数学建模(优化方法建模)
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
数学建模优化问题的求解方法
数学建模优化问题的求解方法
数学建模优化问题的求解方法有很多。
下面列举几种常见的方法：
1. 数学规划方法：包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
这些方法通过数学模型和约束条件来描述问题，并通过寻找最优解来优化问题。
2. 图论方法：将问题抽象成图或网络，并利用图论算法来求解最优解。
常见的算法有最短路径算法、最小生成树算法、最大流算法等。
3. 近似算法：对于复杂的优化问题，往往很难找到精确的最优解。
近似算法通过寻找接近最优解的解来近似优化问题。
常见的近似算法有贪心算法、近邻算法、模拟退火算法等。
4. 遗传算法：模拟生物进化的过程，通过选择、交叉和变异等操作来搜索问题的解空间，并逐步优化解。
遗传算法适用于复杂问题和无法直接求解的问题。
5. 物理方法：将优化问题转化为物理模型，利用物理规律求解。
比如蚁群算法模拟蚂蚁找食物的行为，粒子群算法模拟鸟群觅食的行为等。
以上只是数学建模优化问题求解方法的几种常见方法，实际问题求解时要根据问题的特点选择适合的方法，并结合领域知识和实际情况进行调整和优化。
数学建模计算方法优化
数学建模计算方法优化数学建模是一种重要的数学方法，它通过建立数学模型来描述和解决实际问题。
数学建模的核心是求解数学模型，而计算方法是实现数学建模的基础工具。
为了提高数学建模的效率和精确性，优化计算方法变得尤为关键。
本文将从数学建模的概念和计算方法的优化角度，探讨数学建模计算方法的优化策略。
首先，我们需要明确数学建模的概念。
数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过构建数学模型来描述和求解。
在实际问题中，常常会涉及到多个变量、多个约束条件和多个目标函数。
因此，数学建模的计算量会较大，需要借助计算方法来解决。
常见的数学建模方法包括最优化、离散优化、动态规划等。
在数学建模的计算过程中，计算方法的优化可以提高计算的效率和精确性。
计算方法的优化包括提高计算速度和减少计算误差两个方面。
在提高计算速度方面，我们可以采用以下策略。
第一，选择合适的算法。
不同的问题适合采用不同的算法求解，因此选择合适的算法可以充分发挥算法的优势。
例如，在求解大规模线性系统时，可以使用迭代法来替代直接法，从而减少计算量和计算时间。
第二，优化算法参数。
算法的效果往往受到参数设置的影响，通过调整算法参数可以提高算法的性能。
例如，对于遗传算法来说，通过调整交叉概率和变异概率可以改善算法的搜索能力。
第三，利用并行计算。
利用并行计算可以将计算任务分解成多个子任务，分别进行计算，然后将结果合并。
这样可以充分利用计算资源，提高计算速度。
例如，可以使用MPI或OpenMP等并行计算框架来实现并行计算。
在减少计算误差方面，我们可以采用以下策略。
第一，提高数值稳定性。
在计算过程中，随着计算的进行，误差会逐渐积累，导致计算结果的不准确。
为了减少误差的积累，我们可以采用提高数值稳定性的方法。
例如，在求解高次多项式方程时，可以使用数值稳定性更好的求解方法，如龙格-库塔法等。
第二，增加数值精度。
计算机内部使用有限位数来表示实数，会导致舍入误差。
为了尽量减少舍入误差，我们可以提高计算的数值精度。
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
1、无约束极值问题的求解
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。
解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14
f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142， 综上得， 函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
数学建模-简单的优化模型
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
t t b
由模型决定队员数量x
问题
4 最优价格
根据产品成本和市场需求，在产销平
衡条件下确定商品价格，使利润最大
假设
1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数
进一步设 x( p) a bp, a, b 0
C~
c1
c2
Q 2
T
c1 c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
~ C(T ) C c1 c2rT
TT 2
模型求解
dC 0 dT 模型分析
求 T 使C(T ) c1 c2rT Min T2
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
c1 T,Q
模型应用
c2 T,Q
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
B B(t2)
0
t1
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
数学建模最优化模型
➢
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题,最优化模型是数学建模中应用 最广泛的模型之一,其内容包括线性规划、 非线性规划、整数线性规划、动态规划、 多目标规划、决策规划等.
