中级微观经济学讲义-2

第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2） 效用最大化－
罗伊恒等式】 【罗伊恒等式】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = u( x ) + λ ( y − px )， ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = λ*以及 ∂y ∂y ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) = = − λ* x i*，可以得到 ∂ pi ∂p i ∂v ( p , y ) − ∂ pi x i* = x i ( p, y ) = ∂v ( p , y ) ∂y
二、效用最大化与支出最小化
（二）支出最小化－续（1） 支出最小化－
支出函数： 支出函数： e( p, u) = px * ( p, u) 关于支出函数的性质： 关于支出函数的性质： 1.对价格是一次齐次的。 对价格是一次齐次的。 2.对价格和效用是递增的 。 3.是凹函数。 是凹函数。 4.满足谢菲尔德引理。 满足谢菲尔德引理。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（三）对偶同解
对偶： 对偶： e( p, u) = e( p, v ( p, y )) = y v ( p, y ) = v ( p, e( p, u)) = u Di ( p, y ) = H i ( p, v ( p, y )) H i ( p, u) = Di ( p, e( p, u))
（一）偏好关系－续（2） 偏好关系－
x2
f x0
~x ~x
0 0
x2
x0
xt x1
p x0
0
x1
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（3） 偏好关系－
x2
x2
xt
f x0
x0 p x0
x1
x1
0
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（二）效用函数
定义： 定义： ∀x1 , x 2 ∈ R n，存在 u( x1 ) ≥ u( x 2 ) ⇔ x1 f x 2 , 其 + ~ 中u : R n → R称为代表偏好关系 f 的一个效用函数。 + ~ 的一个效用函数。
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（1） 偏好关系－
偏好公理： 偏好公理： 公理 4 : 局部非饱和性 公理 5 : 严格单调性 公理 6 : 凸性 ∀x 0 ∈ R n , ∃ε > 0 , ∃x ∈ B ε ( x 0 ) I R n ⇒ x f x 0 + + (排除了无差异区域的存 在 ) ∀x 0， x1 ∈ R n ， x1 ≥ x 0 ⇒ x1 f x 0 + ~ (排除了无差异集向上弯 曲)
讨论：边际效用和边际替代率的相互关系？ 讨论：边际效用和边际替代率的相互关系？
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（二）效用函数－续（3） 效用函数－
特殊的偏好和效用函数： 1. 完全替代 u ( x1 , x2 )＝ax1 + bx2 2. 完全互补 u ( x1 , x2 )＝ min{ax1 , bx2 }
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理－续（1） 显示偏好弱公理－
【显示偏好弱公理】 显示偏好弱公理】 显示偏好的表述： 显示偏好的表述：
n n
∑p
1 n 1
0 i
x > ∑ pi0 x i1 ⇒ x 0 f x 1
0 i 1 n 1 i 1 i 0 i
∑ p x >∑ p x
1 i 1 n 0 i 0 i
* * D( p, y ) = x * ( p, y ) = ( x1 ( p, y ),... x n ( p, y ))
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（1） 效用最大化－
间接效用函数： 间接效用函数： v ( p, y ) = u( x * ( p, y )) 关于间接效用函数的性 质： 1.关于收入和价格是零次 齐次的。 齐次的。 2.对于收入是严格递增的 。 3.对于价格是严格递减的 。 4.对价格是拟凹的 5.满足罗伊恒等式。 满足罗伊恒等式。
思考：1.效用函数包含了什么信息 效用函数包含了什么信息？ 2.什么样的函数不是效用函数 什么样的函数不是效用函数？ 思考：1.效用函数包含了什么信息？ 2.什么样的函数不是效用函数？
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（二）效用函数－续（1） 效用函数－
x2
3 2 2 2
2
0
1
2
3
x1
模型： 模型： 选择x* ∈ B，对于 ∀x ∈ B，x* f x。其中 B = {x : x ∈ R n , px ≤ y } + 模型的简化： 模型的简化： 两种商品。 预算平衡(效用函数严格递增 )，内点解(去非负约束 )，两种商品。 即 max u( x1 , x 2 )，s.t . p1 x1 + p 2 x 2 = y
第二讲 消费者理论
三、价格效应
【斯拉茨基方程】 斯拉茨基方程】 根据Di ( p, y ) = H i ( p, v ( p, y ))，两边对 pi 求导, ∂H i ∂Di ∂Di ∂y 得： = + ，根据 e( p, u) = y以及 ∂pi ∂ pi ∂ y ∂ pi ∂Di ∂H i ∂Di 谢菲尔德引理可得： 谢菲尔德引理可得： = − xi ∂ pi ∂ pi ∂y pi 形式。 两边同乘以 得斯拉茨基方程的弹性 形式。 xi
⇒ x1 f x 0
符号“ 表示显示偏好于。 式不能同时成立， 符号“f”表示显示偏好于。上 式不能同时成立， 因此： 因此： p x > ∑ p x ⇒ ∑ p x < ∑ pi1 x i0 ∑
0 i 1 i 1 i 1 i 1 n 0 i 1 n 1 1 n n n
整理得： 整理得： p ∆x i < 0 ⇒ ∑ pi1 ∆x i < 0 ∑
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
【例】
a b 道格拉斯效用函数： 柯布 − 道格拉斯效用函数： u( x1 , x 2 ) = x1 x 2
