第5章 非线性流线优化模型及其求解算法
非线性规划问题的求解方法
程序1：主程序main2.m
global lamada%主程序main2.m,罚函数方法
x0=[1 1];
lamada=2;
c=10;
e=1e-5;
k=1;
while lamada*fun2p(x0)>=e
x0=fminsearch('fun2min',x0);
lamada=c*lamada;
k=k+1;
越是接近极值点，收敛越慢；
它是其它许多无约束、有约束最优化方法的基础。
该法一般用于最优化开始的几步搜索。
以梯度法为基础的最优化方法
min f (x), x En
求f(x)在En中的极小点
基础：方向导数、梯度
思想：
方向导数是反映函数值沿某一方向的变化率问题 方向导数沿梯度方向取得最大值
通过一系列一维搜索来实现。 本方法的核心问题是选择搜索方向。 搜索方向的不同则形成不同的最优化方法。
1.约束中可以有等式约束 2.可以含线性、非线性约束均可
输入参数语法：
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
i 1
j 1
其中 ( y), ( y) 是满足如下条件的连续函数：
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4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （ 1） 给 定 初 始 内 点 x (0) S ， 允 许 误 差 e>0，
障 碍 参 数 (1) ， 缩 小 系 数 b (0 ,1) ， 置 k= 1 ；
（ 2） 以 x (k1) 为 初 始 点 ， 求 解 下 列 规 划 问 题 ：
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min
s.t.
f (x) kq(x) x S0
非线性优化问题的数学建模
非线性优化问题的数学建模非线性优化问题是数学领域中的一类重要问题，广泛应用于工程、经济、管理等各个领域。
本文将介绍非线性优化问题的数学建模方法，并通过实例说明其应用。
一、问题背景在现实生活中，我们经常会面临各种需要优化的问题。
例如，在生产过程中，如何最大限度地提高生产效率；在物流配送中，如何合理安排车辆路线以减少时间和成本；在金融领域，如何在投资中获得最大的收益等等。
这些问题都可以归结为非线性优化问题。
二、数学建模非线性优化问题的数学建模是将实际问题转化为数学模型的过程。
首先，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，也就是我们需要确定的结果。
例如，在生产过程中，决策变量可以是不同产品的生产数量；在物流配送中，决策变量可以是各个配送点的车辆数量等等。
2. 目标函数目标函数是我们希望优化的指标，可以是最大化或最小化的某个量。
例如，在生产过程中，我们希望最大化产量；在物流配送中，我们希望最小化总成本等等。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，包括等式约束和不等式约束。
例如，在生产过程中，我们可能会有生产能力的限制、原材料的限制等等。
三、求解方法非线性优化问题的求解方法有很多种，包括数值方法和符号方法。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等，而符号方法则是利用数学工具对问题进行分析和求解。
1. 数值方法数值方法是通过计算机进行数值计算来求解非线性优化问题的方法。
其中，梯度下降法是一种常用的方法。
它通过沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，逐步逼近最优解。
牛顿法则是利用目标函数的二阶导数信息进行迭代，收敛速度更快。
拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，通过近似目标函数的Hessian矩阵来减少计算量。
2. 符号方法符号方法是通过数学分析和推导来求解非线性优化问题的方法。
其中，拉格朗日乘子法是一种常用的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的限制条件，从而将原问题转化为无约束的优化问题。
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化在数值分析领域中，非线性方程求解是一个重要的问题。
许多实际问题都可以被建模为非线性方程，而求解这些方程对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍非线性方程求解的基本概念、方法和优化技术。
一、非线性方程求解的概念非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解不再是一条直线，而是一条曲线或曲面。
非线性方程的求解是寻找方程中满足特定条件的变量值或函数的过程。
二、非线性方程求解的方法1. 迭代法迭代法是解决非线性方程求解问题中常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断逼近方程的解，使得迭代序列逐步收敛于方程的解。
常见的迭代法包括牛顿迭代法、割线法和弦截法等。
以牛顿迭代法为例，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始估计值x0，然后通过迭代公式进行迭代计算直到满足收敛条件。
迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数。
2. 区间划分法区间划分法是通过将求解区间划分为若干个子区间，然后在每个子区间内搜索方程的解。
这种方法常用于求解具有多个解的非线性方程。
一般可以使用二分法、割线法和弦截法等算法进行区间划分和求解。
3. 优化技术优化技术常用于求解非线性方程的最优解。
在数值分析中，优化问题可以理解为寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量值。
常用的优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法和粒子群算法等。
这些算法通过迭代过程不断调整变量值，使得目标函数逐渐趋于最优解。
三、非线性方程求解与优化的应用非线性方程求解和优化技术在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 工程领域：在工程设计中，需要求解非线性方程以确定优化的设计参数。
例如，在机械设计中，可以通过求解非线性方程来确定零件的几何尺寸和运动轨迹。
2. 金融领域：在金融衍生品定价和风险管理中，需要求解非线性方程来估计资产价格和风险敞口。
《非线性最优化模型》课件
无约束优化模型
定义
无约束优化模型是指在没有任何约束条件限制下，寻找目标函数的最大值或最 小值。
求解方法
无约束优化模型的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法 等。这些方法通过迭代的方式逐步逼近最优解，利用目标函数的梯度信息或海 森矩阵进行搜索。
混合整数优化模型
特点
混合整数优化模型是指目标函数 和约束条件中同时包含连续变量 和整数变量，整数变量的取值只 能是整数。
《非线性最优化模型》ppt课 件
Байду номын сангаас
CONTENTS
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实际应用
案例 • 非线性最优化模型的未来发展
与挑战
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
总结词
非线性最优化模型是一种数学方法，用于解决具有非线性约束和目标的优化问题。
优点
收敛速度快，精度高。
缺点
对Hessian矩阵敏感，计算量大，可能面临数值稳定问题。
拟牛顿法
总结词
改进的牛顿法 01
详细描述
02 通过迭代更新Hessian矩阵近似值 ，构造拟牛顿矩阵，以实现牛顿 法的数值稳定性和收敛速度。
优点
数值稳定性好，收敛速度快。
03
缺点
04 需要存储和计算Hessian矩阵或其 近似值。
客户需求。
运输优化
非线性最优化模型可用于 优化运输路线和运输方式 ，降低运输成本并提高运
输效率。
采购优化
通过非线性最优化模型， 可以确定最佳供应商和采 购策略，以降低采购成本
并确保产品质量。
非线性优化问题的求解研究
非线性优化问题的求解研究一、引言非线性优化问题是数学和工程学中一个十分重要的课题，它们在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在工程和物理学中，需要优化设计和控制系统；在金融学中，需要优化投资组合；在医学中，需要优化药物剂量等。
对于这些问题，我们需要建立数学模型，并且寻找最优解。
因此，如何高效地解决非线性优化问题一直是一个热门的研究领域。
二、非线性优化问题非线性优化问题是指在无约束或有约束条件下，目标函数为非线性函数的问题。
通俗的说，就是在一个复杂的系统中，寻找一个能够达到最优状态的方案。
非线性优化问题包括多元函数非线性规划、不等式约束问题、等式约束问题等。
这些问题的特点在于目标函数或约束条件不能表示为简单的线性形式，需要使用非线性方法进行求解。
三、非线性优化问题的求解方法1. 牛顿法牛顿法被广泛用于求解非线性方程组和最优化问题。
在求解非线性优化问题中，其基本思路是将目标函数在当前点进行泰勒展开，然后求解导数为零的点所对应的下降方向，并对这个方向进行步长的控制，进行迭代。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是基于牛顿法的一种算法。
它通过逼近目标函数的海森矩阵或该矩阵的逆矩阵来获得下降方向。
由于在牛顿法中，需要求解复杂的海森矩阵的逆矩阵，因此在实际应用中比较困难。
而拟牛顿法则可以通过近似估算来解决这个问题，在保证解精度的基础上，减少计算时间。
3. 共轭梯度法共轭梯度法主要用于解决对称正定线性方程组。
在非线性优化问题中，共轭梯度法通常被用作拟牛顿法的一个变体，用于求解目标函数梯度的方向。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于遗传学的算法，其主要思路是模拟自然界中的进化过程来获得最优解，包括基因的突变、遗传操作等。
在非线性优化问题中，遗传算法被广泛用于寻找最优解的搜索和优化。
四、非线性优化问题的应用非线性优化问题有着广泛的应用。
以下是一些应用案例：1. 金融学：非线性优化问题被用于优化投资组合和资产定价等问题。
2. 工程学：非线性优化问题被用于优化设计和控制系统等问题。
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
非线性最优化模型
案例二：生产调度优化的应用
总结词
生产调度优化是利用非线性最优化模型来安排生产计划 ，以提高生产效率和降低生产成本。
详细描述
