线性代数综合练习题
青岛理工成人教育 线性代数(本科、专升本)综合练习题及参考答案
解：A2=A (B2+2B+E)= (B+E)B2+2B+E=2B+2EB2=E
3、矩阵 的秩为2。
4、若A为n阶可逆矩阵，则R(A)＝n。
5、设A,B是两个三阶矩阵，且|A|=－1，|B|=－2，则 ＝1。
二、单项选择题
1、如果矩阵A,B满足|A|=|B|，则( )
6、n维向量组1，2，…，s(s1)若是线性相关的，则有一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k11+k22+…+kss=0成立。
7、设1，2，…，sRn，该向量组的秩为r，则对于s和r，当r=s时向量组线性无关；当r<s时向量组线性相关。
8、已知向量组1=(1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),，则该向量组的秩为(2)
解：(P-1AP)6=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1A6P
A6= , P-1= ,
(P-1AP)6= =
线性代数练习与答案(3)
一、填空题：
1、向量组1=(1,1,1,1),2=(1,0,2,2),3=(2,3,1,1)的线性相关性为线性相关.
2、向量组1=(1,2,0,0),2=(1,2,3,4),3=(3,6,0,0)的极大线性无关组为1,2或2,3
线性代数（1）练习与答案
一、填空题：
1、排列13582467的逆序数为7。
2、若排列21i36j87为偶排列，则i=(4),j=(5)
3、行列式 中，元素a12的代数余子式为15.
4、设行列式 ，则D1与D2的关系为D2=2D1。
《经济数学基础》综合练习(线性代数)
《经济数学基础》综合练习（线性代数）一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . TT T )(A B AB = C . 1T 11T)()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .TTT)(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111)(---=A B AB4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A=-15．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --16．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 08．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）．A .kA -1B .11kA n- C . --kA 1D . 11k A - 9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解．A ．12B ．0C ．1D ．2 13． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .2．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ．3．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=．4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X．8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b．11．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ．12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ．4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 6．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．8．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+bax x x x x x x x 321321312022讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.11．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013611λ A问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.四、证明题1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 3．已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．。
线性代数综合练习
《线性代数》总复习题一、判断题1. 仅当021====n k k k 时等式02211=++n n k k k ααα才成立，则向量组n ααα,,21线性无关. ( )2. 若r ααα ,,21线性相关，则r ααα ,,21,n r αα,1+也线性相关.( ) 3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( ) 4. 如果矩阵A 存在一个不为零的r 阶子式则矩阵的秩为r . ( )5. r ααα ,,21为向量组T 的一部分向量，如果r ααα,,21线性无关，则r ααα,,21为向量组T 的最大无关组. ( )6. 由n 维向量r ααα,,21生成的子空间或者是n 维的或者是r 维的.( ) 7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( ) 8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( ) 9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( ) 10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( ) 11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( ) 12．线性方程组0=⨯x A n m 的解空间维数仅与m ,n 有关. ( ) 13.线性方程组b x A n m =⨯的解全体构成一个)(A R n -维子空间. ( ) 14．方阵A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值为实数. ( ) 15．方阵A 的对应于特征值λ的特征向量x 必定是齐次线性方程组0)(=-x E A λ的解. ( )16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )17.如果向量空间V 的任一向量均可由r ααα,,21线性表示，则称r ααα,,21为V 的一个基. ( )18. 若在矩阵A 中有一个r 阶子式不为0，则A 中至少有一个r -1阶子式不为0. ( ) 19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )20. 若r ααα ,,21线性相关，则1α 可由r αα,2线性表示. ( ) 二 、选择题1. 设B A ,为n 阶矩阵，且0≠A ,而0=AB ，则 A ）0=B B ）0=A 或0=B C) 0=BA D ）()222B A B A +=+2.设B A ,为n 阶矩阵且A 可逆，则有A ）11---=-A A B ）()k k kB A AB =C ）111)(---=B A ABD ）1*-=n AA3.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=210A B A A ，其中21,A A 都是方阵，且0≠A ，则有 A ）1A 可逆但2A 不一定可逆 B ）2A 可逆但1A 不一定可逆C ）1A 与2A 的可逆性不定D ）1A 与2A 均可逆4.设A 为n 阶方阵，则0=A 的充分必要条件是A ）两行（列）元素对应成比例B ）必有一行为其余行的线性组合C ）A 中有一行元素全为0D ）任一行为其余行的线性组合 5.A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是A 的（A ） 列向量组线性无关 （B ）列向量组线性相关 （C ）行向量组线性无关 （D ）行向量组线性相关6.