2020-2021学年浙江省数学高考模拟试题及答案
2020-2021学年浙江省高考数学一模试卷(文科)及答案解析
浙江省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜13．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=______，数列{a n}通项公式a n=______．10．函数则f（﹣1）=______，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为______．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为______，x2+4y2+xy的最小值为______．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为______；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是______．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为______．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为______．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式lgx≥0=lg1，得到x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：2x≥=2，即x≥，∴B={x|x≥}，则A∩B={x|x≥1}，故选：A．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【考点】四种命题的真假关系．【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．【解答】解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a=﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A 不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．3．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的对称性可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由x+=kπ+可x=kπ+，k∈Z．结合选项可得当k=0时，函数的一条对称轴为x=．故选：B．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，知：在A中，若m，n是异面直线，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定【考点】等差数列的性质．【分析】S n=na1+=+，利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：S n=na1+=+，可知：a1＞0，d＜0，则唯一确定时n不一定唯一确定，可能有两个值，故选：D．6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的零点，利用导数判断单调性．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x+）sin（﹣x）=（x﹣）•sinx=f（x）．∴f（x）是偶函数．故A错误．令f（x）=0得x﹣=0或sinx=0，∵x∈[﹣π，π]，∴x=±1或x=±π．∴f（x）有4个零点．故C正确．故选：C．7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连结BC，CD，则=AB2，=AD2．于是•==．【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC．∴=AB×AC×cos∠BAC=AB2=t+1．=AD×AC×cos∠CAD=AD2=t+2．∵，∴•===1．故选：A．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1= 1 ，数列{a n}通项公式a n= ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于3a2﹣4=2．利用等比数列的通项公式可得3a n﹣2n，即可得出．【解答】解：3a2﹣4=2．∴3a n﹣2n=2×2n﹣2=2n﹣1．∴3a1﹣2=1，解得a1=1．∴a n=．故答案分别为：1；．10．函数则f（﹣1）= 2﹣，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为（0，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=|﹣2|=2﹣，故答案为：2﹣，作出函数f（x）的图象如图：当x＜0时，f（x）=2﹣e x∈（1，2），∴当x≤1时，f（x）∈[0，2），当x≥1时，f（x）≥0，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），故答案为：2﹣，（0，2）．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为，x2+4y2+xy的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据基本不等式进行转化求解得的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求x2+4y2+xy的最小值．【解答】解：由x+2y=3得+=1，则=+=（+）×1=（+）（+）=2+++≥+2=+=，当且仅当=，即3x2=2y2取等号，即的最小值为．由x+2y=3得x=3﹣2y，由x=3﹣2y＞0得0＜y＜，则x2+4y2+xy=（3﹣2y）2+4y2+（3﹣2y）y=6y2﹣9y+9=6（y﹣）2+，即当y=时，x2+4y2+xy的最小值为，故答案为：，．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为 5 ；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是1＜a或a ＜．【考点】简单线性规划．【分析】（1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B （5，3）时，z最大，当直线过C时，z最小．（2）作出不等式组．表示的平面区域，从而解出．【解答】解：（1）画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=2x+y，作出目标函数对应的直线，，解得A（1，3），直线过A（1，3）时，直线的纵截距最大，z最小，最小值为5；则目标函数z=2x+y的最小值为：5．故答案为：5．（2）．如下图：y=a（x﹣3）恒过（3，0），则若不等式组表示的平面区域是一个三角形，K AB==﹣，则实数a的取值范围，1＜a或a＜，故答案为：1＜a或a＜．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为1002 ．【考点】数列与向量的综合；向量的模．【分析】根据题意，求出x n与y n的通项公式，计算的模长最小值即可．【解答】解：是按先后顺序排列的一列向量，且，，∴+（1，1），即（x n，y n）=（x n﹣1，y n﹣1）+（1，1）=（x n﹣1+1，y n﹣1+1）；∴，∴，∴||===；∴当n==1002，即n=1002时，其模最小．故答案为：1002．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为90°．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，且c=，b=，a=2．利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出．【解答】解：空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，c=，b=，a=2，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，∴∠APB=2∠APD=90°．故答案为：90°．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为．【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据题意，画出图形，找出与AC1垂直的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是什么，再求正方体在该平面上的投影面积．【解答】解：如图所示，连接BB1，DD1的中点MN，交AC1于点O，在对角面ACC1A1中，过点O作OP⊥AC，交AC1于点P，则平面MOP是对角线AC1的垂面；该平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是六边形MGHNFE；则正方体在该平面上的投影面积是MN•2OR=××2×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）使用二倍角公式得出关于cosC的方程解出；（II）使用和角公式计算sinB，利用正弦定理和面积公式计算b．【解答】解：（I）∵cosA=cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosC=±．∵A=2C，∴C是锐角，∴cosC=．（II）∵cosA=，cosC=，∴sinA=，sinC=．∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．由正弦定理得．∴a===5，∵S△ABC∴b=5．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1计算，进而可知a n=2n﹣7；通过b n+1=3b n可知数列{b n}为等比数列，利用b n=b2•3n﹣2计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知c n=，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=﹣5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣7，又∵当n=1时满足上式，∴a n=2n﹣7；∵b n+1=3b n，b2=3，∴数列{b n}为等比数列，故其通项公式b n=b2•3n﹣2=3n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知c n=，当n为偶数是，T n=+=+；当n为奇数时，T n=+=+；综上所述，T n=．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=．【解答】证明：（I）连结BD，∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，∴E是BD的中点．又F是BP的中点，∴EF∥PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，又BC⊂平面BCH，BH⊂平面BCH，BC∩BH=B，∴AP⊥平面BCH，又OB⊂平面BCH，∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，CH∩AP=H，∴OB⊥平面PAC．∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．∵AB=2，BC=1，∴BH=，CH==2，∴BO==，∴sin∠BPO==．即直线BP与面PAC所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设直线L的方程为y=kx+b，由点到直线距离公式和相切性质得k2+1=（1+b）2，联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由根的判别式得k2+2b=0，由此能求出直线L的方程．（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当P=1时，抛物线x2=2y，由题意直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+b，即kx﹣y+b=0，由题意得=1，即k2+1=（1+b）2，①联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由△=0，得k2+2b=0，②由①②得k=±2，b=﹣4，故直线L的方程为y=，（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，（*）由△=0，得pk2+2p=0，③∴b=﹣，代入（*）式，得x=pk，故点A（pk，），由①②得b=﹣，k2=，故A（pk，），∴|AB|===2•，点F到直线L的距离d==•=，∴S=|AB|•d==，∴==≥，当且仅当p=时，有最小值（2）．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，（3）若﹣≥1，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，y max=max{f（0），﹣f（1）}=max{1，﹣a﹣2}=，综上所述，y max=．。
2020-2021学年高考数学文科第二次模拟考试试题及答案解析高考模拟题
③已知直线 l1：ax+3y-1=0 ， l2：x+by+1=0，则 l1 l 2 的充要条件是 a
3；
b
④已知 a>0,b>0，函数 y
2ae x
b 的图象过点 （ 0,1），则 1
1
的最小值是
4
2 ，其中正确命题的序号是。
ab
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 12 分）
（ I） 求 a， b 的值；
（Ⅱ）若当 x∈ [0,+ ∞ )是，恒有 f x ≥ k g x 成立，求 k 的取值范围；
若要功夫深，铁杵磨成针！
（Ⅲ）若
5 =2.2361，试估计
5 ln 的值（精确到
0.001）
4
请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。答题时用
若要功夫深，铁杵磨成针！
最新 高三第二次模 拟考试
数学试题（文）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂
在其他答案标号。 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.集合 U= x Z | x( x 7) 0 ， A={1,4,5} ， B={2,3,5}，则 A (CU B) =
2020-2021学年高考数学三轮复习冲刺模拟试题(19)有答案
高考数学三轮复习冲刺模拟试题19导数02三、解答题 1．已知函数（为自然对数的底数）． （1）求的最小值；（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围 （3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比 数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．2．已知函数（）. （1）若，试确定函数的单调区间；（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围. （3）若，求的取值范围.3．已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23(Ⅰ)若2=x 为()x f 的极值点,求实数a 的值;(Ⅱ)若()x f y =在[)+∞,3上为增函数,求实数a 的取值范围;(Ⅲ)当21-=a 时,方程()()x b x x f +-=-3113有实根,求实数b 的最大值.4．已知函数f(x)=2lnx+ax 2-1(a ∈R)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a=1,分别解答下面两题,(i)若不等式f(1+x)+f(1-x)<m 对任意的0<x<1恒成立,求m 的取值范围; (ii)若x 1,x 2是两个不相等的正数,且f(x 1)+f(x 2)=0,求证x 1+x 2>2.5．已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0,其中0>a .(1)求a 的值(2)若对任意的),0[+∞∈x ,有2)(kx x f ≤成立,求实数k 的最小值(3)证明∑=∈<+--ni N n n i 1*)(2)12ln(1226．已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值； (2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+L 都成立.7． (本小题满分14分)设函数2()=+(+1)f x x bln x ，其中b ≠0。
