中级微观经济学讲义-2

第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理
与古典的从偏好关系到效用函数再到需 求函数的逻辑思路不同， 求函数的逻辑思路不同，萨缪尔森从行为结 果本身推导人的行为准则，抛却了效用理论 果本身推导人的行为准则， 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 弱的要求，比如一致性。 弱的要求，比如一致性。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2） 效用最大化－
罗伊恒等式】 【罗伊恒等式】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = u( x ) + λ ( y − px )， ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = λ*以及 ∂y ∂y ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) = = − λ* x i*，可以得到 ∂ pi ∂p i ∂v ( p , y ) − ∂ pi x i* = x i ( p, y ) = ∂v ( p , y ) ∂y
x 2 f x1 , ∀t ∈ [0,1] ⇒ x t = tx 2 + (1 − t )x1 ~ x1 f ~ 公理 7 : 严格凸性 x 2 ≠ x1 , x 2 f x1 ⇒ x t f x1 ~ (排除了无差异集凹向原 点 < 多元化消费 > )
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（1） 偏好关系－
偏好公理： 偏好公理： 公理 4 : 局部非饱和性 公理 5 : 严格单调性 公理 6 : 凸性 ∀x 0 ∈ R n , ∃ε > 0 , ∃x ∈ B ε ( x 0 ) I R n ⇒ x f x 0 + + (排除了无差异区域的存 在 ) ∀x 0， x1 ∈ R n ， x1 ≥ x 0 ⇒ x1 f x 0 + ~ (排除了无差异集向上弯 曲)
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
【例】
a b 道格拉斯效用函数： 柯布 − 道格拉斯效用函数： u( x1 , x 2 ) = x1 x 2
1.求解马歇尔需求函数、 间接效用函数。 求解马歇尔需求函数、 间接效用函数。 2.验证罗伊恒等式。 验证罗伊恒等式。 3.求解希克斯需求函数、 支出函数。 求解希克斯需求函数、 支出函数。 4.验证谢菲尔德引理。 验证谢菲尔德引理。 5.思考参数 a, b的经济含义。 的经济含义。
x1 , x 2
最优解必要条件： 最优解必要条件： ∂ ( x * , x* ) ∂ ( x* , x * ) 1 2 1 2 ∂x 1 ∂x 2 λ＝ = p1 p2
练习：推导并思考λ的经济含义。 练习：推导并思考λ的经济含义。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（一）最优解的含义－续（1） 最优解的含义－
（三）预算约束
竞争性约束集： 竞争性约束集： B = {x : x ∈ R n , px ≤ y } + 预算超平面： 预算超平面： B = {x : x ∈ R n , px = y } +
x2
y / p2
斜率＝ 斜率＝ −
p1
p2
0
y / p1
x1
பைடு நூலகம்
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（一）最优解的含义
1
n
(p0,x0)
合并得： 合并得： ( pi1 − pi0 )( x i1 − x i0 ) < 0 ∑ 即： ∆ pi ∆ x i < 0 ∑
b 3. Cobb − Douglas效用函数 u ( x1 , x2 )＝x1a x2
4. 拟线性效用函数 u ( x1 , x2 )＝x1 + v( x2 )
练习：几种类型效用函数的无差异曲线、边际替代率的特征？ 练习：几种类型效用函数的无差异曲线、边际替代率的特征？
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
模型的扩展： 模型的扩展：角点解 ∂L ∂u( x * ) 根据库恩－ x = 0，根据库恩－塔克条件 有 = − λp i ≤ 0。 ∂x i ∂x i
* i
理解角点解： 理解角点解： ∂u( x ) ∂x i 1. ≤λ pi
*
x2
∂u( x * ) ∂x i 2. ≤ λp i λ p 3. MRS1, 2 ≥ 1 p2
思考：1.效用函数的 效用函数的（ 单调变换。 思考：1.效用函数的（正）单调变换。
2.效用函数反映了对物品的主观评价？ 2.效用函数反映了对物品的主观评价 效用函数反映了对物品的主观评价？
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（二）效用函数－续（2） 效用函数－
