一平行四边形折叠求角度问题
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
人教版初中数学讲义八年级下册第07讲 专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)
第07讲专题1平行（特殊）四边形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题类型二：矩形中的折叠问题类型三：菱形中的折叠问题类型四：正方形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题1．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故选：B．2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝65°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案为：65．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案为：36°．5．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝16°．【解答】解：∵点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案为：16．类型二：矩形中的折叠问题6．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是（）A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，＝DE×CD÷2＝18.75cm2．∴S△BDE故选：C．7．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．8．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求，乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求，A．只有甲的折法正确B．甲和乙的折法都正确C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．故选：C．10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD 的度数为（）A．37°B．74°C．96°D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由折叠可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正确；∵∠D1GN＝∠MGN不一定为45°，∴GH不一定垂直GD1，故②错误；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH与EF共线，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正确；故选：B．类型三：菱形中的折叠问题10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．11．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案为：75°．12．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案为75．13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝90°；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案为：90°．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴点D，G，F三点在同一条直线上．过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案为：．类型四：正方形中的折叠问题14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）A．70°B．65°C．30°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．15．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为2．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．16．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，＝AB•AF＝BF•AH，∵S△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，故答案为：．18．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．。
折叠问题题型梳理
折叠问题题型梳理题型1 折痕为对角线1．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD =∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC =∠B′AC ，∴∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1=22°∴∠B =180°–∠2–∠BAC =180°–44°–22°=114°；选C ． 2.如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=，CFD 40∠=，则E ∠为( )A . 102B . 112C . 122D . 92 【解析】AD //BC ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=，DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===， 又ABD 48∠=， A 1802048112∠=--=，E A 112∠∠∴==，选B3.如图，在矩形ABCD 中，BC =6，CD =3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C 1处，BC 1交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）A . 3B . 154C . 5D . 152【解析】根据题意易证BE =DE ，设ED =x ，则AE =8﹣x ，在△ABE 中根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程x 2=42+（8﹣x ）2， 解方程得x =5，即ED =5，故选C ．题型2 折痕过一顶点4.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为 ．【解析】连接BF ，∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝3又∵AB ＝4，∴AE ＝＝5，∴BH ＝，则BF ＝∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°根据勾股定理得，CF ＝＝＝5.如图，矩形纸片ABCD ，对角线为BD ，沿过点D 的直线折叠，使点A 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DG ，若4,3AB BC ==，则AG 的长是（ ）A . 43B . 32C . 125D . 23【解析】根据题意可得：∠GDA =∠GDB ，AD =ED ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD =BC =3，∴AG =EG ，ED =3，∵AB =4，BC =3，∠A =90°，∴BD =5，设AG =x ，则GE =x ，BE ==2，BG =4-x ，在Rt △BEG 中，EG 2+BE 2=BG 2，即：x 2+4=（4-x ）2，解得：x =32，∴AG =32，选B ． 6.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE 沿AE 折叠至AD E '处，AD '与CE 交于点F ．若54B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则FED '∠的大小为（ ）A . 27°B . 32°C . 36°D . 40°【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，54B ∠=︒，∴54D B =∠=︒∠又∠DAE =20°，∴∠AED =180°-∠D -∠DAE =106°，根据折叠可得：106AED AED ∠=∠='︒ 又∠AEF =180°-∠AED =74°，∴32FED AED AEF ∠∠'=∠-='︒，选B7.如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）A . 3B . 3-C . 2D . 3【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB =2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB =AB =2，BM =12BC =1，BF =BA =2，∠BMF =90°，则在Rt △BMF 中，FM =∴2FN MN FM =-=设AE =FE =x ，则EN =1x -，∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，∴()(22212x x -+=，解得：4x =-EN =13x -=，选A 8.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，将△ABE 沿AE 折叠至AB E '∆处，B E '与AC 交于点F ，若∠EFC =67°，则∠CAE 的度数为____．【解析】由正方形性质知：∠ACE =45°，∵∠EFC =67°，∴在△FEC 中，由外角定理有：∠BEF =∠EFC +∠ACE =67°+45°=112°，由折叠的性质可知：∠BEA =12∠BEF =56°，∴∠BAE =90°-∠BEA =90°-56°=34°， ∴∠EAC =45°-34°=11°．故答案为：11°．9.已知，如图：一张矩形纸片ABCD ，6AB =，8AD =，E 为AD 边上一动点，将矩形沿BE 折叠，要使点A 落在BC 上，则折痕BE 的长度是________；若点A 落在AC 上，则折痕BE 与AC 的位置关系是__________.若翻折后A 点的对应点是A '点，连接DA '，则在点E 运动的过程中，DA '的最小值是______.【解析】如图，由折叠的性质可知，,AB A B EAB BA E ''=∠=∠ ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABA '∠=︒ ，∴四边形ABA E '是正方形，6AE AB ∴==，BE ∴==若点A 落在AC 上，根据折叠的性质可知，BE 垂直平分，所以折痕BE 与AC 的位置关系是垂直；如图，当A '在BD 上时，DA '的长度最小，6,8AB AD ==，10BD ∴== ．6BA BA '== ，4DA BD BA ''∴=-= ，∴DA '的最小值是4．10..