一般在实际生活中，我们总是利用最优化方
法解决两方面的问题：成本最小化和利润
最大化
2021/10/10
t1
vxha,所以b(t2)12h1t12vhx2a
，而火灾的损失费 w1c1b(t2)与救火费用w 2 之和为：
2021/10/10
w1 2c1h1t2(vc1hx 2a)c3xvc2x xah
6
• 所以森林救火费用最小问题的数学模型为：
m.w in 1 2c1h1 t2(v c1h x 2a)c3xvc2 x xah
设失火时刻t 0，开始救火的时刻为 ，
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b (t烧) 毁c 1 单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1c1*b(t2)
2021/10/10
3
•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,t2时，
db dt
0 ；设当
t
t1
2021/10/10
9
把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，
从而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规 划、多目标规划等。
2021/10/10
10
谢 谢！！！
2021/10/10
11
上述问题是一个无约束的非线性规划问题，
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型优化模型在数学建模中起着重要的作用。
通过优化模型，我们可以找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
本文将介绍优化模型的基本概念、常见的优化方法以及在实际问题中的应用。
让我们来了解一下什么是优化模型。
优化模型是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值的过程。
这个过程可以通过建立数学模型来描述，其中包括目标函数、约束条件以及变量的定义和范围。
在优化模型中，目标函数是我们希望最大化或最小化的指标。
它可以是一个经济指标，如利润最大化或成本最小化，也可以是一个物理指标，如能量最小化或距离最短化。
约束条件是对变量的限制，可以是等式约束或不等式约束。
变量则是我们需要优化的决策变量，可以是连续变量或离散变量。
常见的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化模型。
它可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法和内点法。
非线性规划是指目标函数和约束条件中包含非线性项的优化模型。
它的求解方法相对复杂，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是指变量取值只能是整数的优化模型。
它的求解方法包括分支定界法和割平面法等。
动态规划是一种递推的优化方法，适用于具有最优子结构性质的问题。
优化模型在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以通过优化模型来确定最佳的生产数量和生产时间，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配中，我们可以通过优化模型来确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
在交通调度中，我们可以通过优化模型来确定最短路径或最优路径，以最小化行驶时间或最大化交通效率。
优化模型还可以应用于金融投资、供应链管理、电力系统调度、网络优化等领域。
通过建立数学模型和选择合适的优化方法，我们可以在复杂的实际问题中找到最优的解决方案，提高效率和效益。
优化模型在数学建模中是非常重要的。
它通过建立数学模型和选择合适的优化方法，帮助我们找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
数学建模作业---优化模型
P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。
制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。
（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性 每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性 每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设 ：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。
数学建模方法详解
数学建模方法详解数学建模是指利用数学方法来研究和分析实际问题，并通过构建数学模型来描述和解决这些问题的过程。
数学建模具有很高的理论性和广泛的应用性，可以应用于科学、工程、经济等众多领域。
下面详细介绍几种常用的数学建模方法。
一、优化建模方法优化建模方法是指在给定的约束条件下，寻求其中一种目标函数的最优解。
