第16章二次根式复习课件
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八年级数学下册第16章二次根式复习课课件新新人教
解： ?a ? 2?2 ? ?a ? 1?2 ???a? 2 a 1 , 分三种情况(qíngkuàng)讨
?当a =(- ≤-2时，原式
a -2)-[-(
a-1)]=-a-2+a -1=-3;
?当-2＜a≤1时，原式 =(a+2)+( a-1)= 2a+1;
?当a＞1时，原式 =(a +2)-( a-1)=3.
第九页，共28页。
考点讲练
初中(chūzhōng)阶段主要涉及三种非a负≥数0 ，：|a|≥0，
a2≥0. 如果(rúguǒ)若干个非负数0的，和那为么(nà me)这若干个
非负数都必为 0.这是求一个方程中含有多个未知
数的有效方法之一 .
第十页，共28页。
考点讲练
例3 实数(as、hìbs在hù数) 轴(shùzhóu)上的位置如图所示，请化简：
y x xy
xy
? ?2
2 2 ?2
?
? 6.
1
第二十四页，共28页。
专题 3 类别思想
专题讲练
例3 阅读(yuèdú)材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子(shì zi)可以
? ? 写成另一个(yī ɡè)式子的平方3，? 2如2 ? 1 ? 2 2 ，善于思
考的小明进行了以下探索：
第十五页，共28页。
考点讲练
例5 把两张面积(miàn18j的ī)正都方为形纸片各剪去一个(yī ɡè)面 为 2的正方形，并把这两张正方形纸片按照(ànzhào)如图所
示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸 盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解： S= ??（ 18 -
2 ）?
人教版数学八年级下册：第16章二次根式复习课件
3 6 22
20a2 2 5a
导航：化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有展理示化方,将式式：子学化生简起。立Z回X````X答K ，要求说清楚过程，
2
(3) 3 2 3 4 3 4 7 4 3
2
(4) 2 5 2 20 4 10 2 22 4 10
灿若寒星
2.计算 : (1) 2 3 5 (2) 80 40 5 (3) 5 3 5 2 (4) a b 3 a b
8
3
2 26 3 3
程序：老师检测小组长做题情况，小组成员 完成后交给组长检查，组长负责纠错讲解。 （3+2分钟）
灿若寒星
拓 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
展b 2 (a b)2 (a c)2 (b a)2
提 高
解：
原式 b (a b) (a c) (b a)
由1
x
x 0
0得：x
1且x
0
程序：老师检测小组长做题情况，小组成员
完成后交给组长检查，组长负责纠错讲解。
（2+2分钟）
灿若寒星
2．（１）
( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 ___x_1
（３） (x 2)2 x 2 ，
灿若寒星
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2019-2020人教版八年级数学下册第十六章二次根式章末复习课件(共59张)
相关题 4 当 t 取何值时,
35t-3-5 的值最小？最小值是多少？
3
3
解：∵ 5t－3≥0，∴当5t－3＝0，即 t＝5 时，
最小值是－5.
3 5t－3－5 的值最小，
第十六章 二次根式
专题三 二次根式的混合运算
【要点指导】 进行二次根式的混合运算时, (1)先将二次根式进行适当的化简；(2)二次
第十六章 二次根式
专题五 二次根式的化简
【要点指导】
灵活应用二次根式的性质和公式：( a)2=a(a≥0), a2 =|a|, a·b =
a· b (a≥0, b≥0),
ab=
a b
(a≥0, b>0), 可以将复杂的二次根式进
行化简, 从而帮助我们解决问题.
第十六章 二次根式
例 7 实数 a, b 在数轴上对应点的位置如图 16-Z-1 所示, 则
第十六章 二次根式
(2)比较 5+ 13与 7+ 11的大小
分析 先求出两个式子的平方, 再比较这两个式子的平方的大小.
解：( 5+ 13)2=18+2 65, ( 7+ 11)2=18+2 77. ∵65<77,∴ 65< 77,∴18+2 65<18+2 77, 即( 5+ 13)2<( 7+ 11)2. 又∵ 5+ 13>0, 7+ 11>0, ∴ 5+ 13< 7+ 11.
a ≥0（ a≥0 ）
a =a（ a≥0 ）
a2
=|a|=
a(a≥0)， －a(a＜0)
当a≥0时，( a)2= a2
人教版八年级数学下册第16章二次根式PPT复习课件
A． 5 个
C． 7 个
B． 6 个
D． 8 个
返回
考点
1
三个概念
概念3 最简二次根式
4．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
① 3a b ；
2
2 ② ； 5
2 xy ⑤ ； 2
③ x 2＋y 2 ；
⑥ 0.21 .