2020-2021学年高考数学文科一模试题及答案解析七
最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣12．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣211．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.912．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为_______．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2016=_______．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．参考答案与试题解析一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数的基本概念得答案．【解答】解：∵复数3﹣i，∴复数3﹣i的虚部是：﹣1．故选：D．2．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据并集的定义即可求出．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}=（﹣2，+∞），B={y|y=sinx，x∈R}=[﹣1，1]，则A∪B=（﹣2，+∞），故选：A．3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论．【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，∴该空间几何体不可能是圆锥．故选：B．4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断．【解答】解：向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，即cos（α+β）=0，∴α+β=kπ+，k∈Z，对于A：α+β=0，不符合，对于B，α+β=π，不符合，对于C：α+β=﹣，符合，对于D，α+β=，不符合，故选：C．5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知C：a3=﹣2，因此不成立．故选：C．6．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）【考点】函数的值．【分析】由f（x+1）=﹣f（x），得到函数的周期是2，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x），得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），则函数的周期是2，则f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）=﹣1，f（f（2.5））=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=﹣1f（f（1.5））=f（f（2﹣0.5））=f（f（﹣0.5））=f（1）=﹣1，f（2）=f（0）=1，即列函数值为1的f（2），故选：D．7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【考点】独立性检验的应用．【分析】根据观测值K2，对照数表，即可得出正确的结论．【解答】解：因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．8．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】复合三角函数的单调性．【分析】由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）与x∈[﹣2π，2π]即可求得答案．【解答】解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）得：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣≤x≤．即y=sin（+）的单调递增区间为[﹣，]．故选A．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设动点P（x，y），由已知得|x+1|=﹣1，由此能求出点P的轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），∵动点P到直线x=﹣1的距离等于它到圆：（x﹣2）2+y2=1的点的最小距离，∴|x+1|=﹣1，化简得：6x﹣2+2|x+1|=y2，当x≥﹣1时，y2=8x，当x＜﹣1时，y2=4x﹣4＜﹣8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：y2=8x．故选：A．10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣2【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：由题意得，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，最大为z max=2﹣0=2当直线经过点A（0，2）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣2=﹣2．故选：D．11．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．12．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可．【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1，当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）≥0，即∀x∈R，f（x）＞g（x）不一定成立，故A是假命题，故选：A二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），所以线段AB的长度为|AB|==．故答案为：．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2016= 2016 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵S3=2a3，S5=15，∴d=2（a1+2d），d=15，解得a1=d=1．则a2016=1+×1=2016．故答案为：2016．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于 1 ．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理得出a，b，c和外接圆半径R的关系，根据周长列出方程解出R．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为 4 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可．【解答】解：由向量数量积的定义知•即向量在向量上的投影||模长的乘积，故求|•|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|•|的最小值为4，故答案为：4三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值．【分析】（1）由面积公式即可得到S与θ的函数关系．（2）对三角函数化简，由θ的范围，得到S的最大值．【解答】解：（1）∵S=S△OPC+S△OQC=OP•0Csin∠POC+OQ•OCsin∠QOC=2sinθ+2sin（﹣θ）（θ∈（0，））（2）由（1）知，S=2sinθ+2sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）∵θ∈（0，），∴θ+∈（，）∴当θ+=，即θ=时，S最大，为2．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，列举可得总的基本事件共15个，其中空气质量等级恰好不同有9个，由概率公式可得的．【解答】解：（1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为3，故空气质量优良的概率为=，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为30×=12；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，则从中随机抽取2天的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，A）（A，α）（b，c）（b，d）（b，A）（b，α）（c，d）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共15个，其中空气质量等级恰好不同有（a，A）（A，α）（b，A）（b，α）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共9个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率P==19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由平面BDEF⊥平面ABCD得FB⊥平面ABCD，故FB⊥AB，又AB⊥BC，于是AB ⊥平面FBCG，即AB为棱锥A﹣FCG的高；（2）建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面EFG的法向量，证明他们的法向量垂直即可．【解答】解：（1）∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，FB⊥BD，FB⊂平面BDEF，∴FB⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥FB，又AB⊥BC，∴AB⊥平面BCGF，∴V A﹣FGC===．（2）以B为原点，AB，BC，BF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：则A（﹣2，0，0），E（﹣2，2，2），F（0，0，2），G（0，2，1），∴=（0，2，2），=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣1）．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），平面EFG的法向量为=（a，b，c），则，，即，，令z=1得=（﹣1，﹣1，1），令c=1得=（，，1）．∴=﹣=0．∴，∴平面AEF⊥平面EFG．20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程．【解答】解：（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，可得=，即a=2，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，可得=，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得5x2+8tx+4t2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有△=64t2﹣20（4t2﹣4）＞0，解得﹣＜t＜，且t≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（x1+t）（x2+t）=x1x2+t2+t（x1+x2）=+t2﹣=，以AB为直径的圆恰好过坐标原点，可得OA⊥OB，即有•=0，即x1x2+y1y2=0，即为+=0，解得t=±，满足﹣＜t＜，且t≠0，则直线l的方程为y=x±．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导数，由题意可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，求出右边函数的值域，即可得到a的范围；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+的导数为f′（x）=2x﹣=，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，由2x3在（0，+∞）上递增，可得2x3的值域为（0，+∞），则a≤0，即有a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．证明：假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，由f′（x1）=f′（x2），可得2x1﹣=2x2﹣，即有2（x1﹣x2）=a•，显然x1+x2≠0，x1﹣x2≠0，即有a=﹣，而﹣f′（x1）=﹣2x1+=x1+x2﹣﹣2x1+=x2﹣x1+﹣=﹣≠0，即f′（x1）=f′（x2）≠，故不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）证明：直线AC平分∠DAB，只要证明∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：△ADE∽△ACD，即可证明CD2=AE•AC．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∵=，∴∠DAC=∠DCA，∴∠DAC=∠BAC，∴直线AC平分∠DAB；（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE+∠DAB=90°，∵AB为直径，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DCA，∴∠ADE=∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴AD2=AE•AC，∵AD=DC，∴CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程可得直角坐标方程．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．分别代入C1的极坐标方程即可得出．【解答】解：（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，可得：x2+y2﹣4x+3=0，配方为：（x﹣2）2+y2=1．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．将代入C1可得：ρ2﹣2ρ+3=0，解得ρ=．将代入C1可得：ρ2+2ρ+3=0，解得ρ=﹣，舍去．故C1与C2的公共点的极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论；（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ]=|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，即可证明结论．【解答】证明：（1）|cos（α+β）|=|cosαcosβ﹣sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cos α|+|sinβ|；|sin（α+β）|=|sinαcosβ﹣cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|．（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ）]≤|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，∵α+β+γ=0，∴|cos[α+β+γ]=1∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．2016年9月12日。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2020-2021学年高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及答案解析一