设线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，则正确的是（A ） 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解 （B ） 若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解（C ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解 （D ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0有非零解7.线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，且r(A )=r, 则此方程组（A ）r=m 时，有解 （B ）r=n 时，有唯一解 （C ）m=n 时，有唯一解 （D ）r<n 时，有无穷多解8.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=--=++=-+08870430252032321321321321x x x x x x x x x x x x 的解的情形是(A) 无解， (B) 基础解系中有一个向量 ，(C) 仅有零解 (D) 基础解系 中有两个向量9.设,,333222111333222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b y c b y c b y B c b x c b x c b x A 且A B ==-27,,则A B + 等于 (A) 5 (B) 5- (C) 10- (D) 20- 10.设向量组αααα1234,,, 线性无关， 则线性无关的向量组是()14433221 , , , αααααααα-+++A ()14433221 , , , αααααααα--++B()14433221 , , , αααααααα-+-+C ()14433221 , , , αααααααα----D三、填空题1. 设A 为44⨯矩阵, B 为55⨯矩阵，且2=A ，2-=B ，则B A -= ，A B -= 2.设()E B A +=21，则当且仅当2B = 时，A A =2 3.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100110202211A ，则=A4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，()()=-+-E A E A 93215. []n n b b b a a a 2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6. 行 列 式a b b d a c c d++++=________________.7. 设E (,)i j 表 示 由n 阶 单 位 矩阵 第i 行 与 第j 行互 换 得 到 的 初 等 矩 阵， 则E (,)i j -=1__________.8. 设A 为正交矩阵， 且*A A T -=, 其中*A 是A 的伴随矩阵, 则A 的行列式等于________.9. 设 A, B 都是n 阶方阵且A 可 逆, 则)(11---AB AB AA T ＝10. 行列式 i j k→→→123213= 11. 设,100010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121112301B 则A -=112. 设V 是由向量TT )3,0,2(,)0,1,1(21==αα 生成的子空间，则向量T )3,1,5(1=β ，T TT)3,1,3(,)3,3,5(,)3,2,0(432-==-=βββ中 属于V .13．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011012111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001b ,则线性方程组b Ax =的解为14. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----020212022的特征值为 15．行列式 D =4443343332312423211412110000a a a a a a a a a a a a 的元素11a 的代数余子式为16.设向量Tb a ),0,,1(=α与向量T )1,1,1,1(-=β和T )1,1,1,1(--=γ都正交， 则a,b 分别为17.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000010042103101A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1020013600020021B ，则AB ＝ ，（利用分块矩阵乘法求解）18.设向量T )4,3,2,1(=α，T )1,1,1,1(--=β ，则βα,,的夹角为19．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=+-5321132053321321321x x x x x x x x x 的通解为20．设Tx )2,3,(1=αT )3,1,2(2-=α T )1,2,3(3=α,则当=x 时321,,ααα线性相关.21. 已知α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11k 是A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112的逆矩阵A 1-的特征向量，则k ＝ .四、计算题1. 计算行列式1111 11111111 1111--+---+---=x x x x D2. 计 算 ()2333333433333333332333331≥=n nD n3. 设A 是3阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，21=A ，求行列式()*123A A --的值.4. 讨论向量组,T)3,2,1(1-=α,T )5,2,0(2-=α ,T )2,0,1(3-=α的线性相关性.5. 设3维向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1111λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1112λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=λα1113 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ 问当λ取何值时, β 可由321,,ααα线性表示且表达式唯一.6. 求四维向量组T )5,3,1,2(1-=α T )3,1,3,4(2-=α T )4,3,2,3(3-=αT )17,15,1,4(4-=α T )0,7,6,7(5--=α的秩及最大无关组.7. 试确定参数λ，使矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=152********λλA 的秩最小.8. 验证四维向量T)1,1,1,1(1=αT )1,1,1,1(2--=α T )1,1,1,1(3--=αT)1,1,1,1(4--=α是4R 的一个基，并求向量T )1,1,2,1(=→β在这个基下的坐标.9．验证集合{}R x x x x x x V ∈-==211211,|)3,2,(是否为向量空间.10．问λ取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++=+++04707)2()33(0)33(28321321321x x x x x x x x x λλλλ 有非零解，并将其通解用基础解系表示出来.11．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+λ4321432143212312022x x x x x x x x x x x x 无解？何时有解？在有解的情况下求其通解。
线性代数第二章综合练习题和答案
T T Ax b 有 两 个 解 为 ： 1,2,3 ， 1,0,1 。 则 其 导 出 组 一 定 有 一 个 解 ：
1 , 2 , 3 线性相关，则 1 , 2 , 3, 4 必然 __________.
1 1, 2, 1T ， 1 0, 1, T ， 3 1, , 0T 线性相关.则 =______________.
)
(D)以上都不对 )
3.设 A, B, C 都是 n 阶矩阵，如果从 AB AC 必能推出 B C ,则 A 满足条件( (A) A 0 ; (B) A 0 ; (C) A 0 ; ) (B) 当 m n 时仅有零解; (D) 当 m n 时仅有零解. ) (D) A 0 .