生产调度问题需要考虑生产线的配置、工人的排班、原 材料的采购等多个因素。非线性最优化模型能够综合考 虑这些因素，并找到最优的生产调度方案，提高生产效 率，降低生产成本，并确保生产计划的可行性。
04
非线性最优化模型的实例分析
投资组合优化模型
投资组合优化模型
通过非线性最优化方法，确定最佳投资组合配置，以实现预期收 益和风险之间的平衡。
目标函数
最大化预期收益或最小化风险，通常采用夏普比率、詹森指数等 作为评价指标。
约束条件
包括投资比例限制、流动性约束、风险控制等。
生产调度优化模型
01
生产调度优化模型
非线性最优化模型
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实例分析 • 非线性最优化模型的挑战与展望 • 非线性最优化模型的应用案例
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
定义
非线性最优化模型是指用来描述具有 非线性特性的系统或问题的数学模型 。
多目标非线性优化模型
多目标
多目标非线性优化模型中存在多个目标函数，这些目标函 数之间可能存在冲突。
01
求解方法
常用的求解方法包括权重法、帕累托最 优解法、多目标遗传算法等，这些方法 通过迭代过程逐步逼近最优解。
02
03
应用领域
多目标非线性优化模型广泛应用于各 种领域，如系统设计、城市规划、经 济分析等。
通过非线性最优化方法，合理安 排生产计划和调度，以提高生产 效率和降低成本。
非线性最优化计算方法与算法
毕业论文题目非线性最优化计算方法与算法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算1201学生陶红学号20120921104指导教师邢顺来二〇一六年五月二十五日摘要非线性规划问题是一般形式的非线性最优化问题.本文针对非线性规划的最优化问题进行方法和算法分析。
传统的求解非线性规划的方法有最速下降法、牛顿法、可行方向法、函数逼近法、信赖域法，近来研究发现了更多的求解非线性规划问题的方法如遗传算法、粒子群算法。
本文对非线性规划分别从约束规划和无约束规划两个方面进行理论分析。
利用最速下降法和牛顿法两种典型算法求解无约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。
另外给出了阻尼牛顿法，探讨其算法的收敛性和稳定性，求解无约束非线性规划比牛顿法的精确度更高,收敛速度更快。
惩罚函数是经典的求解约束非线性的方法，本文采用以惩罚函数法为核心的遗传算法求解有约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。
并改进遗传算法，给出适应度函数，通过变换适应度函数,提高算法的收敛性和稳定性。
关键词：非线性规划;最速下降法；牛顿法；遗传算法ABSTRACTNonlinear programming problem is the general form of the nonlinear optimization problem。
In this paper，we carry on the analysis of the method and algorithm aiming at the optimization problem of nonlinear programming。
The traditional methods of solving nonlinear programming problems include steepest descent method, Newton method，the feasible direction method，function approximation method and trust region method。
非线性优化理论及算法
非线性优化理论及算法随着人工智能、大数据、云计算等技术的快速发展，非线性优化理论及算法逐渐成为研究的热点。
非线性优化是指在满足一定限制条件的情况下，将目标函数最优化的问题，通常具有多个局部最优解，需要通过算法求解全局最优解。
一、非线性优化理论1.1 优化问题的数学形式非线性优化问题的数学形式可以表示为：$$\min_{\boldsymbol{x} \in \mathcal{S}} f(\boldsymbol{x})$$其中，$\boldsymbol{x}$ 是决策变量向量，$\mathcal{S}$ 是定义域，$f(\boldsymbol{x})$ 是目标函数。
1.2 优化问题的分类根据优化问题的约束条件，可以将其分类为以下几种：1）无约束优化问题：没有约束条件，即 $\mathcal{S} =\mathbb{R}^n$；2）等式约束优化问题：存在等式约束条件，即 $\mathcal{S} = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \, | \, g_i(\boldsymbol{x}) = 0, \, i = 1, \ldots, l\}$；3）不等式约束优化问题：存在不等式约束条件，即$\mathcal{S} = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \, | \,h_i(\boldsymbol{x}) \leq 0, \, i = 1, \ldots, m\}$。
1.3 最优解的性质对于一般的非线性优化问题，其最优解可能具有以下几种性质：1）局部最优解：在解空间中，存在一个局部范围内的最优解，但不一定是全局最优解；2）全局最优解：在解空间中，存在一个全局最优解，但不一定是唯一的；3）不可行解：在优化问题的约束条件下，不存在满足条件的解。