最新三校联考高考数学模拟试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}2．设z=1+i（是虚数单位），则=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（）A．B．C．D．6．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．17．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣D．﹣8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（）A．B．C．D．210．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B．C．12 D．1611．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= ．14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）求：（1）数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45） a 0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】根据补集的定义先求出∁U A，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，∴∁U A={2，4，6}，∴（∁U A）∩B={2，4}．故选：A．【点评】本题考查了集合的简单运算问题，是基础题目．2．设z=1+i（是虚数单位），则=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】把复数z=1+i代入后直接运用复数的除法运算．【解答】解：因为z=1+i，所以．故选B．【点评】本题考查了复数的代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数值的符号．【专题】计算题．【分析】确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．【解答】解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°故选B【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题；图表型．【分析】设11时到12时的销售额为x万元，因为组距相等，所以对应的销售额之比等于之比，也可以说是频率之比，解等式即可求得11时到12时的销售额．【解答】解：设11时到12时的销售额为x万元，依题意有，故选C．【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题．在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积代表各组的频率．5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意和垂直关系可得向量夹角余弦值的方程，解方程结合夹角的范围可得．【解答】解：∵，且，∴•（﹣）=﹣=1﹣1×2×cos＜，＞=0，解得cos＜，＞=，∴向量和的夹角＜，＞=，故选：B．【点评】本题考查向量的数量积和夹角以及垂直关系，属基础题．6．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．7．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣D．﹣【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A时，最小在y轴上的截距最大，z有最小值为．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．9．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（）A．B．C．D．2【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．【解答】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．【点评】本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B．C．12 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．【解答】解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥A﹣BCD中，BD=4，AC=AB==，AD==6，S△ABC=×4×4=8．S△ADC==4，S△DBC=×4×4=8，在三角形ABC中，作CE ⊥E，连结DE，则CE==，DE==，S△ABD==12．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题．11．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出过焦点F2且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a2+b2=c2，解出e即得．【解答】解：过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），联立渐近线方程y=与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．12．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．【解答】解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；x＞1，∴log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=1，2015＞c＞1，∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= e ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．【解答】解：∵1＜ln3＜2，∴2＜ln3+1＜3，由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，故答案为：e．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础．14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；球．【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可得，由三角函数恒等变换的应用化简可得，利用正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：在△ABC中，由题意得：，由余弦定理得：，所以，即，所以当时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式和余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）求：（1）数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由，当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．（2）由（1）可得，．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴当n=1时，a1=S1=3．（*），显然，当n=1时也满足（*）式，综上所述，．（2）由（1）可得，．其前n项和①则②①﹣②得，==﹣2n•3n+1，∴．【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45） a 0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】（1）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为=0.06，在有频率分布直方图会全图形即可．（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【解答】解：（1）第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000．由题可知，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．频率直方图如下：（2）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为P=．【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由CB=CD得CF⊥BD，由AD⊥BD，AD∥EF得EF⊥BD，故BD⊥平面CEF，于是平面ABD⊥平面EFC；（II）由CF⊥BD，CF⊥EF得CF⊥平面ABD，即CF为棱锥的高．底面为直角△ABD，代入体积公式计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD，∵AD⊥BD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．又∵CF∩EF=F，CF⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面EFC．（Ⅱ）解：∵CF⊥BD，EF⊥CF，EF∩BD=F，BD⊂平面ABD，EF⊂平面ABD，∴CF⊥平面ABD，∵CB=CD=BD=1，∴，∵AD=BD=1，AD⊥BD，∴，∴．【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．【解答】解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4；（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，而|PA|2=|PM|2﹣|AM|2=|PM|2﹣4，即S=2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2．【点评】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b的值；（Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ），所以…由题设知f'（1）=2﹣b=0，∴b=2…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故只需证，设，…F′（x）=2x﹣1﹣+==令F′（x）=0，得…当时，F′（x）＜0，当时，F'（x）＞0，所以，…所以，g（x）＞f（x）﹣2ln2…【点评】本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义建立方程关系，以及构造函数利用函数单调性最值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】计算题．【分析】（1）把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程是x2+y2=2，把曲线C2的参数方程化为普通方程是．（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，由此求得t的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程是x2+y2=2，表示以原点（0，0）为圆心，半径等于的圆．曲线C2的普通方程是，表示一条垂直于x轴的线段，包括端点．…（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，解得，即t的取值范围为（0，）∪（，+∞）．…【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．。
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
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21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
2020-2021学年高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析
