人教A版高中必修二试题呼市二中第一学期期中考试

呼市二中2004—2005学年度第一学期期中考试
高二年级数学试卷
一、选择题：（每小题4分，共10小题）
1、若a 、b 、c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的（ ）
A 、a+b ≥b-c ；
B 、ac ≥bc ；
C 、b
a c 2
＞0 D 、（a-b ）c 2≥0 2、直线kx-y+1=3k,当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
A 、（0，0）
B 、（0，1）
C 、（3，1）
D 、（2，1）
3、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则（1-xy ）(1+xy)有 （ ）
（A ）最小值
2
1和最大值1 （B ）最小值43和最大值1 （C ）最小值21和最大值43 （D ）最小值1 4、直线xcos20°+ysin20°-3=0的倾斜角是
A 、20°
B 、160°
C 、70°
D 、110°
5、点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a 的取值范围是
A 、a ＜-7或a ＞24
B 、-7＜a ＜24
C 、a=-7或a=24
D 、a ≥-7
6、直线l 1 x-y+3-1=0绕着它上面一点（1，3）沿逆时针方向转15°，则旋转后的直线l 2的方程为（ ）
（A ）x-3y+1=0 (B)3x-3y=0 (C) 3x+y+1=0 (D)3x-3y-1=0
7、当θ为第四象限角时，两直线x sin θ+y θcos 1+-a=0和x-y θcos 1-+b=0的位置关系是 （ ）
（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）重合
8、方程y=a │x │和y=x+a(a ＞0) 所表示的曲线有两个交点，同a 的取值范围是 （ ）
（A ）a ＞1 (B)0＜a ＜1 (C) Φ （D ）0＜a ＜1或a ＞1
9、圆x 2+y 2-2x+6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是 （ ）
（A ）（x+1）2+(y+3)2=1 (B) (x+1)2+(y-1)2=1
（C ）(x-4)2+y 2=1 (D)(x-3)2+y 2=1
10、甲、乙二出租车司机，他们两人有不同的加油习惯：甲司机每次加100元的油，乙司机每次加100公升的油，若油价在一段时期有波动，试比较甲乙二人谁的加油方式更经济？
A 、甲更经济
B 、乙更经济
C 、甲乙相同
D 、与油价波动情况有关
二、填空题：（每小题4分，共4小题）
11、若过两点A （-1，0）、B （0，2）的直线l 与圆（x-1）2+y(y-a)2=1相切，则a=________。

12、不等式（x-1）12--x x ≥0的解集是___________。

13、由方程│xy │+1=│x │+│y │表示的图形所围成的面积等于_________。

14、已知函数f(x)=ax 2-c 满足-4≤f(1) ≤-1,-1≤f(2) ≤5，则f(3)的取值范围为
_________。

三、解答题：（15、16、17题每题8分，18、19题每题10分）
15、（本小题满分8分）
已知不等式x 2-2ax+a ＞0对任意实数x 恒成立，求不等式a 2x+1＜a x2+2x-3＜1的解集。

16、（本小题满分8分）
直线l 过点P （3，2），与x 轴、y 轴和正半轴并于A 、B 两点，O 是坐标原点，
（1）当横纵截距和最小时，求直线l 的方程，
（2）当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程
17、（本小题满分8分）
【理科做】圆C ∶（x-1）2+y 2=2上有两个动点A 和B ，且满足条件∠AOB=
2π(0为坐标原点)，求以OA 、OB 为邻边的矩形OAPB 的顶点P 的轨迹。

【文科做】圆C ∶（x-1）2+y 2=2上有两上动点A 和B ，且满足条件∠ACB=
2π，求以CA 、CB 为邻边的矩形OAPB 的顶点P 的轨迹方程。

18、（本小题满分10分）
已知圆x 2+y 2=8内有一点P 0（-1，2），AB 过点P 0且倾斜角为α的弦，
（1）当α=4
3π时，求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 0平分时，写出直线AB 的方程；
（3）求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
19. （本小题满分10分）
某渔业公司今年初用72万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元。

（1）该船捕捞几年开始盈利？
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
方案一，当年平均盈利达到最大值时，以50万元的价格卖出；
方案二，当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出。

问哪一种方案较为合算？请说明理由。

呼市二中2004—2005学年第一学期期中考试
高二年级数学试卷
二、填空题： 11. 4±5；12. 251-∪2
51+，+∞ ；13. 4； 14. [-1，20] 三、解答题：
15. 解：因不等式x 2-2ax+a ＞0对任意实数x 恒成立，则有
4a2-4a ＜0⇒0＜a ＜1，又a 2x+1＜a x2+2x-3＜1，则
2x+1＞x 2+2x-3＞0⇒1＜x ＜2，
故原不等式的解集为{x │1＜x ＜2}.
16. 解：（1）据题意可设直线l 的方程为y-2=k （x-3）（k ＜0＝），令x=0得直线l 在纵轴上的截距离b=2-3k ，令y=0得l 在横轴上的截距a=3-k
2，则 a+b=5+ -3k-k 2 ≥5+26，当且仅当-3k=-k
2⇒k=-36时，a+b 取得最小值，此时直线l 的方程为6x+3y-6-36=0.
【直线l 的方程为16263=+++y
x
或（2+6）x+（3+6）y-12-56=0均正确】.
（2）由（1）可知：S □ABC =,12)1212(2149122123)32(21=+≥ ⎝⎛⎪⎭⎫--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k k k 当且仅当-9k=324-=⇒-k k 时，△ABC 的面积最小，此时直线l 的方程为y-2=-3
2（x-3） 即2x+3y-12=0.
17. 【理科做】
解：据题设，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），则
⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+=+-=+-+=+=22
212221222222212121212)1(2
)1(y y x x y x y x y x y y y x x x 消去参数得x 2+y 2-2x-2=0 即（x-1）2+y 2=3故所求轨迹为以（1，0）为圆心3为半径的圆。

【文科做】
解：据题设，显有矩形CAPB 为正方形，则
│CP │=⋅2⋅2=2为定值，故顶点P 的轨
迹为以C 为圆心，2为半径的圆；于是所求的点
P 的轨迹方程为（x-1）2+y 2=4.
18. （1）据题意，直线AB 的方程为x+y-1=0，
圆心到该直线的距离d=22，则弦AB 的长│AB │=2230228= ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫-. （2）由垂径定理得，当弦AB 被点P 0平分时，有OP ⊥AB （O 为圆心），于是直线AB 的斜眩K AB =21，其方程为y-2=2
1（x+1），即x-2y+5=0. （3）设M （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧--=+-=+=+=+=+)2)(()1)((2288212121
2122222121y x x x y y y y y x
x x y x y x 消去参数得x （x+1）=-y （y-2）, 即x+21 2+(y-1)2=4
5为所求的中点M 的轨迹方程. 19. （1）解：设捕捞x 年后，盈利y 万元，则
y=50x-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⨯-+42)1(12x x x -72=-2x 2+40x-72， 令y ＞0，得2＜x ＜18，故捕捞2年后，开始盈利。

（2）方案一：年平均盈利
1640144240722=+-≤+--=x x x y 万元，当且仅当2x=x
72即x=6年时，年平均利润最大，共盈利6⨯16+50=146万元； 方案二：y=-2x 2+40x-72= -2（x-10）2
+128万元，即经过10年后利润为128+8=136万元； 比较这两种方案，易得方案一合算.。