考研数学三(多元函数微积分学)-试卷4
考研数学三(微积分)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷40(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设g(x)=∫0xf(du)du，其中f(x)=则g(x)在(0，2)内( )．A．单调减少B．无界C．连续D．有第一类间断点正确答案：C解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(O，2)内连续，选C．知识模块：微积分2．设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．A．∫axf(t)dtB．∫-xaf(t)dtC．∫-x0f(t)dt—∫x0f(t)dtD．∫-xxtf(t)dt正确答案：D解析：设φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫xx+Ttf(t)dt≠φ(c)，选D。
知识模块：微积分3．设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．A．∫0xt[f(t)一f(一t)]dtB．∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC．∫0xf(t2)dtD．∫0xf2(t)dt正确答案：B解析：因为t[f(t)一f(-t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)一f(-t)]dt为奇函数，A不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，C不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以D不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(-t)]dt，F(-x)=∫0-xt[f(t)+f(-t)-]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(-u)](一du)=F(x)，选B．知识模块：微积分4．若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )．A．y=B．y=+24C．y=x+1D．y=正确答案：A解析：知识模块：微积分填空题5．=________．正确答案：解析：知识模块：微积分6．=________．正确答案：ln3解析：知识模块：微积分7．=________．正确答案：解析：知识模块：微积分8．=________．正确答案：4-π解析：知识模块：微积分9．设f(x)满足等式xf’(x)-f(x)=，且f(1)=4，则∫01f(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分10．设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，则∫01y(x)dx=—一．正确答案：解析：知识模块：微积分11．设，则a=________．正确答案：ln2解析：知识模块：微积分12．设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx=________．正确答案：e-1-e解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)sinxdx =一∫0πecosx“sinxdx=ecosx｜0π=e-1一e．知识模块：微积分13．设f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分14．设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)=1，则=________．正确答案：1解析：知识模块：微积分15．I(x)=在区间[-1，1]上的最大值为=________．正确答案：ln3解析：故I(x)在[一1，1]上的最大值为ln3．知识模块：微积分16．设f(x)的一个原函数为=________．正确答案：解析：知识模块：微积分17．y=上的平均值为________．正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
2012年考研数学三真题及标准答案
２0１2年考研数学三真题一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。
【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1，得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx−1=12得x=−1不是曲线的渐近线;综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n)，其中n为正整数，则f′(0)=（A）(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!（C)(−1)n−1(n)! (D）(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n)，则f (x )=(e x −1)g (x )f ′(x)=e xg (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!故应选Ａ．【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x =lim x→0(e x −1)x ∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!.【方法3】排除法，令n =2,则f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则（B)(C)（D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A ）【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(Ｂ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2。
高等数学第四章考研试题
高等数学第四章是关于微积分学的重要章节，是考研数学中的重要考点之一。
在掌握了前三章的基础上，第四章的内容将更加深入和具体。
考研数学中，第四章所考察的内容包括极值、凹凸性、曲率、峰值等方面的知识点。
一、极值问题1. 求函数 $f(x)=x^3-3x^2+5$ 在区间 $[-1,3]$ 上的极值点解：首先求出函数的导数$f'(x)=3x^2-6x$，令其等于0，得到极值点 $x\in \{-1,2\}$。
将 $x=-1$ 和 $x=2$ 代入函数，得到 $f(-1)=7$，$f(2)=3$。
由此可知，$f(x)$ 在$x=-1$ 时取得最大值7，在 $x=2$ 时取得最小值3。
二、曲率问题2. 求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的凹凸性和曲率半径解：根据椭圆的定义式，求出其一阶导数和二阶导数，得到：$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{b^2}{a^2}\frac{a^2y-b^2x^2}{a^2y^3}$由此可以得出，当 $a^2y>b^2x^2$ 时，$\frac{d^2y}{dx^2}<0$，椭圆是凹的；当$a^2y<b^2x^2$ 时，$\frac{d^2y}{dx^2}>0$，椭圆是凸的。
此外，椭圆的曲率半径为$R=\frac{a^2}{b}$。
三、峰值问题3. 求函数 $f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1$ 的峰值解：首先求出函数的一阶和二阶导数：$f'(x)=4x^3-12x^2+8x$$f''(x)=12x^2-24x+8$令 $f'(x)=0$，解得 $x\in\{0,2\}$。
计算得到 $f(0)=1$，$f(2)=1$，$f(1)=-2$。
故该函数的峰值为-2，达到峰值时的横坐标为1。