如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD m ==，动点P 从点D 出发，沿射线DA 以每秒1个单位的速度向点A 方向运动，连接CP ，把PDC △沿PC 翻折，得到PEC ．设点P 的运动时间为()t s ．（1）若3m =，当P E B 、、三点在同一直线上时，求t 的值；（2）若点E 到直线BC 的距离等于1，求t 的值；（3）若AE 的最小值为1，直接写出m 的值．【解析】（1）如图1中，设PD =t ．则P A =3-t∵P 、B 、E 共线，∴∠BPC =∠DP C ，∵AD ∥BC ，∴∠DPC =∠PCB ，∴∠BPC =∠PCB ，∴BP =BC =3，在Rt △ABP 中，∵AB 2+AP 2=BP 2，∴22+（3-t ）2=32，∴t =3 +5（舍去）或3-5∴当t =3 P E B 、、三点在同一直线上．，2， 过点E 作MN ⊥BC ，交AD 于点M∵四边形ABCD 是矩形，MN ⊥BC ，∴MN ⊥AD∵点E 到直线BC 的距离等于1，∴EN =1，∵MN =AB =2, EC =CD =2,∴EN =MN -EN =2-1=1∴在Rt △ENC 中，NC MD = NC∵由题意得：MP =MD -PD -t ,ME =MN -EN =2-1=1,EP =PD =t∴在Rt △MPE 中，222=ME MP PE +，即：)2221=t +，解得：t ，3，如图，当点A ,点E ，点C 在同一条直线上时，AE 最短．由题意得：AE =1，EC =CD =AB =2，∴在Rt △ABC 中，BC∴m =AD =BC 题型3 不过顶点，折痕在内11.如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是（ ）A .B .C .D . 【解析】根据折叠的性质知，四边形AFEB 与四边形FDCE 全等，有EC =AF =AE ，由勾股定理得，AB 2+BE 2=AE 2即42+（8﹣AE ）2=AE 2，解得，AE =AF =5，BE =3，作EG ，AF 于点G ，则四边形AGEB 是矩形，有AG =3，GF =2，GE =AB =4，由勾股定理得EF =D12.如图，在矩形ABCD 中，9,3,AD cm AB cm ==将其折叠，使点D 与点B 重合， 则重叠部分()BEF ∆的面积为（ ）2cmA . 15B . 152C . 6D . 5【解析】设DE ＝x ．由翻折的性质可知D E ＝EB ＝x ，∠DEF ＝∠BEF ，则AE ＝（9﹣x ）cm ．由勾股定理得；BE 2＝EA 2＋AB 2，即x 2＝（9﹣x ）2＋32，解得：x ＝5 ，DE ＝5cm ，，四边形ABCD 为矩形，，BC ∥AD ．，∠BF E ＝∠DEF ．，∠BFE ＝∠FEB ， ，FB ＝BE ＝5cm ．，，BEF 的面积＝12BF •AB ＝12×3×5＝152（cm 2），选B 13.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 恰好落在AB 边的中点C '上，点D 落在D '处，C 'D '交AE 于点M ．若AB =6，BC =9，求线段ED ．【解析】如图，连接C 'E设DE ＝D'E ＝x ，∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9∴CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ＝9，∠A ＝∠D ＝90°，，AE ＝AD －DE ＝9－x∵折叠，∴∠D'＝∠D ＝90°，C 'D '＝CD ＝6，∵点C '为AB 边的中点∴AC '＝12AB ＝3，在Rt ，AEC'中，C 'E 2＝AE 2＋AC '2＝32＋(9－x )2 在Rt △C'D'E 中，C 'E 2＝C 'D '2＋D 'E 2＝62＋x 2，∴32＋(9－x )2＝62＋x 2，解得x ＝3 ∴线段ED 的长为3。
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自
选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练题（自选）附答案
问题一
已知平行四边形ABCD，其边长分别为AB = 8 cm，BC = 10 cm，AD = 6 cm。
在平行四边形的内部选取一点P，使得AP = 3 cm，BP = 4 cm，CP = 5 cm，DP = x cm。
求x的值。
解答一
根据平行四边形的性质，对角线互相平分。
由题意，可以得到
以下等式：
AP + CP = BP + DP
3 + 5 =
4 + x
8 = 4 + x
x = 4
所以，DP的值为4 cm。
问题二
已知平行四边形EFGH，其边长分别为EF = 6 cm，FG = 8 cm，GH = 12 cm。
在平行四边形的内部选取一点Q，使得EQ = 2 cm，FQ = 3 cm，GQ = x cm，HQ = 9 cm。
求x的值。
解答二
同样根据平行四边形的性质，由题意可以得到以下等式：
EQ + GQ = FQ + HQ
2 + x =
3 + 9
x + 2 = 12
x = 10
所以，GQ的值为10 cm。
总结
通过以上两个问题的解答，我们可以发现在平行四边形中的折叠问题中，如果在平行四边形内部选取的点与已知点之间的距离相等，那么可以利用平行四边形的性质求解未知量。
请注意，在实际折叠过程中，要确保折叠线与平行四边形的边平行，以保证折叠的正确性。
希望以上练习题对你有所帮助！。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧初二数学四边形的折叠问题技巧数学中的几何形状是我们学习的重要内容之一。
四边形作为一种常见的几何形状，其折叠问题技巧也是我们需要掌握的。
本文将介绍初二数学中四边形的折叠问题技巧。
一、矩形的折叠问题技巧矩形是一种特殊的四边形，其两对边相等且平行。
在处理矩形的折叠问题时，我们需要注意以下几个技巧。
1. 折叠对角线：将一个矩形沿对角线方向折叠，可以得到重叠的两个直角三角形。
这个技巧在解决一些矩形面积、周长等问题时很有用。
2. 平行线折叠：我们还可以将矩形沿其中一对平行边折叠，使得另外一对平行边重合。
这样可以得到一个与原来矩形相似且大小相等的矩形。
这个技巧在解决一些矩形相似性质的问题时很有帮助。
二、平行四边形的折叠问题技巧平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。
在处理平行四边形的折叠问题时，我们也可以运用一些技巧。
1. 对折：可以将平行四边形沿两对平行边分别对折，使得两对对折线上的点重合。
这样可以证明平行四边形的对角线互相平分。
2. 平移：可以将平行四边形平移，使得相邻两边重合，从而得到一个与原平行四边形相似的形状。
这个技巧在解决一些平行四边形相似或面积问题时很有用。
三、菱形的折叠问题技巧菱形是一种特殊的平行四边形，其四条边相等且对角线垂直。
在折叠菱形时，我们可以运用一些技巧。
1. 中点折叠：可以将菱形沿对角线方向折叠，使得两个对角线的中点重合。
这样可以得到一个与原菱形相似的等腰直角三角形。
2. 对称折叠：可以将菱形沿其中一条对称轴折叠，使得两个顶点重合。
这样可以得到一个与原菱形相似的小菱形。
四、梯形的折叠问题技巧梯形是一种具有一对平行边的四边形。
在折叠梯形时，有如下技巧可用。
1. 平行线折叠：可以将梯形沿长边折叠，使得两个平行边重合。
这样可以得到一个与原梯形相似的矩形。
这个技巧在解决一些梯形相似性质的问题时很有帮助。
2. 对称折叠：可以将梯形沿对称轴折叠，使得两个底边重合。
这样可以得到一个与原梯形相似的小梯形。
北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)
专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。
【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。
中考折叠问题(原创)
05月26日 教案+习题中考折叠问题1、中考中折叠问题每年必考。
有时出现在选择填空，有时候出现在压轴题。
2、折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；3、考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；4、解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。
5、轴对称性质——①折线是对称轴，折线两边图形全等②对应点连线垂直对称轴③对应边平行或交点在对称轴上。
ABC 的边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1、EB 1分别交边AC 于点F 、G ．若∠ADF=80°，则∠CGE= ．例2．（2011·贺州）把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ．若BF ＝4，FC ＝2，则∠DEF 的度数是_ ．例3．（2011昭通，8，3）如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点处，折痕为EF ，若，那么∠ABE 的度数为 ____________C '︒='∠125C EF ABC EF A’D (B )例4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB=4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（ ） A ．43 B.35C ．34 D ．45例5.如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为 ( ) A.15° B.30° C. 45° D.60°例6、（2011•广元）如图，M 为矩形纸片ABCD 的边AD 的中点，将纸片沿BM 、CM 折叠，使点A 落在A 1处，点D 落在D 1处．若∠A 1MD1=40°，则∠BMC 的度数为 ．例1、（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A 、B 、2C 、3D 、4例2.如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， 6AB =， ∠BCA=90°在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的 一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则 D Ｅ的长度为 () A.6B.3C.D.例3、（2011•衡阳）如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使点CA E DCFC'BAC D与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为 ．例4．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片 使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .6 例5、（2011•泸州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是（ A 、 B 、 C 、 D 、例6．将长8 cm ，宽4 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长等于 cm ． 例7.如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ） （A ） （B ）（C ） （D ）6例8、（2011•潼南县）如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，将△BCD 沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，DC=5cm ，则点D 到斜边AB 的距离是 cm ．例9、（2011•巴彦淖尔）如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在C ′处，连接BC ′，那么BC ′的长为 ．例10．将一块直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合， 展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C ＝90°，BC ＝8cm ， 则折痕DE 的长度是 cm ．例11、（2011•天水）如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD 边落322323B C在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CF 的长为（ ）A 、6B 、4C 、2D 、1例12．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝cm ． ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是．例1.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE 。
