直角三角形的边角关系(复习)优秀课件
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直角三角形的边角关系复习(一)优秀课件
C
D
60
o
课堂教学 （二）利用解直角三角形解决实际问题
挑战自我：重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，
校门A处，有一斜坡AB，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的
角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的
仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，
FD=5米．求DC的长． （参考数据：tan53°≈
5
则BC=
cosB= .
前置学习展示
1、（类型一：考察定义）
在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝8 ， sin B 4，
5
则BC=
cosB= .
前置学习展示
1、（类型一：考察定义）
在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝8 ， sin B 4，
5
则BC=
cosB= .
构造直角三角形，直接运用三角函数的定义求值 借助边的数量关系求值 根据三角函数关系求值．
cos∠BCD
。
课堂教学 （一）利用三角形来解一般三角形
问题1：如图△ABC中，∠B=45 ° ，∠C=30°， AB= ，求AC长。
课堂教学 （一）利用三角形来解一般三角形
问题2：如图在△ABC中，∠B=135°，∠C=30°，
BC=
,求AC长。
B
旋转
D
C
64o60650606060600 45 60
类型四（考察三角函数的增减性）
4、若锐角a满足cosa< ，tana< ，则a的取值范围是
前置学习展示
（类型五：转化思想）
5、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC= ，BC=2，则
cos∠BCD
《直角三角形的边角关系》复习课件
(1)2 3 2 0 2sin 30 3
2
题型2 解直角三角形
1∠.如AD图E4=，a，在且矩c形osAαB=CD3 中，DE⊥A B ）
A．3
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b，
则a+b的值为（ B ）
A．35 B．43 C．89 D．97
题型3 解斜三角形
1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8， 求△ABC的面积（结果可保留根 号）．
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 , B. 5 , C.12 , D.12 12 13 5 13
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， CD⊥AB于点D，已知AC= 5 ，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
A． 5
B. 2
C. 2 5
D. 5
3
3
5
2
5．计算：
．
|- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4， 则sinA的值为_______． 2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，BC=4，AC=3， 则cosA的值为______． 3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，
北师大版九年级数学下册第一章《复习》公开课课件
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 A+B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sinAcoBsa, coAssinBb, tan A a , tan B b .
互余两角之间c 的三角函数关c系:
b
aB
sinA=cosB,tanA=cotB.
c
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1. tanA sinA.
cosA
A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
a
┌
b
C
随堂练习
复习题A组
1.已知△ABC中，cosA=0.6, 求sinA,tanA.
想一想
?
小结 拓展
回味无穷
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角
300
450
600
2
2
余弦
3
2
1
cosα
2
2
2
正切
3
tanα 3
1
3
随堂练习
复习题A组
2.计算: (1)sin450-cos600+tan600; (2)sin2300-cos2300-tan450; (3)sin300-tan300+cos450.
想一想
?
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 4:37:53 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
九年级数学下册 直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
1. 求tanA的值。 2. 求AB的长。
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
九年级(下册)直角三角形的边角关系 复习课件
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，列方程 AD＋ ＝ 3AD＝200 3，解出 AD 即可．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类 2．30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数
角α
30°
sinα
cosα
tanα
45° 60°
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
第1章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，列方程 AD＋ ＝ 3AD＝200 3，解出 AD 即可．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类 2．30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数
角α
30°
sinα
cosα
tanα
45° 60°
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
+第二章++直角三角形的边角关系 复习课件 2024-2025学年鲁教版(五四制)数学九年级上册+
=
∴△ABE≌△ACD(SAS);
28
3.(2021·娄底中考)如图①,E,F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点,
∠EAF=45°,CD⊥BC且CD=BE.
(2)求证:EF2=BE2+CF2;
29
【证明】 (2)由(1)知,△ABE≌△ACD,
∴AE=AD,∠BAE=∠CAD,
∵∠BAC=90°,
仰角为27°.
(2)设塔AB的高度为h(单位:m);
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5, 3取1.7,结果取整数).
22
【解析】 (2)①由题意得,BA⊥EA,
在Rt△DEC中,DE=3 m,∠DCE=30°,
∴CE= DE=3 m,
在Rt△ABC中,AB=h m,∠BCA=45°,
直角三角形的边角关系
概览提纲挈领
考点定向突破
考向多维感知
概览提纲挈领
3
4
答案:①
⑥
∠的对边
斜边
;②
tan α(∠α为坡角)
∠的邻边
斜边
.
;③
∠的对边
∠的邻边
;④
90° ;⑤
1
;
考点定向突破
【考点1】锐角三角函数
1.(2022·北部湾中考)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC
tan
+
(α+β)=
成立.