2011年考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当x→0时，f(x)=3sinx−sin3x与cx k是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=−4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=−4【答案】C。
【解析】【方法一】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03cosx−3cos3xckx k−1(洛必达法则)=3limx→0−sinx+3sin3xck(k−1)x k−2(洛必达法则)=1c(limx→0−sinx2x+limx→03sin3x2x) (k=3)=1c(−12+92)=1由此得c=4。
【方法二】由泰勒公式知sinx=x−x33!+o(x3)sin3x=3x−(3x)33!+ o(x3)则f(x)=3sinx−sin3x=3x−x 32−3x+(3x)33!+ o(x3)=4x3+ o(x3)~4x3 (x→0)故k=3,c=4。
【方法三】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03sinx−3x+3x−sin3xcx k=1c[limx→03(sinx−x)x k+limx→03x−sin3xx k]=1c[limx→03∙(−16x3)x k+limx→016(3x)3x k]=1c(−12+92) (k=3)=82c=1故c=4综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则limx→0x2f(x)−2f(x3)x3=(A)−2f′(0) (B)−f′(0) (C) f′(0) (D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x2f(x)−x2f(0)−2f(x3)+2f(0)x3=limx→0f(x)−f(0)x−2f(x3)−f(0)x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法二】拆项用导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0f(x)x−2limx→0f(x3)x3由于f(0)=0，由导数定义知lim x→0f(x)x=f′(0), limx→0f(x3)x3=f′(0)所以limx→0x2f(x)−2f(x3)x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f(x)=x,则lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x3−2x3x3=−1而对于f(x)=x.f′(0)=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则f(x)=f(0)+f′(0)x+o(x)=f′(0)x+o(x)f(x3)=f′(0)x3+o(x3)lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x2[f′(0)x+o(x)]−2[f′(0)x3+o(x3)]x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)综上所述，本题正确答案是B。
考研数学三(一元函数积分学与多元函数微分学)模拟试卷1(题后含
考研数学三（一元函数积分学与多元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x，y)＝则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：因为f(x，y)＝0＝f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续。
因为＝0，所以f’x(0，0)＝0，根据对称性，f’y(0，0)＝0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由＝0，得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)≠(0，0)时，f’x(x，y)＝2xsin，则f’x(x，y)＝因为f’x(x，y)＝(2xsin)不存在，所以f’x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f’y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．知识模块：多元函数微分学2．设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)＞0，求f(x)．正确答案：两边积分得F2(x)＝，解得F2(x)＝＋C，由F(0)＝1，F(x)＞0，得F(x)＝，于是f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学3．设f’(lnx)＝求f(x)．正确答案：令lnx＝t，则f’(t)＝，当t≤0时，f(t)＝t＋C1，；当t＞0时，f(t)＝et＋C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1＝1＋C2，故f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学4．求dx．正确答案：令f(x)＝，当0≤x≤1时，，当1＜x≤2时，＝x2，则dx＝xdx ＋x2dx＝．涉及知识点：一元函数积分学5．设f(x)连续，tf(x－t)dt＝1－cosx，求f(x)dx．正确答案：由tf(x－t)dt(x－u)f(u)(－du)＝(x－u)f(u)du＝xf(u)du－uf(u)du，得xf(u)du－uf(u)du＝1－cosx，两边求导得f(u)du＝sinx，令x＝得f(x)dx＝1．涉及知识点：一元函数积分学6．设f(x)在[0，＋∞)上连续、非负，且以T为周期，证明：正确答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n＋1)T，因为f(x)≥0，所以f(t)dt≤f(t)dt≤f(x)dt，即nf(t)dt≤f(t)dt≤(n＋1)f(t)dt，由，得，注意到当x→＋∞时，n→∞，且由夹逼定理得．涉及知识点：一元函数积分学7．设f(x)在[0，1]上连续，f(0)＝0，f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(x)dx＝ξf(ξ)．正确答案：令φ(x)＝，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)＝0，φ(1)＝f(x)dx＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝，所以f(x)dx＝ξf(ξ)．涉及知识点：一元函数积分学设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2．8．证明：对0＜x＜a，存在0＜Θ＜1，使得f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]；正确答案：令F(x)＝f(t)dt＋f(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜Θ＜1，使得F(x)＝F(x)－F(0)＝F’(Θx)x，即f(t)dt ＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]．涉及知识点：一元函数积分学9．求Θ．正确答案：令Θ＝A，由f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]，得于是Θ＝．涉及知识点：一元函数积分学10．设an＝tannxdx(n≥2)，证明：正确答案：an＋an＋2＝(1＋tan2x)tannxdx＝tannxd(tanx)＝tann＋1x，同理an ＋an－2＝．因为tannx，tann＋2x在[0，]上连续，tannx≥tann＋2x，且tannx，tann＋2x不恒等，所以tannxdx＞tann+2xdx，即an＞an＋2，于是＝an＋an+2＜2an＞，同理可证an＜．