该方法常用于生产、运输、资源分配等问题的优化调度。
优化建模的一般步骤包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件、制定求解算法以及分析和验证最优解。
二、动力系统建模方法动力系统建模方法是指将实际问题转化为一组微分方程或差分方程，研究系统在时间上的演化规律。
该方法可以用于描述和预测物理、生物、经济等多个领域的系统行为。
动力系统建模的关键在于建立正确的微分方程或差分方程，并选择合适的求解方法。
三、决策分析建模方法决策分析建模方法是指将决策问题转化为数学模型，并采用数学方法进行决策分析和评估。
该方法常用于风险管理、投资决策、供应链管理等领域。
决策分析建模的关键在于准确描述决策者的目标和偏好，并选择合适的决策规则进行决策分析。
四、统计建模方法统计建模方法是指利用统计学理论和方法来描述和分析实际问题。
该方法多用于数据分析、预测和模式识别等领域。
统计建模的过程包括收集数据、建立概率模型、估计模型参数以及进行模型检验和应用。
五、图论建模方法图论建模方法是指利用图论的理论和方法来描述和分析网络结构和关联关系。
该方法常用于社交网络分析、路径规划、电力网络优化等领域。
图论建模的关键在于构建网络模型，并选择适当的图算法进行分析和优化。
六、随机模型建模方法随机模型建模方法是指利用随机过程和概率论的理论和方法来描述和分析随机现象。
该方法常用于金融风险管理、信号处理、系统可靠性评估等领域。
随机模型建模的关键在于建立正确的随机过程模型，并进行概率分布和随机变量的分析。
七、模拟建模方法模拟建模方法是指利用计算机仿真技术来模拟和分析实际问题。
数学建模-最优化
min cij xij Fi yi i i, j
掌握建立和分析规划模型的方法
• 例2 加工问题 m台机床，n种零件在机床加工，工时 为a1, a2, …, an。问如何分配使各机床的总 加工任务尽可能均衡。
掌握建立和分析规划模型的方法
• 设aj在机床i上加工，有xij=1； aj在机床i上加工，有xij=0 。
i 1 i 1 i 1
1000
1000
10000
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • Lindo程序 min0x1-1x2+2x3 subject to 1x1-2x2+1x3=2 0x1+1x2-3x3<1 0x1+1x2-1x3<2 end
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • • • • Lingo程序 model: sets: E/1..5/:c,x; F/1..3/:b; link(F,E):a; endsets min=@sum(E(j):c(j)*x(j)); @for(F(i):@sum(E(j):a(i,j)*x(j))=b(i)); @for(E(j):x(j)>0);
掌握非线性问题线性化的技巧
• 2、会员租赁数量的约束 ： • 因为会员在一个月内的租赁DVD的数量只 能为0、3、6。 • 若用Zi表示第个会员在第i个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期中是否被 服务， 则有
掌握非线性问题线性化的技巧
x
j 1
100
ij
3(1 yi )Zi
非线性方程 引入0-1变量 pi和qi ，有
data: • c=0,-1,2,0,0; • b=2,1,2; • a=1,-2,1,0,0, • 0,1,-3,1,0, • 0,1,-1,0,1; • enddata • end
数学建模之优化模型
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模优化建模实例
数学建模优化建模实例数学建模是将现实问题抽象为数学问题，并利用数学方法解决问题的过程。
优化建模是数学建模中的一种常见方法，其主要目标是寻找一个最优解，在给定的约束条件下最大化或最小化一些指标。
下面将以一个实际问题为例，介绍数学建模和优化建模的过程。
假设公司生产和销售苹果汁。
为了提高生产效率和降低成本，该公司希望确定每个生产周期的最佳生产数量和销售价格。
同时，公司还面临一个供应约束：每个生产周期公司最多能购买苹果的数量是固定的，且销售数量必须小于或等于生产数量。
首先，我们需要将问题进行数学建模。
定义变量：-总生产数量：X（每个生产周期生产的苹果汁的数量）-销售数量：Y（每个生产周期销售的苹果汁的数量）-单位生产成本：C（每单位苹果汁的生产成本）-单位销售价格：P（每单位苹果汁的销售价格）-每个生产周期苹果的供应限制数量：S（每个生产周期可以购买的苹果的数量）问题的目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本。
因此，我们的目标函数可以定义为：Profit = P * Y - C * X公司面临的约束条件包括：1.生产数量必须小于或等于供应限制数量：X<=S2.销售数量必须小于或等于生产数量：Y<=X接下来，我们可以通过数学优化建模的方法来求解这个问题。
我们可以构建一个数学模型来描述问题，并使用相关的数学工具和算法来求解最优解。
在这个例子中，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种常用于解决优化问题的数学方法，它通过确定一组决策变量的值，使得目标函数最大化或最小化，同时满足一组约束条件。