折叠(翻折)在证明(解题)中的应用
第一讲；折叠（翻折）在证明（解题）中的应用一，知识点回顾；折叠具有什么样的性质？二，例题讲解；将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。
（1）求证：△ABE≌△A F。
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
证明：（1）由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD∴∠B＝∠D′，AB＝AD′∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3∴∠1＝∠3∴△ABE≌△A D′F．（2）四边形AECF是菱形由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE∵AE＝EC，∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形∵AF＝AE∴四边形AECF是菱形．三．巩固练习；1，如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）找出图中的全等三角形．（2）△DEF是什么三角形，并证明．（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明．2，如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，（1）求证：AE=AF；（2）求证：△ABE≌△AGF．3，已知，一张矩形纸片ABCD，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．（1）猜猜四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；（2）若AB=9cm，BC=3cm，求折痕EF的长．4．将矩形纸片ABCD按如图所示折叠，EF为折痕，点B与点P（点P在DC边上）重合．（1）当BC与CP重合（如图甲）时，四边形BFPE是形；（2）当BC与CP不重合时，分别指出图乙、丙中的四边形BFPE是什么特殊四边形，并选择两图之一给出证明．5，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．（1）求证：△ABE≌△AGF；（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，23ECBC，求AC•EF的值．7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．四，中考链接；8，（2014•临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．9，（2010•荆门）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．10，（2012•深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式11，（2014•鼓楼区一模）将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE．根据上述过程，求长方形纸片的长宽之比AB BC？12，（2014•山西）课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．13，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第16题）即（2013•绍兴数学中考试题）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为14，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第24题）即（2014•南通通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．。
特殊平行四边形折叠问题
折叠问题1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′为 度．2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．3．如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为 度．4．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，︒>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角有 个。
A.4B. 3C.2D.1EDBC′FCD ′A5．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE •翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则DE:FC=A. 13B. 14C. 15D. 167.如图，在梯形ABCD 中，∠DCB ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝25，BC ＝24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为_______．8．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 .9.如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD 的长是A B CDMNA 'B ' F E DB A C①② 3 4 1010.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长 是11．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则A'G 的长是 。
2023年高考数学----立体几何折叠问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----立体几何折叠问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质． 【典型例题】例1．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． (1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C −−的余弦值；(2)三棱锥D FBC −的体积是否可能等于几何体ABE FDC −体积的一半？并说明理由． 【解析】（1）证明：过D 点作EF 的垂线交EF 于H ，连接BH ．如图．2AE AD == 且//AE DH ，//AD EF ，π2EAD ∠=． ∴四边形ADHE 是正方形.2EH =，∴四边形EHGB 是正方形.所以BH EG ⊥（正方形对角线互相垂直）.因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，,AE EF AE ⊥⊂平面AEFD ， 所以⊥AE 平面EBCF ， 所以DH ⊥平面EBCF ， 又因为EG ⊂平面EBCF ，所以EG DH ⊥. 又,,BHDH H BH DH =⊂平面BDH ，所以EG ⊥平面BDH ，又BD ⊂平面BDH ， 所以EG BD ⊥.②以E 为原点，EB 为x 轴，EF 为y 轴，EA 为z 轴，建立空间直角坐标系，(2B ，0，0)，(0F ，3，0)，(0D ，2，2)，(2C ，4，0)，(2BF =−，3，0)，(2BD =−，2，2)，设平面BDF 的法向量(n x =，y ，)z ，则·2220·230n BD x y z n BF x y ⎧=−++=⎪⎨=−+=⎪⎩，取3x =，得(3n =，2，1)，又平面BCF 的法向量(0m =，0，1)，1cos ,||||14m n m n m n <>==∴钝二面角D BF C −−的余弦值为．（2）AE EF ⊥Q ，平面AEFD ⊥平面EBCF ， 平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，AE ⊂平面AEFD ． AE ∴⊥平面EBCF ．结合DH ⊥平面EBCF ，得//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，得DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF −的高DH AE x ==， 又114(4)8222BCFSBC BE x x ==⨯⨯−=−． ∴三棱锥D BCF −的体积为()2=11822(82)433333BFCV SDH x x x x x x ==−=−−，ABE FDC ABE DGH D HGCF V V V −−−=+13ABEHGCF SAD S DH =+111111(4)2(2)(4)=(4)1+(2)232262x x x x x x x x ⎡⎤=−⨯+⨯+−−+⎢⎥⎣⎦， 令()112(4)1+(2)=24623x x x x x ⎡⎤−+⨯−⎢⎥⎣⎦，解得0x =或4x =，不合题意；∴棱锥D FBC −的体积不可能等于几何体ABE FDC −体积的一半．例2．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值． 【解析】（1）如图取CE 的中点F ，连接PF ，DF ，由题易知△PCE ，△DCE 都是等边三角形， ⸫DF ⊥CE ，PF ⊥CE ， ⸫DFPF F =，DF ⊂平面DPF ，PF ⊂平面DPF⸫CE ⊥平面DPF ． ⸫DP ⊂平面DPF ⸫DP ⊥CE ． （2）解法一：由题易知四边形AECD 是平行四边形， 所以AD ∥CE ，又AD ⊂平面P AD ，所以CE ⊂平面P AD ， 所以点E 与点F 到平面P AD 的距离相等． 由（1）知CE ⊥平面DPF ，所以AD ⊥平面DPF ． 