涉及知识点：一元函数积分学11．设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．正确答案：令φ(x)＝exf(x)，则φ’(x)＝ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(－∞)＝0，则φ(x)＝φ(x)－φ(－∞)＝φ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤｜φ’(x)｜dx≤exdx＝ex,/sup>，所以｜f(x)｜≤1．涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意的x，y∈(－∞，＋∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x－y｜．证明：｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．正确答案：因为(b－a)f(a)＝f(a)dx，所以｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜＝｜[f(x)－f(a)]dx｜≤f(x)－f(a)｜dx≤(x－a)dx＝(x－a)2(b－a)2．涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：．正确答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)－m≥0，f(x)－M≤0，从而≤0，于是f(x)＋≤M＋m，两边积分得f(x)dx＋Mmdx≤M＋m，因为f(x)dx＋Mmdx ≥2，所以2≤M＋m，于是(f(x)dx)(dx)≤．涉及知识点：一元函数积分学14．设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx≥f(x)dx．正确答案：方法一令φ(x)＝(x－)[f(x)－f()]，因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以φ(x)dx≥0，而φ(x)dx＝(x－)[f(x)－f()]dx＝(x－)f(x)dx－f()(x－)dx＝(x －)f(x)dx＝xf(x)dx－f(x)dx，故xf(x)dx≥f(x)dx．方法二令φ(x)＝tf(t)dt－f(t)dt，显然φ(a)＝0．φ’(x)＝xf(x)－f(t)dt－f(x)＝[(x－a)f(x)－f(t)dt]＝[f(x)dt－f(t)dt]＝[f(x)－f(t)]dt≥0，由得φ(b)≥φ(a)＝0，所以xf(x)dx≥f(x)dx．涉及知识点：一元函数积分学填空题15．设z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则＝_____________．正确答案：f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy －1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．解析：由z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，得＝f(x＋y)＋xf’(x＋y)＋yxy－1 g’1(xy，x2＋y2)＋2xg’2(xy，x2＋y2)，＝f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy－1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三往年试卷真题
考研数学三往年试卷真题在准备考研数学三的过程中，掌握往年试卷真题是相当重要的。
通过分析和解答往年试卷，我们可以了解考点的分布、题型的变化以及难度的走向，从而更好地提高我们的备考水平。
以下将给大家提供一些往年试卷的真题，希望能帮助到广大考研数学三的考生。
一、2019年考研数学三真题第一节：选择题1. 设A为n阶非零实对称矩阵，B为n阶非零反对称矩阵，则AB 是（）A. 零矩阵B. 非零矩阵C. 零矩阵或非零矩阵D. 不确定2. 设f(x)在区间[a,b]上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，若对于(a,b)内的任意一点c，恒有|f'(c)|≤1，则f(c)在[a,b]上的零点个数至少为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知函数f(x)满足f'(x) = e^x/[(x+1)√(1+x^2)]，且f(2) = ln3，则f(-2)的值为（）A. -2ln3B. -ln3C. ln3D. 2ln3第二节：填空题1. 求曲线y=∫[0,x] sin(t*t)dt的对称区间。
解：使用定积分与反函数关系的方法，将y关于x求导得到sin(x*x)=1/2，解得x=±√(π/6)。
2. 若A为n阶方阵，A^T为A乘以自己的转置矩阵，且满足AA^T=A^TA，那么A一定是一个（）矩阵。
解：对于任意方阵A，当A满足AA^T=A^TA时，A是一个对称矩阵。
3. 设X为n维非零列向量，且满足X^TAX＞0，其中A为n阶对称实矩阵，则X在标准内积空间上的长度为（）。
解：当X^TAX＞0时，X在标准内积空间上的长度为√(X^TAX)。
二、2018年考研数学三真题1. 若函数f(x)在[x0, +∞)上连续，且对所有x≥x0，有f''(x)+f'(x)≤0，则对于x≥x0，f(x)的增减性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增2. 设A为n阶矩阵，若A^2-5A+6I=0，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）A. 2和3B. -2和-3C. 2和-3D. -2和33. 设复数z满足条件|z+3−2i|=2，其中i为虚数单位，则z的实部和虚部的和为（）A. 3B. -3C. 1D. -11. 设f(x) = ∫[0,x]|t^3-3t|dt，其中|x|为x的绝对值，f(x)在[-1,1]上的最小值为（）。
303数学三大纲
303数学考研大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构:单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质…考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．》二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．—7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．.4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．>五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解麦克劳林（Maclaurin）展开式．|六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．!7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵%考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容>向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解·考试要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求~1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．、概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布》考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容'多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质~考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷18(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x，y)=则f(x,y)在点(0，0)处( )A．两个偏导数都不存在。
