排列组合公式推导

1公吨=1t=1000kg密度单位g/cm3Proe密度单位公吨/mm31公吨/mm3=1000kg/(cm3×10-3)=109g/cm31g/cm3=10-9公吨/mm3排列和组合基本公式的推导，定义在本节中，笔者将介绍「排列」(Permutation)和「组合」(Combination)的基本概念和两个基本公式。

请注意「点算组合学」中的很多概念都可以从不同角度解释为日常生活中的不同事例，因此笔者亦会引导读者从不同角度理解「排列」和「组合」的意义。

先从「排列」开始。

「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。

为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。

「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。

我们可以把排序过程分解为n 个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。

在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。

在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。

在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。

如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。

由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。

在数学上把上式简记为n!，读作「n阶乘」(n-factorial)。

例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。

答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1；3-1-2；3-2-1。

当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。

我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。

设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。

现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。

「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。

进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。

在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。

在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。

如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。

最后，运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。

我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。

举一个简单的例子，由於5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 ×(4 × 3 × 2 ×1) = 5 ×4!。

同样由於5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 ×(3 × 2 ×1)，我们又可得5! = 5 × 4 ×3!。

抽象地看，我们可以把n!改写为n×(n-1)!，也可以改写为n×(n-1)×(n-2)!照此类推，我们可以把n!改写为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)×(n-r)!。

由此得n! / (n-r)! = n ×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。

在「点算组合学」上，一般把上述「部分排列」的解记为P(n, r)。

至此我们求得「排列」问题的一条基本公式：P(n, r) = n!/(n-r)!例题2：从1至4这4个数字中抽2个出来排序，共有多少种排法？试列出所有排法。

答2：共有P(4, 2) = 4! / 2! = (4 × 3 ×2!) / 2! = 4 × 3 = 12种排法。

这12种排法是1-2；1-3；1-4；2-1；2-3；2-4；3-1；3-2；3-4；4-1；4-2；4-3。

请注意只要我们定义0! = 1 (注1)，那麼上述公式便也适用於「全排列」的情况。

「全排列」其实就是r = n的情况，因此如果把r = n代入以上公式，便得P(n, n) = n!/(n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!，正与前面讨论的结果吻合。

接下来笔者介绍「组合」问题。

设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。

现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字记下，但无须理会球被抽出的先后次序。

由此可见，「组合」问题与「排列」问题的主要区别是，前者只关心被抽出来的包含哪些数字，而不管这些数字的顺序；而后者则既关心被抽出来的包含哪些数字，也关心这些数字的顺序。

惟请注意，「排列」和「组合」虽然是两种很不相同的问题，但两者却并非绝然对立，而是有著非常密切的联系。

日常生活中很多点算问题往往同时包含著「排列」和「组合」的因素，如能了解其中奥妙，很多点算问题便容易解决。

事实上，我们正可利用「排列」和「组合」的这种微妙关系找出「组合」问题的公式。

我们把从n 个球中抽r个出来的组合数记为C(n, r)。

以下我们利用「排列」和「组合」之间的关系以及「排列」的公式来推导出C(n, r)的公式。

前面提过，「部分排列」问题可以理解成从n个标了编号的球中抽r个出来，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下。

其实我们可以把上述过程分解为两个程序，第一个程序就是从n个球中抽r个出来，先不理会它们被抽出来的顺序，此即前面所定义的「组合」问题。

第二个程序则是把这r个被抽出来的球全部排次序，并求有多少种排法，此即前面介绍过的「全排列」问题。

换句话说，我们可以把「部分排列」问题分解为一个「组合」问题和一个「全排列」问题(由此可见「排列」和「组合」并非绝然对立)。

由於上述两个程序是「各自独立」的，根据「乘法原理」，「部分排列」问题的解应等於「组合」问题的解乘以「全排列」问题的解，即P(n, r) = C(n, r) ×r!，由此得C(n, r) = P(n, r) / r!。

代入前面P(n, r)的公式，应得C(n, r) = n!/((n-r)!×r!)正如前面的「排列」公式适用於「全排列」的情况，上述「组合」公式也适用於「全组合」的情况，即求C(n, n)的问题。

根据上述公式，C(n, n) = n!/((n-n)! ×r!) = n! / (0! ×r!) = 1。

这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。

例题3：从1至4这4个数字中抽2个出来(不考虑次序)，共有多少种组合？试列出所有组合。

答3：共有C(4, 2) = 4! / (2! ×2!) = (4 × 3 ×2!) / (2! ×2!) = (4 ×3) / 2 = 6种组合。

这6种组合是1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4。

请注意如果我们把上述6种组合的每一种排序，由於每一组合均包含两个数字，所以每一组合各有两种排序方式(例如从1,2可得到1-2和2-1两种排序方式)，这样从4个数字中抽2个出来排序的排法便有6 × 2 = 12种，这正与例题2的解答完全一致。

请注意在上述C(n, r)的公式中，如果我们把r换成n-r，我们将得到C(n,n-r) = n!/(n!×(n-r)!)其结果与C(n, r)相同，由此我们得到C(n, r) = C(n, n-r)。

这一点是容易理解的，可以用一个简单的例子来说明个中原理。

假设我们要求从5个人(假设为A、B、C、D、E)中选出4个人的组合数，此即C(5, 4)。

这个问题其实可以从另一个角度去理解。

由於只要我们知道哪一个是「落选者」，便自然知道哪些人是「入选者」，因此从5个人中选出4个人(入选者)的组合数其实就等同於从5个人中选出1个人(落选者)的组合数，即C(5, 4) = C(5, 5-4) = C(5, 1) = 5。

把上述结果推广到一般情况，便得到上述的等式。

前面提过，「排列」和「组合」并非绝然对立，有时同一个问题可以从不同角度理解为「排列」或「组合」的问题，而转换角度往往可以令本来难解的问题变得容易。

以下笔者将举出两个例题，说明如何利用这种转换角度的方法解答问题。

例题4：用1和2这两个数字可以构造多少个包含3个1的八位整数？答4：本题初看似应理解为一个「排列」问题，可不是吗？11122222跟22222111是两个不同的八位整数，由此可见，本题必须考虑八位整数中1和2的次序，因此似乎应运用「排列公式」。

可是想深一层，本题其实已规定了所求的八位整数必须包括3个1和5个2，因此我们已无须考虑这些八位整数应包含哪些数字，而只须考虑这些数字的位置。

而且由於这些八位整数只包含两种数字，我们只需确定其中一种数字(例如1)的位置便确定了整个八位整数，例如如果我们确定那3个1位於第1、第3和第5位，我们便确定这个八位整数是12121222。

因此确定本题的八位整数便等同於从8个位置中选出3个位置来安放那3个1，而且由於把代表位置的数字列出来无所谓谁先谁后(注2)，因此本题其实应理解为一个「组合」问题，所求答案是C(8, 3) = 8! / (5! ×3!) = (8 ×7 × 6 ×5!) / (5 ! ×3!) = (8 ×7 ×6) / (3 ×2) = 56。

本例题说明了一点，对於一个具体问题，我们不能一概而论地把它归类为「排列」问题还是「组合」问题，因为这要看我们是在点算甚麼。