又AD ⊂平面P AD ， 所以平面P AD ⊥平面DPF ．过F 作FH ⊥PD 交PD 于H ，则FH ⊥平面P AD ．DF PF ==2DP =，故点F 到平面P AD 的距离FH =设直线DE 与平面P AD 所成的角为θ，则sin FH DE θ==， 所以直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值为4． 解法二：由题易知四边形AECD 是平行四边形，所以AD ∥CE ，由（1）知CE ⊥平面DPF ，所以AD ⊥平面DPF ． 如图，以D 为坐标原点，DA ，DF 所在直线分别为x ，y 轴，过D 且垂直于平面AECD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D ，()4,0,0A ，()E ， 设()0,,P a b ，0a >，0b >． 易知DF PF ==2DP =，故(2222124a b a b ⎧−+=⎪⎨⎪+=⎩，P ⎛ ⎝⎭， 所以()4,0,0DA =，DP ⎛= ⎝⎭，()DE =，设平面P AD 的法向量为(),,n x y z =， 则00n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令y =1z =−，所以()0,11,1n =−．设直线DE 与平面P AD 所成的角为θ，则11sin |cos ,|4DE nDE n DE nθ⋅=〈〉==， 故直线DE 与平面P AD 例3．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面PAD 夹角的余弦值． 【解析】（1）设O 是AD 的中点，连接,OP OC ， 三角形PAD 是等边三角形，所以OP AD ⊥，OP =四边形ABCD 是直角梯形，//,OA BC OA BC =，所以四边形ABCO 是平行四边形，也即是矩形，所以OC AD ⊥，2==OC AB .折叠后，PC =222OP OC PC +=，所以OP OC ⊥， 由于,,AD OC O AD OC ⋂=⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD ，则,,OC OD OP 两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系， ()2,0,0,AB OC ==()1,1,0F −，设)()0,1,01E t t t −<<，()2,0,0C，所以)11,,22t t M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，则)120,,22t t FM ⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以0AB FM ⋅=， 所以AB FM ⊥.（2）由于OP ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OP AB ⊥， 由于,,,AB AD AD OP O AD OP ⊥⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以AB AE ⊥， 所以FEA ∠是直线EF 与平面PAD 所成角， 在直角三角形AEF 中，tan AFFEA AE∠=， 由于1AF =，所以当AE 最小时，tan FEA ∠最大，也即FEA ∠最大，由于三角形PAD 是等边三角形，所以当E 为PD 的中点时，AE PD ⊥，AE 取得最小值.由于(P ，()0,1,0D，故此时10,2E ⎛ ⎝⎭，平面PAD 的法向量为()1,0,0m =，()()()30,1,0,2,0,0,2,1,0,0,2A C AC AE ⎛−== ⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则20302n ACx y n AE y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，故可设(1,n =−， 设平面ACE 与平面PAD 的夹角为θ， 则1cos 17m n m nθ⋅===⋅例4．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C −−的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．(2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．【解析】（1）满足条件的点H 存在，且为PC 上靠近P 的三等分点．在PC 上取靠近P 的三等分点H ，连接AP ，FH ，如图，则AP 是平面P AB 与平面P AC 的交线，依题意，12PH AF HC FC ==，则有//FH AP ，又AP ⊂平面PBE ，FH ⊄平面PBE ，因此直线//FH平面PBE ，所以在PC 上是存在点H ，为PC 上靠近P 的三等分点，使得直线//FH 平面PBE . （2）取BC 中点G ，连接AG ，交EF 于点D ，连接PD ，因//EF BC ，依题意，EF DG ⊥，EF PD ⊥，则PDG ∠为二面角P EF C −−的平面角，即120PDG ∠=︒，且EF ⊥平面PAD ， 而EF ⊂平面BCFE ，则平面PAD ⊥平面BCFE ，在平面PAD 内过P 作PO AD ⊥于O ， 又平面PAD ⋂平面BCFE AD =，因此PO ⊥平面BCFE ，在平面BCFE 内过O 作Ox AD ⊥， 显然Ox ，AD ，OP 两两垂直，分别以向量Ox ，OD ，OP 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz −，如图，则B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，32PC ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭，()EB =，31,2EP ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PBE 的一个法向量为(),,n x y z =r，由20302n EB x n EP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令y =()3,3,1n =−，设直线PC 与平面PBE 所成角为α，则||18sin |cos ,|||||30PC n PC n PC n α⋅=〈〉===⋅所以直线PC 与平面PBE ．。
特殊平行四边形折叠问题
特殊平行四边形折叠问题1. 引言哎呀，今天咱们聊聊一个看起来挺抽象的话题——特殊平行四边形折叠问题。
乍一听，有点像数学课上那些让人抓耳挠腮的难题，对吧？但别担心，咱们不打算像学霸那样死抠公式，而是轻松聊聊其中的乐趣和奇妙之处。
生活就像一块折纸，咱们要学会把它折得既美观又实用！2. 特殊平行四边形的魅力2.1 什么是特殊平行四边形？特殊平行四边形，其实就是那种边平行、角度相等的家伙。
想象一下，一个长方形或是正方形，这些都是特殊平行四边形的好朋友。
简单来说，它们的结构稳定得像一座大厦，让人一眼看去就觉得安心。
就像人们总说的，“万事开头难”，这类形状的基础知识可一点都不难。
2.2 折叠的乐趣说到折叠，咱们先来个小互动：谁小时候没折过纸飞机呢？想想当时那种心情，跟朋友们比赛谁的飞机飞得更远。
其实，折叠不仅仅是孩子们的游戏，也是数学里的一个重要概念。
把平行四边形折叠起来，可以生成一些意想不到的形状和图案。
就像是生活中的惊喜，没准一不小心就折出了个小怪兽！。
3. 折叠背后的奥秘3.1 数学与生活的交汇有人可能会问，折叠这些形状有什么用呢？其实，折叠不仅能帮助我们理解空间关系，还能启发我们的创造力。
在日常生活中，很多东西都得经过折叠，比如纸袋、便携式桌子，还有那些时尚的折叠伞。
就像“巧妙应对”，灵活的折叠设计能让我们的生活变得更加便捷。
3.2 折叠的艺术当然，折叠的过程可不仅仅是把纸一折了之，更多的是一种艺术。
想想那些精致的折纸作品，简直美得让人目不转睛。
那些作品往往需要精准的计算和独特的创意，才能把简单的平行四边形变成一只活灵活现的纸鹤。
正所谓“心灵手巧”，只要你愿意动手，总能从平凡中找到不平凡。
4. 结尾好啦，经过这一番聊天下来，咱们发现特殊平行四边形折叠问题不仅是个数学难题，更是一种生活哲学。
它告诉我们，灵活应对，活学活用，才能在这个复杂的世界里找到自己的位置。
生活就像一块大折纸，有时候你得先把它折起来，才能看到不一样的风景。
七年级折叠问题例题
七年级折叠问题例题一、折叠问题例题1。
1. 题目。
- 将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG = 55°，求∠1和∠2的度数。
2. 解析。
- 因为AD∥BC，所以∠DEF = ∠EFG = 55°（两直线平行，内错角相等）。
- 由折叠可知，∠DEF = ∠D'EF，所以∠D'EF = 55°。
- 那么∠1 = 180° - ∠D'EF - ∠DEF = 180° - 55° - 55° = 70°。
- 又因为AD∥BC，所以∠1+∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 70° = 110°。
二、折叠问题例题2。
1. 题目。
- 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD 于E，已知AB = 3，BC = 4，求AE的长。
2. 解析。
- 因为四边形ABCD是矩形，所以AD = BC = 4，AB = CD = 3，∠A = ∠C = 90°。
- 由折叠可知，∠C′BD=∠CBD。
- 因为AD∥BC，所以∠ADB = ∠CBD，所以∠C′BD = ∠ADB，所以BE = DE。
- 在Rt△ABE中，根据勾股定理AB^2+AE^2=BE^2，即3^2+x^2=(4 - x)^2。
- 展开得9+x^2=16 - 8x+x^2，移项可得8x = 16 - 9 = 7，解得x=(7)/(8)，所以AE的长为(7)/(8)。
三、折叠问题例题3。
1. 题目。
- 有一张直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。
四边形中的折叠问题+应用题
FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元． （1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的 叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完 后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿 茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕， 要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3． 为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。
人教版八年级数学下册 第18章 《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题 (含答案)