最新高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．766．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．310．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K020．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．解答：解：==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a7=8，S7=42，得，解得：．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故选：B点评：本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，由，解得，即B（，），即BD的斜率k==，由，解得，即C（，），即CD的斜率k==，即≤z≤，故选：D．点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与三棱锥的组合体，结合图中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为直三棱柱，上部为直三棱锥的组合体；如图所示：∴该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．10．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．解答：解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN；（Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN，四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，则MN⊥PC，PN=CN．…（6分）（Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，故MF：FN=d1：d2=1：1．…（12分）点评：本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K0考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：A1 A2 B1 B2 B3 B4 B5 B6A1﹣+ + + + + +A2﹣+ + + + + +B1 + + ﹣B2 + + ﹣B3 + + ﹣B4 + + ﹣B5 + + ﹣B6 + + ﹣结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）k AF==﹣k，所以ak=2，确定B的坐标，再求出B到n的距离．解答：解：（Ⅰ）m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0①，x2+4kx﹣4ka+4=0②，…（2分）由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，…（4分）故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1或k＞1．…（6分）（Ⅱ）F（0，1），k AF==﹣k，所以ak=2．…（8分）由△1=0得k2=ka+1=3，B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，利用f（x）的极小值点为x=t．推出t=＞0，然后求解单调区间，a=﹣表示出a与t的关系．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值，就是证明g（）=g（t）．（ⅱ）求出函数的g′（t）=﹣（1+）lnt，利用单调性以及极值，判断分别存在唯一的c ∈（1，1）和d∈（1，e2），推出g（c）=g（d）=0，化简即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣+=．t=＞0，…（2分）当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）由f′（t）=0得a=﹣t．…（6分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为g（t）=t++（﹣t）lnt，则g（）=+t+（t﹣）ln=t++（﹣t）lnt=g（t）．…（8分）（ⅱ）g′（t）=﹣（1+）lnt，…（9分）当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．…（10分）又g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e2），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，所以y=g（t）有两个零点且互为倒数．…（12分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC ⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
2020-2021学年浙江省杭州市高一下期末模拟数学试卷及答案A-精品试题
最新浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C． D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[] C．[] D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1] 【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C． D．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，∴x1当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，+x2+x3＜8﹣2．∴4＜x1故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，∴当1≤a时，ymin当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[] C．[] D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 4 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)
专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。
2020-2021学年高考总复习数学(理)5月模拟联考试题及答案解析
普通高中最新联考 理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}2.在复平面内，复数Z 满足()i i z 311+=+，则Z 的共轭复数对应的点位于 （ ）A .第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 3. 等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是（ ） A ．65 B ．70 C ．130 D ．2604．给出下列四个结论，其中正确的是 ( ) A ．若11a b>，则a <b B ．“a =3"是“直线l 1：2310a x y +-=与直线l 2:320x y -+=垂直”的充要条件C ．在区间[0，1]上随机取一个数x ，sin2x π的值介于0到12之间的概率是13D ．对于命题P ：x ∃∈R 使得21x x ++<0，则P ⌝：x ∀∈R 均有21x x ++>05.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1 -3x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32π B ．3πC ．π65 D ．6π6．在△ABC 中，若(2)0AB ABAC ?=u u u r u u u ru u u r，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7.设x,y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+=（ ） A.4 B.83 C.113D.2568. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6a x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A. -20B. 52C. -192D. -16010．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，俯视图正视图三棱锥O —ABC 的体则球O 的表面积是（ ）A ．64πB ．16πC ．323π D ．544π11．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（ ）A ．（1，2）B ．（－∞，1）C ．（1，+∞）D ．（－1，1）12.过椭圆14922=+y x 上一点H 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为( )A .21B . 32C . 1 D . 34 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)第三次高考模拟训练试题及答案解析一
最新高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．13．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A ．26B ．48C ．57D ．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ）A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π7．已知x ，y 满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．D ．28．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f （x ）（ ）A ．在[0，3]上是减函数B ．在[﹣3，0]上是减函数C ．在[0，π]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f （x ）=e x +ax 在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）=0，g （x ）=f （x+2），则不等式xg （x ）≤0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cos α=，则sin （﹣α）=_______．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别是x+1，x ，x ﹣1，且∠A=2∠C ，则△ABC 的周长为_______．16．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=1（a ＞0），过直线l ：2x+2y+3=0上任意一点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB 为锐角，则a 的取值范围为_______．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y 表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m 3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C 相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A 中不等式解得：0＜x ＜3，即A=（0，3），由B 中不等式解得：x ≤2，即B=（﹣∞，2]，则A ∩B=（0，2]，故选：A ．2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z ，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i （1+z ）=2+i ，得1+z==1﹣2i ，则z=﹣2i ，则|z|=2，故选：C3．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p ：∃x 0＞0，x 0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C 52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C 31C 21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C 52=10种选法， 选出的2名选手恰好是1男1女有C 31C 21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间在区间（0，+∞）上成立．（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]在区间（0，+∞）上成立，min∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1∵OA=AB=1，OO=AA′=11A=∴O1因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m， m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC 的周长为15 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，即0＜tan∠APC＜1，在Rt△APC中，tan∠APC==，可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，当PC⊥l时，PC取得最小值，且为，即有1＜，解得a＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n =（1﹣n ）•2n ﹣1，∴T n =（n ﹣1）•2n +1．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ．利用菱形的性质可得AC ⊥BD ，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD ⊥PO ．又O 是BD 的中点，可得PB=PD ．（2）底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD 与△BCD 都是等边三角形．由平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，PO ⊥BD ．可得PO ⊥平面ABCD ，因此PO ⊥AC ，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5， =78，（xi ﹣）（yi﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6， =﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是： =﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时， =﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3， =， =.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x 1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..• =（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时， g（x）＞0，0＜x＜1时， g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．kl=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），kl==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S △GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．2016年9月12日。
2020-2021杭州市高三数学上期末模拟试题带答案
bn 的前 n 项和 Sn 为______．
18．已知数列an、bn 满足 bn ln an ， n N* ，其中bn是等差数列，且
a3 a1007 e4 ，则 b1 b2 b1009 ________．
19．若无穷等比数列{an}的各项和为 2，则首项 a1 的取值范围为______.
(2)数列bn满足 bn
1 4Sn
1，Tn
为数列 bn 的前
n
项和，是否存在正整数
m，
k 1 m k ，使得Tk 3Tm2 ?若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由．
25．已知数列an的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn 2an n n N* .
（Ⅰ）证明：an 1 是等比数列；
中，若
a10 a9
1 ，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn
0 成立的正
整数 n 的最大值是（ ）
A．15
B．16Βιβλιοθήκη C．17D．147．已知 ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ，面积为 S ，且
S (bc c2 ) tan B ，则 A 等于（ ） 2 3 tan B 2
当 n 2 时， an Sn Sn1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 2 ， 上式对 n 1时也成立，
由斜率的意义知过 D 的直线经过 B3a, 0时，直线的斜率 k 最小，此时 k 0 1 1 ，
3a 1 4 得 3a 1 4 ，得 a 1.