−·
33
本课结束
4
2
=
C.8
÷ tan
4
2
=
D.8× tan4来自2=13
7. (2022·南通中考)如图,B为地面上一点,测得B到树底部C的距离为10 m,在B处放
∴△ABE≌△ACD(SAS);
28
3.(2021·娄底中考)如图①,E,F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点,
∠EAF=45°,CD⊥BC且CD=BE.
(2)求证:EF2=BE2+CF2;
29
【证明】 (2)由(1)知,△ABE≌△ACD,
∴AE=AD,∠BAE=∠CAD,
∵∠BAC=90°,
仰角为27°.
(2)设塔AB的高度为h(单位:m);
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5, 3取1.7,结果取整数).
22
【解析】 (2)①由题意得,BA⊥EA,
在Rt△DEC中,DE=3 m,∠DCE=30°,
∴CE= DE=3 m,
在Rt△ABC中,AB=h m,∠BCA=45°,
直角三角形的边角关系
概览提纲挈领
考点定向突破
考向多维感知
概览提纲挈领
3
4
答案:①
⑥
∠的对边
斜边
;②
tan α(∠α为坡角)
∠的邻边
斜边
.
;③
∠的对边
∠的邻边
;④
90° ;⑤
1
;
考点定向突破
【考点1】锐角三角函数
1.(2022·北部湾中考)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC
tan
+
(α+β)=
成立.
−·
33
本课结束
4
2
=
C.8
÷ tan
4
2
=
D.8× tan4来自2=13
7. (2022·南通中考)如图,B为地面上一点,测得B到树底部C的距离为10 m,在B处放
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系研讨说课复习课件
能求出其他的元素?
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
直角三角形的边角关系回顾与思考-PPT课件
点拨：台风中心在AC上移动，要知道B处是否 受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这 个最短距离与200的关系，若小于或等于200 海里则受影响，若大于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风 中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时 间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角 形边角关系，此题就不难得到解决。
2、 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知， 一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物?
第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考
大庆市第四十四中学 王 琦
小结
拓展
回味无穷
• 由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 ∠A= 2
300 sin A 3 ∠A=
2
600 sin A 2 ∠A= 450
2
cos A 1 ∠A= 2
北
C
西
D
E
B
A
4
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，则 sinA=
5
2、（1） 2 sin 600 3 cos 450 6
（2） 3 cos 600 5 sin 300 1
1
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的
对边.
(1)已知c=8,b=4,则a= 4 3 ∠A= 60°
直角三角形的边角关系复习课件
┃善于总结是学习的前提条件┃
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。注 意把实际问题转化为数学问题，建立数学模型。
D
┃走进中考┃
（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度 沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏 东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯 塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）
A、20海里 B、40海里
C、
海里
D、
海里
┃练一练┃
1．（2015•铜仁市）如图，一艘轮船航行到B处时， 测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海 里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试 问轮船有无触礁的危险？（ ≈1.732）
B
α=30° 120 A β=60°
D
B
C
C
A
┃走进中考┃
（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点 测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到 达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度 为（ ）
┃练一练┃
1、（2014山东青岛20，8分） 如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测 得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索 道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°． （1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）； （2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）． 1 （参考数据：tan31° ≈ 3 ，sin31° ≈ ， tan39° ≈ ， 9 5 7 2 sin39 ° ≈ ） 11 11
青岛版九年级数学中考复习：直角三角形的边角关系应用复习(青岛市公开课)18张PPT
精确到1米，参考数据：sin35 14，cos35 4，tan35 7 ，sin 67 12，cos67 5 ，tan 67 12
25
5
10
13
13
5
B1E
B
35°
A M 18
67°
F C1 D A
35°
67°
D
C
17
变式二
如图是青岛胶州湾大桥引申出的部分平面图， AB、AE是
两条拉索，等高的两根立柱DE、 BC 相距17m,小明在点A
520 67°
D
？
）
变式练习
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，已知B地位
于A地北偏东67°方向，距离A地520km，D地位于B地的正
东方向50km处，在D处测得C地位于D地南偏东30°方向,
若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，则A地到C地之间
高铁线路的长为______km.
B50kmD
67°
35°
67°
A
D
C
17
反思提高
BE
B
A
F CD
35°
67°
A
D
C
17
平行线也能构造RT△。 把图形转化为常见模型，有利于分析线段关系。
）
典型例题
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地 需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地 520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道， 建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长 . （结果保留整数.参考数据：
E
D
500
840
E
感悟与收获
通过本节课的复习，你认为遇到解直角三角 形的实际问题应如何解决？
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎 样想的？与同伴进行交流.