《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第1题)矩形的折叠问题2．(中考·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第2题)菱形的折叠问题3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么∠BFC的度数是( ) A．60° B．70° C．75° D．80°(第3题)(第4题)正方形的折叠问题4．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．5．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.【导学号：71412046】(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第5题)专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊．．．到一般的思想．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD 上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3 全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧．三个图形图形1矩形1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连结AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．(第1题)图形2菱形2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连结BD，交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；(2)求线段BD的长．(第2题)图形3正方形3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离．(第3题)4．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(第4题)三个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长．(第5题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第6题)技巧3 解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)7．如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AC ＝60 cm ，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0≤t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，且DF ＝12DC ，连结EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )(第7题)A．5B．10C．15D．208．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．(第8题)答案专训1(第1题)1．解：设AE与BC相交于点F，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝12×6＝3.又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.(第2题)2．(1)证明：由折叠知A′E＝AE＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.易得四边形AEA′D是正方形，∴A′E＝AD.∴EG＝CH.(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝FG＝AF＝ 2.由勾股定理得DF＝2.∴A D＝2＋ 2.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠3.由(1)知，AE＝BC.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.3．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FB C＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴BF＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.4．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠1＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.(第4题)5．(1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB.∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不发生变化．证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由(1)知∠APB＝∠QPB，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋CH＝AD＋CD＝8(定值)．(第5题)专训21．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠C FO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，(第2题)在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝4 3 .∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝43 .3．证明：(1)如图①，连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(第3题)(2)如图②，连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.由(1)知∠BCD＝120°.又∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠EBF＝∠C＝∠GDH＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG 与BD交于O点．∵BE瘙綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD与EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．专训31．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DA.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA(S.A.S.)．(2)解：四边形AECF是矩形，理由：∵AE＝12AB，CF＝12CD，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．2．解：(1)AC⊥BD.证明：连结AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝DC，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝AB＝BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°.∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠BDE＝30°＋60°＝90°. ∵∠ACE＋∠ACB＝180°， ∴B，C ，E 三点在一条直线上， ∴BE＝2.∴BD＝BE 2－DE 2＝22－12＝ 3. 3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠BAD＝∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴∠AED＝∠BFA. 在△AED 和△BFA 中，∵⎩⎨⎧∠AED＝∠BFA，∠ADE＝∠BAF，AD ＝BA ，∴△AED≌△BFA(A .A .S .)． ∴BF＝AE. ∵AF－AE ＝EF ， ∴AF－BF ＝EF.(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连结F′E，由(1)易得DE ＝AF.(第3题)根据题意知：∠F′AE＝90°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°.即∠F′AE＋∠AED＝180°.∴AF′∥DE.∴四边形AE DF′为平行四边形．又∠AED＝90°，∴四边形AEDF′是矩形．∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠D＝∠BAE＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.5．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF.设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分的周长为 (A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB) ＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB ＝(AE ＋EM ＋MB)＋(MD 1＋MF ＋FC)＋AD ＋CB ＝AB ＋(FD 1＋FC)＋10 ＝AB ＋(FD ＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．6．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB＝OC ，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC . ∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1. ∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14.∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.7．B 点拨：因为DF ＝12DC ，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．8．解：(1)在菱形ABCD 中，AC⊥BD，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG＝AB2－BG2＝102－82＝6，∴AC＝2AG＝2×6＝12.∴菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(第8题)(2)OE＋OF的值不发生变化．理由：如图①，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO＋S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF，解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．(3)OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO－S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF，解得OE－OF＝9.6.。