B．两个偏导数存在但不可微。
C．偏导数连续。
D．可微但偏导数不连续。
正确答案：B解析：由偏导数定义，有fx＇(0，0)==0，由对称性知fy＇(0，0)=0，而上式极限不存在。
事实上，故f(x，y)在(0，0)点不可微，故选B。
知识模块：多元函数微积分学2．已知f(x，y)=，则( )A．f＇x(0，0),f＇y(0，0)都存在。
B．f＇x(0，0)不存在f＇y(0，0)存在。
C．f＇x(0，0)不存在,f＇y(0，0)不存在。
D．f＇x(0，0),f＇y(0，0)都不存在。
正确答案：B解析：由于故fx＇(0，0)不存在。
fy＇(0，0)==0，所以fy＇(0，0)存在，故选B。
知识模块：多元函数微积分学3．已知f＇x(x0，y0)存在，则=( )A．f＇x(x0，y0)。
B．0。
C．2f＇x(x0，y0)。
D．f＇x(x0，y0)。
正确答案：C解析：由题意=fx＇(x0，y0)+fx＇(x0，y0)=2fx＇(x0，y0)，故选C。
知识模块：多元函数微积分学4．设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，Δz是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处( )A．Δz=dz。
B．Δz=f＇x(x0，y0))Δx+f＇y(x0，y0)Δy。
C．Δz=f＇x(x0，y0)dx+f＇y(x0，y0)dy。
D．Δz=dz+o(p)。
正确答案：D解析：由于z=f(x，y)在点(x0,y0)处可微，则Δz=fx＇(x0，y0)Δx+fy＇(x0，y0)Δy+o(p)=dz+o(p)，故选D。
知识模块：多元函数微积分学5．设=0，则f(x，y)在点(0，0)处( )A．不连续。
考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3．C．I2＞I1＞3．D．I3＞I1＞I2．正确答案：A解析：在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有由于cosx 在上为单调减函数，于是故应选A．知识模块：多元函数微积分学2．已知fx(x0，y0)存在，则A．fx(x0，y0)．B．0．C．2fx(x0，y0)．D．正确答案：C解析：故选C．知识模块：多元函数微积分学3．设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处( )A．两个偏导数都不存在．B．两个偏导数存在但不可微．C．偏导数连续．D．可微但偏导数不连续．正确答案：B解析：由偏导数定义，有由对称性知fy’(0，0)=0，而上式极限不存在．事实上，故f(x，y)在(0，0)点不可微．故应选B．知识模块：多元函数微积分学4．已知为某二元函数u(x，y)的全微分，则a等于( )A．0．B．2．C．1．D．一1．正确答案：B解析：以上两式分别对y，x求偏导得知识模块：多元函数微积分学5．函数f(x,y)在(0，0)点可微的充分条件是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由且可知,f(x，y)的两个一阶偏导数fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)点可微，故选D．知识模块：多元函数微积分学6．设函数f(t)连续，则二次积分=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标中的方程为x2+y2=2x或者(x一1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可知故选B．知识模块：多元函数微积分学7．设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0},f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则=( )A．abπ．B．C．(a+b)π．D．正确答案：D解析：由轮换对称性，有故应选D．知识模块：多元函数微积分学8．设z=f(x,y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处( )A．△z=dz．B．△z=fx(x0,y0)△x+fy(x0，y0)△yC．△z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dy．D．△z=dz+o(ρ)·正确答案：D解析：由于x=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故选D．知识模块：多元函数微积分学9．设则f(x，y)在点(0，0)处( )A．不连续．B．连续但两个偏导数不存在C．两个偏导数存在但不可微．D．可微．正确答案：D解析：f(x，y)一f(0，0)+2x—y=o(ρ)(当(x，y)→(0，0)时)，即f(x，y)一f(0，0)=一2x+y+o(ρ)，由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D．知识模块：多元函数微积分学10．已知du(x，y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy，则( )A．a=2，b=一2．B．a=3，b=2C．a=2，b=2．D．a=一2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy知以上两式分别对y，x求偏导得即3axy2一2sin(x+2y)=6xy2一bsin(x+2y)，则a=2，b=2，故选C．知识模块：多元函数微积分学11．设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x一y)+∫x-yx+yψ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：先分别求出．再比较结果．知识模块：多元函数微积分学12．设f(x，y)为连续函数，则等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查将极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分．首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分．由题设可知积分区域D如图4—2所示，则原式=故选C．知识模块：多元函数微积分学填空题13．设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=________．正确答案：1解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有fx’(x，y，z)=ex+y2zx’．等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+zx’+yz+xyzx’=0．取x=0，y=1，z=一1，可得zx’=0．故fx’(0，1，一1)=e0=1．知识模块：多元函数微积分学14．设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=_______．正确答案：0解析：因为利用夹逼原理知，又知f(0，0)=a，则a=0．知识模块：多元函数微积分学15．设正确答案：解析：由题意可知：则知识模块：多元函数微积分学16．设函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，则f(u，v)= 知识模块：多元函数微积分学17．设z=z(x，y) 由方程z+ez=xy2所确定，则dz=______正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分学18．设函数f(u)可微，则f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz|(1,1)=________正确答案：4(dx+dy)解析：由题干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则dz|(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．