(B) 必定没有解 ； (D) 以上都不对
12 1 1 2 （D） ； 3 2 2 2
（A）必有唯一解 ； （C）必有无穷多解 ；
17．设 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组（ A) 1 2 , 2 , 3 ；
线性方程组 A x B 的解为
1 1 2 20. 设 A 2 0 4 ，若 3 阶非零方阵 B ，满足 AB O ，则 t 3 2 t
21. 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r A n 1 ，则线性方程组 AX O 的通解为 22. 设 非 齐 次 线 性 方 程 组 ______________. 23. 若向量组 24. 向量组
）线性相关。
B) 1 2 , 2 3 , 3 ；
C） 1 2 , 2 3 , 3 1 ； D） 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 。 18．设 R 3 中， 1 , 2 , 3 线性无关，则下列结论（
线性代数综合训练
5．设 3 元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 2，已知向量 η1 ,η 2 ,η 3 是它
⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 的三个解向量，η1 + η 2 = ⎜ 1 ⎟ ， η 2 + η 3 = ⎜ 1 ⎟ ，则该方程组的通解为 ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6．设方阵 A 满足 2003 A 2 = 5 A + 16 E ，则 ( A − E ) −1 =
A C⎞ (C) 若 A, B, C , D 都是正定矩阵，则 ⎛ ⎜ ⎟ 也是正定矩阵； ⎝D B⎠
(D) 若 A ， B 都是正定矩阵，则 A − B 也是正定矩阵。
6．设 A, B 都是 n 阶非零方阵，且 AB = O ，则 A 和 B 的秩 (A) 必有一个等于零； (B) 都小于 n ；
1 2 24.行列式 3 5
2 3 2 0
3 4 0 0
4 0 = 0 0
。
⎧kx + y − 2 z = 0 ⎪ 25. 若 齐 次 线 性 方 程 组 ⎨ x + ky + 2 z = 0 有 非 零 解 ， 且 k 2 ≠ 1 , 则 k 的 值 ⎪ kx + y + kz = 0 ⎩
为
。 。
⎛ 4 0 2⎞ ⎜ ⎟ 11．设 A 为 4×3 阶矩阵，且 R(A)=2，又 B = ⎜ 0 2 0 ⎟ ，则 R(AB)- R(A)= ⎜ 1 0 3⎟ ⎝ ⎠
12．若二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x2 + 2 x1 x3 是正定的，
型. 22．已知三阶方阵 A 的特征值是 1， − 1，2，方阵 B = A2 − E ，则 B 的特征值 是 .
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
山财自考37线性代数考核作业(已填好问题详解)
线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==( B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足 ( D )．A. A≠OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B)．A. B. C. D.，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D)．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
《线性代数(经管类)》综合测验题库完整
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说确的是( )A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为23.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则( )未必是正定二次型。
A.X T（A+B）XB.X T A-1XC.X T B-1XD.X T ABX4.设A，B为正定阵，则( )A.AB，A+B都正定B.AB正定，A+B非正定C.AB非正定，A+B正定D.AB不一定正定，A+B正定5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B( )A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为( )A.rB.t-rC.2t-rD.r-t7.设8.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论( )不成立。
A.A与B相似B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的特征向量10.下列命题错误的是( )A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )12.已知矩阵有一个特征值为0，则( )A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=013.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=( )A.2B.-6C.6D.2414.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为( )A.3，1，1B.2，-1，-2C.3，1，-1D.3，0，115.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是( )A.α和β线性无关B.α+β是A的特征向量C.α与β线性相关D.α与β必正交16.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中( )是P-1AP对应于λ的特征向量。
线性代数(化材)综合复习资料
《线性代数（材化）》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。
（ ）2．每作一次对换改变排列的奇偶性。
( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ ）4、若排列abcdfe 为奇排列，则排列badcfe 为偶排列． （ ） 5．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ ） 6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ). 7. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( ) 8．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )9、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。
（ ） 10、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （ ）二.填空题：1．排列54218637的逆序数为______________。
2、五阶行列式的含乘积5243142531a a a a a 的项的符号为 .3．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xc b a（其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 . 4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+430302321321321ax x x x ax x x x ax 有非零解的充要条件是a 满足._____________ 5.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。
6,____________.n ij ij D a a D a ===-=若则 7.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=___________.8、设四阶行列式321421431432，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ， _______3432=+A A . 9．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝10、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 .三.选择题1. 关于n 级排列i 1i 2…i n ,以下结论不正确的是（ ）(A)、逆序数是一个非负整数 (B)、一个对换改变其奇偶性 (C)、逆序数最大为n (D)、可经若干次对换变为12…n2、设）（则=---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）13．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D= ( )（A ） -5 （B ） 5 （C ） 0 （D ） 1 4、设5阶方阵,()i j A a =的行列式展开式中应有一项为（ ）(A) 1123455344a a a a a (B) 1123344554a a a a a (C)1123355244a a a a a (D) 1123355144a a a a a5、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―26、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（ ）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零 （B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例 （D ）以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解7．如果行列式0200200011=kk k ，则（ ）。
考研线性代数综合竞赛试题