专题18 平行四边形中的翻折问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题18 平行四边形中的翻折问题训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分一、解答题1.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，在Rt△ABC中，AC=√62+82=10，∵长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，∴CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，∴AF=10−6=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中，x2+42=(8−x)2，解得x=3，即EF的长为3；(2)四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC=12×6×8+12×3×10=39．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．(1)依题意可得CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，再利用勾股定理计算出AC= 10，接着根据折叠的性质得CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，所以AF=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中利用勾股定理得x2+42=(8−x)2，然后解方程即可；(2)根据三角形面积公式，利用四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC进行计算．2.如图1，四边形ABCD为矩形，AD=12，AB>AD，线段AB上有一动点E，连接DE，将△DEA沿DE折叠到△DEA．(1)若AB=16，当A′落在BD上时，求AE的长；(2)如图2，G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，当点E在AB边上运动时，∠GHK的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数，若变化，请说明理由；(3)如图3，点M、N分别在线段DE、AD上，连接AM、MN，当∠ADE=30°时，求AM+MN的最小值．【答案】解：(1)设AE=a，∵四边形ABCD为矩形，AD=12，AB=16，∴BE=16−a，BD=√122+162=20，∵将△DEA沿DE折叠到△DEA，∴A′E=AE=a，A′D=AD=12，∴BA′=20−12=8，在Rt△A′EB中，∵A′E2+A′B2=EB2，即a2+82=(16−a)2，解得：a=6，∴AE=6；(2)当点E在AB边上运动时，∠GHK=90°；理由：连接DE，AA′，由题意知，∠DOA′=90°，∵G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，∴GH//A′O，HK//DE，∴DO⊥HG，∠DPH=90°，∵HK//DE，∴∠KHP=90°，∴∠GHK=90°；(3)由题意知，∠ADM=∠EDA′=30°，∴∠ADA′=60°，连接AA′，∴△AA′D是等边三角形，∴A′D=AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，∵AD=A′D=12，A′D=6，∴DN=12∴A′N=√122−62=6√3，∴AM+MN的最小值是6√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、轴对称-最短路线问题、四边形、等边三角形的判定与性质【解析】(1)设AE=a，由勾股定理得到BE=16−a，BD=√122+162=20，根据折叠的性质得到A′E=AE=a，A′D=AD=12，在Rt△A′EB中，根据勾股定理即可得到结论；(2)连接DE，AA′，根据三角形的中位线的性质得到GH//A′O，HK//DE，根据平行线的性质即可得到结论；(3)由三角形的内角和得到∠ADA′=60°，连接AA′，得到△AA′D是等边三角形，求得A′D= AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，最短路线问题，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3.在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF=5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//FC，∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG，∴AE=GE，∴∠FAE=∠AGE，∵∠CEB=∠CEG=1∠BEG，∠BEG=∠FAE+∠AGE，2∠BEG，∴∠FAE=12∴∠FAE=∠CEB，∴AF//EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)解：由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，∵△GCE的周长为20，∴GE+CE+GC=20，∴BE+CE+BC=20，∵四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，AE=CF=5，∴四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=AE+BE+BC+CE+CF=5+20+5= 30．【知识点】平行四边形的判定与性质、翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定、折叠与对称【解析】(1)由平行四边形的性质得出AE//FC，再由三角形的外角的性质，以及折叠的性质，可以证明∠FAE=∠CEB，进而证明AF//EC，即可得出结论；(2)由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，由△GCE的周长得出GE+CE+GC=20，BE+ CE+BC=20，由平行四边形的性质得出AF=CE，AE=CF=5，即可得出结果．本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键．4.将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上(点P不与点O，B重合)．(Ⅰ)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；(Ⅱ)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ= OP，点O的对应点为O′，设OP=t．①如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤1≤3时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．【答案】解：(Ⅰ)如图①中，过点P作PH⊥OA于H．∵∠OAB=90°，∠B=30°，∴∠BOA=90°−30°=60°，∴∠OPH=90°−60°=30°，∵OP=1，∴OH=12OP=12，PH=OP⋅cos30°=√32，∴P(12,√3 2).(Ⅱ)①如图②中，由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，∴OP=O′P，OQ=O′Q，∵OP=OQ=t，∴OP=OQ=O′P=O′Q，∴四边形OPO′Q是菱形，∴QO′//OB，∴∠ADQ=∠B=30°，∵A(2,0)，∴OA=2，QA=2−t，在Rt△AQD中，DQ=2QA=4−2t，∵O′D=O′Q−QD=3t−4，∴43<t<2．②①当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t=23，S=√34×(23)2=√39，当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34， 当t =1时，S =√34，当t =3时，S =12×12×√32=√38， 综上所述，√38≤S ≤4√37． 【知识点】菱形的性质、翻折变换(折叠问题)、四边形综合【解析】(Ⅰ)如图①中，过点P 作PH ⊥OA 于H.解直角三角形求出OH ，PH 即可． (Ⅱ)①解直角三角形求出DQ ，DO′即可．②求出点O′落在AB 上时，S =√34×(23)2=√39.当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34.再求出当t =1或3时，S 的值即可判断．本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．5. (1)如图1，将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，折痕为AE ，点B 落在B 1处，若∠DAC =66°，则∠BAE =______°；(2)小丽手中有一张矩形纸片，AB =9，AD =4.她准备按如下两种方式进行折叠： ①如图2，点F 在这张矩形纸片的边CD 上，将纸片折叠，使点D 落在边AB 上的点D 1处，折痕为FG ，若DF =5，求AG 的长；②如图3，点H 在这张矩形纸片的边AB 上，将纸片折叠，使HA 落在射线HC 上，折痕为HK ，点A ，D 分别落在A 1，D 2处，若DK =73，求A 1C 的长．【答案】解：(1)12；(2)如图，过点F作FH⊥AB于H，∵∠D=∠A=90°，FH⊥AB∴四边形DFHA是矩形∴AD=FH=4，∵将纸片ABCD折叠∴DF=D1F=5，DG=D1G，∴D1H=√D1F2−FH2=√25−16=3∴AD1=2∵AG2+D1A2=D1G2，∴AG2+4=(4−AG)2，∴AG=32②∵DK=73，CD=9，∴CK=9−73=203，∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，∴∠CKH=∠AHK，由翻折不变性可知，∠AHK=∠CHK，∴∠CKH=∠CHK，∴CK=CH=203，∵CB=AD=4，∠B=90°，∴在Rt△CDF中，BH=√CH2−BC2=√4009−16=163，∴AH=AB−BH=11，3由翻折不变性可知，AH=A1H=113∴A1C=HC−A1H=3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、四边形【解析】解：(1)∵∠DAC=66°，∴∠CAB=24°∵将矩形ABCD折叠，使AB落在对角线AC上，∴∠BAE=∠CAE=12°故答案为：12；(2)见答案．(1)由折叠的性质可得∠BAE=∠CAE=12°；(2)①过点F作FH⊥AB于H，可证四边形DFHA是矩形，可得AD=FH=4，由勾股定理可求D1H=3，由勾股定理可求AG的长；②首先证明CK=CH，理由勾股定理求出BH，可得AH，再利用翻折不变性，可知AH=A1H，由此即可解决问题；本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题，属于中考压轴题．6.如图，已知点E是矩形一边AD上的一点，沿CE折叠矩形使点D落在对角线AC上的点F处，点G为BC上一点，且CG=DE，连FG．(1)求证：FG//EC；(2)若∠DAC=30°，CD=4，求四边形EFGC的面积．