1.4 梯度和海森矩阵梯度和海森矩阵是非线性优化中常用的两个概念。
梯度是目标函数的导数，表示了函数在某个点处增长最快的方向，可用于确定优化问题的搜索方向。
非线性有限元之非线性求解方法
非线性有限元之非线性求解方法平衡回顾✧静态平衡是内力I和外载P力量平衡；✧在非线性问题中，模型的内力I可以是以下量的非线性函数；✧在非线性问题中，模型的外力P也可以是某些量的非线性函数，如位移u和时间t。
非线性求解方法1.已知一个分析，知道结构总载荷和初始刚度，目的是找到最后的位移。
线性分析中，一次计算就能求解出最终位移；非线性问题中不可能，因为结构刚度随着结构变形而改变。
2.求解这类非线性问题需要的是一种增量\迭代技术，获得的解是非线性问题准确的近似。
这些方程通常没有精确解。
3.Abaqus使用迭代求解该方程：使用牛顿拉普森方法求解近似解，使误差最小。
4.Abaqus用法：1）载荷历史被拆解为一系列的分析步；每个分析步拆解为一系列增量步；用户为初始时间增量猜测一个值；Abaqus使用自动增量算法确定其他的增量步。
在每个增量步结束时，Abaqus根据载荷与时间关系计算当前负载大小2）使用牛顿拉普森程序迭代求解每个增量结束时的解；根据收敛容差判断牛顿拉普森程序的收敛；如果迭代不收敛，减少增量步的大小；然后使用小增量步重新进行计算。
5.分析步、增量步、迭代步1）分析步仿真载荷历程含有一个或多个分析步。
2）增量步是分析步的一部分；在静态问题中，总载荷被分成很小的增量步。
以便可以沿着非线性路径求解。
3）迭代步迭代步是增量步中寻找平衡解得一次计算尝试。
5.牛顿拉普森方法Abaqus/Standard 基于牛顿拉普森方法的增量迭代求解技术，该方法是无条件稳定（任何大小的增量步都可以）。
增量步大小影响动态分析精度，每个增量步通常要求多次迭代才能满足收敛要求，每个分析步通常有多个增量步，牛顿拉普森定义了一个残差为0位移曲线。
6.牛顿拉普森方法基础。
平衡是u的非线性方程，牛顿拉普森迭代求解在Cu 处的线性方程，Cu是位移u的修正量。
7.残差定义为了得到线性方程组，重写一下平衡方程，R（u）是u的残差。
这个残差表示的是位移u处不平衡力。
《非线性最优化模型》课件
约束条件
限制问题解的可行性，满足特定约束。
问题形式
了解非线性最优化问题的常见形式和特点。
非线性最优化模型的求解方法
1
局部搜索算法
通过在解空间中进行局部搜索，找到可
全局优化算法
2
能的最优解。
采用不同策略搜索全局最优解，避免陷
入局部最优。
3
数值优化方法
运用数值计算方法求解非线性最优化问 题。
常用的非线性最优化算法
《非线性最优化模型》 PPT课件
非线性最优化模型的介绍
最优化问题的基本概念
问题定义
了解最优化问题的基本概念，包括最优解。
最优解
如何判断最优解，并确保其符合问题要求。
非线性最优化模型的定义
目标函数
描述问题的目标，对其进行优化。
变量
定义问题中需要优化的变量。
总结和要点
1 问题抽象
准确抽象非线性最优化问题。
3 应用实践
结合实际问题进行案例分析。
2 求解方法
灵活运用不同求解方法。
梯度下降法
基于梯度信息迭代寻找最优解。
遗传算法
借鉴进化理论的启发式搜索算法。
粒子群优化算法
基于群体行为的优化算法，模拟鸟群寻找食物。
模拟退火算法
模拟金属退火过程进行全局搜索。
应用案例分析
案例1 案例2 案例3 案例4
某电力系统的优化调度 交通网络的流量优化 生产计划的优化排程 金融投资组合的风险和收益优化
非线性优化问题的求解算法研究
非线性优化问题的求解算法研究非线性优化问题是计算优化领域中最具有挑战性的问题之一。
早期的研究主要集中在小规模非线性优化问题的求解，但随着应用背景的变化，一些大规模、非线性的优化问题也被提出，如大规模最优化问题、大规模无约束优化问题等。
如何高效、快速地求解这些问题成为了研究的热点。
本文将从算法角度出发，介绍非线性优化问题的求解方法及其优化策略。
一. 传统的非线性优化算法历史上，研究者们使用最小二乘法、梯度下降法等算法来解决小规模的优化问题。
这些算法用于解决约束较少或无约束的优化问题，但是在处理大规模、繁琐的优化问题时，此类算法显得力不足。
因此，研究者们开始寻求更为高效、快速的算法。
二. 信赖域算法信赖域算法是一种最新发展的高阶非线性优化算法。
它的主要思想是在迭代过程中用一个局部二次模型来逼近目标函数，并在此二次模型下进行一系列可行步骤的尝试来寻找最小值。
信赖域算法的迭代开始时可以使用任意初始点，当得到一定的近似解后会逐步缩小搜索范围，直到搜索面积越来越小且近似解趋近于最优解。
三. 黄金比例搜索法黄金比例搜索法是一种简单而有效的优化算法，适用于一维情况下的无约束优化问题。
它基于一个简单的原理：如果黄金比例点不在搜索区间的两端，就可以截取部分区间，重新定义搜索区间范围。
四. 粒子群算法粒子群算法是一种新兴的群体智能算法，它从物理学启发而来。
将非线性优化问题作为需要进行改进的目标函数，通过模拟多个部分的摆动过程来优化参数。
该算法可以解决许多实际问题，例如生产计划调度、机器人通信、电力网络最优化等问题。
五. 基因算法基因算法是一种利用群体智能来解决优化问题的算法。
基于遗传的角度，通过遗传操作（选择、交叉、变异）来模拟进化过程，最后以进化的最终结果来求解优化问题。
基因算法可以应用于机器学习、数据挖掘、人工智能等领域中的优化问题。
六. 结论非线性优化问题的求解涉及算法、计算机科学和数学等领域。
本文介绍了几种非线性优化问题求解的方法及其优化策略。
非线性规划的理论与算法