考研线性代数综合竞赛试题 时间：150分 满分：150分一、 选择题（每题1分，共20分）1、 记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x xx x x ---------------为()f x ，则方程()0f x =的根的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 42、 设n 维行向量11,0,,0,22α⎛⎫=⎪⎝⎭ ，矩阵,2T T A E B E αααα=-=+，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB =()A 0 ()B E - ()C E ()D T E αα+3、设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为 （ ）（A ）**32O B AO ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭4、设1112131414131211212223242423222131323334343332314142434444434241,a a a a a a a a a a a a a a a a A B a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，10001010000101000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 21000001001000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中A 可逆，则1B -= ()A 112A PP - ()B 112P A P - ()C 112PP A - ()D 121P A P -5、设A 为m n ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B AC =的秩为1r ，则()A 1r r > ()B 1r r < ()C 1r r = ()D r 与1r 的关系依C 而定6、设矩阵m n A ⨯的秩()r A m n =<，m E 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是()A A 的任意m 个列向量必线性无关 ()B A 的任意一个m 阶子式不等于零()C A 通过初等行变换，必可以化为(),0m E 形式()D 非齐次方程Ax b =一定有无穷多组解7、设3阶矩阵a b b A b a b b b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ()A a b =或20a b += ()B a b =或20a b +≠ ()C a b ≠或20a b += ()D a b ≠或20a b +≠8、设矩阵001010100B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，已知矩阵A 相似于B ，则秩()2A E -与秩()A E -之和等于 ()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 59、设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任何常数k ，必有()A 123,,ααα，12k ββ+线性无关 ()B 123,,ααα，12k ββ+线性相关()C 123,,ααα，12k ββ+线性无关 ()D 123,,ααα，12k ββ+线性相关10、设向量组()()()()12341,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,1,2,2,0,αααα=-===-()52,1,5,10α=，则该向量组的极大线性无关组是()A 123,,ααα ()B 124,,ααα()C 125,,ααα ()D 1245,,,αααα11、设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x =()A 当n m >时仅有零解 ()B 当n m >时必有非零解 ()C 当m n >时仅有零解 ()D 当m n >时必有非零解12、设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系()A 不存在 ()B 仅含一个非零解向量 ()C 含有两个线性无关的解向量 ()D 含有三个线性无关的解向量13、设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T)0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 （ ）()A 31,αα ()B 21,αα ()C 321,,ααα ()D 432,,ααα14、设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量，且()3r A =，()()1231,2,3,4,0,1,2,3,T TC ααα=+=表示任意常数，则线性方程组Ax b =的通解x 等于()A 11213141C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()B 10213243C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()C 12233445C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()D 13243546C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦15、设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213A -⎛⎫⎪⎝⎭有一个特征值等于()A43 ()B 34 ()C 12 ()D 14 16、设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵。
《线性代数(经管类)》综合测验题库
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( ) 正定没有负的特征值的正惯性指数等于n 合同于单位阵2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( )A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为23.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则( )未必是正定二次型。
（A+B）X4.设A，B为正定阵，则( )，A+B都正定正定，A+B非正定非正定，A+B正定不一定正定，A+B正定5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B( )A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为( )7.设（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论( )不成立。
与B相似与B等价与B有相同的特征值与B有相同的特征向量10.下列命题错误的是( )A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )12.已知矩阵有一个特征值为0，则( )==1==013.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=( )14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为( )，1，1，-1，-2，1，-1，0，115.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是( )A.α和β线性无关B.α+β是A的特征向量C.α与β线性相关D.α与β必正交16.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中( )是P-1AP对应于λ的特征向量。
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共15分)：1．设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010; （B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010; （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； (C ）R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；(D)R n 中，坐标满足x 1=1,x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）—1有一个特征值等于（ ）。
（A)34； （B ）43； （C ）21； （D ）41.5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它( ）。
（A)合同; （B ）相似； （C ）等价； （D)以上都不对。
二、填空题(每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA ＊=2BA ＊+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵,则|B ｜= .2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
线性代数综合练习100题
（C）若 A 经行的初等变换化成 B ，则 AX = 0 与 BX = 0 同解；
（D）若 A 经列的初等变换化成 B ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价.
⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎛ a21
a22
a23 ⎞
18．设
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
a23
⎟ ⎟
,
B
=
⎜ ⎜
a11
a12
a13
⎟ ⎟
⎜⎝ a31 a32 a33 ⎟⎠
15．设 A 是 n 阶方阵， A2 = E ，则（C）. （A） A 为正定矩阵；（B） A 为正交矩阵；（C） ( A*)2 = E ；（D） tr( A) = n2 .
