二进制数的算术运算

《数字电路与逻辑设计》

教

案

试讲教师：孙发贵

工作单位：北京化工大学北方学院

教学内容与过程

（一）讲解新课

在数字电路中，0和1既可以表示逻辑状态，又可表示数量的大小。当表示数量时，可以进行算术运算。

与十进制数的算术运算相比

1：运算的规则类似；

2：进位和借位规则不同（逢二进一，借一当二）

特点：加、减、乘、除全部可以用相加和移位这两种操作实现。——简化了电路结构所以数字电路中普遍采用二进制算数运算。

一、无符号二进制数的算术运算：

1、二进制数加法：

运算规则：0+0=0，0+1=1，1+1=10（向高位进一）—逢二进一

例：计算二进制数1010和0101的和。

2、二进制数减法：

运算规则：0-0=0，1-1=0，1-0=1， 0-1=11（向高位借一）—借一当二

例：计算二进制数1010和0101的差。

注意：在无符号减法运算中无法表示负数，所以，被减数必须大于减数。

3、二进制数乘法：

由左移被乘数与加法运算构成。

例：计算二进制数1010和0101的积。

4、二进制数除法：

由右移被除数与减法运算构成。

例：计算二进制数1010和111之商。

二、带符号二进制数的减法运算：

二进制数的正、负号也是用0/1表示的。

最高位为符号位（0为正，1为负）

例如：

+89 = （0 1011001）

-89 = （1 1011001）

在数字电路中，为简化电路常将减法运算变为加法运算。故引入原码、反码、补码的概念。

1、原码、反码、补码：

1) 原码：自然二进制码01101=(13)D

2) 反码：原码取反10010=(18)D

N反=(2n–1)–N原，其中n为二进制数的位数

3) 补码：N补=2n-N原=N反+1

01101=(13)D 10010=(13)反

(13)补：(25-13) D=(19)D=10010+1=10011=(19)D

2、二进制数的补码表示:

补码或反码的最高位为符号位，正数为0，负数为1。

当二进制数为正数时，其补码、反码与原码相同。

当二进制数为负数时，将原码的数值位逐位求反，然后在最低位加1得到补码。

X1 = 85 = +1010101 [X1]原= [X1]反=[X1]补=01010101

X2 = -85 = -1010101 [X2]原= 11010101

[X2]反= 10101010

[X2]补= [X2]反＋1= 10101011

3、二进制补码的减法运算:

减法运算的原理:减去一个正数相当于加上一个负数A-B=A+(-B)，对(-B)求补码，然后进行加法运算。

例：试用4位二进制补码计算5-2。

解：

注意：进行二进制补码加法运算时，被加数的补码和加数的补码的位数要相等，运算结果多出的高位要舍掉！

4、关于溢出:

例：试用4位二进制补码计算5+7。

解：因为(5+7)补=(5)补+(7)补

=0101+0111 = 1100 ——表示-4

而显然，正确的结果应为12！

为什么会发生错误？

因为在4位二进制补码中，只有3位是数值位，即它所表示的范围为-8 —— +7 。

而本例的结果需要4位数值位（12D=1100B）表示，因而产生溢出。

解决溢出的办法:进行位扩展。

溢出的判别:两个符号相反的数相加不会产生溢出，但两个符号相同的数相加可能产生溢出。

4位二进制补码表示的范围为-8 —— +7 。所以(a)(b)无溢出； (c)(d)的运算结果应分别

为+8和-9，均超过了允许范围。

具体判断溢出的方法：当方框中的进位位与和数的符号位（即b3位）相反时，则运算结果是错误的，产生溢出。

（二）本次课小结

（首先，让学生思考和回答本次课所学的主要内容，之后，老师作如下总结：）

1、无符号二进制数的算术运算：加、减、乘、除

2、带符号二进制数的减法运算

1)原码、反码、补码的概念

2)二进制数的补码表示

3)二进制补码的减法运算

4)溢出问题

（三）作业布置

1．习题：教材P37 1.3.3

课后记事：