故选：D. 【点睛】 本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的 几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
A． 6
B． 4
C． 3
2020—2021年最新高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及答案解析.docx
2019年高三校际联合检测文科数学本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
满分150分。
考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：=V Sh柱体(S是柱体的底面积，h是柱体的高)；34=3V Rπ球(R是球的半径)第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若复数z满足11zi=+(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z的模为(A)0 (B)1 (C) 2(D)2(2)已知命题:,sin 1p x R ∀∈≤，则p ⌝是 (A),sin 1x R x ∀∈≥(B) ,sin 1x R x ∀∈> (C),sin 1x R ∃∈≥(D),sin 1x R x ∃∈>(3)若集合{}21x A x =>，集合{}ln B x x =>0，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是 (A) 3k ≥- (B) 2k ≥- (C) 3k <-(D) 3k ≤-(5)函数()cos x y e x ππ=-≤≤ (其中e 为自然对数的底数)的大致图象为(6)某几何体的三视图如图所不，则该几何体的体积是 (A)43π (B)243π+(C)223π+(D)53π(7)函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位后，所得图象与y 轴距离最近的对称轴方程为 (A) 3x π=(B) 6x π=- (C)24x π=-(D)1124x π=(8) ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边分别为,,,120a b c A =o ，则()sin 30a C b c--o 的值为(A)12(B)12-(C)32(D)32-(9)已知函数()2016112,01,2log , 1.x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是(A)(1，2016) (B)[1，2016] (C)(2，2017) (D)[2，2017](10)如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q两点，若60,3PAQ OQ OP ∠==ou u u r u u u r 且,则双曲线C 的离心率为 (A) 233(B)72(C)396(D) 3第II 卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．(11)将某班参加社会实践的48名学生编号为：l ，2，3，…，48，采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是____________．(12)设不等式组0,4,1x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线():2l y k x =+上存在区域M 内的点，则实数k 的取值范围是___________．(13)若,a b R ∈，且满足条件()()22111a b ++-<，则函数()log a b y x +=是增函数的概率是____________．(14)在计算“()12231n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+”时，某同学发现了如下一种方法： 先改写第k 项：()()()()()111211,3k k k k k k k k +=++--+⎡⎤⎣⎦由此得()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯，()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯， ……()()()()()1112113n n n n n n n n +=++--+⎡⎤⎣⎦相加，得()()()112231123n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++.类比上述方法，()()12323412n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++=_______________________． (结果写成关于n 的一次因式的积．．．．．．的形式) (15)已知不等式()[]22222201,22x xxxa x --+-+≥∈在时恒成立，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． (16)(本小题满分12分)2016年“五一”期间，高速公路某服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽查一辆进行询问调查．共询问调查40名驾驶员．将他们在某段高速公路的车速(km ／h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，得到如图所示的频率分布直方图．(I)求这40辆小型车辆的平均车速(各组数据平均值可用其中间数值代替)； (II)若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，求其中车速在[65，70)的车辆中至少有一辆的概率．(17)(本小题满分12分)已知函数()()2cos 23sin cos sin f x x x x a x =-+的一个零点是12π．(I)求函数()f x 的最小正周期；(II)令,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求此时()f x 的最大值和最小值． (18)(本小题满分12分)等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，数列{}n b 是等比数列，且满足11223,1,10a b b S ==+=，5232a b a -=．(I)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(II)令2,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，，为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .(19)(本小题满分12分)如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 是等腰梯形，其中AB//EF ，AB=2AF ，∠BAF=60°，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为△OBF 的重心．(I)求证：平面ADF ⊥平面CBF ； (II)求证：PM ／／平面AFC ．(20)(本小题满分13分)已知函数()()212ln 21xf x f x x+'=+． (I)求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(II)若关于x 的方程()()121,f x a f x e e⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若存在120x x >>，使()()1122ln ln f x k x f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．(21)(本小题满分14分)如图，A(2，0)是椭圆()222210x y a a a b +=>>长轴右端点，点B ，C 在椭圆上，BC过椭圆O ，0,,,AC BC OC AC M N ⋅==u u u u r u u u u r u u u r u u u r为椭圆上异于A ，B 的不同两点，MCN∠的角平分线垂直于x 轴． (I)求椭圆方程；(II)问是否存在实数λ，使得MN BA λ=u u u u r u u u r，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)百校联盟第四次模拟试题及答案解析
百校联盟2018年高考最后一卷（押题卷）文科数学(第四模拟)一、选择题：共10题1．设集合A ={x|x >a },集合B ={-1,1,2},若A ∩B =B ,则实数a 的取值范围是A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)【答案】D【解析】本题主要考查集合之间的包含关系,考查等价转化思想.解题时,将A ∩B =B 转化为B ⊆A 即可求解.因为A ∩B =B ,所以B ⊆A ,所以a <-1,故选D.2．已知i 为虚数单位,若复数z =21+i,则z2−2zz −1= A.i2B.-i2C.2iD.-2i【答案】D【解析】本题主要考查复数的除法和乘法运算,考查考生的运算能力,属于容易题.先化简复数z ,再代入式子运算即可.由题意知,z =21+i=2(1−i )(1+i )(1−i )=1-i,所以z 2−2zz −1=(1−i )2−2(1−z )(1−i )−1=2i=-2i ,故选D.3．“x =π3或2π3”是“sin x =√32”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题把充要关系的判断和特殊角的三角函数值的运算结合在一起进行考查,考查考生对基础知识的掌握情况,难度不大.解题时要注意考虑问题的全面性,否则很容易出错.当x =π3或2π3时,显然sin x =√32,但当sin x =√32时,x =π3+2k π或2π3+2k π,k ∈Z .故“x =π3或2π3”是“sin x =√3”的充分不必要条件,选B.【备注】高考中将充要关系的判断与其他知识相结合是常见的考查方式,从本题可知我们可以用集合的观点看充分条件、必要条件:A ={x|x 满足条件p },B ={x|x 满足条件q },(1)如果A ⊆B 且A ≠B ,那么p 是q 的充分不必要条件;(2)如果B ⊆A 且A ≠B ,那么p 是q 的必要不充分条件;(3)如果A =B ,那么p 是q 的充要条件;(4)如果A ⊈B ,且B ⊈A ,那么p 是q 的既不充分也不必要条件.4．为了估计某鱼塘中鱼的数量,某渔民先从鱼塘中捕捞出3 000条鱼,在每条鱼的尾巴上做标记(不影响存活)后重新放回鱼塘中,经过适当的时间后,该渔民再从鱼塘中捕捞出800条鱼,其中尾巴上做标记的有15条,则可估计该鱼塘中鱼的条数为A.160 000B.300 000C.150 000D.200 000【答案】A【解析】本题主要考查利用样本估计总体,考查考生的应用意识.根据题意建立恰当的比例关系是解题的关键.设该鱼塘中鱼的条数为x ,则根据题意可知z3000=80015,解得x =160000,故选A.5．若函数f (x )=log 4[(9x +1)9kx ](k ∈R )为偶函数,则实数k 的值为A.12B.-12C.1D.-2【答案】B【解析】本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题.易知函数f (x )的定义域为R .若函数f (x )为偶函数,则f (-x )=f (x )⇒log 4[(9-x +1)9-kx ]=log 4[(9x +1)9kx ]对任意的x ∈R 恒成立,则由19z +19z+1=92kx ,得92kx =9-x ,即9(2k+1)x =1,于是2k+1=0,即k =-12.6．