反正切函数和反余切函数

根据反正切函数的单调性可得 x＜tg1． 师：以上三道例题的解答，均应用了反正切、反余切 函数的性质或图象来解题．所以希望大家能熟记反函 数的图象及性质．但是从上面总结的表格来看，内容 不少，而且相似的地方很多，易混，因此死记硬背是 行不通的．跟以往一样，我们只要记住图象，然后根 据图象自己便可推出性质来．
可得： 函数的单调减区间是[-∞，0]． 函数的单调增区间是[0，+∞]． 例2 求函数y=-ctgx，x∈(0，π)的反函数． 解：∵ x∈(0，π)，且ctgx=-y． ∴ x=arcctg(-y) =π-arcctgy． 故原函数的反函数为： y=π-arcctgx x∈(-∞，+∞)．
例3 求适合不等式(arctgx)2-3arctgx+2＞0的x的取值范 围． 解：由不等式(arctgx)2-3arctgx+2＞0． 可得：arctgx＜1或arctgx＞2．
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五、作业课本 P．285-286习题十九9、10、12． 六、板书设计
第二课时 一、教与学过程设计 (一)复习 师：前面我们已经学习了反正弦、反余弦，反正切、 反余切函数的定义，我们把这四个函数统称为反三角 函数．若用y=arc×x表示这些函数，请同学们说出它 们的含义．
生：1° arc×x表示一个角，2° 这个角属于它的值 域，3° 这个角的同一名称的三角函数值等于x． 师：我们知道反三角函数中每一个函数都有两个基本关 系式，试按上面的约定把它们表示出来． 生：1°×(arc×x)=x， x属于相应反函数的定义域． 2°arc×(×x)=x， x属于相应反函数的值域． (以上表述教师要加以指点．) (二)引入 师：今天我们要继续学习反正切、反余切函数的图象和 性质，我们仍然从两个函数原函数的图象出发，利用互 为反函数的函数图象之间的关系进行． (三)新课 师：请同学们打开课本看P．281图4-6，4-7．记住反正切、 反余切函数图象的位置和形状(让学生观察一会儿后，请 一位同学来画草图，教师注意纠正)．
4．3
反正切函数和反余切函数
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．反正切、反余切函数的定义，图象和性质． 2．反正切、反余切函数的运算． (二)能力训练点 1．理解反正切、反余切函数的定义，会根据图象得到 它们的性质，进一步提高学生数形结合的能力． 2．掌握反正切、反余切的三角运算以及正、余切函数 的反正切、反余切运算，不断提高学生综合运用知识 的能力． (三)德育渗透点 通过反正切、反余切函数的学习，学生不难发现它们 与反正弦、反余弦函数虽然不同，但研究的手法却完 全相同并且某些性质很相似，为此教学过程要注意引 导学生透过现象看本质，使学生懂得抓住事物的本质 特征才能把握事物的发展趋势，不断提高学生认识能 力，自觉接受辩证唯物主义认识论的观点．
生：
师：要想画准它们的图象(图4-5，图4-6)，虚线一定要画， 它们叫做渐近线．下面我们根据图象易得它们的单调 性． (学生叙述，教师板书．) (1)反正切函数y=arctgx在区间(-∞，+∞)上是增函数；反余 切函数y=arctgx在区间(-∞，+∞)上是减函数． 师：请同学们就反正切函数的图象判断它的奇偶性(学生 回答，教师板书)． (2)反正切函数y=arctgx是奇函数，即 arctg(-x)=-arctgx． 师：从反余切函数的图象看，它既不是奇函数也不是偶 函数，但它有以下性质．
(3)arcctg(-x)=π-arcctgx，x∈(-∞，+∞)． 它的证明与反余弦函数性质2°的证明相似，请同学 们课后自己完成． (表格事先画在软黑板上挂出．)
(四)应用举例 1 求函数y=|arctgx|的单调区间． 解：函数的定义域为x∈(-∞，+∞)． 函数y=|arctgx|的图象(草图)如图4-7所示：
(五)练习 P．283中练习2． (六)总结 与学生一起阅读表格中的内容． 二、作业 课本P．286中习题十九11、13 三、板书设计 ．
(一)复习引入 师：前面我们学过反正弦函数及反余弦函数，大家知道 为了使两个函数能得以建立，我们采取了控制自变量范 围的办法使函数变为1对1
家根据正、余切函数的特征，想一想应该分别控制x在哪 些范围内进行研究较好？
师：注意两个区间均为开区间，与反正弦和反余弦时不 同． (二)新课 师：下面请同学们思考怎样给出反正切和反余切函数的 定义(学生叙述，教师板书)．
师：本题是证角相等的问题，前面我们已经接触过，请同 学们回忆这类问题如何解决？ 生：1° 证两个角的某三角函数值相等． 2° 证两个角同属于某三角函数的同一个单调区间． 3° 根据三角函数的单调性断定它们相等． 师：本题的两个未知角切在等号的一边，该如何处理？
师：根据所出现的反三角函数应选取哪种三角函数证明？ 生：正切或余切． 师：请同学们根据刚才的讨论自己完成证明(教师巡视， 注意个别辅导)． (三)练习 P．283中．练习1、3、4、5． (四)总结 1．反正切、反余切的定义及含义(略) 2．基本关系式： 1° tg(arctgx)=x，x∈R；ctg(arcctgx)=x，x∈R．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：反正切、反余切函数的定义、图象及性 质． 2．教学难点：反正切、反余切函数定义． 3．教学疑点：反正切、反余切函数与反正弦、反余弦有 许多相类似的地方，但不相同，教学过程要注意引导学 生加以区别． 三、课时安排 建议2个课时． 四、教与学过程设计 第一课时
记作y=arctgx． 余切函数y=ctgx(x∈(0，π))的反函数叫做反余切函数， 记作y=arcctgx． 师：请同学们考虑反正切、反余切函数的定义域和值域 是什么？
余切函数的定义域是(-∞，+∞)，值域是(0，π)． 师：我们依然要从三个方面来理解反正切、反余切的定义， 对于x
arcctgx∈(0，π)．3°对应于它们的正切值和余切值分别都 是x． 根据反正切、反余切函数的定义，即它们意义中的3°我们 可得两个基本关系式： tg(arctgx)=x，x∈(-∞，+∞)． ctg(arcctgx)=x，x∈(-∞，+∞)． 例1 求下列各式的值：
师：请同学们根据反正切、反余切的意义来完成(请 一位同学口答)．
例2
求下列各式的值：
师：根据该例题的解答，请同学们思考以下两个式 子成立的条件是什么？ ①arctg(tgx)=x，②arcctg(ctgx)=x．
练习：求arctg[tg(-2)](请一位同学板演．)
∴ arctg[tg(-2)]=arctg[tg(π-2)] =π-2． 例3 求函数y=ctgx，x∈(-π，0)的反函数． 解：∵ -π＜x＜0，∴ 0＜π+x＜π． 又∵ ctg(π+x)=ctgx=y， ∴ π+x=arcctgy． 即 x=-π+arcctgy． ∴ 原函数的反函数为：y=-π+arcctgx x∈R． 师：本题采用转化的手段将不在反余切函数值域范围 内的角转化为其内的角，使问题得以解决，大家要善 于使用这种方法．