非线性规划的理论与算法非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）是数学规划的一个重要分支，其研究对象是带有非线性约束条件的最优化问题。
非线性规划模型常见于各类工程技术问题的优化，如工业系统优化、经济系统优化、交通运输系统优化等。
本文将介绍非线性规划的基本理论和常用的求解算法。
一、非线性规划模型min f(x)s.t.g(x)≤0,h(x)=0其中，f(x)为目标函数；g(x)≤0与h(x)=0为约束条件；x为决策变量，其取值范围由约束条件决定。
非线性规划模型常见的类型包括无约束问题、等式约束问题和不等式约束问题等。
二、非线性规划的求解算法1. 顺序二次规划算法（Sequential Quadratic Programming, SQP）顺序二次规划算法是一种常用的非线性规划求解算法。
该算法通过构造拉格朗日函数来将非线性规划问题转化为一系列二次规划子问题。
通过迭代求解这些二次规划子问题，最终得到原始非线性规划问题的最优解。
SQP算法具有高效、稳定性强等优点，已广泛应用于实际问题中。
2. 内点法（Interior Point Methods）内点法是一种常用的非线性规划求解算法，可以有效处理约束条件较多的非线性规划问题。
该算法通过构造适当的增广 Lagrange 函数，将非线性规划问题转化为一系列无约束优化问题。
通过迭代求解这些无约束优化问题，最终找到原始非线性规划问题的解。
内点法具有收敛速度快、计算精度高等优点。
3. 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化算法，常用于求解非线性规划问题。
该算法通过借鉴自然选择、交叉和突变等遗传操作，逐步演化出一组较好的解，寻找最优解。
遗传算法不需要假设目标函数和约束条件的具体形式，因此适用于复杂的非线性规划问题。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，也常用于求解非线性规划问题。
非线性优化算法研究及其应用
非线性优化算法研究及其应用在现代科技和工程领域中，许多问题都可以被抽象成数学模型，并进一步转换为优化问题。
这些问题的解决有时需要考虑非线性约束，这就需要运用非线性优化算法。
本文旨在介绍非线性优化算法的研究和应用。
一、什么是非线性优化算法在数学和计算机科学中，优化问题（ Optimization problem ）是找到最佳解决方案的问题。
如果解决方案必须满足一定的限制条件，则称为约束优化问题。
优化问题常常涉及复杂的函数，可能是非线性的。
非线性优化算法是处理这些问题的有效工具。
非线性优化问题的一般公式如下：Minimize f(x) s.t. g(x) ≤ 0, h(x) = 0其中，f(x) 是目标函数，g(x) ≤ 0 是不等式约束，h(x) = 0 是等式约束。
这个问题中，x 是优化变量。
目标是找到最小值，满足约束条件。
二、常见的非线性优化算法1.梯度下降（ Gradient Descent ）梯度下降是一种基本的优化算法，可以用于线性和非线性函数的最小化。
其核心思想是在函数曲线上沿着负梯度方向（下降最快的方向）逐渐逼近最小值。
梯度下降算法的主要优点是简单易懂，计算量不大，缺点是容易陷入局部最优解。
2.共轭梯度（ Conjugate Gradient ）共轭梯度是一种有效的迭代算法，主要应用于解压缩矩阵和解决大型稀疏线性方程组。
共轭梯度算法在一般情况下比梯度下降算法具有更快的收敛速度，并能够有效地避免陷入局部最优解。
3.牛顿法（Newton’s Method ）牛顿法是一种基于二阶导数（Hessian 矩阵）的优化算法。
在每个迭代步骤中，算法使用函数的一阶导数和二阶导数来快速逼近最小值。
牛顿法在近似二次函数的情况下具有很高的收敛速度。
但是，在高维问题中，牛顿法可能会失败，因为需要计算复杂的 Hessian 矩阵。
4.拟牛顿法（ Quasi-Newton Method ）拟牛顿法是一种综合了梯度下降和牛顿法的优化算法。
非线性规划理论和算法
非线性规划理论和算法非线性规划是一种数学规划问题，其目标函数和约束条件是非线性的。
与线性规划相比，非线性规划更具挑战性，因为非线性函数的特性使得求解过程更加困难。
然而，非线性规划在实际应用中具有广泛的应用领域，例如优化问题、工程规划、经济决策等。
为了解决非线性规划问题，需要发展相应的理论和算法。
1.非线性规划理论凸规划理论：凸规划是非线性规划的一个特殊情况，其目标函数和约束条件都是凸函数。
凸规划具有许多重要的性质，如唯一最优解、稀疏性、全局最优解等。
凸规划理论为非线性规划提供了重要的指导。
拉格朗日乘子法：拉格朗日乘子法是一种常用的求解非线性规划的方法，其基本思想是通过构建拉格朗日函数将原问题转化为无约束优化问题。
拉格朗日乘子法为非线性规划提供了一种有效的解法。
拟牛顿法：拟牛顿法是一类迭代方法，用于求解无约束和约束非线性优化问题。
其基本思想是通过构建近似的黑塞矩阵来更新方向。
拟牛顿法具有收敛速度快和全局收敛性好的优点，被广泛应用于实际问题求解中。
2.非线性规划算法直接方法：直接方法包括穷举法、划分法、割平面法等。
这些方法适用于问题维度和约束条件较少的情况，可以通过枚举或分割解空间来找到最优解。
然而，直接方法的计算复杂度较高，在高维问题中效率较低。
迭代方法：迭代方法通过迭代更新方向来逐步逼近最优解。
常用的迭代方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
这些方法在求解非线性规划问题时表现出较好的收敛性和效率。