16．设 A, B 是 n 阶方阵，下列结论中错误的是（D）.
（A）若 A, B 都可逆，则 A′B 也可逆； （B）若 A, B 都是实对称正定矩阵，则 A + B−1 也是实对称正定矩阵；
8．设有两个平面方程 π1 : a1x + b1 y + c1z + d1 = 0 ，
π 2 : a2 x + b2 y + c2 y + d2 = 0 ，
如果
秩
⎛ ⎜ ⎝
a1 a2
b1 b2
c1 c2
⎞ ⎟ ⎠
=
2
，则一定有（D）
（A） π1 与 π 2 平行； （C）π1 与 π 2 重合；
（B） π1 与 π 2 垂直； （D） π1 与 π 2 相交.
（A）若有全不为 0 的数 k1, k2 ,", km 使 k1α1 +" + kmαm = 0 ，则向量组α1,α2 ,",αm 线性无关； （B）若有一组不全为 0 的数 k1, k2 ,", km 使得 k1α1 + k2α2 +" + kmαm ≠ 0 ，则向量组α1,α2 ,",αm 线
线性代数综合练习
《线性代数》综合练习题 一、单项选择题1．排列41325的逆序数为 【 】A 、2B 、3C 、4D 、52．设有矩阵3433,4331,A B C D ⨯⨯⨯⨯和，则下列运算中没有意义的是 【 】 A 、BAC B 、AC +DD T C 、A T B +2C D 、AC +D T D3．已知A 为n 阶矩阵，则下述结论中不正确的是 【 】 A ．T T ()kA kA = （k 为常数） B ．若A 可逆，则111()kA k A ---= （k 为非零常数） C ．若A 可逆，则T T 111T [()][()]A A ---= D ．若A 可逆，则-1-1T T 11[()][()]A A --=4．已知向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】 A ．1312,3,,2αααα- B ．1223312,,2ααααααα+---C ．13131,,ααααα+-D ．23232,,ααααα-+5．设有齐次线性方程组0AX =和0BX =，其中A ，B 都是m ×n 矩阵.现有4 个命题：【 】 ①若0AX =的解都是0BX =的解，则r()r()A B ≥. ②若r()r()A B ≥，则0AX =的解都是0BX =的解. ③若0AX =与0BX =同解，则r()r()A B =. ④若r()r()A B =，是0AX =与0BX =同解. 为真命题是A ．①③④B ．①②③C ．①④D ．①③ 6.多项式10223()71043173x x xf x x-=--中的常数项是（ ）. 【 】 A ．3 B ．-3 C ．15 D ．-157.已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（ ）. 【 】 A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m8.设12,,,s ααα 均为n 维向量，则下述结论中正确的是（ ）. 【 】 A ．若11120s s k k k ααα+++= ，则向量组12,,,s ααα 线性相关B ．若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有11120s s k k k ααα+++≠ ，则向量组12,,,s ααα 线性无关C ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可以用其余s -1个向量线表示D ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有11120s s k k k ααα+++= 9.设A ，B 均为n 阶矩阵，则下列结论中正确的是（ ）. 【 】 A ．22()()A B A B A B +-=- B ．()k k k AB A B = C ．B A k kAB =D ．kk kB A AB =)(10.下述各结论中不正确的是（ ）. 【 】 A ．单位矩阵E 是正交矩阵 B ．两个正交矩阵的和为正交矩阵 C ．两个正交矩阵的积是正交矩阵 D ．正交矩阵的逆矩阵为正交矩阵二、填空题1.3125--= . 2.设10102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，n 为正整数，则12n n A A --=_______________ 3、已知向量)3,0,1,2(-=α，)3,0,1,1(--=β，则αβ3-= 4.已知三阶矩阵A 的特征值为-1，3，-3，则A _____________5、已知向量组123(3,1,),(4,,0),(1,0,)a a a ααα===，则当a =____________时，123,,ααα线性相关；三、计算题1、计算行列式的值：D=313023429722203- 2、 设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A . 求1-A .3、设向量组T T T T T 12345(1,2,3,4),(2,3,4,1),(2,5,8,3),(5,26,9,12),(3,4,1,2)ααααα=-=-=--=--=-求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
线性代数（专升本）综合作业答案
线性代数（专升本）综合作业答案综合作业1. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 12. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学⽣答案： A标准答案：A解析：得分： 13. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 14. (单选题) ⾏列式中元素的代数余⼦式为( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：A解析：得分： 05. (单选题) 矩阵的逆矩阵为( )(本题1.0分)C、D、学⽣答案： C标准答案：D解析：得分： 06. (单选题) 阶⽅阵,若,则中( )(本题1.0分)A、必有⼀列元素全为零B、必有两列元素对应成⽐例C、必有⼀列向量是其余列向量的线性组合D、任⼀列向量是其余列向量的线性组合学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 17. (单选题) 设为矩阵,为阶可逆⽅阵,,⽽,则( )(本题1.0分)A、B、C、D、与的关系不定学⽣答案： C标准答案：A解析：得分： 08. (单选题) 阶⽅阵具有个不同的特征值是与对⾓矩阵相似的( )(本题1.0分)A、充分必要条件B、充分⽽⾮必要条件C、必要⽽⾮充分条件D、既⾮充分也⾮必要条件学⽣答案： A标准答案：B解析：得分： 0B、是负定矩阵C、是半正定矩阵D、不定学⽣答案： A标准答案：A解析：得分： 110. (单选题) 设⾏列式则⾏列式 ( )(本题1.0分)A、B、 1C、 2D、学⽣答案： C标准答案：A解析：得分： 011. (单选题) 设A为n阶⽅阵,将A的第1列与第2列交换得到⽅阵B,若,则必有( )(本题1.0分) A、B、C、D、学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 112. (单选题) 设,则⽅程的根的个数为( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学⽣答案： D 标准答案：B 解析：得分： 013. (单选题) 设⾏列式D==3,D 1=D 、 15 学⽣答案： D 标准答案：C 解析：得分： 014. (单选题) 已知4阶⾏列式D 第⼀⾏的元素依次为1,1,0,2,它们对应的余⼦式分别为2,3,6,0,则D= ( )(本题1.0分)A 、 5B 、 0C 、 -1D 、 1 学⽣答案： A 标准答案：C解析：得分： 015. (单选题) 设,则的常数项为( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、-1学⽣答案： D标准答案：A解析：得分： 016. (单选题) ⾏列式中第4⾏各元素的代数余⼦式之和为( )(本题1.0分)A、 1B、0C、 3D、 4学⽣答案： D标准答案：B解析：得分： 017. (单选题) 已知⾏列式=0,则数a=( )(本题1.0分)A、 1B、 3C、-3D、018. (单选题) 设A是4阶⽅阵,且det(A)=4,则det(4A)=( )(本题1.0分)A、44B、45C、46D、47学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 119. (单选题) 