【答案】(1)证明：作FN//AD交EC于N，则FN//BC，∠DEC=∠ENF，由折叠的性质可知，∠DEC=∠FEN，FE=DE，∴∠FEN=∠FNE，∴FE=FN，又CG=DE，∴FN=CG，又FN//BC，∴四边形NFGC是平行四边形，∴FG//EC；(2)作FM⊥BC于M，∵∠DAC=30°，∴∠ACD=60°，∴∠DCE=∠FCE=30°，又CD=4，∴DE=4√33，∴△EFC的面积=△EDC的面积=12×4×4√33=8√33，∵∠ACB=90°−∠ACD=30°，∴FM=12FC=2，∴△FGC的面积=12×2×4√33=4√33，∴四边形EFGC的面积=△EFC的面积+△GFC的面积=4√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)【解析】(1)作FN//AD交EC于N，根据翻折变换的性质证明四边形EFGC是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；(2)作FM⊥BC于M，根据直角三角形的性质和翻折变换的性质分别求出△EFC的面积和△GFC的面积即可．本题考查的是翻折变换和平行四边形的判定，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．(1)求证：∠EDO=∠FBO；(2)求证：四边形DEBF是菱形：(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．∴△ADE≌△ODE，∴△CFB≌△OFB，∴∠ADE=∠ODE=12∠ADB，∠CBF=∠OBF=12∠CBD，∴∠EDO=∠FBO；(2)证明：∵∠EDO=∠FBO，∴DE//BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC，∠A=90°，∵DE//BF，AB//CD，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵△ADE△≌△ODE，∴∠A=∠DOE=90°，∴EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；(3)解：过点P作PH⊥AD于点H，∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE，∴∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，∴在Rt△DPH中，2PH=PD，∴2AP+PD=2PA+2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，∵△ADE≌△ODE，AD=2，∴AD=DO=2，在Rt△OMD中，∵∠ODA=2∠ADE=60°，∴∠DOM=30°，DO=1，∴DM=12∵DM2+OM2=DO2，∴12+OM2=22，∴OM=√3，∴(2PA+PD)的最小值为2OM=2√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、轴对称-最短路线问题、四边形综合∠ADB，【解析】(1)由折叠的性质得出△ADE≌△ODE，△CFB≌△OFB，则∠ADE=∠ODE=12∠CBD，则可得出结论；∠CBF=∠OBF=12(2)证得四边形DEBF是平行四边形，由全等三角形的性质得出∠A=∠DOE=90°，则可得出结论；(3)过点P作PH⊥AD于点H，得出∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，得出2AP+PD=2PA+ 2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，求出OM的长，则可得出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．8.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=8，点E在BC上，且EC−EB=2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．(1)求线段AB的长；(2)求线段DC的长．【答案】解：(1)∵BC=8=EC+EB，EC−EB=2，∴EC=5，EB=3，由折叠的性质得：EA=EC=5，∵∠B=90°，∴AB=√EA2−EB2=√52−32=4；(2)作AF⊥CD于F，如图所示：则∠AFD=∠AFC=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形ABCF是矩形，∴FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得：DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：82+(x−4)2=x2，解得：x=10，∴DC=10．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、矩形的判定与性质【解析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．(1)由BC=8=EC+EB，EC−EB=2，得出EC=5，EB=3，由折叠的性质得EA=EC=5，再由勾股定理即可求出AB的长；(2)作AF⊥CD于F，则四边形ABCF是矩形，得出FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．9.如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为过点作交于，连接，求证：四边形为菱形；当在边上移动时，折痕的端点，也随着移动．当点与点重合时如图，求菱形的边长；如限定，分别在，上移动，求出点在边上移动的最大距离．【答案】(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，又∵EF//AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四边形BFEP为菱形;(2) ①∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，DE=√CE2−CD2=4cm，∴AE=AD−DE=5cm−4cm=1cm在Rt△APE中，AE=1，AP=3−PB=3−PE，∴EP2=12+(3−EP)2，cm，解得：EP=53cm;∴菱形BFEP的边长为53 ②当点Q与点C重合时，如图2:点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、四边形综合、菱形的判定、正方形的性质【解析】(1)由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论;(2) ①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD−DE=cm即可;1cm;在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=53 ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识;本题综合性强，有一定难度．10.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG//CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG//CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，∴AF=√BF2−AB2=8，∴DF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6−x，∵∠FDE=90°，∴22+(6−x)2=x2，解得，x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG的面积是：CE⋅DF=103×2=203．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、全等三角形的性质【解析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质．(1)根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；(2)根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．11.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD．(1)求证：OP=OF；(2)若设AP=x，试求CF的长(用含x的代数式表示)；(3)求AP的长．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，由翻折的性质可知：∠E=∠A=90°，∴∠E=∠D，在△ODP和△OEF中，{∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)．∴OP=OF．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，∵△ODP≌△OEF(ASA)，∴OP=OF，OD=OE．∴DF=EP．∵AP=PE=DF=x，∴CF=8−x．(3)∵AD=BC=6，PA=PE=DF=x，∴PD=EF=6−x，CF=8−x，BF=BE−EF=8−(6−x)=2+x，在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即62+(8−x)2=(x+2)2，解得：x=4.8，∴AP=4.8．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．(1)由折叠的性质得出∠E=∠A=90°，从而得到∠D=∠E=90°，然后可证明△ODP≌△OEF，从而得到OP=OF；(2)由△ODP≌△OEF，得出OP=OF，从而得到DF=PE=AP，由此即可解决问题．(3)由AP=EP=DF=x，则PD=EF=6−x，DF=x，求出CF、BF，根据在Rt△BCF中，利用勾股定理得出方程，解方程即可．12.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A，C重合，若其长BC为8，宽AB为4．(1)求证：△AEF是等腰三角形；(2)EF=_________．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，由翻折不变性可知：∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形．(2)2√5．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质【解析】(1)见答案；(2)解：设AF=AE=FC=x，在Rt△ABF中，∵AF2=AB2+BF2，∴x2=42+(8−x)2，∴x=5，作FH⊥AE于H．在Rt△AHF中，AH=√AF2−FH2=3，∴HE=AE−AH=2，在Rt △EFH 中，EF =√22+42=2√5，故答案为2√5．(1)根据平行线的性质以及翻折不变性证明∠AEF =∠AFE 即可；(2设AF =AE =FC =x ，在Rt △ABF 中利用勾股定理求出x ，作FH ⊥AE 于H.在Rt △EFH 中，利用勾股定理即可解决问题；本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．13. 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由．