1.求解马歇尔需求函数、 间接效用函数。 求解马歇尔需求函数、 间接效用函数。 2.验证罗伊恒等式。 验证罗伊恒等式。 3.求解希克斯需求函数、 支出函数。 求解希克斯需求函数、 支出函数。 4.验证谢菲尔德引理。 验证谢菲尔德引理。 5.思考参数 a, b的经济含义。 的经济含义。
1
n
(p0,x0)
合并得： 合并得： ( pi1 − pi0 )( x i1 − x i0 ) < 0 ∑ 即： ∆ pi ∆ x i < 0 ∑
第二讲 消费者理论
本课件借鉴了国内有关教材的内容，特此致谢！ 本课件借鉴了国内有关教材的内容，特此致谢！
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系
偏好公理： 偏好公理： 公理1 : 完备性 x1 f x 2or x1 ~ x 2or x1 ~ x 2 p ~ (能对任意两个消费束排 序) 公理 2 : 传递性 x1 f x 2 , x 2 f x 3 ⇒ x1 f x 3 ~ ~ ~ (能对有限数目的消费束 排序 ) p 公理 3 : 连续性 ∀x 0 ∈ R n 集合{x : x f x 0 }和{x : x ~ x 0 }是闭集 + ~ (不会出现突然的偏好逆 转)
u0
u0
0
x1
练习：思考互补商品和离散商品下的最优解。 练习：思考互补商品和离散商品下的最优解。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化
等约束条件的影响。 最优解受到价格和收入 等约束条件的影响。 唯一的最优解定义了选 择变量和约束条件之间 的函数关系。 的函数关系。 马歇尔需求： 马歇尔需求：
x 2 f x1 , ∀t ∈ [0,1] ⇒ x t = tx 2 + (1 − t )x1 ~ x1 f ~ 公理 7 : 严格凸性 x 2 ≠ x1 , x 2 f x1 ⇒ x t f x1 ~ (排除了无差异集凹向原 点 < 多元化消费 > )
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
Baidu Nhomakorabea
二、效用最大化与支出最小化
（三）支出最小化
支出最小化： 支出最小化： min( px )，s .t . u( x ) ≥ u
x
希克斯需求 (补偿需求 )：
* * H ( p, y ) = x * ( p, u) = ( x1 ( p, u),... x n ( p, u))
第二讲 消费者理论
模型的扩展： 模型的扩展：角点解 ∂L ∂u( x * ) 根据库恩－ x = 0，根据库恩－塔克条件 有 = − λp i ≤ 0。 ∂x i ∂x i
* i
理解角点解： 理解角点解： ∂u( x ) ∂x i 1. ≤λ pi
*
x2
∂u( x * ) ∂x i 2. ≤ λp i λ p 3. MRS1, 2 ≥ 1 p2
1 n 1 n
扩展为： 扩展为： pi ∆x i ≤ 0 ⇒ ∑ ( pi + ∆pi )∆x i < 0 ∑
1 1
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理－续（2） 显示偏好弱公理－
x2
x2
x2
(p0,x0)
(p0,x0) (p0,x0) (p1,x1) (p1,x1) (p1,x1) x1
b 3. Cobb − Douglas效用函数 u ( x1 , x2 )＝x1a x2
4. 拟线性效用函数 u ( x1 , x2 )＝x1 + v( x2 )
练习：几种类型效用函数的无差异曲线、边际替代率的特征？ 练习：几种类型效用函数的无差异曲线、边际替代率的特征？
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理
与古典的从偏好关系到效用函数再到需 求函数的逻辑思路不同， 求函数的逻辑思路不同，萨缪尔森从行为结 果本身推导人的行为准则，抛却了效用理论 果本身推导人的行为准则， 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 弱的要求，比如一致性。 弱的要求，比如一致性。
思考：1.效用函数的 效用函数的（ 单调变换。 思考：1.效用函数的（正）单调变换。
2.效用函数反映了对物品的主观评价？ 2.效用函数反映了对物品的主观评价 效用函数反映了对物品的主观评价？
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（二）效用函数－续（2） 效用函数－
边际效用： 边际效用： ∂u ( x 1 , x 2 ) ∂ u( x 1 , x 2 ) MU 1 = ，MU 2 = ∂x 1 ∂x 2 边际替代率： 边际替代率： dx 2 MU 1 MRS1, 2 = − = dx1 MU 2
x1
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（二）显示偏好的应用
【引例】 引例】
x2
n 0 i 0 i n n
∑p x ≥∑p x
0 i 1 i 1 n 1 i 0 i 1 n 1 i
⇔ ∑ pi0 ( x i0 − x i1 ) ≤ 0
1
∑p x ≥∑p x
1 n 1 1
1 i
⇔ ∑ pi1 ( x i1 − x i0 ) ≤ 0
（三）预算约束
竞争性约束集： 竞争性约束集： B = {x : x ∈ R n , px ≤ y } + 预算超平面： 预算超平面： B = {x : x ∈ R n , px = y } +
x2
y / p2
斜率＝ 斜率＝ −
p1
p2
0
y / p1
x1
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（一）最优解的含义
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）支出最小化－续（2） 支出最小化－
谢菲尔德引理】 【谢菲尔德引理】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = px + λ ( u − u( x ))， ∂e( p, u) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = xi*，即： ∂ pi ∂ pi ∂e ( p , u ) = x i* ( p, u)。 ∂ pi
x1 , x 2
最优解必要条件： 最优解必要条件： ∂ ( x * , x* ) ∂ ( x* , x * ) 1 2 1 2 ∂x 1 ∂x 2 λ＝ = p1 p2
练习：推导并思考λ的经济含义。 练习：推导并思考λ的经济含义。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（一）最优解的含义－续（1） 最优解的含义－