已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=( )(本题1.0分)A、A+EB、A-EC、-A-ED、-A+E学⽣答案： D标准答案：C解析：得分： 020. (单选题) 设矩阵A,B,C,X为同阶⽅阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )(本题1.0分)A、A-1CB-1B、CA-1B-1C、B-1A-1CD、CB-1A-1学⽣答案： A标准答案：A解析：得分： 121. (单选题) 设A是s×n 矩阵(s≠n),则以下关于矩阵A的叙述正确的是( )(本题1.0分)A、A T A是s×s对称矩阵B、A T A=AA TC、(A T A)T =AA T得分： 122. (单选题) 下列等式中,正确的是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：D解析：得分： 023. (单选题) 下列矩阵中,是初等矩阵的为( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：C解析：得分： 024. (单选题) 设A、B均为n阶可逆矩阵,且是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：C解析：得分： 025. (单选题) 设A为3阶矩阵,A的秩r(A)=3,则矩阵A*的秩r(A*)=( )(本题1.0分)A、0B、 1标准答案：D解析：得分： 126. (单选题) 设⽅阵A满⾜A5=E,则必有( )(本题1.0分)A、A=EB、A=-EC、|A|=1D、|A|=-1学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 127. (单选题) 设A为n阶⽅阵,则下列结论中不正确的是( )(本题1.0分)A、A T A是对称矩阵B、AA T是对称矩阵C、E+A T是对称矩阵D、A+A T是对称矩阵学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 128. (单选题) 设向量=(-1,4),=(1,-2),=(3,-8),若有常数a,b使a-b-=0,则( )(本题1.0分) A、B、a=-1,b=2C、a=1,b=-2D、a=1,b=2学⽣答案： D标准答案：A解析：得分： 029. (单选题) 设矩阵,那么矩阵A的列向量组的秩为( )(本题1.0分)A、 3D、0学⽣答案：未答题标准答案：B解析：得分： 030. (单选题) 设1,2,3,4,5是四维向量,则( )(本题1.0分)A、l,2,3,4,5⼀定线性⽆关B、l,2,3,4,5⼀定线性相关C、5⼀定可以由1,2,3,4线性表出D、1⼀定可以由2,3,4,5线性表出学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 131. (单选题) 向量组=(1,2,0),=(2,4,0),=(3,6,0),=(4,9,0)的极⼤线性⽆关组为( )(本题1.0分)A、,B、,C、,D、,学⽣答案：未答题标准答案：A解析：得分： 032. (单选题) 设向量组α1,α2,α4线性相关,则( )(本题1.0分)A、α1,α2,α3,α4中⾄少有⼀向量为零向量B、α1,α2,α3,α4中⾄少有两个向量成⽐例C、α1,α2,α3,α4中⾄少有⼀个向量可由其余向量线性表⽰D、α1,α2,α3,α4中每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰学⽣答案： C 标准答案：C解析：得分： 133. (单选题) 设α1,α2,α3,α4为三维向量,已知α1,α2,α3,线性⽆关,⽽α2,α3,α4线性相关,则( )(本题1.0分)A、α1必可由α2,α3,α4线性表出B、α2必可由α1,α3,α4线性表出C、α3必可由α1,α2,α4线性表出D、α4必可由α1,α2,α3线性表出解析：得分： 034. (单选题) 设A是n阶⽅阵|A|=0,则下列结论中错误的是( )(本题1.0分)A、r(A)B、A必有两⾏元素成⽐例C、A的n个⾏向量线性相关D、A有⼀个列向量可由其余n-1个列向量线性表出学⽣答案：未答题标准答案：B解析：得分： 035. (单选题) 设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为( )(本题1.0分)A、-10B、-4C、 4D、10学⽣答案： D标准答案：D得分： 136. (单选题) 矩阵A的⾏向量组的秩是a,列向量组的秩是b,矩阵A的秩是c,则( )。
线性代数第4,5章综合练习题和答案
线性代数第4,5章综合练习题和答案第4，5章综合练习题⼀、填空题1.已知211A 121112=，100B 01000a ??=且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的⼀个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的⼀个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112??-相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112??=有⼆重特征值1，则A 的另⼀个特征值是______.5．⼆元⼆次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ??= ?的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的⼀个特征值为0，则A =7. ⼆次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ?? ?= 与20000001B y ??= -相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -??= 的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α，则与21,αα等价的正交向量组为___________.12.=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. ⽤配⽅法把⼆次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .⼆、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性⽆关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同⼀个对⾓矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003 ;(B)120210002 ;(C)120240001??????; (D)200012023.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同⼀个对⾓矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94??=，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7．⼆次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8．设001A 010100??=,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ；（C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 都不可逆；（B）A 、B 有相同的特征值；（C ）A 、B 均与同⼀个对⾓矩阵相似；（D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --??=成⽴的P 是（）（A ）（123,,ααα）（B）（132,,ααα）（C）（321,,ααα）（D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（）（A）存在⾮奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对⾓矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式（D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零（D）各阶顺序主⼦式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成⽴的为（）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（）A. A 的任n 个特征向量线性⽆关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性⽆关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶⽅阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性⽆关的特征向量，则（）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不⼀定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -??=，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（）（A）?? ? ??；（B）cos sin sin cos θθθθ-?? ???；（C ）1001?? ???；（D）11222??- 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 同时可逆或不可逆；（B）A 、B 有相同的特征向量；（C ）A 、B 均与同⼀个对⾓矩阵相似；（D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶⽅阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（）。
工程数学(线性代数)综合练习题
一、判断题：1.四阶行列式 D =000000000000d c b a = abcd. ( )2.n 阶行列式D =1111110000000000000000001321nn λλλλλ-=.21n λλλ()3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA =( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(222B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0.()6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1B A =-( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[])()(111'='---A B AB .( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵.()12.若n 阶可逆矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21,则.112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----n A λλλ ( )13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关.( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. ()15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关. ( )16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则2),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示.( ) 17.等价向量组所含向量个数相同.()18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若n m ⨯矩阵A 有一个r (r<m<n )阶子式不等于零,一个r +1阶子式等于零,则Rank(A )=r. ( ) 20.任意n m ⨯矩阵A 的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( ) 21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( ) 22.任何一个齐次线性方程组都有解. ( ) 23.若线性方程组AX=B (A 为n m ⨯矩阵,X =),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x )满足 Rank ),()(A Rank B A = 则此方程组有解.( )24若线性方程组AX =0(A 为n 阶矩阵,X 同上)满足0=A ,则此方程组无解. ()25.若线性方程组AX=B (A ,X 同24题,B =)),,,(21'n b b b 满足,0=A 此方程组有无穷多解.( ) 26.若21,γγ都是AX=B (A ,X ,B 同23题)的解,则21γγ+仍是此方程组的解.()二、填空题：1. 四阶行列式 101 32235 120 26 43711 78D ---==----_____________________.2. 五阶矩阵,0021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A 其中 ,100010103,542321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A 则=1A _______, =2A ________, =A _____________.3. 设A ,B 均为n 阶矩阵,且,3,2-==B A 则B A 2=_______________.4. 设矩阵()3310132 101 1ijA a ⨯-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则12a 的余子式为_________________,12a 的代数余子式为________________,A 的顺序主子式为__________________________.35. 设三阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a c a c b c b a A 则kA -E =________________(k 为不等于零的常数,E 为三阶单位矩阵),若,2=A 则kA =________________.此时A 在等价关系下的标准形为____________________.6. 已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321===ααα当321,,a a a 为任意常数时,向量组)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211a a a ===βββ线性________关(相关还是无关). 3α_______(能还是不能)用21,αα线性表示.7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321-====βααα则向量β用向量321,,ααα线性表示的表达式为_______________________.向量组βααα,,,321_____________(是或不是)线性相关.8. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.9. 设A 为五阶矩阵,且,3=A 则_,__________,__________1==*-A A 其中*A为A 的伴随矩阵. 10.设矩阵,0021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A 其中,0121,311121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则11A -= ，12A -= ，1A -= 。
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线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
3．若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，则a = ，b = 。
4．设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。
若A 有特征值λ，则（A *）2+E 必有特征值 。
5．若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的，则t 的取值范围是。
三、（15分）设有齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a 试问a 取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。