在我们的例子中，我们可以将问题表示为线性规划模型：最大化 Profit = P * Y - C * X约束条件：1.X<=S2.Y<=X通过求解这个线性规划模型，我们可以得到最优的生产数量X和销售数量Y，以及对应的利润Profit。
解决这个问题的方法有很多种，如单纯形法、内点法等。
我们可以通过使用线性规划软件工具来求解这个问题，比如MATLAB、Gurobi等。
《数学建模-优化》课件
数学建模广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等多个领域，帮助解决各种实际问题， 优化决策和提高效率。
数学建模的意义
数学建模能够培养学生的综合思考和问题解决能力，提高数学知识的实际运用能力。
优化问题概述
1 什么是优化问题？
优化问题是在满足特定 约束条件下，寻找使目 标函数达到最优或最大 值的解。
4
数值优化问题可以采用模拟退火、爬 山算法和遗传算法等方法来寻找最优
解。
单目标优化问题
单目标优化问题包括最小二乘法、线 性规划、非线性规划和动态规划等方 法。
非线性规划问题
非线性规划问题可以使用一阶可导方 法、二阶可导方法和非平滑优化方法 进行求解。
优化工具使用
MATLAB
MATLAB是一种功能强大的数值计算和数据可 视化软件，经常用于数学建模和优化问题的求 解。
数学建模和优化在社会管理领 域起到重要作用，可以帮助解 决各种社会问题和提高社会管 理效率。
Python
Python是一种流行的编程语言，拥有丰富的数 值计算、优化和数据分析库，适用于数学建模 和优化问题的处理。
应用案例
工业应用
数学建模和优化在工业生产中 有广泛的应用，可以帮助优化 生产流程、减少资源消耗和提 高产品质量。
经济决策
社会管理
数学建模和优化被广泛应用于 经济领域，帮助制定经济决策、 优化资源配置和提高经济效益。
《数学建模－优化》PPT 课件
数学建模-优化课程介绍了数学建模的概念、优化问题的概述以及各种优化方 法的分类和应用。通过本课程，您将深入了解数学建模和优化的重要性。
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。它将现实问题抽象为数学模型，并通过数 学求解方法得到问题的解决方案。
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载在物流运输中，分派与装载是一项重要的任务，旨在最大化运输效益并降低成本。
在这个案例分析中，我们将使用最优化方法来解决一个分派与装载的问题。
问题描述：一家货运公司负责将货物从一处仓库运输到多个目的地。
仓库具有不同类型的货物，每个目的地需要不同类型的货物，并且每个货物具有不同的重量和体积。
公司有多辆不同载重和容量的卡车可供选择。
目标是通过合理地分派和装载货物，使得每辆卡车的装载量最大，并且所有货物都被及时运送到目的地。
数据收集与整理：1.仓库中可用货物的类型和数量。
2.每个目的地所需货物的类型和数量。
3.每种货物的重量和体积。
4.每辆卡车的载重和容量。
问题思路及数学建模：1.首先，我们将定义一些决策变量，包括每辆卡车所装载的每种货物的数量。
令x[i,j]表示第i辆卡车所装载的第j种货物的数量（i=1,2,...,m，j=1,2,...,n，其中m为卡车数量，n为货物类型数量）。
2. 其次，我们需要定义一些约束条件，确保每辆卡车所装载的货物不超过其载重和容量。
例如，对于每辆卡车i，其载重约束可表示为∑(j=1 to n) (x[i,j] * weight[j]) ≤ max_weight[i]，其中weight[j]表示第j种货物的重量，max_weight[i]表示第i辆卡车的最大载重量。
3. 我们还应该确保每个目的地所需货物的数量都能够得到满足。
例如，对于每个目的地k，其需求约束可表示为∑(i=1 to m) x[i,k] = demand[k]，其中demand[k]表示目的地k所需货物的数量。
4. 最后，我们需要定义一个目标函数，以最大化卡车的装载量。
例如，目标函数可定义为maximize ∑(i=1 to m) ∑(j=1 to n) x[i,j]。
5.将上述决策变量、约束条件和目标函数整合在一起，形成一个数学模型。
最后，我们可以使用最优化方法，如线性规划或整数规划，来求解这个数学模型，并得到最优的分派与装载方案。
数学建模案例分析最优化方法建模动态规划模型举例
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法有以下几种常用的方法：
1. 数学优化模型：通过建立一个目标函数和一系列约束条件来描述问题，并利用数学优化方法寻找使目标函数最优的解。
2. 方程模型：将问题转化为一组方程或不等式，利用数学方法求解得到结果。
3. 统计模型：基于一定的统计原理和假设，利用统计方法来分析和预测数据、进行参数估计和假设检验等。
4. 动态模型：将问题看作是一个动态的过程，并建立一套描述系统演化过程的方程组，以预测未来状态和行为。
5. 分段模型：将系统划分为多个不同的阶段或状态，并对每个阶段或状态建立适当的模型，再通过合并各个模型的结果来得到整体的解析。
6. 离散模型：将问题中的连续变量离散化为一组有限的状态或取值，并用状态转移矩阵或概率分布描述变量之间的关系和演化规律。