返回
④
6；
解：③④是最简二次根式，①②⑤⑥不是．
考点
2
四个性质
性质1
a
1 1 1 2 先化简，再求值： ＋ 2 ＋a －2 ，其中a＝ a a 5
.
甲同学的解法是：
－ a ＋ －a －a,10－ 原式 ＋ a a a a 5 5 a 乙同学的解法是： 1 1 1 1 2 1
2
49
原式
1 1 1 1 1 ＋ a－ ＋a－ a a a a a 5
9－2 2 2 7 2 2 14 2
返回
考点
4
两个技巧
技巧1 倒数法
15．比较 2019－ 2018 与 2018－ 2017 的大小．
解：
1 2019－ 2018
2019＋ 2018 2019－ 2018
2019＋ 2018
2019＋ 2018 2019 －
返回
考点
2
四个性质
性质3 积的算术平方根
3－a a＋1 成立的所有整数
11．能使得
3－a a＋1 =
5 a的和是________ ．
返回
12．化简：
(1) 500 ；
人教版八年级下册数学第十六章二次根式全章复习课件 PPT
2 、 a aa ( 0 )
3、 a =∣a∣=
2
2
a -a
(a≥ 0) (a≤0)
32 7 、 计 算 ： (5 )= _ _ _ _ ； ( )= _ _ _ _ _ ; 4 2 2 (2 3 ) _ _ _ _ _ _ ； ( 3a ) _ _ _ _ _ _ _
2
巩固练习：
2
提高练习：
4 、 已 知 ： x 31 , y 31 , x 2xy y 求 的 值 。 2 2 x y
2 2
提高练习：
5 、 已 知 ： 4 x y4 x 6 y 1 0 0 ,
2 2
2 2 1 y 2 x 求 x y 3 5 x 的 值 。 x9 x 3 y x x
二次根式的乘除法法则
a b ab a≥0,b≥0
a b a b
a 0 , b 0
巩固练习：
1 、 计 算 ： 3 4 2 +1 2
x 25 x 2 、 计 算 ： 3 2 x 8 x 45 0 1 2 1 3 、 计 算 ： 1 8 1 2 + 2 2
3
8
( ×)
a (a 0)
(√ )
C） 2. 下列各式一定是二次根式的是（ A. 1 B. D. 2 C. 2 x 1 x1 x x
3、x取何值时，下列二次根式有意义？ （1） x +2 x≥-2 （2） -3-x x≤-3
1 X 取全体 2 （ 4） （3） x +1 3x 实数
练习
第二十一章 二次 根式全章复习
一、知识结构
四个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 分母有理化
人教版数学八年级下册第十六章 二次根式 章末复习课件
上一级
目录
(4)二次根式的混合运算 ①二次根式的混合运算顺序： 与 实 数 的 混 合 运 算 顺 序 一 样 ， 先 算 __乘__方____ ， 再 算 __乘__除____ ， 最 后 算 __加__减____，有括号的先算括号内的运算(或先去掉括号)； ②在二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式的乘法法则、多项式 的乘法公式仍然适用．
上一级
目录
9．已知等腰三角形的两边长满足 a－4＋b－2＝0，那么这个等腰三角形
的周长为( B )
A．8
B．10
C．8 或 10
D．9
上一级
目录
10．【例】若 y＝ 2－x＋ x－2＋4，求 x2＋y2 的平方根． 解：∵2－x≥0，x－2≥0， 解得 x≤2，x≥2，则 x＝2， ∴y＝4， 故 x2＋y2＝22＋42＝20， ∴x2＋y2 的平方根为± 20 ＝±2 5 .
＝2.
上一级
目录
16．【例】已知 a＝ 7－3，b＝ 7＋3，求下列各式的值：(1)a2－b2； 解：∵a＝ 7 －3，b＝ 7 ＋3， ∴a＋b＝( 7 －3)＋( 7 ＋3)＝2 7 ， a－b＝( 7 －3)－( 7 ＋3)＝－6， ab＝( 7 －3)( 7 ＋3)＝－2， a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝－12 7 ； (2)a2＋b2. 解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝28＋4＝32.