四、（10分）设R 3的两组基为：T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ξξξ和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===ηηη，向量α=（2，3，3）T（1）求基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵； （2）求α关于这两组基的坐标。
五、（15分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T 是属于λ1 = -2的特征向量。
试求：（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量； （2）A 的伴随矩阵A *。
六、（10分）设二次型323121232221222x bx x x x ax x x x f +++++=通过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为：23222y y f +=，求a 、b 。
七、（10分）已知A ，B 为n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E ，其中E 是n 阶单位矩阵，试证：A-2E 可逆。
并求出（A-2E ）-1=？八、（10分）设A 为n 阶矩阵，且1,1)(2211=+⋯++-=nn A A A n A r ，其中ii A 是A 中元素ii a 的代数余子式（i =1，2，…，n ）。
试证：A 的伴随矩阵A *的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。
线性代数综合练习参考答案一、选择题：1．（D ）；2（A ）；3．（A ）；4．（B ）；5．C ）； 二、填空题：1．91；2．-1；3． ±21，μ21；4．1||2+⎪⎭⎫ ⎝⎛λA ；5．-22<<t三、解：A=B a a a a a a aa a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++00400300211114444333322221111行 （1）当a =0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x 1+x 2+x 3+ x 4=0由此得一基础解系为：TT Ty y y )1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321-=-=-=， 故全部解为：332211y C y C y C X ++= （其中321,,C C C 为任意常数）……（7分）（2）当a ≠0时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→100401030012000101004010300121111a a B 当a =-10时，r （A ）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-040302413121x xx x x x ，解之，可得一个基础解系为： y=（1，2，3，4）T ，故全部解为：X=ky （其中k 为任意常数）……（15分）备注：此题也可另解 ∵|A|=（a +10）a 3∴当|A|=0时，即a =0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。
四、解：（1）记B=（321,,ξξξ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110011，C=（321,,ηηη）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211111则有：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112110010210100121001121101211110111011 从而，由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为：A=B -1C=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121………………………（5分） （2）设α关于基321,,ηηη的坐标为（321,,y y y ）即：0332211=++ηηηy y y由此可得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++32322321321321yy y y y y y y y ，解之得：1,1,0321===y y y ， 故α关于基321,,ηηη的坐标为（0，1，1），又∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y A x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211110即α关于基321,,ξξξ的坐标为（1，1，2）…………………………（10分） 五、解：（1）设A 的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x 1，x 2，x 3）T ， 则∵A 是实对称矩阵，∴（x 1，x 2，x 3）T 与α1正交，即有：（x 1，x 2，x 3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111=0， 也即：x 1+x 2+x 3=0， 解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T∴A 的属于λ2=1的全部特征向量为：k 1α2+ k 2α3（k 1，k 2不同时为0）………………（5分）（2） ∵A *=|A|A -1∴A *的特征值为：|A|·（-21），|A|·1（2重） 又∵|A|=-2∴A *的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）A *（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221A *=（α1，α2，α3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200020001（α1，α2，α3）-1 =1101011111200020001101011111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--323131313231313131200020001101011111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3333333333121112111120102122131 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111111……………………………………………（15分） 六、解：f 的正交变换前后的矩阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A 和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B于是，A 、B 相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）也即：λ3-3λ2+（2-a 2-b 2）λ+（a -b ）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：⎩⎨⎧=--=-220)(222b a b a ∴⎩⎨⎧==00b a ………………………………………………………（10分）七、证明：∵2A -1B=B-4E左乘A ，得：2B=AB-4A …………………………………………（5分） 即：AB-2B-4A=0 ∴（A-2E ）（B-4E ）=8E 故A-2E 可逆，且（A-2E ）-1=81（B-4E ）……………………………………（10分）八、证明：∵r （A ）=n-1∴r （A *）=1………………………………………………………（2分）又∵齐次线性方程组（0E-A *）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量， ∴0是A *的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分） 另外，tr （A *）= A 11+A 22+…A nn=λ1+λ2+…λn-1+λn=1…………………………………………………………（8分）故有：1是A *的单特征值；0是A *的n-1重特征值。
………………………………………（10分）。