根据如图所示的程序框图,当输入的x 的值为2 016时,输出的y 的值为A.28B.10C.4D.2【答案】B【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,属于容易题,解题时一定要抓住重要条件“x ≥0”,否则很容易出现错误.在给出程序框图求解输出结果的试题中,只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.初始条件:x =2 016;第一次循环:x =2 014;第二次循环:x =2 012;第三次循环:x =2 010;第四次循环:x =2 008;……;第1 008次循环:x =0;第1 009次循环,x =-2,不满足条件x ≥0,故退出循环,输出y =32+1=10,故选B.7．已知x >1,y >1,log 2x+log 2y =log 2(x+y ),ln x+ln y+ln z =ln(x+y+z ),则z 的取值范围为A.[1,4)B.(1,4)C.(1,4]D.[1,4]【答案】C【解析】本题主要考查对数运算、利用基本不等式求最值等知识,考查考生的恒等变形能力和运算求解能力.由题意知,log 2(xy )=log 2(x+y ),所以xy =x+y ,故xy =x+y ≥2√zz ,解得xy ≥4,当且仅当x =y =2时取等号.同理xyz =x+y+z ,可得z =zz zz −1=zz −1+1zz −1=1+1zz −1,因为xy ≥4,所以xy-1≥3,所以1<1+1zz −1≤43,即z 的取值范围为(1,43].8．已知圆C :(x-3)2+(y-2)2=4,M 为圆C 上一点,若存在一个定圆P ,过点M 作圆P 的两条切线MA ,MB ,切点分别为A ,B ,当点M 在圆C 上运动时,恒有∠AMB =60°,则圆P 的方程为A.(x-3)2+(y-2)2=1B.(x+3)2+(y+2)2=1C.(x-3)2+(y-2)2=3D.(x+3)2+(y-2)2=3【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查考生的数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.由题意知圆P 与圆C 是同心圆,在Rt △PAM 中,|MP|=2,∠MPA =60°,所以圆P 的半径|PA|=1,所以圆P 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.9．如图,已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线z 2z 2-z 2z2=1(a >0,b >0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F ,则该双曲线的离心率为A.√2B.2C.√2+1D.3+2√2【答案】C【解析】本题考查抛物线的简单几何性质及其应用、双曲线的离心率等,考查考生的运算求解能力.解题的关键是根据题意得到关于a ,c 的方程.根据两条曲线交点的连线过点F ,由双曲线和抛物线的对称性可得,两条曲线交点的坐标为(z2,±p ),代入双曲线的方程z 2z 2-z 2z 2=1(a >0,b >0)得z 24z2-z 2z 2=1,又z 2=c ,所以z 2z 2-4×z 2z 2=1,化简得c 4-6a 2c 2+a 4=0,所以e 4-6e 2+1=0,得e 2=3+2√2=(1+√2)2,所以双曲线的离心率为√2+1.10．已知函数f (x )={sin (π2z )−1,z <0log z z (z >0,z ≠1),z >0的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,则实数a 的取值范围是 A.(0,√55)B.(√55,1)C.(√33,1)D.(0,√33)【答案】A【解析】本题主要考查分段函数的应用、函数图象的对称性,考查等价转化思想,考查考生分析问题、解决问题的能力,此题综合性较强,有一定的难度.f (x )={sin (π2z )−1,z <0log z z (z >0,z ≠1),z >0,令φ(x )=sin(π2x )-1(x <0),则φ(x )关于y 轴对称的函数为g (x )=-sin(π2x )-1(x >0),则函数f (x )的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,即函数g (x )的图象与函数h (x )=log a x (a >0,a ≠1)的图象至少有3个交点(如图所示),数形结合可知{0<z <1z (5)<ℎ(5),则-2<log a 5,解得0<a <√55.二、填空题：共5题11．已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =120°,则zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】2【解析】本题考查了平面向量的基础知识,重点考查考生对平面向量的线性运算和数量积运算的理解与掌握,属于基础题.解题时,要注意结合图形的特征,灵活解决问题.在菱形ABCD 中,zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为菱形ABCD的边长为2,∠ABC =120°,所以zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 0°+2×2×cos 120°=2.12．若变量x ,y 满足约束条件{5z +5z −9≥01≤z ≤30≤z ≤2,则z =3x+2y 的最小值为 .【答案】235【解析】本题主要考查线性规划的有关问题,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.本题的关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域和准确判断出目标函数取得最小值的可行解.不等式组{5z +5z −9≥01≤z ≤30≤z ≤2所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z =3x+2y 得y =-32x+12z ,平移直线y =-32x ,数形结合可知,当直线经过点A (1,45)时,目标函数z =3x+2y 取得最小值,且最小值z min =3×1+45×2=235.13．已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆z2z2+z2z2=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则1e =sin z+sin zsin z,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线z2z2-z2z2=1(a>0,b>0)上,顶点A,C分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为e,则1e=.【答案】|sin z−sin z|sin z【解析】本题主要考查类比推理,考查椭圆与双曲线的定义、离心率,正弦定理,考查考生的逻辑推理能力,属于中档题.由正弦定理及椭圆的定义知sin z+sin zsin z =|zz|+|zz||zz|=2z2z=1 e ,在双曲线中,由双曲线的定义及正弦定理知1e=2z2z=||zz|−|zz|||zz|=|sin z−sin z|sin z,故在双曲线中有1e =|sin z−sin z|sin z.14．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为CC1的中点,则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为.【答案】2【解析】本题主要考查三视图的应用,考查考生的空间想象能力.根据题意作出几何体的三视图,然后依次求其面积并求和即可.由图易知四面体A1PQD的正视图为直角梯形,如图1所示,其面积为1-12×1×12=34,四面体A1PQD的侧视图为四边形,如图2所示,其面积为1-2×12×1×12=12,四面体A1PQD的俯视图为直角梯形,如图3所示,其面积为1-12×1×12=34,图1图2图3故四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为34+12+34=2.15．已知函数f (x )={−|z 3−2z 2+z |,z <1ln z ,z ≥1,若命题“∃t ∈R ,且t ≠0,使得f (t )≥kt ”是假命题,则实数k 的取值范围是 . 【答案】(1e ,1]【解析】本题考查分段函数、存在性命题与全称命题之间的相互转化以及不等式恒成立等,考查考生分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想,属于难题.当x <1时,f (x )=-|x 3-2x 2+x|=-|x (x-1)2|={z (z −1)2,z ≤0−z (z −1)2,0<z <1,当x ≤0时,f'(x )=3x 2-4x+1=(x-1)(3x-1)>0,f (x )是增函数;当0<x <1时,f'(x )=-(x-1)(3x-1),所以f (x )在(0,13)上是减函数,在(13,1)上是增函数,作出函数y =f (x )在R 上的图象,如图所示.命题“∃t ∈R ,且t ≠0,使得f (t )≥kt ”是假命题,即对任意的t ∈R ,且t ≠0,f (t )<kt 恒成立,作出直线y =kx ,设直线y =kx 与函数y =ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ,ln m ),则由(ln x )'=1z ,得k =1z ,即ln m =km ,解得m =e,k =1e .设直线y =kx 与y =x (x-1)2(x ≤0)的图象相切于点(0,0),所以y'=(x-1)(3x-1),则k =1,由图象可知,若f (t )<kt 恒成立,则实数k 的取值范围是(1e ,1].三、解答题：共6题16．已知函数f (x )=2sin(x-π6)sin(x+π3),x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)在△ABC 中,若A =π4,c =2,且锐角C 满足f (z2+π6)=12,求△ABC 的面积S .【答案】(1)由题意得,f (x )=2sin(x-π6)sin(x+π3)=2sin(x-π6)sin[π2+(x-π6)]=2sin(x-π6)cos(x-π6)=sin(2x-π3),所以函数f (x )的最小正周期为2π2=π.(2)由(1)得,f (z 2+π6)=sin[2(z2+π6)-π3]=sin C ,所以sin C =12,又角C 为锐角,所以C =π6.由正弦定理,得z z=sin zsin z =sinπ4sin π6=√2212=√2,又c=2,所以a=2√2.又sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=√6+√24,所以△ABC的面积S=12ac sin B=12×2√2×2×√6+√24=1+√3.【解析】本题考查诱导公式、三角恒等变换及正弦定理和三角函数的最小正周期等.(1)先利用诱导公式及二倍角公式化简,再求解三角函数的最小正周期;(2)求得角C后,利用正弦定理转化求解.【备注】将解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合考查是高考考查的一个主要方向,其基本解题思路是使用正、余弦定理把求解目标化为关于三角形中一个内角的三角函数,通过研究该三角函数的性质得出结论.17．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC 的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE.