考研数学三(多元函数微积分学)-试卷4

考研数学三（多元函数微积分学）-试卷4

(总分：68.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：9，分数：18.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是

（分数：2.00）

A.

B.

C. √

D.

解析：解析：按可微定义， f(x，y)在(0，0)C项即A=B=0的情形，因此可得出f(x，y)在(0，0)可微．故选C．

3.设函数f(x，y)连续，则二次积分等于

（分数：2.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：解析：本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分．由sinx≤y≤1，则0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B．

（分数：2.00）

A.

B.

C.

D. √

D．

5.累次积分可以写成

（分数：2.00）

A.

B.

C.

D. √

解析：解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x

轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域

D可见A、B、C均不正确，故选D．

6.设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=(

（分数：2.00）

A.

B.

C. √

D.

C．

7.设f(x)为连续函数，F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)dx，则F’(2)等于( )

（分数：2.00）

A.2f(2)．

B.f(2)．√

C.一f(2)．

D.0．

解析：解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)=∫ 1t dx∫ 1x f(x)dy =∫ 1t(x-1)f(x)dx 于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．

8.设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D 1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则=( )

（分数：2.00）

A. √

B.

C.

D.

解析：解析：将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D 1和D 2，如图4—4所示，其中D 1关于y轴对称，D 2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，因此在D 1和D 2上，

均有=0．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D 1积分不为零，在D 2积

分值为零．因此故选项A正确．

9.累次积分∫ 01dx∫ x1 f(x，y)dt+∫ 12dy∫ 02-y f(x，y)dx可写成( )

（分数：2.00）

A.∫ 02dx∫ x2-x f(x，y)dy．

B.∫ 01dy∫ 02-y f(x，y)dx．

C.∫ 01dx∫ x2-x f(x，y)dy．√

D.∫ 01dy∫ 12-x f(x，y)dx．

解析：解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．

二、填空题(总题数：12，分数：24.00)

10.设函数f(u)可微，且z=f(4x 2一y 2 )在点(1，2)处的全微分dz| (1,2) = 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4dx一2dy）

11.二元函数f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极小值为 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：由题干可知 f x "=2x(2+y 2 )，f y "=2x 2 y+lny+1．

12.函数f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一64）

解析：解析：根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)，则有 f xx "=8y一6xy一2y 2； f xy "=8x 一3x 2一4xy； f yy "=-2x 2．则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B 2 =32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当

x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x 3一12x 2(0≤x≤6)，且令．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．

13.设D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则

（分数：2.00）

填空项1:__________________

14.设z=(x+e y ) x，则

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2ln2+1）

解析：解析：由z=(x+e y ) x，故z(x，0)=(x+1) x，代入x=1得，

15.设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对应价格P的弹性E p =0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 1元．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：8000）

解析：解析：本题考查弹性和微分的经济意义．根据已知收益函数为R=pQ(p)；对收益函数做微分为

当Q=10000，dp=1时，产品的收益会增加dR=8000．

16.设函数dz| (1,1) = 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx+(一1一2ln2)dy）

17.设连续函数z=f(x，y)满足dz| (0,1) = 1

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2dx一dy）