数学建模方法详解种最常用算法

则第 p 层的组合一致性比率为 :
CR p
CI p RI p , p 3,4, , s
(7)
第 p 层通过组合一致性检验的条件为 CR p 0.1．
定义最下层 ( 第 s 层) 对第一层的组合一致性比率为：
s
CR*
CR P
(8)
p2
对于重大项目，仅当 CR* 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．
RI 0 0 0． 58 0．90 1． 12 1．24 1．32 1．41 1．45 1．49 1．51 阵总是一致阵．
对于 n 3 的成对比较阵 A ，将它的一致
性指标 CI 与同阶（指 n 相同）的随机一致性指标 RI 之比称为一致性比率 CR ，当
CI
CR
0.1
(4)
RI
时认为 A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．
阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．
定理 1 对于正矩阵 A （ A 的所有元素为正数）
1） A 的最大特征根是正单根 ；
2） 对应正特征向量 w （ 的所有分量为正数） ；
k
3） lim k
I
AI AkI
w ，其中 I
1,1 ,1 ， w 是对应 的归一化特征向量．
,当
|
k1 i
k
i|
i 1,2, , n 时, w k 1 即为所求的特征向量；否则返回 b
e. 计算最大特征根
1n ni1
k1 i
k i
这是求最大特征根对应特征向量的迭代法
, w 0 可任选或取下面方法得到的结果．
(2) 和法 步骤如下：
a. 将 A 的每一列向量归一化得
n
a ij
ij
aij
i1
b．对 ij 按行求和得 i
(一) 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理
[5] ．下面分别予以介绍．
1． 递阶层次结构原理
一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这
些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配
aij a jk aik , i, j ,k 1,2, , n
（1）
则 A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明 n 阶一致阵 A 有下列性质：
① A 的秩为 1， A 的唯一非零特征根为 n ；
② A 的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量．
如果得到的成对比较阵是一致阵， 自然应取对应于特征根 n 的、归一化的特征向量 （即分量之和为 1）表示诸因素 C1, ,Cn 对
n
ij j1
c．将 i 归一化 i
n
i
*,w
i1
1, 2,
n 即为近似特征向量．
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d. 计算
1n
Aw i ，作为最大特征根的近似值．
ni1
i
这个方法实际上是将 A 的列向量归一化后取平均值，作为 A 的特征向量．
(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤 b 改为对 ij 按行求积并开 n 次方，即 i
j
2
nn
min
aij
i
(9)
i i 1, ,n i 1 j 1
j
由 (9) 式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为 能保证得到全局最优解 , 没有实用价值．
(9) 式将导致求解关于 i 的非线性方程组，计算复杂，且不
如果改为对数最小二乘问题：
A 的一致性指标 CI 的标准，又引入所谓随机一致性指标
RI ，计算 RI 的
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过程是：对于固定的 n ，随机地构造正互反阵 A ，然后计算 A 的一致性指标 CI ．
表 1 随机一致性指标 RI 的数值
n 12 3
4
5
6
7
8
9
10
11 表中 n 1,2 时 RI 0 ，是因为 1,2 阶的正互反
假设要比较某一层 n 个因素 C1, , Cn 对上层一个因素 O 的影响， 每次取两个因素 Ci 和 C j ，用 aij 表示 Ci 和 C j 对 O 的影响之比，
全
部
比
较
结
果
可
用
成
对
比
较
阵
1
A
aij n n , aij
0,a ji
表示， A 称为正互反矩阵． aij
一般地，如果一个正互反阵 A 满足：
征向量也与一致阵的相差不大． （ 2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．
2． 比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素 C i 和 C j 对于一个上层因素 O 的影响时，采用 Saaty等人提出的 1 9尺度，即 aij 的取值范
围是 1,2, ,9 及其互反数 1,1 2, ,1 9 ．
关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．
2． 测度原理
决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对
于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．
3． 排序原理
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层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．
对于 A 利用 (3) ，(4) 式和表 1 进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的
A 进行修正．
4． 组合权向量
由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量， 计算各方案对目标的权向量， 称为组合权向量． 一般地，若共有 s 层，
则第 k 层对第一层（设只有 1 个因素）的组合权向量满足：
层次分析法的基本步骤归纳如下 :
(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一
层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间
尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有 1 个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有 1 个或几个层次，通常称为准则
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或指标层，当准则过多时（比如多于 9 个）应进一步分解出子准则层．
(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第 2 层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和 1 9 比
较尺度构造成对比较阵，直到最下层．
(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指