B．a≤0
C．a<0
D．a≥－2
上一级
目录
题型3 二次根式的性质
7．【例】若实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则 a2＋ b2－|b－c|
的结果是( C )
A．a－c
B．－a－2b＋c
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式单元复习》公开课课件
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1
（１） 3 x
（２）
2x 5
（３） 1 x （４） x3 8x
x
（５） x2 2x（６） x2 2x 1
2．（１） (3)2 ____
（２）当 x 1 时， (1x)2 ____
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若
(x 7)2 1
4
拓展1
设a、b为实数,且| 2 -a|+ √ b-2 =0
（ 1 ） 求 a 2- 22 a + 2 + b 2 的 值 . a 2， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积.
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 2）2 1 1
∴三角形的面积为 1 2 1 1
A.3
B.-3
C.1
D.-1
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
(3) x2y
(4)0.75 (5)(ab)a(2b2) (6)16 2 满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B
点最短路程是多少？
B
解：
60
25
B
15
60
25
25
15
15
60
15
60
A 25
AB 602 802
A
10000
100
必做题： 复习题21
DP
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课%28共75张PPT%29
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
性质2:
( a )2 a (a 0)
性质3:
a2
a
a(a0)
a(a0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( 性质2: a )2 a(a 0)
性质3:
a(a0)
a2 a a(a0)
注意区别 a2与( a）2
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
例 求下列二次根式的值
(1 )(3 )2 (2 )x 2 2 x1 (x 3 )
解：(1) (3 )2 |3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x1 (x1)2 |x1|
当 a＜ 0 时 ， a2 = -a 。
也 就 是 说 ： a 2 = |a | 。
第三部分 二次根式的乘除法
复习归纳
二次根式的性质：
（1） ( a ) 2 a （a≥0）
（2） a 2 |a|
当a≥0时，= a； 当a≤0时，= -a.
复习归纳
二次根式的性质：
（3） a b a • b（a ≥0 ， b≥0）
(1)x2 2
x 2 (2 ) 2 x 2 x 2
(2)2x2 3y2
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
a2 a(a 0) 反过来就是 a a2 (a 0)
把) 3 2
(3) x 1 x
人教版八年级数学下册16章二次根式复习课件(18张)
13 2 - 3. 2
（2） a 2 a.
一、基本问题 知识梳理
3 3
2
2 3 2 3
42
2 63 3 3 3 2 42
3.二次根式的乘法法则是
6 2 2 3 2 2
a b aba 0，b 0.
13 2 - 3. 2
4.二次根式的除法法则是
18 9 2 32 2 3 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
4.二次根式的除法法则是 a a a 0，b 0.
bb
5.最简二次根式的概念：
（1）被开方数不含分母 ；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
二、典例问题 方法提炼
例 1下列代数式中，不是二次根式的是（ C）
A. 3 B. a2
C. x - 7
a - b 2 5，ab -4.
（1）ab2 ba2 （2） a2 b2 - 2ab（3）a2 - b2
abb a
a - b2
a ba - b
-4 2
2
2
5
22 5
-8.
20.
4 5.
三、巩固问题 综合运用
4. 若a 3 - 10 ，求代数式 a2 - 6a - 2.
D.
1 2
例2
使
x 5 有意义的 x的取值范围是 x 5且x 3 ．
3- x
二、典例问题 方法提炼
例 3若实数a,b满足 a 2 b 4 0，则 a2 1 ．
b
例 4实数a,b在实轴上的位置如图所示，那么化简
b a b2的结果是（C ）.
A．2a - b B．- b C．a D．- 2a b
（2） a 2 a.
一、基本问题 知识梳理
3 3
2
2 3 2 3
42
2 63 3 3 3 2 42
3.二次根式的乘法法则是
6 2 2 3 2 2
a b aba 0，b 0.
13 2 - 3. 2
4.二次根式的除法法则是
18 9 2 32 2 3 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
4.二次根式的除法法则是 a a a 0，b 0.
bb
5.最简二次根式的概念：
（1）被开方数不含分母 ；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
二、典例问题 方法提炼
例 1下列代数式中，不是二次根式的是（ C）
A. 3 B. a2
C. x - 7
a - b 2 5，ab -4.
（1）ab2 ba2 （2） a2 b2 - 2ab（3）a2 - b2
abb a
a - b2
a ba - b
-4 2
2
2
5
22 5
-8.