知识模块：多元函数微积分学19．设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则正确答案：f1’.yxy-1+f2’.yxlny解析：利用复合函数求偏导公式，有知识模块：多元函数微积分学20．设f,φ具有二阶连续导数，则正确答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(x+y)解析：由题干可得：知识模块：多元函数微积分学21．设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g、φ具有二阶连续导数，则正确答案：g’(x+y)+xg”(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ”(xy)解析：由题干可知，知识模块：多元函数微积分学22．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz|(1,0)=________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：于是dz|(1,0)=2edx+(e+2)dy．知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012年考研数学三真题及答案
2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。
【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx2−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx2−1=12得x=−1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n),其中n为正整数，则f′(0)=(A)(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!(C)(−1)n−1(n)! (D)(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n),则f (x )=(e x −1)g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1)) =(−1)n−1(n −1)! 故应选A. 【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=limx→0f(x)x =limx→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x=limx→0(e x −1)x∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!. 【方法3】排除法，令n =2,则 f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A )【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 2∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2 (B ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(C ) ∫dy 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dx √4−y 21+√1−y2 (D ) ∫dy 20∫f(x 2+y 2)dx √4−y 21+√1−y 2【答案】B 。
考研数学三-多元函数微积分学(三)
考研数学三-多元函数微积分学(三)(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、Section Ⅰ Use of English(总题数：1，分数：10.00)Starting with his review of Skinner's Verbal Behavior, Noam Chomsky had led the psycholinguists who argue that man has developed an innate (天生的) capacity for dealing with the linguistic universals common to all languages. Experience and learning then provide only information about the (1) instances of those universal aspects of language which are needed to communicate with other people within a particular language (2) .This linguistic approach (3) the view that language is built upon learned associations between words. What is learned is not strings of words per se (本身), but (4) rules that enable a speaker to (5) an infinite variety of novel sentences. (6) single words are learned as concepts: they do not stand in a one-to-one (7) with the particular thing signified, but (8) all members of a general class.This view of the innate aspect of language learning is at first not readily (9) into existing psychological frameworks and (10) a challenge that has stimulated much thought and new research directions. Chomsky argues that a precondition for language development is the existence of certain principles "intrinsic (原有的) to the mind" that provide invariant structures (11) perceiving, learning and thinking. Language (12) all of these processes; thus its study (13) our theories of knowledge in general.Basic to this model of language is the notion that a child's learning of language is a kind of theory (14) . It's thought to be accomplished (15) explicit instruction, (16) of intelligence level, at an early age when he is not capable of other complex (17) or motor achievements, and with relatively little reliable data to go on. (18) , the child constructs a theory of an ideal language which has broad (19) power. Chomsky argues that all children could not develop the same basic theory (20) it not for the innate existence of properties of mental organization which limit the possible properties of languages.（分数：10.00）(1).[A] special [B] specific [C] definite [D] explicit（分数：0.50）A.B. √C.D.解析：形容词辨析题。