【答案】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG,因为E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,所以FG∥AC,且FG=12AC,EC1=12A1C1.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以GF∥EC1,且GF=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1F∥EG.又EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.【解析】本题主要考查线面、面面位置关系的证明,考查考生的空间想象能力、推理论证能力.(1)先证明AB⊥平面B1BCC1,然后运用面面垂直的判定定理证明即可;(2)利用中点找线线平行,进而得出线面平行.【备注】立体几何的考查核心是空间位置关系的证明,空间位置关系证明的基本思想是“转化”,如证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,证明线面垂直又可转化为证明线线垂直.在证明平行关系时要注意中点的作用,同时要注意构造平行四边形.在锥体体积的求解中要注意等体积转化法的使用.18．农历正月十五是中国的传统节日——元宵节,元宵节吃汤圆是一个古老的汉族传统节日习俗,随着人们生活水平的提高,现如今汤圆的种类也越来越多.在元宵节到来之际,小枫去超市为家里选购3袋汤圆,已知该超市有黑芝麻馅、巧克力馅两种传统口味的汤圆,同时今年又新进了菠萝味、草莓味两种水果馅的汤圆.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,求小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆的概率;(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,求小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆的概率.【答案】记黑芝麻馅的汤圆为A,巧克力馅的汤圆为B,菠萝馅的汤圆为C,草莓馅的汤圆为D.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAA,AAB,AAC,AAD,ABB,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,共10种.记“小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆”为事件M,则事件M包含的情况有AAA,AAB,ABB,共3种,由古典概型的概率计算公式可知P(M)=310.(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAC,AAD,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,BBC,BBD,BCC,BCD,BDD,共12种, 记“小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆”为事件N,则事件N包含的情况有AAC,ABC,ACC,ACD,BBC,BCC,BCD,共7种,由古典概型的概率计算公式可知P(N)=7.【解析】本题主要考查古典概型概率的计算,考查考生的应用意识和分析问题、解决问题的能力.解题的关键是读懂题意,熟练掌握古典概型的有关知识.【备注】古典概型是高考考查的核心考点,解题思路是先使用列举法求得基本事件的总数,再从中找出所求的随机事件含有的基本事件个数,最后按照古典概型的概率计算公式计算.频率分布直方图、抽样方法、回归直线方程、独立性检验、几何概型也经常一起考查,复习的时候应全面.19．已知等比数列{a n}的前n项和为S n,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n={log2z zz2(z+2),z为奇数z z z ,z为偶数,T n为数列{b n}的前n项和,求T2n.【答案】(1)∵S2=2a2-2①,S3=a4-2②,②-①得a3=a4-2a2,即q2-q-2=0. 又q>0,∴q=2.∵S 2=2a 2-2,∴a 1+a 2=2a 2-2, 即a 1+a 1q =2a 1q-2,∴a 1=2, ∴a n =2n .(2)由(1)知b n ={log 22zz 2(z +2),z 为奇数z 2z ,z 为偶数,即b n ={1z (z +2),z 为奇数z 2z ,z 为偶数,∴T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =12(11-13+13-15+…+12z −1-12z +1)+[2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n ]=z2z +1+[2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n ].设A =2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n ,则2-2A =2×2-4+4×2-6+6×2-8+…+(2n-2)·2-2n +(2n )·2-2n-2, 两式相减得34A =12+2(2-4+2-6+2-8+…+2-2n )-(2n )·2-2n-2,整理得A =89-6z +89×22z,∴T 2n =89-6z +89×22z +z2z +1.【解析】本题主要考查数列通项公式的求解,分组求和、裂项相消法求和和错位相减法求和等知识,考查考生的运算求解能力.(1)利用基本量法求数列{a n }的通项公式;(2)利用分组求和法、裂项相消法及错位相减法求T 2n .【备注】数列的考查重点是等差数列、等比数列、数列求和以及与数列求和相关的不等式问题.等差数列、等比数列的基本解题方法是基本量法,即先求出数列的首项、公差或者公比,再用公式求解;数列求和的基本方法是公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.20．已知在平面直角坐标系xOy 中,离心率为12的椭圆C :z 2z 2+z 2z2=1(a >b >0)的左顶点为A ,且点A 到直线l :x =z 2z(c 为椭圆C 的半焦距)的距离为6,P ,Q 是椭圆C 上异于左、右顶点的两个动点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当P ,O ,Q 三点共线时,若直线PA ,QA 分别与y 轴交于M ,N 两点,证明:zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值;(3)设直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,当k 1·k 2=-1时,证明:直线PQ 经过定点.【答案】(1)由题意,{z z =12z 2z−(−z )=6,得{z =2z =1,所以b =√3,所以椭圆C 的标准方程为z 24+z 23=1.(2)设P (x 0,y 0),则Q (-x 0,-y 0),又A (-2,0),所以直线AP 的方程为y =z 0z 0+2(x+2), 令x =0,得M (0,2z 0z+2),所以zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2z 0z0+2). 同理可得N (0,−2z 0−z+2),所以zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2z 0−z 0+2),故zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+4z 02z 02−4.又点P在椭圆C上,所以z024+z023=1,故z02-4=-43z02,所以zz⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+4z02z02−4=1(定值).(3)设直线AP的方程为y=k1(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=k1(x+2)代入椭圆方程,得3x2+4z12(x+2)2=12,即(3+4z12)x2+16z12x+16z12-12=0,所以-2+x1=−16z123+4z12,解得x1=6−8z123+4z12,代入y=k1(x+2)得y1=12z13+4z12,所以P(6−8z123+4z12,12z13+4z12).又k1·k2=-1,所以在点P的坐标中用-1z1代替k1可得Q(6z12−8312+4,−12z13z12+4).当z12=1时,6−8z123+4z12=6z12−83z12+4=-27,点P和Q的横坐标相同,所以直线PQ的方程为x=-27,由此可知,如果PQ经过定点,则定点的横坐标必为-27. 当z12≠1时,直线PQ的斜率k PQ=12z1(3z12+4)+12z1(3+4z12)(6−8z12)(3z12+4)−(6z12−8)(3+4z12)=84z1(1+z12)48(1−z14)=7z14(1−z12),所以直线PQ的方程为y-12z13+4z12=7z14(1−z12)(x-6−8z123+4z12),令x=-2,得y=12z13+4z12+7z112)(-2-6−8z123+4z12)=12z13+4z12-12z13+4z12=0,所以直线PQ过定点(-27,0).【解析】本题主要考查椭圆的方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线的斜率的求法等知识,考查考生的运算求解能力.(1)由离心率和点到直线的距离求出a,b,c的值,即得椭圆C的标准方程;(2)由P,Q关于坐标原点对称设出P,Q的坐标,进而求出M,N的坐标,利用向量的数量积的坐标运算即得结果;(3)利用“设而不求”法处理直线与圆锥曲线的相交问题.【备注】解析几何考查的核心是圆锥曲线与方程、直线与圆锥曲线相交后产生的定点、定值、最值、范围等问题,解题过程中要充分利用一元二次方程根与系数的关系,通过设点的坐标进行整体代入.在求解圆锥曲线的方程时,除考虑列方程求解外,还可考虑圆锥曲线的定义.21．已知函数f(x)=a ln x+z+12x2+1(a为实常数).(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[1e,e]上的最值;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)当-1<a<0时,f(x)>1+z2ln(-a)恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)当a=-12时,f(x)=-12ln x+z24+1,∴f'(x)=−12z+z2=z2−12z.∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴由f'(x)=0得x=1.∴f(x)在区间[1e ,e]上的最值只可能为f(1),f(1e),f(e),而f(1)=54,f(1e)=32+14e2,f(e)=12+e2,∴f(x)max=f(e)=12+e2,f(x)min=f(1)=54.(2)f'(x)=z z+(a+1)x=(z+1)z2+zz,x∈(0,+∞).①当a+1≤0,即a ≤-1时,f'(x )<0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减;②当a ≥0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递增;③当-1<a <0时,由f'(x )>0得x 2>−z z +1,∴x >√z z +1或x <-√z z +1(舍去),由f'(x )<0得x 2<−z z +1,∴0<x <√z z ,∴f (x )在(√−z z +1,+∞)上单调递增,在(0,√−z z +1)上单调递减.综上,当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当-1<a <0时,f (x )在(√−z z +1,+∞)上单调递增,在(0,√−z z +1)上单调递减;当a ≤-1时,f (x )在(0,+∞)上单调递减.(3)由(2)知,当-1<a <0时,f (x )min =f (√−z z +1),即原不等式等价于f (√−z z +1)>1+z 2ln(-a ),即a ln √−z z +1+z +12·−z z +1+1>1+z 2ln(-a ),整理得ln(a+1)>-1,∴a >1e-1, 又-1<a <0,∴实数a 的取值范围为(1e -1,0).【解析】本题考查导数的运算以及导数在研究函数性质中的应用,考查考生的运算求解能力、推理论证能力,考查考生综合运用知识分析问题和解决问题的能力.(1)利用导数研究函数的单调性,从而求其最值;(2)对a 进行合理分类,进而研究函数的单调性;(3)由(2)得f (x )min =f (√−z z +1),列出不等式求解.【备注】函数与导数试题在高考中常处于压轴题位置,一般使用分类与整合、数形结合等思想讨论函数的单调性、极值等.在单调性的讨论中,关键是导数的符号,解题时要抓住参数对导数符号的影响,找出分类的标准.。