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
直角三角形的边角关系课件
我们将介绍如何使用平面向量来进行三角函数的计算，讲解向量的定义、性质和运算。
三角函数在物理中的应用
我们将研究三角函数在物理领域的应用，如弹道问题和三棱镜的折射问题等。
三角函数在工程中的应用
我们将展示三角函数在工程和测绘领域的应用，如大坝高度计算和水泵流量计算等。
总结
1 重点内容回顾
2 重点难点总结
直角三角形的边角关系 ppt课件
本课程介绍直角三角形的定义、性质和边角关系。我们将推导和应用三角函 数公式，探索三角函数在物理和工程领域的应用。
直角三角形的定义和性质
定义
什么是直角三角形？我们如何识别直角三角形 以及该如何判断三角形的各条边的关系？
性质
直角三角形有哪些性质？我们如何运用这些性 质解决简单和复杂的问题？
我们还会介绍三角函数的周期性、奇偶性和单调性等特征。
边角关系公式的推导及应用
1
正弦函数公式的推导及应用
正弦定理是如何推导出来的？它具有
余弦函数公式的推导及应用
2
什么样的应用？我们将通过实例来展 现其作用。
我们将学习余弦定理的推导和应用，
并研究它在工程领域和物理领域的实
际应用。
3
正切函数公式的推导及应用
三角形全等定理
我们如何使用三角形全等定理来证明两个三角 形之间的关系？
正弦、义及图像，怎样求一条直线的斜 率，和如何运用正弦函数求角度及长度。
正切函数
正切函数定义、图像和性质。我们会讲解如 何求角度、切线、以及速度和时间的关系。
余弦函数
余弦函数定义及图像，以及如何求角度和长 度。
正切函数公式是如何推导出来的？我 们还将讨论它在微积分中的应用。
利用三角函数解题的步骤与实战演练
三角函数在物理中的应用
我们将研究三角函数在物理领域的应用，如弹道问题和三棱镜的折射问题等。
三角函数在工程中的应用
我们将展示三角函数在工程和测绘领域的应用，如大坝高度计算和水泵流量计算等。
总结
1 重点内容回顾
2 重点难点总结
直角三角形的边角关系 ppt课件
本课程介绍直角三角形的定义、性质和边角关系。我们将推导和应用三角函 数公式，探索三角函数在物理和工程领域的应用。
直角三角形的定义和性质
定义
什么是直角三角形？我们如何识别直角三角形 以及该如何判断三角形的各条边的关系？
性质
直角三角形有哪些性质？我们如何运用这些性 质解决简单和复杂的问题？
我们还会介绍三角函数的周期性、奇偶性和单调性等特征。
边角关系公式的推导及应用
1
正弦函数公式的推导及应用
正弦定理是如何推导出来的？它具有
余弦函数公式的推导及应用
2
什么样的应用？我们将通过实例来展 现其作用。
我们将学习余弦定理的推导和应用，
并研究它在工程领域和物理领域的实
际应用。
3
正切函数公式的推导及应用
三角形全等定理
我们如何使用三角形全等定理来证明两个三角 形之间的关系？
正弦、义及图像，怎样求一条直线的斜 率，和如何运用正弦函数求角度及长度。
正切函数
正切函数定义、图像和性质。我们会讲解如 何求角度、切线、以及速度和时间的关系。
余弦函数
余弦函数定义及图像，以及如何求角度和长 度。
正切函数公式是如何推导出来的？我 们还将讨论它在微积分中的应用。
利用三角函数解题的步骤与实战演练
《直角三角形的边角关系》复习课件1
直角三角形的边角关系 （复习课）
教学目标： 1、增强对本章的基本概念 和关系式的记忆和理解。 2、能熟练地运用本章知识解 决有关问题。 3、加深对本章的解题方法和解题 思路的体会。
知识结构框图：
锐角三角函 数的值
锐角三角函数
同角锐角三 角函数之间 的关系
互为余角的 锐角三角函 数之间的关 系
解直角 应 三角形 用
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需 要 记忆3组就可以了，记忆效率也会大大提高。
角 三 角 形
三角 形的 边角 关系
解直 角三 角形
知一边一锐角 解直角三角形
知两边解直角 三角形
知一直角边一锐 角解直角三角形
〖 目 标
知两直角边解 一
直角三角形
〗
知一斜边一直角
添设辅助线解
边解直角三角形
直角三角形 〖目标二〗
实际应用
直接抽象出直角 三角形
〖 目
标
抽象出图形，再 三
添设辅助线求解 〗
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
教学目标： 1、增强对本章的基本概念 和关系式的记忆和理解。 2、能熟练地运用本章知识解 决有关问题。 3、加深对本章的解题方法和解题 思路的体会。
知识结构框图：
锐角三角函 数的值
锐角三角函数
同角锐角三 角函数之间 的关系
互为余角的 锐角三角函 数之间的关 系
解直角 应 三角形 用
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需 要 记忆3组就可以了，记忆效率也会大大提高。
角 三 角 形
三角 形的 边角 关系
解直 角三 角形
知一边一锐角 解直角三角形
知两边解直角 三角形
知一直角边一锐 角解直角三角形
〖 目 标
知两直角边解 一
直角三角形
〗
知一斜边一直角
添设辅助线解
边解直角三角形
直角三角形 〖目标二〗
实际应用
直接抽象出直角 三角形
〖 目
标
抽象出图形，再 三
添设辅助线求解 〗
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
直角三角形的边角关系(复习课)
2.已知cosA=0.6,求sinA,tanA.