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9．方程 x2/2＋y2/2－z2/3＝0 表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）。 A．x 轴 B．y 轴 C．z 轴 D．直线 x＝y＝z 【答案】C 【解析】由于选项中有三项均为坐标轴，可先考虑旋转轴是否为坐标轴，观察曲面方程 x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等， 则应选 D 项）
A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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B．|a＋b|＝|a|－|b|
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C．|a＋b|＝|a－b|
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D．a＋b＝a－b
【答案】C
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【解析】由向量与平面几何图形之间的关系可知，a⊥b时，以a，b为边的四边形为矩
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形，且|a＋b|与|a－b|均是该矩形的对角线长，则必有|a＋b|＝|a－b|。
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3．设三向量a，b，c满足关系a＋b＋c＝0，则a×b＝（ ）。
→→A．c×b→→源自B．b×c→→C．a×c
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D．b×a
【答案】B
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【解析】a＋b＋c＝0⇒（a＋b＋c）×b＝0⇒a×b＋c×b＝0⇒a×b＝－c×b＝b×c。
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（ ）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面 【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲 面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
[考研类试卷]考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷4.doc
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二、填空题
14当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．
15已知α=(3，5，7，9)，β=(-1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=________.
16已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型，则a的取值范围________.
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件
3 “对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的
（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
4设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是
（A）若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛
（B）若{xn}单调，则{f(xn)}收敛
（C）若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛
（D）若{f(xn)}单调，则{xn}收敛
5设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则( )．
（A）A与B有相同的特征值
（B）det A=det
（C）A与B相似
（D）r(A)=r(B)
6已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3的秩为2，则c的值为( )．
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
7二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3的秩等于( )。
考研数学三(填空题)专项练习试卷4(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．正确答案：0解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续2．＝_______(a＞0)．正确答案：涉及知识点：微积分3．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：微积分4．已知方程组无解，则a=________.正确答案：-1解析：[*] 知识模块：线性方程组5．曲线y=ln(e－)的全部渐近线为________．正确答案：x=0，x=，y=1解析：因为=+∞，x=0为铅直渐近线．为铅直渐近线．=1，y=1为水平渐近线．知识模块：一元函数微分学6．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：一元函数积分学7．函数f(x)=上的平均值为________．正确答案：1解析：知识模块：微积分8．f（x）=则∫14f（x一2）dx=________。
正确答案：解析：设x—2=t，dx=dt，当x=1时，t=—1；当x=4时，t=2。
于是知识模块：微积分9．=______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学10．已知且n维向量α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，X α3+Yα1线性相关的概率为________．正确答案：解析：因为α1，α2，α3线性无关，所以“α1+α2，α2+2α3，Xα3+Y α1线性相关”=X+2Y=0”，故所求的概率为知识模块：概率论与数理统计11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．将10双不同的鞋随意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则E(X)=________。
考研数学三(微积分)模拟试卷204