20.
4 5.
三、巩固问题 综合运用
4. 若a 3 - 10 ，求代数式 a2 - 6a - 2.
D.
1 2
例2
使
x 5 有意义的 x的取值范围是 x 5且x 3 ．
3- x
二、典例问题 方法提炼
例 3若实数a,b满足 a 2 b 4 0，则 a2 1 ．
b
例 4实数a,b在实轴上的位置如图所示，那么化简
b a b2的结果是（C ）.
A．2a - b B．- b C．a D．- 2a b
第16章《 二次根式》单元复习课件
同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
第16章《二次根式》单元复习课件学案课件
32 ＝ 8
4＝2
⑵－
27 6÷
9 ＝－ 12
27 9 6 ÷12
＝－
27 12 6 ×9
＝－ 6
二次根式的除法运算，通常采 用分子、分母同乘以一个式子化去 分母中的根号的方法来进行，这种 把分母中的根号化去的变形，叫做 分母有理化.
两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，就说 这两个代数式互为有理化因式. 如：2 3与 3，( 6＋ 5 )与( 6－ 5).
1.从形式上看，二次根式必须含有 “ ”如：9＝3 ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
形如＿a＿(a≥o)的式子叫做二次根
式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 足＿a＿≥0＿，即被开方数必须是非负数.
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是
a≥0.
3. a≥0 在二次根式概念中必不可少，
这一限制条件，导致类似( －3)²＝－3的错误.
求下列各式的值：
( ) ⑴ ( 300)²
⑵3
42 9
⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)²＝a²b²进行 变形，然后再计算.
解： ⑴ ( 300)²＝300
( ) ( ) ⑵ 3
( a)2＝a(a≥0)，即非负数的算术平
方根的平方等于它本身.
⑴ a≥0(a≥0) 具有双重非负性： ① a≥0；② a≥0.
⑵ ( a)2＝a(a≥0) 是逆用：a＝( a)2
(a≥0)，可以利用此公式把一个非负数写
成它的算术平方根的平方的形式.如：
( ) 6＝(
6
)2，
人教版数学八年级下册第16章《二次根式》复习课件
（1）
=_____5_____；
（2） =__________；
（3）
=____9_a_____；
（4） =_____4_____.
最简二次4根.式二满足条次件：根式的运算：
（3）
.
（1）、二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
=__________；
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
； （2）
；
4、已知a在1＜a<2中，化简：
（3）
=__________；
解：原式=13.
（3）
.
3、计算： (1)101 ( 3)0 (1)1 (1 2)2 .
2 1
=3 2
①(-1)2n+1=-1(n为整数) ② a0=1(a≠0)
③
a2 a
应用拓展 C．a≥5
D．a＞5
1、通过复习理清二次根式的 性质
（3）
.
最简二次根式满足条件：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的；
4、已知a在1＜a<2中，化简：
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
第十六章 《二次根式》单元复习
同学们学习完“二次根式”这章内容后，你有哪些收获，还存在哪些困惑？这节课我们一起来对本章学过的知识进行回顾和巩固.
子叫做二次根式. 2.最简二次根式满足条件： ①被开方数不含 分母 ； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次
根式，叫做最简二次根式.
3.二次根式的性质：
a具有双重非负性： ①a 0； ② a 0.
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（2）被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式；
3、计算：
(1)2 3 27 1
(2) 3
3
2 5
(3)( 3 2)(2 3)
(4) a2b ab2 a2 b ab a
（2 - 3）2007（ 2 3）2008
四、二次根式的加减 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类 二次根式 2、二次根式的加减（合并同类二次根式）
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
② a ≥0
例1、当x取何值时，下列等式成立：
(1) 4 y2 2 y • 2 y (2) (3 2x)2 2x 3
(3) x x x2 x2
5
已知y
2x
x
2
5,则
y x
_2___
?