近年来，随着计算机性能的提高和优化算法的进一步发展，一些先进的非线性规划算法也得到了广泛应用，例如粒子群优化算法、遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法基于不同的策略和模拟自然现象的原理，可以有效克服非线性规划问题中的局部最优和高维度等挑战。
总结起来，非线性规划理论和算法是解决实际问题中非线性优化问题的重要工具。
非线性规划理论提供了问题求解的基本原理和数学模型，而非线性规划算法则根据不同问题的特点和性质选择合适的求解方法。
非线性方程求解方法和优化算法的使用技巧
非线性方程求解方法和优化算法的使用技巧随着科学技术的不断发展，非线性问题在各个领域中的应用越来越广泛。
而非线性方程的求解是解决这些问题的关键。
本文将介绍一些常用的非线性方程求解方法和优化算法的使用技巧，帮助读者更好地应对实际问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解方法。
它通过不断迭代逼近方程的根，直到满足预设的精度要求。
该方法的核心思想是利用方程的局部线性近似来逼近根的位置，并通过迭代逐步接近真实根。
在使用牛顿迭代法时，需要注意以下几点技巧：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代的效果有很大影响。
一般来说，初始值应该尽量靠近方程的根。
可以通过绘制方程的图像或者利用已知的近似解来选择初始值。
2. 收敛性判断：牛顿迭代法并不总能收敛到方程的根，因此需要对迭代过程进行收敛性判断。
常用的方法是判断迭代值的相对误差是否小于预设的精度要求。
3. 迭代次数的控制：为了避免无限迭代，需要设定最大迭代次数。
如果达到最大迭代次数仍未满足精度要求，则可以考虑调整初始值或者选择其他求解方法。
二、拟牛顿法拟牛顿法是一类利用迭代近似求解非线性方程的方法。
与牛顿迭代法不同的是，拟牛顿法不需要计算方程的导数，而是通过构造一系列近似矩阵来逼近方程的根。
在使用拟牛顿法时，需要注意以下几点技巧：1. 近似矩阵的选择：拟牛顿法的关键是构造合适的近似矩阵。
常用的近似矩阵有DFP算法和BFGS算法等。
选择合适的近似矩阵可以提高算法的收敛速度和稳定性。
2. 步长的确定：拟牛顿法需要确定每一步的迭代步长。
一般来说，步长应该保证在迭代过程中能够逐步逼近方程的根，但又不能过大导致迭代发散。
可以使用线性搜索或者信赖域方法来确定合适的步长。
三、遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。
它通过模拟自然界中的进化过程，不断迭代搜索最优解。
在求解非线性方程时，遗传算法可以用来寻找方程的最优解或者近似解。
在使用遗传算法时，需要注意以下几点技巧：1. 个体编码方式的选择：个体编码方式决定了问题的表示形式。
非线性优化问题的理论与算法
非线性优化问题的理论与算法一、引言优化问题是数学中的一个重要研究领域，其目标是找到使某个目标函数取得最优值的变量取值。
在实际应用中，很多问题都可以被抽象为优化问题，例如机器学习、经济学、工程设计等领域。
非线性优化问题是其中一类具有广泛应用的问题，本文将介绍非线性优化问题的理论与算法。
二、非线性优化问题的定义非线性优化问题是指目标函数或约束条件中至少存在一个非线性项的优化问题。
与线性优化问题相比，非线性优化问题更加复杂，因为非线性函数的性质往往难以直接求解。
因此，研究非线性优化问题的理论与算法具有重要意义。
三、非线性优化问题的数学建模在解决非线性优化问题之前，首先需要将实际问题转化为数学模型。
通常，非线性优化问题可以通过以下方式进行数学建模：1. 目标函数的建模：将实际问题中的目标转化为一个数学函数，该函数的取值与问题的最优解相关。
2. 约束条件的建模：将实际问题中的约束条件转化为一组等式或不等式约束，以限制变量的取值范围。
3. 变量的定义：将实际问题中的变量进行定义，并确定其取值范围。
通过以上步骤，可以将实际问题转化为一个数学模型，从而为后续的优化算法提供基础。
四、非线性优化问题的求解方法针对非线性优化问题，有多种求解方法可供选择。
以下介绍两种常用的非线性优化算法：1. 梯度下降法：梯度下降法是一种基于迭代的优化算法，其思想是通过迭代地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，以逐步逼近最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，但在处理复杂的非线性问题时，可能会陷入局部最优解。
2. 牛顿法：牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化算法，其思想是通过多次迭代来逼近最优解。
相比于梯度下降法，牛顿法具有更快的收敛速度，但也存在计算复杂度高和可能陷入局部最优解的问题。
除了以上两种算法，还有其他一些常用的非线性优化算法，例如拟牛顿法、共轭梯度法等。
选择合适的优化算法需要根据具体问题的特点和求解需求进行权衡。
五、非线性优化问题的理论研究除了算法的研究，非线性优化问题的理论研究也具有重要意义。
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化数值分析是应用数学的一个重要分支，通过利用数值方法，将复杂的数学问题转化为计算机可以处理的形式，从而获得结果的近似解。
非线性方程求解与优化是数值分析的两个重要问题，本文将围绕这两个问题展开讨论。