【答案】解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB =CD ，∠B =∠D =90∘，AD//BC ．由折叠的性质，得AM =AB ，CN =CD ，∠AME =∠B =90∘，∠CNF =∠D =90∘． 所以∠ANF =∠CME =90∘，AM =CN ．所以AM −MN =CN −MN ，即AN =CM ．因为AD//BC ，所以∠FAN =∠ECM ．在△ANF 和△CME 中，{∠FAN =∠ECM,AN =CM,∠ANF =∠CME,所以△ANF ≌△CME(ASA).所以AF =CE ．又AF//CE ，所以四边形AECF 是平行四边形．(2)当∠BAE =30∘时，四边形AECF 是菱形．理由如下：由折叠的性质，得∠CAE =∠BAE =30∘．因为∠B=90∘，所以∠ACE=90∘−60∘=30∘，即∠CAE=∠ACE．所以EA=EC．由(1)，得四边形AECF是平行四边形，所以四边形AECF是菱形．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．(1)首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；(2)由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°−30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．14.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知A(0,3)、C(−4,0)，把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．(1)判断四边形AECD是什么四边形？请说明理由；(2)求折痕DE的长；(3)若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请画出图形并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)四边形AECD是菱形，理由是：如图，连接EC，AD，∵矩形OABC，∴AB//OC，∴∠EAF=∠DCF，∵矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，∴AF=CF，EA=EC，在△AEF和△CDF中，{∠EAF=∠DCF AF=CF∠AFE=∠CFD,∴△AEF≌△CDF(ASA)，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，又∵EA=EC，∴四边形AECD是菱形；(2)∵四边形AECD为菱形，∴AD=CD，设CD=x，则AD=x，OD=4−x，则在直角三角形AOD中，OA2+OD2=AD2，∴32+(4−x)2=x2，解得，x=258，∴CD=258，∵A(0,3)、点C(−4,0)，∴AC =√32+42=5， ∴S 菱形=12AC ·ED =CD ·OA ， ∴12×5×ED =258×3则DE =154；(3)存在，如图，由(2)可知，AE =CD =258， ∴E(−258,3)，D(−78,0)，①当DE 为菱形的边时，DP =DE =154，当Q 在第一、二象限时可得Q(−558,3)，Q 1(58,3)；当点Q 在第三象限，E 与Q 关于x 轴对称，Q′(−258,−3)．②当DE 为菱形的对角线时，P 与C 重合，Q 与A 重合，Q 2(0,3)，综上所述，满足条件的点Q 坐标为(−558,3)或(58,3)或(0,3) 或(−258,−3)．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、分类讨论思想、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查四边形综合题、折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生知识和能力的考查，是一道好题．(1)根据折叠的性质通过证明△AEF≌△CDF 得到AE =CD 得出四边形AECD 是平行四边形，再由AE =EC 得出为菱形；(2)根据折叠的性质求出CD 的长，再根据勾股定理得出AC 的长，根据菱形的面积计算公式即可得出折痕DE 的长；(3)分两种情形分别讨论即可：①DE 为菱形的边．②DE 为菱形的对角线．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，点P 、点E 分别是边AB 、BC 上的动点，连接DP 、PE.将ΔADP 与ΔBPE 分别沿DP 与PE 折叠，点A 与点B 分别落在点A′，B′处． (1)当点P 运动到边AB 的中点处时，点A′与点B′重合于点F 处，过点C 作CK ⊥EF 于K ，求CK 的长；(2)当点P 运动到某一时刻，若P ，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′=4，试求此时AP 的长．【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD 为矩形，将△ADP 与△BPE分别沿DP 与PE 折叠，∴∠PFD =∠PFE =90°，∴∠PFD +∠PFE =180°，即E ，F ，D 三点在同一直线上，设BE =EF =x ，则EC =6−x ，∵DC =AB =8，DF =AD =6，∴在Rt △DEC 中，DE =DF +FE =6+x ，EC =6−x ，DC =8，∴(6+x)2=(6−x)2+82，解得x =83， 即BE =EF =83，∴DE =263，EC =103， ∵S △DCE =12⋅DC ⋅CE =12⋅DE ⋅CK ，∴CK=40．13(2)分两种情况：①如图2中，设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，∵A′B′=4，∴8−x−x=4，∴x=2，即AP=2．②如图3中，∵A′B′=4，∴x−(8−x)=4，∴x=6，即AP=6．综上所述，PA的长为2或6．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积、分类讨论思想【解析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，分类讨论，三角形的面积等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．(1)设BE=EF=x，则EC=6−x，可得在Rt△DEC中，DE=DF+FE=6+x，EC=6−x，DC=8，根据勾股定理即可得出(6+x)2=(6−x)2+82，求得BE=EF=83，再根据S△DCE=1 2⋅DC⋅CE=12⋅DE⋅CK，即可得到CK的长；(2)分两种情况：设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，分别根据A′B′=4，即可得到x的值，进而得到PA的长为2或6．。
平行四边形中的折叠问题含答案
平行四边形中的折叠问题一、新课导入（一）学习目标熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题．（二）预习导入1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）．A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．二、典型问题知识点一：在折叠中求角度和边长例1如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________．分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长．知识点二：在折叠中判定平行四边形例2如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB 交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________．2．把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm．3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________．5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G 处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．B组：拓展练习7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________．8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________．9．如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．平行四边形中的折叠问题答案预习导入1．B．2．6．例130°，3．例2连接AE，AC交EF于O．由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，∴AE=CE，AF=CF．∵AB∥CD，∴∠ECO=∠OAF．在△AOF与△COE中，∠ 쫠⩊＝∠ ，쫠 ＝ ，∠쫠 ⩊＝∠ ，∴△AOF≌△COE．∴AF=CE．∴AE=AF=CE=CF．∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．1．105°．2．5．3．7．4．40°．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG．∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE．∵∠BEG=∠FAE+∠AGE，∴∠FAE=12∠BEG．又∵∠CEB=∠CEG=12∠BEG，∴∠FAE=∠CEB．∴AF∥EC．∴四边形AECF是平行四边形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB．∴EB∥DF．∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴∠EBD=∠FBD．∵∠EBD=∠ABE，∴∠EBD=∠FBD=∠ABE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°．∴AB=3．∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=23．7．30°．8．75°．9．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°．由折叠的性质，得NE=AE．设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x．在Rt△ABN中，由勾股定理，得52+（12-x）2=x2，解得x=16924．∴AE=16924．∴△AEN的面积=12AE×BN=84548．（2）EF⊥AN，EF=AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示．则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°．由折叠的性质，得EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH=90°．∴∠EFH=∠NAB．在△EFH和△NAB中，∠ ⩊h＝∠ 쫠 ，⩊h＝쫠 ，∠⩊h ＝∠ ＝90°，∴△EFH≌△NAB．∴EF=AN．。