若 a2 a ，则实数a在数轴上
的对应点一定在( C) A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
a 0 (a 0)
二
( a a (a 0)
次 根
性质
( a2 a
式
ab a b (a 0,b 0)
a a bb
(a 0,b 0)
a b ab(a 0,b 0)
运算
a a (a 0,b 0) bb
求a2 2 2a 2 b2 的值
解:
2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
a a (a 0,b 0) bb
4、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
例3、判断下列各式中哪些是最简二次根式， 哪些不是？为什么？(字母为正数)
(1) 3a2b (2) 1.5ab (3) x2 y2 (4) a b
最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；(即因数是整数， 因式是整式
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
变式应用
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , 3 2
二、二次根式有以下二个基本性质
1.( a )2 a(a 0)
2.
a2
a
a 0 a
0
口算：
(1)( 2 )2 (4) 9 2
(2) (1 2)2
(3) ( 4)2
3 (5)
4
(6)(2 x )2
(7) 32 42 (7)2 ( 11)2
(8) a2 2ab b2 (a b)
练习、当x取何值时，下列二次根式 有意义：
(1) 2x 1 (2) 1 1 3x
(3) x 2 (4) (x 3)2 x2
(5) a 1 1 3a
一.二次根式的概念及意义. 形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式,
其中a可以是数,也可以是单项式和多项式.
注：两个非负： ①a≥0
则x的取值范围是（
）
6. 观察下列分母有理化的计算：
1 Байду номын сангаас2 1 ， 1 3 2 ，
2 1
3 2
1 4
3
4
3，
1 5 4 ，…，
5 4
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
( 1 1 1
1
)( 2006 1)
2 1 3 2 4 3
2006 2005
拓展延伸 1、试写出下列各式的整数部分和小数部分
一化 二找 三合并
1、下列各式与 2是同类二次根式的是（ C ）
A 10 B 24 C 72
D 2
3
2、若最简根式 X 1 与 3 X 是
同类二次根式，求 X 值
例3 :已知：m 1 ,
2 3
求1 2m m2 m 1
m2 2m m2 m
1
的值.
例4
设a.b为实数,且 2 a b 2 0
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x2 8x 16 的结果是2x-5,
3、计算：
(1)2 3 27 1
(2) 3
3
2 5
(3)( 3 2)(2 3)
(4) a2b ab2 a2 b ab a
（2 - 3）2007（ 2 3）2008
四、二次根式的加减 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类 二次根式 2、二次根式的加减（合并同类二次根式）
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
② a ≥0
例1、当x取何值时，下列等式成立：
(1) 4 y2 2 y • 2 y (2) (3 2x)2 2x 3
(3) x x x2 x2
5
已知y
2x
x
2
5,则
y x
_2___
?
若 a2 a ，则实数a在数轴上
的对应点一定在( C) A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
a 0 (a 0)
二
( a a (a 0)
次 根
性质
( a2 a
式
ab a b (a 0,b 0)
a a bb
(a 0,b 0)
a b ab(a 0,b 0)
运算
a a (a 0,b 0) bb
求a2 2 2a 2 b2 的值
解:
2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
a a (a 0,b 0) bb
4、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
例3、判断下列各式中哪些是最简二次根式， 哪些不是？为什么？(字母为正数)
(1) 3a2b (2) 1.5ab (3) x2 y2 (4) a b
最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；(即因数是整数， 因式是整式
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
变式应用
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , 3 2
二、二次根式有以下二个基本性质
1.( a )2 a(a 0)
2.
a2
a
a 0 a
0
口算：
(1)( 2 )2 (4) 9 2
(2) (1 2)2
(3) ( 4)2
3 (5)
4
(6)(2 x )2
(7) 32 42 (7)2 ( 11)2
(8) a2 2ab b2 (a b)
练习、当x取何值时，下列二次根式 有意义：
(1) 2x 1 (2) 1 1 3x
(3) x 2 (4) (x 3)2 x2
(5) a 1 1 3a
一.二次根式的概念及意义. 形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式,
其中a可以是数,也可以是单项式和多项式.
注：两个非负： ①a≥0
则x的取值范围是（
）
6. 观察下列分母有理化的计算：
1 Байду номын сангаас2 1 ， 1 3 2 ，
2 1
3 2
1 4
3
4
3，
1 5 4 ，…，
5 4
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
( 1 1 1
1
)( 2006 1)
2 1 3 2 4 3
2006 2005
拓展延伸 1、试写出下列各式的整数部分和小数部分
一化 二找 三合并
1、下列各式与 2是同类二次根式的是（ C ）
A 10 B 24 C 72
D 2
3
2、若最简根式 X 1 与 3 X 是
同类二次根式，求 X 值
例3 :已知：m 1 ,
2 3
求1 2m m2 m 1
m2 2m m2 m
1
的值.
例4
设a.b为实数,且 2 a b 2 0
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x2 8x 16 的结果是2x-5,