noip算法总结2016

算法总结

一、动态规划和递推

dp一般的解题步骤：

分析问题，弄清题意——从原问题中抽象出模型——根据模型设计状态，要求状态满足最优子结构和无后效性——直接设计状态有难度的话则需要考虑转化模型——根据设计的状态考虑转移——如果过不了题目要求的数据范围，则需要考虑优化

由于动态规划涉及的内容太多，只言片语难以讲清，所以附件中放了很多篇关于动态规划的文章，大部分系原创，并附上了一些经典的论文，主要讲了DP的优化，一些特殊的状态设计技巧

Dp和递推没有本质区别，都是用一些状态来描述问题，并记录下一些信息，根据已知信息推出未知信息，直到得到问题的解

关于DP的优化有两篇神级论文，放在附件里面了，写的非常好。

二、图论及网络流

最小生成树：克鲁斯卡尔算法和普利姆算法，

——重要性质1：最小生成树上任意两点的路径的最大边最小

——重要性质2：最小生成树的多解（方案个数）只与相同权值的的边有关（省队集训题生成树计数）

最短路：spfa算法、堆+迪杰斯特拉算法

Spfa算法是基于松弛技术的，随机图效果极佳，最坏（网格图或存在负权环）O(nm)，适用于任意图，能够判断负权环

——判负权环的方法：记录每个点当前从原点到它的最短路上边的条数，如果某次更新后这个条数>n-1则存在负权环

堆+迪杰斯特拉则是用了贪心的思想，不断扩大确定dist的集合，同时更新dist，如果边权有负值就不能做，复杂度是O((n+m)logn)的

拓扑排序：可以将有向图转化为一个线性的序列，满足一个点所有的前驱结点都出现在这个点在序列中的位置之前。可以判断这个有向图是否有环

——一个简单而实用的扩展：给树做类top排序，可以有类似的功能，即每次去掉叶子结点，将树转化为一个具有拓扑关系的序列

——再扩展：树同构判断，可用类top确定树根是谁，再最小表示法+hash即可

强连通分量、缩点：tarjan算法

核心是每个点记一个时间戳ti[i], 另外low[i]表示i点能延伸出的搜索树中节点的ti[i]的最小值，还要维护个栈记当前路径上的点，low[i]初始化为ti[i]，如果搜完i了，ti[i]=low[i]则当前栈顶到i的所有点会在一个强连同分量内。

var j,k:longint;

begin

inc(time);ti[i]:=time;v[i]:=true;low[i]:=time;

inc(ed);q[ed]:=i;j:=h[i];

while j<>0 do begin

k:=point[j];

if ti[k]=0 then begin

dfs(k);if low[k]

end

else

if v[k] then if ti[k]

j:=next[j];

end;

if ti[i]=low[i] then begin

inc(num);k:=0;

repeat

j:=q[ed];f[j]:=num;v[j]:=false;k:=k+a[j];

if b[j] then bar[num]:=true;

dec(ed);

until q[ed+1]=i;

vl[num]:=k;

end;

end;

欧拉路：

含义：不重复地经过每条边的一条路径，如果起点和终点相同则叫“欧拉回路”，起点和终点不同叫“欧拉路径”

存在欧拉路径的条件：至多两个点的度为基数（回路则要求全都为偶数）

实现：（非常简单）

上面的代码中正边和反边的编号是相邻的，关注inc(ans[0])的位置，是在递归调用的后面

哈密尔顿回路

含义：经过所有点的一个回路

这是个NPC问题，只有近似算法（暴搜就不提了）

比较好用的是模拟退火，以环上相邻两点有边相连的个数作为估价值，随机化调整

二分图匹配：

最大匹配：匈牙利算法，理论O(nm)，实际复杂度好很多

最佳匹配：KM算法，理论O(n^2m)，实际复杂度同匈牙利一样相当不错

——重要性质：最小可行定标和= 最优匹配

KM算法中构造了一个非常不错的不等式lx[i] + ly[j] >= w[i,j]，有的题目可以利用这个

不等式套KM求出最小可行定标和，如20101112 ti糟糕的传染

网络流

非常神奇的一个东西，数学味有余而图论味不足，通常用来解决限制条件太强，以至于无论如何都表示不了状态的题，很多经典例题见《网络流24题》

通常使用的最大流算法是dinic，代码要背熟，一般能10分钟之内敲出来

最大流最小割定理

经典模型：最小割模型，最大权闭合图，平面图网络流转最小割

——参考神文胡伯涛论文

费用流

相当于网络流的一个强化，能多处理一维信息。具体来讲就是给边多加一个“费用”，每次增广的费用就是这条增广路的费用之和*流量。

费用流有最小费用最大流和最大费用最大流，用spfa每次找条最短（长）路增广即可最小费用最大流还可以用zkw算法加速，差不多比裸spfa+增广快10倍的样子（在二分图网络流上尤为明显），我和盾盾研究了一种更nb的费用流，我命名为“距离标号连续增广路费用流算法”，能够秒杀几千个点的稠密随机图，二分图就更不在话下了，速度几乎达到了dinic的三分之一的样子，而且实现非常简单！

经典例题参考《网络流24题》

三、贪心

贪心的关键是找结论，同时给出证明，然后就可以利用这个结论来做题了

当然，考场上对你猜出的结论给出证明通常是很难的，所以用贪心法解题需要丰富的经验，正确的“题感”，胆大心细才能搞出来

由于经常要取最优值，所以常常与堆、平衡树等数据结构结合起来

贪心+其他算法：

由于贪心往往能大幅化简状态，利用问题的某些“单调性”，加上贪心的思想，往往能是问题大幅简化，从而结合其他算法解决问题

经典例题：田忌赛马，利用贪心来确定状态

四、分治

分而治之的思想在信息学竞赛中是非常重要的，下面主要介绍一下分治的经典应用二分查找

思想很简单，功能很强大，边界要注意，负数要特判（NOI2010 PIANO）

在非负数范围内的二分一般写法

如果是l := mid - 1或+ 1则mid := (l + r) div 2

而如果是r := mid - 1 或+1则mid := (l + r + 1) div 2

快速幂

a^b = (a^(b div 2))^2 + ord(odd(b))*a

取模也适用