考研数学三（微积分）模拟试卷204(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设在(( )．（分数：2.00）A.a＞0，b＞0B.a＜0，b＜0C.a≥0，b＜0 √D.以≤0，b＞0解析：解析：因为在(－∞，+∞)内连续，所以b＜0，选C．3.设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f''(x)＞0，f'(x)＜0，则当x＞0时有( )．（分数：2.00）A.f''(x)＜0，f'(x)＜0 √B.f''(x)＞0，f'(x)＞0C.f''(x)＞0，f'(x)＜0D.f''(x)＜0，f'(x)＞0解析：解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(－x)=－f(x)，f'(－x)=f'(x)，f''(－x)=f''(x)，即f'(x)为偶函数，f''(x)为奇函数，故由x＜0时，有f''(x)＞0，f'(x)＜0，得当x＞0时有f''(x)＜0，f'(x)＜0，选A．4.设f'(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f'(a)=0，且f''(x)≥k(k＞0)，则f(x) 在(a，+∞)内的零点个数为( )．（分数：2.00）A.0个B.1个√C.2个D.3个解析：解析：因为f'(a)=0，且f''(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x－a)+其中ξ介于a与x再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f'(a)=0，且f''(x)≥k(k＞0)，所以f'(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选B．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）6.设函数y=y(x)y=y(x)在x=ln2处的法线方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0．(1)当t=－1时，由∫ 0y e u2du+∫ t21arcsinudu=0两边对t求导数得－2tarcsint 2 =0，则(2)当t=1时，由∫ 0y e u2du+∫ t21 arcsinudu=0两边对t求导得－2tarcsint 2 =0，则即法线方程为．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）8.设f(x)连续，且∫ 0x tf(2x－2，f(1)=1，求∫ 12 f(x)dx．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：由∫ 0x tf(2x－t)dt ∫ x2x(2x－u)f(u)(－du) =∫ x2x(2x－u)f(u)du=2x∫ x2x f(u)du －∫ x2x uf(u)du 得2x∫ x2x f(u)du－∫ x2x uf(u)du= arctanx 2，等式两边对x求导得2∫ x2x f(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)= 整理得2∫ x2x fud(u)－xf(x)= 取x=1得2∫2 f(u)du－19.设y(x)为微分方程y''－4y'+4y=0满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解，则∫ 01 y(x)dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：y''－4y'+4y=0的通解为y=(C 1+C 2x)e 2x，由初始条件y(0)=1，y'(0)=2得C 1=1，C 2=0，则y=e 2x，于是三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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考研数学三（多元函数微积分学）-试卷4(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：按可微定义， f(x，y)在(0，0)C项即A=B=0的情形，因此可得出f(x，y)在(0，0)可微．故选C．3.设函数f(x，y)连续，则二次积分等于（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分．由sinx≤y≤1，则0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B．（分数：2.00）A.B.C.D. √D．5.累次积分可以写成（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D可见A、B、C均不正确，故选D．6.设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=(（分数：2.00）A.B.C. √D.C．7.设f(x)为连续函数，F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)dx，则F’(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)．B.f(2)．√C.一f(2)．D.0．解析：解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)=∫ 1t dx∫ 1x f(x)dy =∫ 1t(x-1)f(x)dx 于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．8.设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D 1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则=( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D 1和D 2，如图4—4所示，其中D 1关于y轴对称，D 2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，因此在D 1和D 2上，均有=0．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D 1积分不为零，在D 2积分值为零．因此故选项A正确．9.累次积分∫ 01dx∫ x1 f(x，y)dt+∫ 12dy∫ 02-y f(x，y)dx可写成( )（分数：2.00）A.∫ 02dx∫ x2-x f(x，y)dy．B.∫ 01dy∫ 02-y f(x，y)dx．C.∫ 01dx∫ x2-x f(x，y)dy．√D.∫ 01dy∫ 12-x f(x，y)dx．解析：解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设函数f(u)可微，且z=f(4x 2一y 2 )在点(1，2)处的全微分dz| (1,2) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4dx一2dy）11.二元函数f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极小值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题干可知 f x "=2x(2+y 2 )，f y "=2x 2 y+lny+1．12.函数f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一64）解析：解析：根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)，则有 f xx "=8y一6xy一2y 2； f xy "=8x 一3x 2一4xy； f yy "=-2x 2．则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B 2 =32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x 3一12x 2(0≤x≤6)，且令．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．13.设D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则（分数：2.00）填空项1:__________________14.设z=(x+e y ) x，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由z=(x+e y ) x，故z(x，0)=(x+1) x，代入x=1得，15.设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对应价格P的弹性E p =0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 1元．