生的重要影响，他被授予1994年的Nobel经济学奖。

Nash均衡这一概念的开创性在于它用方程刻画了“人类理性”这一原本让数学家们和经济学家们感到无从下手的东东，并在实际应用中获得了巨大成功。

Nash均衡是一个具有如下性质的策略组：对于任何一个参与人而言，如果其他的参与人都选择这个策略组中对应于自己的那个策略，那么这个参与人也只能选择这个策略组中应于自己的那个策略才能使得自己的收益（在其他人的策略给定的情况下）最大化；在这样一个均衡里，谁也不会做出其他选择，否则其收益就会减小。

简单的用一句话说就是：我知道其他人会选这个策略，其他人知道我知道其他人会选这个策略，我知道其他人知道我知道其他人会选这个策略……只有Nash均衡才能够具有这种性质。

（三）量子博弈论——量子博弈的开端量子博弈的第一篇工作出现在1999年的《Physical Review Letters》上 [D.A. Meyer, Phys. Rev. Lett. 82, 1052 (1999)]。

这篇文章通过一个十分简单的“翻硬币”博弈，使人们第一次看到量子策略在对抗经典策略是所能发挥的巨大威力。

在这个我们称之为“PQ翻硬币”问题的博弈中，P首先将一枚硬币正面朝上放在一个箱子里，然后P和Q轮流（先是Q，接着是P，再是Q）对硬币进行翻转（或不翻转）的操作。

在这个过程中不允许打开箱子看硬币的状态。

轮流操作完成以后打开箱子，如果硬币正面朝上，那么Q获胜；否则P获胜Ｕ飧霾┺目梢杂檬找婢卣蟮男问?表示如下：----------------------------------------NN NF FN FF----------------------------------------N -1 +1 +1 -1F +1 -1 -1 +1----------------------------------------其中行和列上的标号（N和F）分别代表P和Q的纯策略：F代表翻转（flip over），N代表不翻转（no flip over）。

表中的数字为P的收益：1意味着获胜，-1意味着失败。

比如，考虑第一行第二列表示Q的策略为第一次选择翻转而第二次选择不翻转，P的策略为不翻转。

如果用H表示硬币正面朝上，T表示硬币背面朝上，那么这是硬币的状态依次为：H，T，T，T，所以P获胜，收益为1。

我们很容易确定P的最优策略：假如他选择不翻转，那么当Q翻转偶数次时，他就会输；假如他选择翻转，那么当Q翻转奇数次（一次）时，他也会输。

因此“PQ翻硬币”问题没有确定性解，也没有确定性Nash均衡：不存在这样的纯策略组合，使得参与人无法通过单方面改变策略提高收益。

然而，这个问题却存在概率性解。

不难验证，当P以1/2的概率选择翻转，Q以1/4的概率选择他的每一个纯策略时，可以构成一个混合策略Nash均衡，此时每一个人的期望收益都是0。

在经过了以上分析以后，P认为这个“游戏”是公平的，然而令他不解的是，在和Q玩过几次以后，他发现自己每一次都输。

导致这一结果的根本原因在于Q采用的是量子策略而不是经典策略，下面我们来看看Q采用什么样的量子策略可以使得他自己每次有获胜。

这里为了分析问题我们不得不引入Diract记号来表示一些量子态：如果我们用|H> 表示硬币正面朝上的（量子）态，而|T>表示硬币正面朝下的（量子）态，那么一般而言，这个（量子的）硬币将可以处于这两个态的任意线形叠加态上。

在这个博弈中，硬币的初识状态显然应该是|H>，然后紧接着Q对着硬币进行操作。

在经典博弈中，Q（以及P）要么保持硬币的状态不变，要么将它翻转，使得硬币要么处于|H>态要么处于|T>态。

然而在量子版本的这个博弈中，Q可以使用量子策略；事实上，Q只要通过一个特定的幺正操作将硬币的态改变到这样一个叠加态|H>+|T>上，他就可以确定性的每次都获胜。

因为P始终是一个经典的博弈者，他不会使用量子策略，不论P翻转或者不翻转这个硬币，这个硬币的态始终保持在|H>+|T>这一叠加态上；等到P完成了他的那一步，Q只要实施另一个相应的幺正操作便可以把硬币的状态还原至|H>上，这也就是为什么P每一次都输的原因。

接下来，Meyer还证明了，上面的这种情况中策略组 {Q所采用的策略，P的任何策略} 都能够构成一个Nash均衡，其博弈的结果始终是每次都是Q获胜。

最后，Meyer给出了一些量子博弈论的一些基本定理：定理1：在二人零和博弈中，参与人采用最优量子（纯）策略所获得的收益不会少于他采用最优（经典）混合策略所获得的收益。

定理2：二人零和博弈不一定存在（量子，量子）型的均衡。

定理3：二人零和博弈至少存在一组（混合量子，混合量子）型的均衡。

证明就不再这里写了，如果感兴趣可以去参考文献。

（四）量子博弈论——“囚徒困境”“囚徒困境”是经典博弈论中的一个极富代表性的一个著名例子。

这个例子的创造本身就奠定了非合作博弈论的理论基础，并且它可以作为实际生活中许多现象的一个抽象概括。

囚徒困境讲的是两个嫌疑犯（Alice和Bob）作案后被警察抓住，被分别关在不同的屋子里审讯。

他们每个人都有两种选择（策略）：坦白（Defect，策略D）和抵赖（Cooperate，策略C）。

警察告诉他们：如果两人都坦白，各判刑4年（收益均为）；如果两个都抵赖，因证据不足，各判刑2年（收益均为）。

如果其中一人坦白，另一人抵赖，坦白地放出去（收益为），抵赖的判刑5年（收益为）。

两个人的目的都是尽可能的是自己的收益最大化。

在这个博弈中，坦白（D）是占优策略（dominant strategy），也就是说，不论对方的选择是什么，个人的最优选择是坦白。

比如说，如果Bob抵赖，Alice坦白的话被放出来，抵赖的话被判2年；如果Bob坦白，Alice坦白的话被判4年，抵赖的话被判5年。

所以，Alice的占优策略是坦白，Bob的占优策略也是坦白。

结果，理性的推理将迫使每个人选择坦白，而显然此时两人的收益要比他们都选择抵赖时差。

用博弈论的术语讲，策略组合（坦白，坦白）是一个Nash均衡：任何单方面的偏离该策略组合都不能使得偏离者的收益提高；当一个参与人选择坦白时，另一个参与人只有选择坦白才能使自己的收益最大化。

这也正是囚徒的“困惑”之所在。

在1999年的《Physical Review Letters》里的一篇文章中J. Eisert等人研究了“囚徒困境”的量子化的模型 [Phys. Rev. Lett. 83, 3077 (1999)]。