边际效用： 边际效用： ∂u ( x 1 , x 2 ) ∂ u( x 1 , x 2 ) MU 1 = ，MU 2 = ∂x 1 ∂x 2 边际替代率： 边际替代率： dx 2 MU 1 MRS1, 2 = − = dx1 MU 2
第二讲 消费者理论
三、价格效应
【斯拉茨基方程】 斯拉茨基方程】 根据Di ( p, y ) = H i ( p, v ( p, y ))，两边对 pi 求导, ∂H i ∂Di ∂Di ∂y 得： = + ，根据 e( p, u) = y以及 ∂pi ∂ pi ∂ y ∂ pi ∂Di ∂H i ∂Di 谢菲尔德引理可得： 谢菲尔德引理可得： = − xi ∂ pi ∂ pi ∂y pi 形式。 两边同乘以 得斯拉茨基方程的弹性 形式。 xi
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理－续（1） 显示偏好弱公理－
【显示偏好弱公理】 显示偏好弱公理】 显示偏好的表述： 显示偏好的表述：
n n
∑p
1 n 1
0 i
x > ∑ pi0 x i1 ⇒ x 0 f x 1
0 i 1 n 1 i 1 i 0 i
∑ p x >∑ p x
1 i 1 n 0 i 0 i
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）支出最小化－续（2） 支出最小化－
谢菲尔德引理】 【谢菲尔德引理】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = px + λ ( u − u( x ))， ∂e( p, u) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = xi*，即： ∂ pi ∂ pi ∂e ( p , u ) = x i* ( p, u)。 ∂ pi
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（三）支出最小化
支出最小化： 支出最小化： min( px )，s .t . u( x ) ≥ u
x
希克斯需求 (补偿需求 )：
* * H ( p, y ) = x * ( p, u) = ( x1 ( p, u),... x n ( p, u))
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）支出最小化－续（1） 支出最小化－
支出函数： 支出函数： e( p, u) = px * ( p, u) 关于支出函数的性质： 关于支出函数的性质： 1.对价格是一次齐次的。 对价格是一次齐次的。 2.对价格和效用是递增的 。 3.是凹函数。 是凹函数。 4.满足谢菲尔德引理。 满足谢菲尔德引理。
x1
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（二）显示偏好的应用
【引例】 引例】
x2
n 0 i 0 i n n
∑p x ≥∑p x
0 i 1 i 1 n 1 i 0 i 1 n 1 i
⇔ ∑ pi0 ( x i0 − x i1 ) ≤ 0
1
∑p x ≥∑p x
1 n 1 1
1 i
⇔ ∑ pi1 ( x i1 − x i0 ) ≤ 0
* * D( p, y ) = x * ( p, y ) = ( x1 ( p, y ),... x n ( p, y ))
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（1） 效用最大化－
间接效用函数： 间接效用函数： v ( p, y ) = u( x * ( p, y )) 关于间接效用函数的性 质： 1.关于收入和价格是零次 齐次的。 齐次的。 2.对于收入是严格递增的 。 3.对于价格是严格递减的 。 4.对价格是拟凹的 5.满足罗伊恒等式。 满足罗伊恒等式。
（一）偏好关系－续（2） 偏好关系－
x2
f x0
~x ~x
0 0
x2
x0
xt x1
p x0
0
x1
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（3） 偏好关系－
x2
x2
xt
f x0
x0 p x0
x1
x1
0
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（二）效用函数
定义： 定义： ∀x1 , x 2 ∈ R n，存在 u( x1 ) ≥ u( x 2 ) ⇔ x1 f x 2 , 其 + ~ 中u : R n → R称为代表偏好关系 f 的一个效用函数。 + ~ 的一个效用函数。
模型： 模型： 选择x* ∈ B，对于 ∀x ∈ B，x* f x。其中 B = {x : x ∈ R n , px ≤ y } + 模型的简化： 模型的简化： 两种商品。 预算平衡(效用函数严格递增 )，内点解(去非负约束 )，两种商品。 即 max u( x1 , x 2 )，s.t . p1 x1 + p 2 x 2 = y
u0