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绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}x -1<x Q x =<<<1，=0x 2P ，那么P Q U =A.（-1,2）B.（0，1）C.（-1,0）D.（1,2）2.椭圆x y +=22194的离心率是 A.133B. 5C. 23D. 593.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A. π+12B.π+32C.π3+12D. π3+32 4.若x,y 满足约束条件x 0x y 30x 2y 0⎧≥⎪≥=+⎨⎪≤⎩+-，则z 2-x y 的取值范围是A.[0,6]B. [0,4]C.[6, +∞）D.[4, +∞） 5.若函数()2f x =++x ax b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-mA. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关6.已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.函数y (x)y (x)f f ==，的导函数的图像如图所示，则函数y (x)f =的图像可能是8．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i=1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r ＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ． I ２<I １<I ３非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的学科.网值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6=。
12．已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=，ab=。
13．已知多项式()31x +()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________________，5a =________.14．已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC的面积是___________,cos ∠BDC=__________.15.已知向量a,b 满足1,2==a b ，则+-a +b a b 的最小值是，最大值是。
16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）已知函数()()22sin cos 23sin cos =--∈f x x x x x x R （I ）求23π⎛⎫⎪⎝⎭f 的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.19. （本题满分15分）如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点. （I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值20. （本题满分15分）已知函数()(12-1e 2-⎛⎫=≥⎪⎝⎭x f x x x x （I ）求()f x 的导函数（II ）求()f x 在区间1，+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围 21. （本题满分15分）如图，已知抛物线2=x y .点A 1139-，，，2424B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，抛物线上的点P （x,y ）13-＜＜22⎛⎫ ⎪⎝⎭x ,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q （I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA PQ g 的最大值22. （本题满分15分）已知数列{}n x 满足：()()*111=1，ln 1++=++∈n n n x x x x n N 证明：当*∈n N 时 （I ）10＜＜+n n x x ; （II ）112-2++≤n n n nx x x x ；(III) 1-21122-≤≤n n n x普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分40分。
1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。
11. 212.5,2 13.16.4 14.，2415. 4， 16.66017. 9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18.本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
（I ）由221sin,cos 332ππ==-， 22211322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（II ）由22cos 2cos sin =-x x x 与sin 22sin cos =x x x 得()2cos 2sin 2sin 26f π⎛⎫=--+⎪⎝⎭x x x =-x所以()f x 的最小正周期是π由正弦函数的性质得 3+22+2,262πππππ≤+≤∈k x k k Z 解得2++,63ππππ≤≤∈k x k k Z 所以()f x 的单调递增区间是2+，+63ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k k k Z19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
满分15分。
（Ⅰ）如图，设PA 中点为F ，连结EF ，FB.因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以EF ∥AD 且，又因为BC ∥AD ，，所以EF ∥BC 且EF=BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ， 因此CE ∥平面PAB.（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N.连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ. 因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE. 由△PAD 为等腰学科&网直角三角形得 PN ⊥AD.由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得 BN ⊥AD.所以 AD ⊥平面PBN ，由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么，平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在Rt△MQH中，QH=，MQ=，所以sin∠QMH=，所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.20.本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力。
满分15分。
（Ⅰ）因为所以=.（Ⅱ）由解得或.因为x（）1 （）（）- 0 + 0 - f （x ）↘↗↘又，所以f （x ）在区间[）上的取值范围是.21. 本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
满分15分。
（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k,k=21-14122x x x =-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是（-1，1）。
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Qk k xk -++=+因为211()2k x ++21(1)k kx ++)Qx x-=2(1)k -，所以|PA|g |PQ|=-（k-1）(k+1)3令f(k)= -（k-1）(k+1)3， 因为f ’(k)=2(42)(1)k k --+，所以f(k)在区间（-1，12）上单调递增，（12，1）上单调递减， 因此当k=12时，|PA|g |PQ|取得最大值271622. 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。
满分15分。
（Ⅰ）用数学归纳法证明：nx>0当n=1时，x 1=1>0 假设n=k 时，x k >0，那么n=k+1时，若xk+1≤0,则110In(1)0kk k x xx ++<=++≤，矛盾，故1k x +>0。
因此0()n x n N *〉∈所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++〉 因此10()n n x x n N *+〈〈∈（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++〉得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数f(x)在[0,+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0, 因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥112(N )2n n n n x x x x n *++-≤∈（Ⅲ）因为1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+所以112n n x -≥得 1122n n n n x x x x ++≥- 111112()022n n x x +-≥-〉 12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅-= 故212n n x -≤1211(N )22n n n x n *--≤≤∈。