7. 系统动力学模型：基于对系统结构和行为的理解，建立一系列动态方程来描述系统各种因素之间的相互作用和演化过程。
8. 随机过程模型：用概率论和随机过程理论来描述系统的不确定性和随机性，并对系统的平均行为和波动性进行分析和预测。
以上仅是一些常用的数学建模方法，实际建模过程中可以根据具体问题的特点选择合适的建模方法，或者结合多种方法进行综合建模。
数学建模优化模型
数学建模优化模型数学建模是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
优化模型是数学建模中的一种重要类别，主要用于解决如何最大化或最小化目标函数的问题。
优化问题在日常生活和工业生产中非常常见，例如最佳路径规划、资源分配、流程优化等。
通过数学建模和优化模型，可以帮助我们在有限的时间、空间和资源下，找到最优的解决方案。
1.确定问题：首先，我们需要准确地确定问题，包括目标函数和约束条件。
目标函数是我们要最大化或最小化的指标，约束条件是问题的限制条件。
2.建立数学模型：根据实际问题的特点，我们选择合适的数学模型来描述问题。
常见的数学模型包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
3.设计算法：根据数学模型，我们设计相应的算法来求解问题。
常见的优化算法包括单纯形法、分支定界法、遗传算法等。
4.求解模型：使用所选的算法，对数学模型进行求解。
这个过程涉及到数值计算和计算机程序的编写。
5.模型验证：对求解结果进行验证，确保结果符合实际问题的要求。
这可以通过计算误差、灵敏度分析等方法来实现。
6.结果分析和优化：对求解结果进行分析，比较不同算法的效果，并进行优化改进。
这可以帮助我们更好地理解问题，并提供更好的解决方案。
除了以上基本步骤外，数学建模优化模型还需要注意以下几个问题：1.模型的准确性：数学模型必须准确地反映实际问题的本质。
因此，我们需要对实际问题进行充分的了解，并进行有效的数据收集和分析。
2.算法的选择：不同的优化问题可能需要不同的优化算法。
因此，我们需要根据具体问题的特点选择合适的算法。
3.算法的效率和鲁棒性：在实际求解过程中，算法的效率和鲁棒性也是非常重要的。
我们需要选择高效的算法，并对算法进行充分的测试和验证。
数学建模优化模型在实践中具有广泛的应用，可以用于解决很多实际问题。
例如，在物流领域中，我们可以利用优化模型来确定最佳路线、最佳车辆配送方案等，以最大化效率和减少成本。
在制造业领域中，我们可以使用优化模型来优化生产流程、资源调度等，以提高生产效率和降低生产成本。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实例1：人和狗的问题(续)
• 要求一旦推断出自己的狗生病了，当天立 即把狗枪毙，若不能确定就等一天，待第 二日能确定后再将自己的狗枪毙，以此类 推。第一天，第二天，第三天没有人打死 自己的狗，第四天响起一片枪声，问有多 少只狗生病了？
实例1：人和狗的问题(续)
• 如果是第K天响起一片枪声，情况 又如何？
• 其中：海盗绝顶聪明(任何一种情况大家都能想到)； • 海盗是凶残的(在相同利益情况下是没有人情味)； • 海盗是贪婪的(在条件允许下谁给的利益多就支持谁) 。
• 问老大如何分配可以使自己分得最多而不会被 扔到海里去？
实例2：海盗分金币(续)
• 如果把支持率改为大于50%，情况又如何？
例1(Hanoi塔问题) n个圆盘按从大到小的顺 序依次套在柱A上,规定每次只能从一根柱子上搬 动一个圆盘到另一根柱子上,且要求在搬动过程中 不允许大盘放到小盘上,而且只有A, B , C 三根柱子 可供使用.求将n个盘子从柱A移到柱C 上所需要搬 动圆盘的最小次数an .
d11
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; xy=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} s1
d1
3
2
1
评注和思考
0
sn+1
1
2
3
x
规格化方法,易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况
讨论：
商人过河问题的进一步思考： (1) 若船的情况不变，则2名商人2个随从如何安全渡 河？ (2) m名商人m个随从(m≥4)能否安全渡河？ (3) 一般地，m个商人n个随从，m>n能否安全渡河 ？若能，怎样渡河？在商人们安全过河问题中，若 商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？
数学建模
优化方法建模 及实例讨论
什么是优化？
Operations Research
Maxminimum Minimum
目
录
模型一：递推关系模型 模型二：一一对应模型 模型三：初等优化模型
模型一：递推关系
6
实例1：人和狗的问题
• 有 2017 个人站在一个圆柱环上，每人正下方 有1只狗。每个人不能看见自己的狗，但能看 见其他所有人的狗。现在已知一部分狗病了， 病是不会传染的，病狗的特征一眼就能识别出 来，这 2017 个人是绝顶聪明的(任何一种情况 大家都能想到)，可以通过别人的狗是否生病 来推断自己的狗生病与否。
16
如果字母串中第一个字母是b,则其余字母 可以有an1种选择,所以以 b开头的长为 n的字母 串有an1个, 同样, 以 c开头的长为 n的字母串有 an1 个.