一、非线性方程求解在数学中，非线性方程通常指的是未知量和其函数之间存在非线性关系的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解往往无法用简单的代数方法求解，而需要借助数值方法来逼近求解。
1.试位法试位法是一种基本的非线性方程数值解法，其基本思想是通过在方程的根附近选择一个合适的初始值，并通过不断迭代逼近根的位置。
试位法的一种简单实现是二分法，即利用函数值的符号变化性来确定一个区间，并通过区间的二分来逼近根的位置。
2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程数值解法，它利用函数的局部线性逼近来不断迭代求解。
具体来说，牛顿迭代法首先通过选择一个初始值，然后通过函数的切线近似代替原函数，从而得到一个简单的线性方程，求解线性方程得到下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。
3.弦截法弦截法是一种解非线性方程的迭代方法，它与牛顿迭代法类似，但是不需要计算函数的导数。
具体来说，弦截法通过选择两个初始值，并通过这两个点所确定的直线与横轴的交点来逼近根的位置，然后再利用新的两个点来更新直线和根的位置，不断迭代直到满足精度要求。
二、非线性方程优化非线性方程优化是在满足一定约束条件下，求解使目标函数取得极值的问题。
该问题在实际应用中广泛存在，例如在经济学、工程学、管理学等领域都需要进行优化求解。
1.最优化理论最优化理论是研究优化问题的一门学科，其中非线性规划是最常见的一种形式。
非线性规划是在一组非线性约束条件下求解使目标函数取得极值的问题，其数学模型可以表示为：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，f(x)是目标函数，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
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单纯形法、大M法
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
无约束非线性规划问题
迭代法 STEP1 选择初始点 x0 。
min f ( x) n
xÎ R
STEP2
确定搜索方向和步长。
xk + 1 = xk + l k dk
STEP3 检验 xk + 1 是否为最优解。
|| 眩 f ( xk- 1 ) || e
T T
f ( x2 ) = 3.5
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
STEP 4 解的形式
A C B D
A 1 1 B
f ( x3 ) = 7.5
关键问题
禁忌对象及长度 B C D A B 2 3 C 1
候选集
BD 3.5 T BC 4.5 T CD 4.5 T
5 1 1 1.5 C D 1
A(tij ) tij A(tij ) A(qij ) qij A(qij ) A(cij ) cij A(cij )
1 Ji max dm dmi M (tij , qij , cij ) i 1 i 1 J i j 1
I I
1 I 1 I max dm dmi min M (tij , qij , cij ) I i 1 I i 1 j max dm dmi min M (tij , qij , cij )
Þ
y3 = (110 | 00) y4 = (010 | 01)
y4 = (01001) ? (11001)
从STEP2到STEP4为遗传过程的一个运行周期，称为世代。
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
遗传算法
x值 1/16 1/4 3/16 7/8
旧群体 0001 0100 0011 1110
假设初始解 x0 = ( ABCD) ， 领域映射为两个城市顺序对换。
5 1 1 1.5 C D 1
1
0.5
STEP 1 解的形式
A B C D
禁忌对象及长度
B C D A B
C
候选集
CD 4.5 BC 7.5 BD 8
f ( x0 ) = 4
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
适应函 概率分 交叉后 是否变 变异后 新群体 交叉位 数值 布 群体 异 群体
0.996 0.938 0.965 0.234 0.318 0.299 0.308 0.075 0001 0100 0011 0001 00|01 01|00 001|1 000|1 0000 0101 0011 0001 N Y N N 0000 1101 0011 0001
流线组织学
STREAMLINE ORGANIZATION
授课教师：张锦 教授 辅导教师：王坤 博士
第5章 非线性流线优化模型及求解算法
1
非线性流线优化模型
2
3
启发式算法介绍
CPLEX求解方法
5.1 非线性流线优化模型
供给
w(vij )
w(vij , vi 1,k )
需求
w(vi 1,k )
流线网络优化问题 实际上就是流线网 络上的供需匹配度 最大化问题。
适用于以准时制和应急物流为代表的典型物流问题，此类问题的物流需求在 保障数量的前提下以时间最短为目标函数，费用的偏好很小．
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
线性规划问题
n
min z =åFra bibliotekcjxj
i = 1,L , m
j= 1
s.t.