A A
D B C
B
C
3.已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。
4.在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，AD=2， DE=1，且S△ABC=2，求tanC的值。
A
C
D E B D C A E B
a c b c a b
A
b
c
C
a
B
特殊角的三角函数值
30° 45° 60° sin
cos tan
1 2
3 2 3 3
2 2 2 2
3 2 1 2
3
思考： 如何设计一个方案 来计nａ= 3 ,则ａ= ； 3 (2)已知ａ为锐角，sin（ａ-20°）= 2 ， 则ａ= . (3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝ 3 b，则∠A ＝ ，sinA＝ 。
常用概念
仰角、俯角 视线与水平线所成的角中，视线 在水平线上方的叫做仰角， 在水平线下方的叫做俯角。 坡角、坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角； 坡面的铅直高度h与水平宽度l的 比叫做坡度，常用字母i表 h 示，即i=tanα =
l
仰角 水平线
俯角
h
α
l
例题探讨
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知a=3,b=3,求∠A; (2)已知c=8,b=4,求a及∠A; (3)已知c=8,∠A=45°,求a及b .
北 C
M
E 西
B
D A
A D
B
C
E
10.如图所示，某市景区管委会准备在郊外两个景区点 A、B与该市M间修建一条笔直的公路，经测量，在A的 北偏西30°方向上6km的C处的四周1km范围内是一个重 点文物保护区，且又位于景点B的正北方向，测得AB的 长为5km，试问能否修这条笔直的公路？（精确到0.1， 参考数据： ） 5 2.24, 3 1.73
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A．45° B．60° C．75° D．105°
课例讲解 2、解直角三角形 例三：已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90，b=2 、c=4. 求:(1)a、∠B=
课例讲解
2、三角函数的实际应用 例四：如图，小明想测量塔 CD 的高度，他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方 向前进 50 m 至 B 处，测得仰角为 60°，那么该塔有多高?
版本：北师大版九年级数学 课题：第一章《直角三角形的边角关系》回顾与思考
直角三角形的边角关系
回顾与思考
课前5分钟
1、计算
解：原式= =
2 -1- 2 2 2 2 4 2
3
2、在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ 4 ，BC＝20，求△ABC 的周长和面积． 5
解：
知识点过关
1、正切的定义：
知识点过关
4、锐角三角函数的特征 与性质：
（1）锐角三角函数的值的有界性： 0＜sin A＜1，0＜cos A＜1
（2）倒数关系：若∠A＋∠B＝90°，则 tanA=
（3）相等关系：若∠A＋∠B＝90°，则 sin A ＝
、cos A＝
、
（4）商数关系： tan A sin A ， cos A
（5）平方关系：已知锐角∠A，则sin2 A cos2 A 1
tan
A
A的对边
tanA 的值
，梯子越陡
A ∠ A的邻边 C
2、正弦的定义：
sin
A
A的( (
)
)
sinA 的值
，梯子越陡
余弦的定义：
cos
A
A的( (
)
)
cosA 的值
，梯子越陡
知识点过关 3、30°、45°、60°角的三角函数值
sinα
cosα
tanα
30° 45° 60°
12
13
3、比较大小: sin400
cos400.
4、在△ABC 中，若∠C = 900，sinA= 0.5，AB = 2，则△ABC 的面积为
.
当堂检测
5、科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行，如图，小明一家自家到古镇游玩， 达到 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60°方向行驶 4 千米至 B 地，再沿北偏东 45°方向 行驶一段距离到达古镇 C，小明发现古镇 C 恰好在 A 第的正北方向，求 B、C 两地的距离。
当堂检测
1、若 sin A cos A 2 ，则锐角∠A =
.
A．30° B．45° C．60° D．90°
2、在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 对边分别为 a、b、c，且 a = 5，b = 12，c = 13，
正确的是
.
A． sin A 12 B． cos A 5
5
13
C． tan A 5 D．cos B 12
5、直角三角形边角间的 关系： （1）、两锐角之间的关系： （2）、三边之间关系： （3）、边角之间的关系：
课例讲解
1、锐角三角函数的定义与性质 例一：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.若 sinA＝3，则 cosB 的值是( )
5
A. 4
B.3
C.3
D.4
5
5
4
3
2、特殊角的三角函数值
例二：在△ABC 中，若|cosA－1|＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( ) 2
当堂检测
6、如图，在 300m 高的峭壁上测得塔顶与塔基的俯角分别为 30°和 60°，求塔高
多少米？
( 300
A
600
D
300 米
C
B