于是得递推关系 an 2an 1 2an 2 , a1 3, a2 8
17
n3
• 简单递推关系数学模型求解
河
小船(至多2人) 3名商人 3名随 从
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机 • 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格 点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. d1, ，d11给出安全渡河方 案
实例2：海盗分金币
• 有5个海盗，按凶狠程度排名老大、老二、 老三、老四、老五。 • 他们抢来了100个金币。现在老大提出一种 分配方案，然后大家投票，如果有不少于 50%的人支持，就按照他提出的方案分。 • 否则，将老大扔到海里去(下海即被鲨鱼吃 掉)，由老二来分，以此类推。
实例2：海盗分金币(续)
阿拉伯夫妻过河问题 有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。 约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈 夫不在场的情况下单独与另外男子在一起，问此时 这三对夫妻能否过河?
商人安全过河问题
问题
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定 .商人们怎样才能安全过河?
实例2：完全覆盖问题(续)
• 问10×10棋盘是否存在完全覆盖？ • 如果剪去该棋盘左上角和右下角两个方格 以后，是否存在完全覆盖？ • 如果剪去该棋盘对角线上任意两个方格后 ，是否还存在完全覆盖？
实例2：完全覆盖问题(续)
实例3：孩子的年龄是多大
模型三：初等优化
28
人、狗、鸡、米过河问题 某人要带一条狗、一只鸡、一箩米过河，但小船 除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在 场时，狗要咬鸡、鸡要吃米。问此人应如何过河?
于是,得递推关系an 2an 1 1,{an }的定解问题为 an 2an 1 1 a1 1
一元非齐次常系 数线性递推关系
15
例2 在信道上传输仅用a、b、c这3个字母组 成的长度为n的字母串, 规定有两个a 连续出现的 串不能传输,用an 表示这个信道允许传输长度为n 的字母串的个数,试建立序列{an }的递推关系. 解 长度为1的字母串有a , b, c , 所以 a1 3, 长度 为2且没有两个a相邻的字母串有 ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc , 所以 a2 8.下设 n 3. 如果字母串中第一个字母是a,那么第二个字 母只能是b或c,其余的字母可以有 an 2 种方式选择, 因此以a开头的长为 n的字母串有2 an 2 个.
3 2 3 3-2 3 解得 A , B 6 6 故,所求定解为
3 2 3 3-2 3 n an (1 3) (1 3)n 6 6
21
模型二：一一对应
22
实例1：女神救人
那是2012年12月。。。。。。
实例2：完全覆盖问题
• 设有一个棋盘，假定有一批外形完全一样 的扑克牌，每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的 方格，若用一些牌覆盖棋盘，使得棋盘上 的所有方格都被牌覆盖，牌之间不交叠， 称之为棋盘的完全覆盖。
例1 求递推关系an 4an1 an 2 6an 3的通解.
解 特征方程为 x 3 4 x 2 x 6 0, 解得特征根 q1 1, q2 2, q3 3
所以通解为 an A( 1)n B 2n C 3n A, B , C为任意常数.
13
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
14
C
解 易知,a1 1, a2 3, 对于n 3,搬动圆盘 的算法如下:
第一步,将套在柱A的上面n - 1个盘移到柱 B上, 需搬动an1次; 第二步,将柱A上最大一个盘移到柱 C上,只需 搬动一次; 第三步,再从柱B上将n - 1个盘移到柱C 上,也 需an 1次.
19
例2 求定解 an 2an 1 2an 2 (n 3) a1 3, a2 8
解 特征方程为 x 2x 2 0
2
得特征根 q1 1 3, q2 1 3 所以,通解为 an A(1 3)n B (1 3)n
20
代入初值,得 A(1 3) B(1 3) 3 2 2 A (1 3) B (1 3) 8