å
n
aij x j = bi
j= 1
xj ³ 0
j = 1,L , n
0 25 15 8
31 的最大值。
x1 = (00000)
STEP 2 选择
x2 = (11001)
x3 = (01111)
x4 = (01000)
fitness( x) = f ( x) = x2
p( xi ) =
x2 = (11001)
f ( xi ) å f (x j )
j
x2 = (11001)
流线网络上的物品流入数量不 低于客户的需求数量 节点和路线上的总服务时间满 足客户需求的时间窗 任意节点与前一级节点间连线 上的服务时间满足节点或客户 需求的时间窗 任意节点与前一级节点间连线 上的运送货物数量不低于中间 节点或客户需求的最小数量 节点和路线上的总费用介于最 低物流费用和客户所能接受的 最高物流费用之间
q(vi 1, j , vij ) Q* (vi 1, j , vij )
ˆ C c(vij ) c(vi 1, j , vij ) C
* i 1 j 1 i 2 j 1 j 1 I Ji I J i J i 1
t (vij ), q(vij ) 0
T * (vi 1, j , vij ), Q* (vi 1, j , vij ) 0
5.1 非线性流线优化模型
2. 模型简化与扩展
1 I 1 I 1 Ji max dm dmi M (tij , qij , cij ) I i 1 I i 1 J i j 1
外部惩罚函数法
对于等式约束问题
Þ
min f ( x ) s.t. h j ( x ) = 0
min F1 ( x, s ) = f ( x) + s å h 2 j ( x)
对于不等式约束问题 min f ( x )
Þ
s.t. g j ( x) ³ 0
min F2 ( x, s ) = f ( x) + s å [max{0, - g i ( x)}]2
D
信息素多的路径增加一只蚂蚁 20 40 60 ABD ACD 比例 2(1) 1(1) 2:1 6(2) 2(1) 3:1 12(3) 3(1) 4:1
信息素多的路径成倍增加蚂蚁 80 20(4) 4(1) 5:1 ABD ACD 比例 20 2(1) 1 2:1 40 6(2) 2 3:1 60 14(4) 3 14:3 80 30(8) 4 30:4
对于一般情形
Þ
min f ( x )
s.t.
h j ( x ) = 0 gi ( x ) ³ 0
min F ( x, s ) = f ( x) + s P( x)
P( x) =
邋[max{0,- gi ( x)}]a +
h j ( x)
b
5.2 启发式算法介绍
参考书：邢文训，谢金星. 现代优化计算方法[M]. 清华大学出版社，2006.
i 1 i 1 j I I
A( xij ) xij A( xij )
5.1 非线性流线优化模型
3. 特殊情形下的流线优化模型
效益型流线优化模型
max dm =
ÕM
i= 1
I
(ci ) - p(ti , qi )
效率型流线优化模型
max dm =
ÕM
i= 1
I
(ti , qi )
[ak , xk ] [ xk , bk ]
骣 a1 ç ç ç b1 桫
a2 L b2 L
ak bk
L÷ ÷ L÷
bk - ak < e 时，终止。 STEP3 当 2
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
有约束非线性规划问题
典型的约束非线性规划是二 次规划，即约束为线性条件、目 s.t.
例： 四城市非对称TSP问题，始终点都为A。
A 1
1
B
距离矩阵为：
轾 0 犏 犏 1 犏 D = (dij ) = 犏 1.5 犏 犏 1 臌 1 0.5 1 0 1 1 5 1 0 1 1 0
5 1 1 1.5 C D 1
0.5
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
A 1 B
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
Step 2: 在x的邻域N (x)中选取满足禁忌条件的候选集Can_N(x) Step l: 取初始解x ∈X, 令x*=x, k=0, T=Φ
标记已得到的局部最
Can_N(x) =Φ
从Can_N(x)中选一个 评价值最佳的解xnext
YES
2. 启发式算法
概念 启发式算法是一个基于直观或经验构造的算法，在可接受的花费 （计算时间、占用空间）下给出待解决组合最优化问题每一个实例的
一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度不一定事先可预计。 启发式算法是一种技术，这种技术使得在可接受的计算费用内去
寻找最好的解，但不一定能保证所得解的可行性和最优性，甚至在多 数情况下，无法阐述所得解同最优解的近似程度。
0.5
选择什么为禁忌的对象？ 禁忌的长度如何确定？ 候选集如何选取？
是否有评价值的其他替代形式？ 如何利用更多信息？ 终止原则如何确定？
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
遗传算法
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
遗传算法
例： 用遗传算法求解 f ( x) = x2，0 ＃x （ x 为整数） STEP 1 初始化
常用迭代法包括：一维搜索算法、最速下降法、共轭梯度法等。
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
无约束非线性规划问题
迭代法
f ( x)
例：求 f ( x) 的极小值。
STEP1 选择初始区间[a1 , b1 ]。 STEP2 确定搜索方向。 x0 =