数学建模方法详解种最常用算法

,当
|
k1 i
k
i|
i 1,2, , n 时, w k 1 即为所求的特征向量；否则返回 b
e. 计算最大特征根
1n ni1
k1 i
k i
这是求最大特征根对应特征向量的迭代法
, w 0 可任选或取下面方法得到的结果．
(2) 和法 步骤如下：
a. 将 A 的每一列向量归一化得
n
a ij
ij
aij
i1
b．对 ij 按行求和得 i
(一) 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理
[5] ．下面分别予以介绍．
1． 递阶层次结构原理
一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这
些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配
j
2
nn
min
aij
i
(9)
i i 1, ,n i 1 j 1
j
由 (9) 式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为 能保证得到全局最优解 , 没有实用价值．
(9) 式将导致求解关于 i 的非线性方程组，计算复杂，且不
如果改为对数最小二乘问题：
征向量也与一致阵的相差不大． （ 2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．
2． 比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素 C i 和 C j 对于一个上层因素 O 的影响时，采用 Saaty等人提出的 1 9尺度，即 aij 的取值范
围是 1,2, ,9 及其互反数 1,1 2, ,1 9 ．
假设要比较某一层 n 个因素 C1, , Cn 对上层一个因素 O 的影响， 每次取两个因素 Ci 和 C j ，用 aij 表示 Ci 和 C j 对 O 的影响之比，
全
部
比
较
结
果
可
用
成n n , aij
0,a ji
表示， A 称为正互反矩阵． aij
一般地，如果一个正互反阵 A 满足：
w k W k w k 1 , k 3,4 , s
（5）
其中 W k 是以第 k 层对第 k 1层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为 :
w s W sW s 1 W 3 w 2
（6）
5． 组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合
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定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．
(1) 幂法 步骤如下：
a．任取 n 维归一化初始向量 w 0
b．计算 w k 1 Aw k , k 0,1,2,
c． w k 1 归一化 , 即令 w k 1
w~ k 1
n
~ k1
i
i1
d．对于预先给定的精度
对于 A 利用 (3) ，(4) 式和表 1 进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的
A 进行修正．
4． 组合权向量
由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量， 计算各方案对目标的权向量， 称为组合权向量． 一般地，若共有 s 层，
则第 k 层对第一层（设只有 1 个因素）的组合权向量满足：
n 数值的大小衡量 A 的不一致程度． Saaty
n CI
(3)
n1
定义为一致性指标． CI 0 时 A 为一致阵； CI 越大 A 的不一致程度越严重．注意到 A 的 n 个特征根之和恰好等于 n ，所以 CI 相当
于除 外其余 n 1 个特征根的平均值． 为了确定 A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量
aij a jk aik , i, j ,k 1,2, , n
（1）
则 A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明 n 阶一致阵 A 有下列性质：
① A 的秩为 1， A 的唯一非零特征根为 n ；
② A 的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量．
如果得到的成对比较阵是一致阵， 自然应取对应于特征根 n 的、归一化的特征向量 （即分量之和为 1）表示诸因素 C1, ,Cn 对
n
ij j1
c．将 i 归一化 i
n
i
*,w
i1
1, 2,
n 即为近似特征向量．
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d. 计算
1n
Aw i ，作为最大特征根的近似值．
ni1
i
这个方法实际上是将 A 的列向量归一化后取平均值，作为 A 的特征向量．
(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤 b 改为对 ij 按行求积并开 n 次方，即 i
则第 p 层的组合一致性比率为 :
CR p
CI p RI p , p 3,4, , s
(7)
第 p 层通过组合一致性检验的条件为 CR p 0.1．
定义最下层 ( 第 s 层) 对第一层的组合一致性比率为：
s
CR*
CR P
(8)
p2
对于重大项目，仅当 CR* 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．
上层因素 O 的权重， 这个向量称为权向量． 如果成对比较阵 A 不是一致阵， 但在不一致的容许范围内， 用对应于 A 最大特征根 ( 记
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作 ) 的特征向量（归一化后）作为权向量 w ，即 w 满足：
Aw w 直观地看，因为矩阵 A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素
（2） aij ，所以当 aij 离一致性的要求不远时 , A 的特征根和特
(五) 层次分析法的若干问题
层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、 计算方法等方面都有很大发展， 下面从应用的角度讨论几个问题．
1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质
成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一
致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致
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或指标层，当准则过多时（比如多于 9 个）应进一步分解出子准则层．
(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第 2 层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和 1 9 比
较尺度构造成对比较阵，直到最下层．
(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指
术平均值改为求几何平均值． 3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量
1n n
ij ．根法是将和法中求列向量的算
j1
当成对比较阵 A 是一致阵时 , aij 与权向量 w
1 , , n 的关系满 aij
i , 那么当 A 不是一致阵时，权向量 w 的选择应使得
j
aij 与 i 相差尽量小．这样 , 如果从拟合的角度看确定 w 可以化为如下的最小二乘问题：
标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．
(4) 计算组合权向量并做组合一致性检验 利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通
过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率
CR 较大的成对比较阵．
3． 一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根
的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容
许范围内． 若已经给出 n 阶一致阵的特征根是 n ，则 n 阶正互反阵 A 的最大特征根
n ，而当 n 时 A 是一致阵． 所以 比 n 大得越多，
A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用 将
( 三 ) 层次分析法的优点
1． 系统性 层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计 分析之后发展起来的系统分析的重要工具．
2． 实用性 层次分析把定性和定量方法结合起来， 能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题， 应用范围很广． 同 时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．
定理 2 n 阶正互反阵 A 的最大特征根 n ；当 n时 A 是一致阵．
定理 2 和前面所述的一致阵的性质表明 , n 阶正互反阵 A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根 n ．
2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过
数学建模方法详解 --三种最常用算法
一、层次分析法
层次分析法 [1] ( analytic hierarchy process， AHP) 是美国著名的运筹学家 T．L．Saaty 教授于 20 世纪 70 年代初首先提出的一 种定性与定量分析相结合的多准则决策方法 [2，3，4] ．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案 排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．
阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．
定理 1 对于正矩阵 A （ A 的所有元素为正数）
1） A 的最大特征根是正单根 ；
2） 对应正特征向量 w （ 的所有分量为正数） ；
k
3） lim k
I
AI AkI
w ，其中 I