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定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．
(1) 幂法 步骤如下：
a．任取 n 维归一化初始向量 w 0
b．计算 w k 1 Aw k , k 0,1,2,
c． w k 1 归一化 , 即令 w k 1
Βιβλιοθήκη Baidu
w~ k 1
n
~ k1
i
i1
d．对于预先给定的精度
(五) 层次分析法的若干问题
层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、 计算方法等方面都有很大发展， 下面从应用的角度讨论几个问题．
1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质
成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一
致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致
n 数值的大小衡量 A 的不一致程度． Saaty
n CI
(3)
n1
定义为一致性指标． CI 0 时 A 为一致阵； CI 越大 A 的不一致程度越严重．注意到 A 的 n 个特征根之和恰好等于 n ，所以 CI 相当
于除 外其余 n 1 个特征根的平均值． 为了确定 A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量
( 三 ) 层次分析法的优点
1． 系统性 层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计 分析之后发展起来的系统分析的重要工具．
2． 实用性 层次分析把定性和定量方法结合起来， 能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题， 应用范围很广． 同 时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．
上层因素 O 的权重， 这个向量称为权向量． 如果成对比较阵 A 不是一致阵， 但在不一致的容许范围内， 用对应于 A 最大特征根 ( 记
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作 ) 的特征向量（归一化后）作为权向量 w ，即 w 满足：
Aw w 直观地看，因为矩阵 A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素
（2） aij ，所以当 aij 离一致性的要求不远时 , A 的特征根和特
术平均值改为求几何平均值． 3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量
1n n
ij ．根法是将和法中求列向量的算
j1
当成对比较阵 A 是一致阵时 , aij 与权向量 w
1 , , n 的关系满 aij
i , 那么当 A 不是一致阵时，权向量 w 的选择应使得
j
aij 与 i 相差尽量小．这样 , 如果从拟合的角度看确定 w 可以化为如下的最小二乘问题：
3． 一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根
的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容
许范围内． 若已经给出 n 阶一致阵的特征根是 n ，则 n 阶正互反阵 A 的最大特征根
n ，而当 n 时 A 是一致阵． 所以 比 n 大得越多，
A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用 将
定理 2 n 阶正互反阵 A 的最大特征根 n ；当 n时 A 是一致阵．
定理 2 和前面所述的一致阵的性质表明 , n 阶正互反阵 A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根 n ．
2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过
3． 简洁性 具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单 明确，容易为决策者了解和掌握．
(四) 层次分析法的局限性
层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括． 第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；
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第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题； 第三， 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵， 人的主观因素的作用很大， 这就使得决策结果可能难以为众人接受． 当然， 采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．
数学建模方法详解 --三种最常用算法
一、层次分析法
层次分析法 [1] ( analytic hierarchy process， AHP) 是美国著名的运筹学家 T．L．Saaty 教授于 20 世纪 70 年代初首先提出的一 种定性与定量分析相结合的多准则决策方法 [2，3，4] ．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案 排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．
( 二 ) 层次分析法的基本步骤
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的
． [1]
1． 成对比较矩阵和权向量
为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．
T．L ． Saaty 等人的作法，一是不把所有因
素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．
w k W k w k 1 , k 3,4 , s
（5）
其中 W k 是以第 k 层对第 k 1层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为 :
w s W sW s 1 W 3 w 2
（6）
5． 组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合
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权向量是否可以作为最终的决策依据．
组合一致性检验可逐层进行．如第
p
p
RI1 , , RIn ，定义
p 层的一致性指标为 CI1 p , ,CI np ( n 是第 p 1 层因素的数目 ) ，随机一致性指标为
P
CI
p
p
p1
CI 1 , ,CI n w
p
RI
p
p
p1
RI1 , , RI n w
标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．
(4) 计算组合权向量并做组合一致性检验 利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通
过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率
CR 较大的成对比较阵．