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：8000）解析：解析：本题考查弹性和微分的经济意义．根据已知收益函数为R=pQ(p)；对收益函数做微分为当Q=10000，dp=1时，产品的收益会增加dR=8000．16.设函数dz| (1,1) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx+(一1一2ln2)dy）17.设连续函数z=f(x，y)满足dz| (0,1) = 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2dx一dy）解析：解析：根据以及函数z的连续性可知f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为的定义可知，f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有f x’(0，1)=2,f y’(0，1)=一1，所以dz| (0,1)=2dx 一dy．18.设函数z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy确定（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2—2ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得z(1，2)=0．在(z+y) x=xy两边同时对x求偏导数，有将x=1，y=2，z(1，2)=0代入得19.设函数z=z(x，y)由方程z=e 2x-3z +2y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：在z=e 2x-3z +2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数．20.设函数y=y(x)由方程y=1一xe y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一e）解析：解析：将x=0代入方程y=1一xe y，得y=1．方程两边对x求导，得y’=一e y一xe y y’．y’(1+xe y )=一e y，因此21.设f(u，v)（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：23.设z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于g(x)在x=1处取得极值g(1)=1，可知)解析：24.求f(x，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先求函数，的驻点，f x "(x，y)=e一x=0，f y "(x，y)=一y=0，解得函数的驻点为(e，0)．又A=f xx "(e，0)=一1，B=f xy "(e，0)=0，C=f yy "(e，0)=一1，所以B 2一AC＜0，A＜0．故f(x，y)在点(e，0)处取得极大值f(e，)解析：25.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：积分区域如图4—8所示D=D 1∪D 2，其中)解析：26.求|z|（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：|z|的最值点与z 2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，λ，μ)=z2 +λ(x 2 +9y 2一2z 2 )+μ(x+3y+3z一5)．令)解析：27.试确定常数a与b，使得经变换u=x+ay，v=x+by z=z(z+ay，x+by)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：根据链式法则，有代入所给方程得：按题意，应取1—4a+3a 2=0，1—4b+3b 2 =0．即 (1—3a)(1一a)=0，(1—3b)(1一b)=0．其解分别为于是z=∫φ(v)dv+ψ(u)=φ(v)+ψ(u)，其中φ(u)为u的任意的可微函数．ψ(v)为φ(v)由于φ与ψ的任意性，所以两组解其实是一样的．)解析：28.已知函数f(u，v)具有连续的二阶偏导数,f(1，1)=2是f(u，v)的极值，z=f[(x+y),f(x,y)]（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为=f 1"[(x+y),f(x，y)]+f 2"[(x+y),f(x，y)]．f 1"(x，y)，所以=f 11"[(x+y),f(x，y)]+f 12"[(x+y)，f(x，y)].f 2"(x，y)+f 21"[(x+y),f(x，y)].f 1"(x，y)+f 22"[(x+y)，f(x，y)].f 2 "(x，y).f 1 "(x，y)+f 2 "[(x+t).f(x，y)].f 12 "(x，y)，又因为f(1，1)=2是f(u，v)的极值，故f 1’(1，1)=0,f 2’(1，1)=0，因此=f 11"(2，2)+f 12"(2，2).f 2"(1，1)+f 21"(2，2).f 1 "(1，1)+f 22 "(2，2).f 2 "(1，1).f 1 "(1，1)+f 2 "(2，2).f 12 "(1，1)=f 11 "(2，2)+f 2 "(2，2).f 12 "(1，1)．)解析：29.设z=f(x，y)，x=g(y，z)+其中f，g，φ（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由z=f(x，y)，有 dz=f 1 "dx+f 2 "dy．)解析：30.，u(0，0)=1，求u(x，y)及u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由=2x+y+1，有u(x，t)=x 2 +xy+x+φ(y)，再结合=x+2y+3，有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y 2+3y+C，于是u(x，y)=x 2+xy+x+y 2+3y+C．又由u(0，0)=1得C=1，因此 u(x，y)=x 2 +xy+y 2)解析：31.求二元函数z=f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先求在D内的驻点，即令因此在D内只有驻点相应的函数值为f(2，1)=4．再求f(x，y)在D边界上的最值(1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0．(2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0． (3)在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得 f(x,y)=2x 2 (x一6)， f x "=6x 2一24x=0，得x=0(舍)，x=4，y=6一x=2．于是得驻点相应的函数值f(4，2)=x 2 y(4-x—y)| (4,2) =-64．．综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=-64．)解析：32.设2 +y 2的解，求u．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：[*1] 同理，将其代入原方程，则得u”+u=r 2，该方程的通解是u=C 1cosr+C2 sinr+r 2一2，于是其中C1，C 2是任意常数．)解析：33.设函数f(x)在[0，1]上有连续的导数，f(0)=1，，y)|0≤y≤t一x，0≤x≤t}(0＜t≤1)，求f(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：根据已知，题中所示区域如图4—9所示则两边关于t求导可得即(t 一2)f"(t)+2f(t)=0，转化为求解微分方程(t一2)y’+2y=0，满足初始条件y| t=0 =1．分离变量并两边同时积分可得lny=-2ln(t一2)+lnC，即将初值条件代入可得C=4．即)解析：34.y轴为边界的无界区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：。